如何求方程中的字母系数

方程章节中有已知根的情况,求字母系数类型的题目,我们对此类题目的解法来做一个归纳.1.已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0,当m为何值时,方程有实数根?分析:当方程的二次项系数带有字母时,一定要考虑到它为零的情况.解:1)当m-2=0,即m=2时,x=23.2)当m-2≠0,即m≠2时Δ=4(m-1)2-4(m-2)(m+1)=4(-m+3)≥0.所以m≤3.2.关于x的方程x2-k1-x2x-x=kxx+1只有一个解,试求k的值.分析:所谓方程只有一个解包含下列几种情况:当分式方程化为整式方程后,1°两次项系数为0,原方程化为一元一次方程的情况;2°.原方程化为一元二次方程且△=0的情况;3°方程有…     

判别式的应用

判别式的应用相当广泛 .为使同学们更系统地掌握其应用 ,这里将它归纳一下 ,供参考 .一、不解方程 ,判定方程的根的情况例 1　不解方程 ,判定方程 5x(x-2 ) =3的根的情况 .解 :整理原方程 ,得 5x2 -1 0x-3 =0 .∵Δ =( -1 0 ) 2 -4× 5× ( -3 ) >0 ,∴原方程有两个不等的实根 .说明 :用判别式Δ =b2 -4ac时 ,方程一定要化为一般形式 .二、根据方程根的存在情况确定未知数的取值或取值范围例 2　方程 2x2 -5x =m -4无实根 ,求m的取值范围 .解 :整理原方程 ,得 2x2 -5x +4 -m =0 .∵原方程无实根 ,∴Δ <0 ,即 ( -5 ) 2 -4× 2 ( 4 -m) <0 .…     

忽视△≥0致错两例

<正>《中学生数学》2016年1月下初一年级课外练习题第2(1)题为:设a²-a+1=0,求a2-a+1=0,求a⁽²⁰¹⁶⁾+1/a(2016)+1/a⁽²⁰¹⁶⁾的值.评析我们知道,关于x的一元二次方程ax(2016)的值.评析我们知道,关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),当Δ=b2+bx+c=0(a≠0),当Δ=b²-4ac≥0时,方程有实根;当Δ=b2-4ac≥0时,方程有实根;当Δ=b²-4ac<0时,方程无实根.上述题目中,对于a2-4ac<0时,方程无实根.上述题目中,对于a²-a+1=0而言,由于Δ=(-1)2-a+1=0而言,由于Δ=(-1)²-4×1×1=-3<0,故这样的a     

一元二次方程根的判别式应用举例

初中数学中一元二次方程根的判别式的应用相当广泛 ,为使同学们在复习中系统地掌握其应用 ,现将它们归纳如下 ,供同学们参考 .应用一 :不解方程 ,判断方程的根的情况例 1　不解方程 ,判定方程 ( 3ｘ - 5) (ｘ - 3 ) =1 0的根的情况 .解 :整理原方程 ,得　　　 3ｘ2 - 1 4ｘ + 5=0 .∵△ =( - 1 4 ) 2 - 4× 3× 5>0 ,∴原方程有两个不等的实根 .说明 :用判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ时 ,方程一定要化为一般形式ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) .应用二 :确定方程 (组 )中未知字母的取值或取值范围例 2　ｍ取何值时 ,方程 ( 2ｘ - 2 ) (ｘ - 2 ) =ｍ无…     

再从“一类三角式的数值求法”谈起

本刊刊登的文〔1〕、〔2〕、〔3〕阅来颇有收益,深受启发,联想到我们在求y=P(x)/Q(x)(P(x)、Q(x)的次数不超过2)的值域时,经常采用的判别式法,笔者依法炮制出一个与之类似的三角判别式法,现简介如下。定理:设方程asinx+bcosx+c=0(a、b不同时为零,x_0≤x0时,方程(*)有相异二实根 (2)当△=0时,方程(*)有相等二实根 (3)当△<0时,方程(*)没有实数根。     

判别式应用中学生思维品质的培养

在判别式应用教学中,对一些特殊情况,由于学生常常是机械地记忆判别式与根的关系,忽略判别式应用的局限性,因而解题时形成了思维定势.所以在判别应用中要精选例题,发挥良好的教学效益,培养学生的思维品质.一、在概念辨析中,培养思维的严密性在教学中,在容易混淆的概念、容易遗漏的讨论上设计辨析问题,提高学生思维的严密性.例1当实数a为何值时,方程1x+x-a4=1只有一个实根.解:原方程化为x2-(5+a)x+4=0①,由Δ=a2+10a+9=0,解得a=-1或a=-9.至此,学生往往认为解答结束,其实,学生将一元二次方程相等实根与分式方程只有一个实根的概念等同,如果方…     

综合题新编选登

题10 0 　已知集合A={ (x,y) | x2 + y2 - 4x- 14 y+ 4 5 <0 } ,B={ (x,y) | y≥| x- m| + 7} .1)若A∩B≠ ,求m的取值范围;2 )若点Q的坐标为(m,7)且Q∈A,集合A,B所表示的两个平面区域的边界交于点M、N ,求△QMN的面积的最大值.图1　题10 0图解　1)如图1,当射线y=x - m+ 7(x≥m)与圆(x- 2 ) 2 + (y-7) 2 =8相切时,由| 2 - m+ 7- 7|2= 2 2得m=- 2或m=6(舍去) .当射线y=- x+ m+ 7(x≤m)与圆(x- 2 ) 2 +(y- 7) 2 =8相切时,由| 2 - m- 7+ 7|2=2 2得m=6或m=- 2 (舍去) .图2　题10 0图故所求的m的取值范围是区间(- 2 ,6 ) .2 )显然点Q在圆(…     

解一道“或”命题

题目命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的正实根.命题q:方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根.若p或q为真命题,求实数m的取值范围.     

问题与解答

一本期问题 1 已知一直角三角形的面积为S,周长为l,求以二直角边为二根的一元二次方程。 2 求证(π-3.1415926) (π-3.1415927)≥-2.5×10~(-15) 陕西富平美原中学八五级郭翔宇提供 3 若x、y为实数,且有 y=(1-x~2)~(1/2)+(x~2-1)~(1/4)/2x-3求log_(1/2)(x+y)的值. 4 已知2x+5y+4z=0.3x+y-7z=0,求证 x+y-z=0. 5 已知锐角△ABC中有cosA+cosB-cos(A+B)=3/2,求证△ABC为等边三角形。     

初二代数第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .当x时 ,分式 13x -2 的值为正 ,当x时 ,分式 x2 -9x-3 的值为零 .2 .a2 x2 -2a2 xy a2 y2 分解因式的结果是.3 .x2 mx 1 6是一个完全平方式 ,则m的值是.4.当m =时 ,方程2mx 1m -x =2的根为 12 .5 .化简 a b-1a -b 2b -1b-a=.6.当a ,b满足条件时 ,方程 (a -b)x =a2 -b2 的解是x =a b.7.已知 x3 =y4=z5 ,则2x y-3zx y z =.8.已知 xx -1 xx 1 =Ax2 Bxx2 -1 ,则A =,B =.9.如果ab≠ 0 ,a2 ab -2b2 =0 ,那么2a -b2a b的值为 .1 0 .解方程 2xx -1 -1 =ax -1 时 ,能使方程产生增根的a的值是 .二、选择题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .把多项式 4x -x2 -4分解因式 ,结果正确的是(　 ) .A . -x( 4 -x) -4　　　　B .4x -(x 2 ) (x-2 )C . -(x-2 ) ...     

课外练习

高一年级1.已知方程(512x2+m1x+1)(512x2+m2x+1)… (512x2+m5x+1)=0的10个根组成的一个首项为 1的等比数列,求m1+m2+…+m5的值. (江苏如东县掘港钲北街274号(226400)章枚)2.设f(x)=x2+bx+c,方程f(x)=x的两实根为 x1.x2.且x2-x1>2.     

运用根与系数关系解二次函数有关问题

<正>一元二次方程中"根与系数的关系"是一个重要内容.那么在二次函数中又有哪些常见题用到根与系数关系呢?我们来看一看.例1抛物线y=2x2+6x+m与x轴交于A、B,且AB=2.求m值.解设A(x1,0),B(x2,0).当y=0时,对应一元二次方程为2x2+6x+m=0,∵x1、x2为方程的两不等实根,∴由根与系数的关系可得     

幂函数曲线求切点坐标的失根问题--《高等数学》(同济四版)的一个勘误

一元函数微分学的几何应用是考虑平面曲线的切线问题 ,这也是考试中经常出现的一类问题。此类问题的关键是确定切点坐标。但《高等数学》[1] 第 1 0 3页例 8求曲线 y=x32 的通过点 ( 5,1 1 )的切线方程时 ,仅得到一条切线 3 x-y-4=0 ,在确定切点坐标的求解中出现失根。事实上 ,由方程　　　 1 1 -x320 =32 x0 ( 5-x0 ) ,　　令 t=x0 ,可得关于 t的三次方程　　　 t3-1 5t+2 2 =0 ,即 ( t-2 ) ( t2 +2 t-1 1 ) =0 .它有三个实根 :t1=2 ;t2 =-1 +2 3 ;t3=-1 -2 3。由于 t=x0 ≥ 0 ,t3应舍去。从而有　 x0 =4　或　 ( 2 3 -1 ) 2 ;相应地 ,y0 =…     

从一道题看TI-92图形计算器的作图功能

有这样一道题:已知方程 2x-1=-2x2-α有两个不等实数根,求α的范围.在讲解这一道题时,笔者采用了如下方法: 解原方程等价于2x=-4x2-2α, 设y1=f1(x)=2x,y2=f2(x)=-4x2-2α. 要使原方程有两个不等实根,则需f1(x)与f2(x)的图象有两个不同交点,如图1所示. 由图可知:-2a>1,即α<-1/2.     

上期课外练习解答

高一年级1.设AB边为轴,菱形边长为a,AB边长的高为h,则 ah=S.2.解欲使二次函数f(x)=x2 ax 1没有不动点, 只需方程x=x2 ax 1没有实根,由△=(a-1)2 -4<0,得-1相似文献   

新题征展(30)

A　题组新编1 .( 1 )对任意的 x∈ [- 1 ,1 ],函数 f( x)= x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 k的取值范围 ;( 2 )对任意的 k∈ [- 1 ,1 ],函数 f ( x) =x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 x的取值范围 .2 .( 1 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x、y轴正方向于 A、B点 ,求使△ AOB面积最小时直线l的方程 ;( 2 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x轴正方向于 A,交直线 y =2 x于 B,求使△ AOB面积最小时直线 l的方程 ;( 3)过点 P( 3,1 )作直线 l分别交直线 y= - x - 2与 y =2 x 1于 A、B,且 O′为这两条直线的交点 ,求使△ AO′B面…     

2004年第二期初中数学问题解答

一、如果x+1x =3 ,求 x2x4+x2 +1 的值 .解 :x2x4+x2 +1 =x2(x2 +1 ) 2 -x2 =1(x+1x) 2 -1=13 2 -1 =18.答 :略 .二、设y=|x -1 |+|x -3 |+4x2 +4x +1 ,试求使y值恒等于常数时 ,x的取值范围 .解 :∵y =|x-1 |+|x-3 |+4x2 +4x +1=|x-1 |+|x-3 |+|2x+1 |.要使y的值恒等于常数 ,必需在去绝对值后式中不含x的项 ,所以得①x-1≤ 0 ,x-3≤ 0 ,2x+1≥ 0 ;　或　②x-1≥ 0 ,x-3≥ 0 ,2x+1≤ 0 .①解得 -12 ≤x≤ 1 ;②无解 .因此 ,当 -12 ≤x≤ 1时 ,y的值恒等于常数 :y=-(x -1 ) -(x -3 ) +( 2x +1 ) =5 .答 :略 .三、△ABC中 ,∠A是最小角 ,∠B…     

方程根的定义在解竞赛题中的妙用

(1)x0是方程ax c=0(a≠0)的根ax0 c=0;(2)x0是方程ax2 bx c=0(a≠0)的根ax02 bx0 c=0.特别地,若ax21 bx1 c=0,ax22 bx2 c=0(a≠0),则当x1≠x2时,x1,x2是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个不等实根;当x1=x2时,x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个相等实根.灵活运用上述结论,求解涉及方程根的有关数学问题,常能化繁为简,化难为易,请看下面数例(所选例子均为各地中考题或数学竞赛题):例1如果方程2003x 4a=2004a-3x的根是x=1,则a=.(第十四届“希望杯”初一第二试试题)解:∵方程2003x 4a=2004a-3x的根是x=1,∴2003 4a=2004a-3,故a=1.003.例2若α…     

判断直线与椭圆位置关系的两种新方法

“判别式”法是判断直线与椭圆位置关系的常用方法,笔者在进行“研究性学习”教学时发现了两种判断直线与椭圆位置关系的新方法.1　提出问题已知直线L :x -y + 9=0 ,椭圆E :x21 2 +y23=1 ,E的两焦点为F1,F2 ,求以F1,F2 为焦点,且与L有公共点M的椭圆中,长轴最短的椭圆E′的方程.经过学生探索讨论,一般可得下面两种解法.方法1　F1( - 3,0 ) ,F2 ( 3,0 ) ,设椭圆E′的方程为x2m+ y2m - 9=1 (m >9) ,原题转化为求m最小时E′的方程.由x2m+ y2m - 9=1 ,x -y + 9=0得( 2m - 9)x2 + 1 8mx + 90m -m2 =0 .由Δ=8m3- 432m2 =32 4 0m≥0得m≥4 5…     

用“判别式法”求极值辨析

求二次函数型的极值常可运用“判别式法”(以下简称“△法”)。但运用“△法”求极值可能产生增解或失解,学生在解题时常常忽略这个问题而出现一些错误,下面略举几例说明: 例1 求函数y=2-(4/x)-3x的极值(x>0) 错解函数可变形为3x~2+(y-2)x+4=0 (1) ∵x∈R ∴△=(y-2)~2-4·3·4≥0 解之得 y≤2-(4(3)~(1/2))或y≥2+4(4)3~(1/2)。简析:y极小=2+4(3)~(1/2)了就是用“△法”产生不符合题意的答案,事实上,当y=2+4(3)~(1/2)时,方程(1)化为3x~2+4(3)~(1/2)x+4=0(3~(1/2)x+2)~2x=-(2(3)~(1/2))/3<0。