Asymptotische Fehlerschranken für Rayleigh-Ritz-Approximationen selbstadjungierter Eigenwertaufgaben

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit leiten wir Fehlerschranken her für die Rayleigh-Ritz-Näherungen der Eigenwerte und Eigenelemente von selbstadjungierten Eigenwertaufgaben, deren Spektren nach unten beschränkt und anfangsdiskret sind. Solche Abschätzungen haben gerade im Hinblick auf ihre Bedeutung bei der Finite-Elemente-Methode eine lange Tradition, vgl. etwa [3-5, 7-9] sowie insbesondere die in [3] aufgeführte Literatur.Verfeinerte Fehlerschranken haben kürzlich Babuka und Osborn [1–3] angegeben: Speziell für mehrfach vorliegende Eigenwerte führen sie Approximationsgrößen ein, die die Güte der Diskretisierung beschreiben, und schätzen dann in Termen dieser Größen die Fehler ab. Dabei betrachten sie jedoch aus beweistechnischer Notwendigkeit heraus stets den Fall eines rein diskreten Spektrums, das sich durch selbstadjungierte und kompakte Operatoren beschreiben läßt. Wir lösen uns hier von dieser Einschränkung und geben in analoger Weise das asymptotische Verhalten der Fehler auch für solche Aufgaben an, die ein wesentliches Spektrum besitzen. Zugleich verbessern wir dabei die in [7] aufgestellten Schranken. Unsere Beweismethoden liefern explizit alle in den Fehlerschranken auftretenden Konstanten. Diese ergeben sich allein aus dem Spektrum der betrachteten Aufgabe. Desweiteren können wir alle Beweise mit reellwertigem Skalarkörper durchführen, da wir eine Darstellung von Spektralprojektoren durch Kurvenintegrale (vgl. etwa die Methoden der Spektralapproximation bei Chatelin [5]) für selbstadjungierte Probleme nicht benötigen. Die erhaltenen Ergebnisse gelten jedoch auch entsprechend für komplexwertige Skalarkörper.

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Asymptotic error estimates for Rayleigh-Ritz-approximations of selfadjoint eigenvalue problems

Summary In this paper we establish estimates for the approximation of the eigenvalues and eigenvectors of a selfadjoint eigenvalue problem bounded below with spectrum that begins with isolated eigenvalues of finite multiplicity. Results on the asymptotic behavior of the errors recently proved by Babuka and Osborn [1–3] are also valid for problems with nontrivial essential spectrum.

Herrn Professor Dr. Harro Heuser zum 65. Geburtstag gewidmet     

Preemptive scheduling with staircase and piecewise linear resource availability

Some variations are presented for the preemptive scheduling problem on unrelated processors, one shows how nonrenewable resources with a time-varying supply may be taken into account in an extension of the two-phase method; phase 1 consists in solving an LP problem and phase 2 is the construction of the schedule; such a construction reduces to the determination of integral vectors in polyhedra defined by totally unimodular matrices. In special cases, this is simply a compatible flow problem.

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Zusammenfassung Es werden Variationen für Reihenfolgeprobleme mit Unterbrechungen betrachtet bei denen die Aufgaben mit unterschiedlicher Bearbeitungszeit auf den einzelnen Maschinen gelöst werden können. Insbesondere wird ein Problem mit nichterneuerbaren Resourcen und zeitabhängigen Nachfragen behandelt und es wird gezeigt, daß dieses Problem durch eine Erweiterung der 2-Phasenmethode gelöst werden kann. In Phase 1 wird ein LP gelöst, während in Phase 2 ein zugehöriger Schedule konstruiert wird. Diese Konstruktion erfolgt durch die Bestimmung ganzzahliger Vektoren, die Ecken eines Polyeders entsprechen, der durch eine vollständig unimodulare Matrix definiert wird. In Spezialfällen reduziert sich dies auf Flußprobleme.

     

Boundary effects on granular shear flows of smooth disks

Summary We obtain boundary conditions for two-dimensional flows of identical, nearly elastic, circular disks that interact with a flat wall to which identical, evenly spaced half-disks have been attached. Expressions for the transfer of momentum and energy from the boundary to the flow are obtained by statistical averaging over all possible wall-flow disk collisions. We improve upon the expressions derived by Jenkins and Richman [1986] by employing in the averaging process a more elaborate velocity distribution function obtained through the method of moments. In addition we expand the distribution function about a point near the flat wall that guarantees positive slip velocities. With these boundary conditions, we analyze a two-dimensional shear flow driven by parallel bumpy boundaries. The constitutive theory employed includes both the effects of particle collisions and particle transport on the transfer of momentum and energy throughout the flow. We demonstrate how the resulting profiles of velocity, granular temperature, and solid fraction are affected by changes in the geometry of the boundary. We also predict how the induced stresses vary with the geometry of the boundary and the average solid fraction within the flow.

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Zusammenfassung Wir erhalten die Randbedingungen für die zweidimensionale Strömung identischer, beinahe elastischer, runder Scheiben, die sich in Wechselwirkung mit einer geraden Wand befinden, an der in gleichmäßigen Abständen Halbscheiben angebracht sind. Es werden Ausdrücke für die Übertragung von Impuls und Energie vom Rand auf den Strom aufgestellt, die durch den statisch errechneten Durchschnitt aller möglichen Scheibenkollisionen Wand-Strom erhalten werden. Wir verbessern die von Jenkins und Richman (1986) entwickelten Ausdrücke dadurch, daß bei der Berechnung der Mittelwerte eine erweiterte Geschwindigkeitsverteilung, die auf der Momentmethode beruht, einbezogen wurde. Außerdem entwickeln wir die Verteilungsfunktion an einem Punkt so nahe an der Wand, daß positive Gleitgeschwindigkeiten garantiert sind. Wir untersuchen eine zweidimensionale Scherströmung mit diesen Randbedingungen, die durch die parallelen unebenen Ränder getrieben wird. Die konstitutive Theorie, die wir anwenden, beinhaltet sowohl den Einfluß der Teilchenkollisionen als auch den des Teilchentransports auf die Übertragung von Impuls und Energie innerhalb der Strömung. Wir zeigen, wie die Profile der Geschwindigkeit, der Granu-lartemperatur und des Festkörperanteils, die sich ergeben, durch Veränderungen der Randgeometrie beeinflußt werden. Weiterhin können wir voraussagen, wie die erzeugten Spannungen sich mit der Randgeometrie und dem im Strom enthaltenen Festkörperanteil verändern.

     

A simple model for the fast transverse discharges used in pumping high-pressure gas lasers

Zusammenfassung Für die Anregung von Hochdruck-Gaslasern werden schnelle transversale Entladungen benutzt, die eine Art quasi-stabiler Glimmentladungen darstellen. Wir schlagen ein sehr vereinfachtes Modell vor, das solche Entladungen auf Grund einer Leistungsbilanz erklärt. Die durch das angelegte elektrische Feld an das Elektronengas gelieferte Leistung muß der durch Stöße mit den Gasmolekülen verlorenen Leistung der Elektronen gleich sein. An Hand einer numerischen Berechnung zeigen wir, daß dieses Modell eine akzeptable erste Näherung darstellt, daß es aber nicht zulässig ist, eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die Elektronenenergie anzunehmen. Der wahrscheinliche Grund dieser Glimmphase wird auch kurz besprochen, und wir können damit zeigen, warum es äußerst wichtig ist, daß die Anstiegszeit der angelegten Spannung auf einem Minimum gehalten wird.

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This work is part of a joint program between Brown, Boveri & Cie. AG and the Swiss Federal Institute of Technology.     

Imperfection sensibility of free eddies in Stokes flow

It has previously been shown by Dorrepaal and O'Neill [7] that eddies, which are not attached to either of the cylinder surfaces, can exist between two identical circular cylinders inserted in a creeping flow with velocity perpendicular to the center line. In this note the flow is examined when the symmetry is broken in various ways, and it is concluded that the existence of these eddies is very sensible to imperfections.

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Zusammenfassung Dorrepaal und O'Neill [7] haben die kriechende Strömung senkrecht zu den Axen zweier identischer Kreiszylinder untersucht, und sie haben gezeigt, daß Wirbel, die an keiner der Zylinderoberflächen haften, existieren können.In diesem Artikel wird die Strömung untersucht, wenn die Symmetrie auf verschiedene Weise gebrochen wird, und die Schlußfolgerung wird gezogen, daß die Existenz der Wirbel sehr störungsempfindlich ist.

     

Über eine quasilineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung vom Typ∂u/∂t+∂F(u)/∂x=0

Kurzfassung Solche Gleichungen treten z. B. bei der Strömung von inkompressiblen Flüssigkeitsgemischen durch poröse Medien [1]¹) oder in der Chromatographie [10] auf. Bisher wurdeF(u) meistens²) als konvex vorausgesetzt, was für praktische Anwendungen nicht gerechtfertigt ist, wie die Beispiele in den Arbeiten [1] und [10] zeigen. Ein monotonesF(u) kann den Anforderungen viel eher genügen. Für ein solchesF(u) wird bei monotonen Anfangs- und Randwerten eine schwache Lösung definiert und konstruiert. Die Bedingung für die Eindeutigkeit vonOlejnik, s. [7], genügt nicht mehr und muß durch ein weiteres Kriterium ergänzt werden.     

Wave propagation aspects of the generalized theory of heat conduction

Summary It is well known that the classical theory of heat conduction, which is based upon Fourier's law, leads to infinite propagation speeds for thermal disturbances. In a recent investigation [1], Gurtin and Pipkin devised a theory appropriate to rigid heat conductors with memory, and put forth evidence that their theory gives rise in general to finite wave speeds. The present paper is concerned with the linearized version of the theory presented in [1], in the form it assumes for isotropic conductors. We arrive at conditions upon the material response functions that ensure the finiteness of the wave speeds. In addition, we establish uniqueness of solutions for a class of history-value problems suggested by the linearized theory.

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Zusammenfassung Bekanntlich führt Fourier's klassische Theorie der Wärmeleitfähigkeit zu einer unendlich großen Ausbreitungsgeschwindigkeit lokaler Temperaturstörungen. Gurtin und Pipkin haben eine Theorie für starre Wärmeleiter mit Gedächtnis eingeführt und haben auch einen Beweis dafür gegeben, daß ihre Theorie auf eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit führt. Die vorliegende Arbeit bezieht sich auf die linearisierte Form der Theorie von Gurtin und Pipkin für isotrope Leiter. Es werden Bedingungen für endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit angegeben. Ferner wird die Eindeutigkeit der Lösungen für eine Klasse von history-value-Problemen angegeben, die durch die lineare Theorie nahegelegt werden.

     

Propagation of simple non-linear waves in gas filled tubes with friction

Summary The propagation of simple nonlinear waves in tubes is investigated. It is seen that both continuous and discontinuous asymptotic waves exist for which the nonlinear distortion and the viscous effect owing to the boundary layer just balance. Both types of solutions can be collapsed into one normalized asymptotic solution. A numerical method is given to compute time-dependent solutions. The evolution of continuous and discontinuous waves is illustrated with two examples.

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Zusammenfassung Untersucht wird die Fortpflanzung einfacher nichtlinearer Wellen in Rohren. Es wird gezeigt, daß asymptotische Wellen mit und ohne Diskontinuität existieren, für welche sich Grenzschichteffekte und nichtlineare Aufsteilung gerade die Waage halten. Die Lösungen beider Arten können auf eine einzige normalisierte asymptotische Lösung zurückgeführt werden. Es wird ein numerisches Verfahren angegeben, mit welchem zeitabhängige Lösungen berechnet werden können. Die Evolution von Wellen mit und ohne Diskontinuität wird mit zwei Beispielen illustriert.

     

The effects of electric fields on cloud physical processes

Zusammenfassung Der vorliegende Aufsatz versucht eine Übersicht über neuere Literatur zu geben, die den Einfluss von elektrischen Feldern auf wolkenphysikalische Vorgänge behandelt. Die Resultate der bisherigen Arbeiten können folgendermassen zusammengefasst werden:Theoretische und experimentalle Untersuchungen haben gezeigt, dass das Wachstum von Wolkenelementen in der Gegenwart von elektrischen Feldern beschleunigt wird und dass der Vereisungsprozess in unterkühlten Wassertropfen wohl durch elektrische Felder eingeleitet werden kann, jedoch nur unter Bedingungen, die kaum in atmosphärischen Wolken anzutreffen sind.Der Aufsatz weist darauf hin, dass die Kenntnisse über den Einfluss von elektrischen Feldern auf wolkenphysikalische Vorgänge noch relativ klein und ungesichert sind und weiter ausgebaut werden sollten.     

K-greedy algorithms for independence systems

Recently inJenkyns [1976] andKorte/Hausmann [1978] a tight worst-case bound for the well-known greedy heuristic for general independence systems has been deduced. Here some modifications of the greedy heuristic are investigated which allow to enlarge the current independent set by more than one element. It is shown that in spite of the additional enumeration incorporated in these heuristics they can behave worse than the usual greedy heuristic for some problem instances. For one of those modifications the same worst-case bound as mentioned above — but no better one — has been proved again. These results underline the predominant role of the usual greedy heuristic for general independence systems.

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Zusammenfassung Kürzlich wurde inJenkyns [1976] undKorte/Hausmann [1978] eine scharfe Gütegarantie für die bekannte Greedy-Heuristik für allgemeine Unabhängigkeitssysteme hergeleitet. Hier werden nun einige Modifikationen der Greedy-Heuristik untersucht, die es gestatten, die laufende unabhängige Menge durch mehr als ein Element zu vergrößern. Es wird gezeigt, daß sich diese Heuristiken — trotz der zusätzlich in sie eingebauten Enumeration — in Einzelfällen schlechter verhalten können als die gewöhnliche Greedy-Heuristik.Für eine dieser Modifikationen konnte wieder die gleiche Gütegarantie wie die oben erwähnte —aber keine bessere — bewiesen werden. Diese Ergebnisse unterstreichen die beherrschende Rolle der gewöhnlichen Greedy-Heuristik für allgemeine Unabhängigkeitssysteme.

     

Engpässe,Staustellen und glatte homogene Ströme in Netzen

Zusammenfassung Das fundamentale dualistische Konzept der Netzstrom-Analyse, nämlich die Lokalisierung eines minimalen Schnittes als Engpaß des Netzes bei simultaner Konstruktion eines maximalen glatten Stromes zwischen Quelle und Mündung, muß aufgegeben werden, sobald man auf Netze übergehen möchte, die neben Teilstrecken-Kapazitäten auch Mindestauslastungen haben können aber nicht haben müssen.Für solchermaßen doppelt beschränkte Netze behaupten und beweisen wir hinreichende und zugleich notwendige Bedingungen, unter denen ein Schnitt zwischen Quelle und Mündung minimal ist. Dabei spielt die Lage der Staustellen und Sogpunkte die entscheidende Rolle.Weiterhin entwickeln wir ein zugehöriges Verfahren zur Lokalisierung von minimalen Schnitten zwischen Quelle und Mündung. Es beruht auf einem Ausgleich zwischen Sog und Stau und der sukzessiven Verschiebung von Schnitten.Schließlich zeigen wir, wie man diesen Algorithmus geringfügig modifizieren kann, so daß er entweder noch einen glatten zulässigen Strom zwischen Quelle und Mündung herstellt oder Teilstrecken kennzeichnet, deren Kapazitäten oder Mindestauslastungen das Fließen eines solchen glatten Stromes verhindern.Mitteilungen über Anwendungen der Netzstrom-Analyse sind diesen theoretischen Neuentwicklungen vorangestellt.

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Summary Ford/Fulkerson's fundamental dualistic max-flow min-cut concept does not apply if lower bounds on arc flows can no longer be excluded. For this reason iff-conditions are proved under which a cut between source and sink has a minimal net capacityc (X, ¯ X) – b (¯ X, X). Next a localization algorithm for minimal cuts is presented. In addition an extension of this algorithm is offered for constructing a maximal flow or for the localization of arcs blocking feasible flows.The paper starts out with applications (54 refs.).

     

Magneto-fluid-dynamics of thin bodies in oblique fields

Zusammenfassung Es wird die stationäre Bewegung eines vollkommen leitenden reibungslosen Medizums um einen schlanken Körper in einem schräggerichteten Magnetfeld behandelt. Es wird hervorgehoben, dass im allgemeinen eine der Grenzbedingungen zur Folge hat, dass die Störungen durch den Körper nicht klein sind. — In einem speziellen Falle, der von grossem Interesse sein dürfte, gibt es keine «prima facie» Einwände gegen die Annahme vom Vorhandensein kleiner Störungen und Lösungen können gefunden werden. Diese enthalten eine allgemeine Konstante ähnlich derjenigen die in der konventionellen Theorie der dünnen Körper (ohne Magnetfeld) vorkommt und die in analoger Weise eliminiert werden kann — Zwei spezielle Fälle werden diskutiert, von denen der eine von Bedeutung sein könntes für die Theorie der Bewegung in parallelen Feldern.     

Numerical solution of a singular integral equation appearing in magnetohydrodynamics

The numerical solution for the velocity and induced magnetic field has been obtained for the MHD flow through a rectangular pipe with perfectly conducting electrodes. The problem reduces to the solution of a singular integral equation which has been solved numerically. It is found that as the Hartmann number is increased the velocity profile shows a flattening tendency and the flux through a section is reduced. Also as compared with the case of nonconducting walls the flux is found to be smaller. Graphs and tables are given for the solution of the integral equation and the velocity and induced magnetic field.

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Zusammenfassung Für den MHD Fluß durch ein rechteckiges Rohr mit gut leitenden Elektroden wurde die numerische Lösung für die Geschwindigkeit und das induzierte Feld ermittelt. Das Problem ließ sich auf eine singuläre Integralgleichung zurückführen, die numerisch gelöst wurde. Es hat sich herausgestellt, daß wenn die Hartmann-Zahl größer wird, das Geschwindigkeitsprofil eine Tendenz zur Abflachung zeigt und der Fluß durch den Querschnitt zurückgeht. Im Vergleich mit dem Einsatz von nicht leitenden Wänden wurde ebenfalls ein geringerer Fluß festgestellt. Für die Lösung der Integralgleichung, die Geschwindigkeit und das magnetische induzierte Feld sind graphische Darstellungen und Tabellen angegeben.

     

Transient magnetohydrodynamic flow and heat transfer

Zusammenfassung Es wird die zeitabhängige Strömung einer elektrisch leitenden Flüssigkeit untersucht, die sich bei Gegenwart eines Quermagnetfeldes einstellt, und zwar wird die freie und die erzwungene Konvektion berechnet. Wenn die Wandtemperatur längs der Kanalachse linear variiert, werden die Grundgleichungen linear, was eine analytische Lösung ermöglicht. Unsteitigkeiten können entstehen durch Variationen des axialen Druckgradienten, der Wandtemperatur oder der inneren Energieerzeugung. Die Einflüsse der thermischen und magnetischen Prandtlzahl, der Hartmannzahl, der Rayleighzahl und der inneren Energieerzeugung auf die Strömung und den Wärmeübergang werden untersucht. Für grosse Werte vonRa undM und fürPr-Werte von der Grössenordnung 1 wird ein Schwingungsverhalten gefunden, dessen Periode stark von den genannten Parametern abhängt.

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Work performed under the auspices of the U.S. Atomic Energy Commission.     

Some problems concerning weather control

Zusammenfassung Voraussagen der Resultate von künstlicher Wetterbeeinflussung sind erschwert durch die Divergenz der Erscheinungen. Die Beeinflussung besteht grundsätzlich in der Auslösung sich selbst vervielfältigender Prozesse.Die bisherigen Versuche ergaben positive wie auch negative Resultate, was weitgehend durch die unterschiedlichen atmosphärischen Bedingungen erklärt werden kann, unter denen die Experimente durchgeführt wurden. Nach wie vor gelten CO₂ und Silberjodid als die günstigsten Substanzen zur Auslösung von Modifikationen in unterkühlten Wolken, obgleich eine Reihe anderer Stoffe eine ebenso hohe Fähigkeit besitzen, Eiskeime zu bilden. Die Versuche zur Auslösung einer Niederschlagsbildung in temperierten Wolken haben bis dahin keine überzeugenden Erfolge gebracht. Vor allem schliessen die erforderlichen Substanzmengen eine ökonomische Auswertung aus.Obgleich die Grundlagen der Wetterbeeinflussung noch nicht voll verstanden und beherrscht werden, erscheint es angezeigt, die praktischen Möglichkeiten weiter zu entwickeln, für die sich eine Anzahl lohnender Ziele bietet.     

Die rationelle Erstellung von Großnetzen mit überwiegend schematischen Abläufen

Zusammenfassung Der Aufwand für die Erstellung von detaillierten Netzen für Industrieanlagenbauten und Großbauvorhaben kann durch die Anwendung der beschriebenen Vorgangsweise beachtlich gesenkt werden. Dadurch wird die vollständige Erfassung aller wesentlichen Arbeiten ermöglicht und dem Projektleitungsteam ein Instrument zur Verfügung gestellt, mit Hilfe dessen, ohne die übliche schwierige Interpretation von generalisierten Großnetzen, sämtliche Arbeiten im Auge behalten und gesteuert werden können.

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Summary The preparation of detailed networks for industrial plant structures and overground buildings involves a respectable characters and data input work. The paper describes a process and a computer program with the help of which this expenditure can considerably be lowered. The process enables the collection of all jobs of a project. In this way, the project-management-team disposes of guide documents which can be simply explained and handled as they directly concern the individual work and no work is collected in groups.

     

The forces and couples acting on two nearly touching spheres in low-Reynolds-number flow

When two unequal spheres are very close, the low-Reynolds-number flow in the narrow gap between them can be analysed using lubrication approximations, and asymptotic formulae for the forces and couples acting on the spheres deduced. The expressions for the forces and couples have previously been regarded as independent, but it is shown here that they are linked by simple physical considerations. The new formulae can be used to improve the accuracy of companion calculations which apply to cases in which the spheres are not close.

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Zusammenfassung Es wird die Strömung bei kleinen Reynoldszahlen untersucht in einem Spalt zwischen zwei ungleichen Kugeln, die sich nahezu berühren. Asymptotische Formeln für die Kräfte und Momente an den Kugeln werden hergeleitet. Es wird gezeigt daß die Ausdrücke für die Kräfte und Momente, die bis jetzt als unabhängig betrachtet wurden, tatsächlich durch einfache physikalische Betrachtungen verknüpft werden können. Die neuen Formeln können zur Verbesserung der Genauigkeit von Rechnungen für größere Kugelabstände benützt werden.

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During this work, D. J. Jeffrey was supported by the Natural Environment Research Council of Great Britain.     

Circuit discriminateur d'amplitude à 4 diodes tunnel Application à un analyseur de distribution d'amplitude

Zusammenfassung Die vorgeschlagene Schaltung arbeitet mit 4 Tunnel-Dioden, welche paarweise in Serie und in entgegengesetzter Durchlassrichtung geschaltet sind. Die Schaltung wird mit einer symmetrischen Speisespannung betrieben. Ihre Arbeitsweise ist ähnlich derjenigen der bekannten Gotoschaltung, mit dem Unterschied allerdings, dass sowohl bei der negativen als auch bei der positiven Halbperiode der Speisespannung ein Entscheidungsvorgang stattfindet.Eine Fensterbildung wird erreicht indem die Schwellwerte der Diodenpaare durch eine äussere Polarisation gegenseitig verschoben werden können.Als Anwendung dieser Grundschaltung wird eine Anordnung für die Bestimmung der Amplituden-Verteilung einer Funktion beschrieben, welche mit 40 MHz Taktfrequenz arbeitet.     

Self-excited vibrations of turbomachine blading

Zusammenfassung Unter Verwendung einer vereinfachten Betrachtungsweise für die nicht-stationären aerodynamischen Kräfte wird ein Kriterium für das Zustandekommen von selbst-erregten Schwingungen bei Axialturbinen- bzw. Axialkompressoren-Schaufeln angegeben, die entlang ihrer Höhe sowohl aerodynamisch wie auch geometrisch veränderliche Eigenschaften aufweisen. Es werden dynamische Gleichungen in verallgemeinerter Form hergeleitet und auf ihre Lösung mit Hilfe der Phasenebene hingewiesen. Ferner wird die Möglichkeit von Relaxationsschwingungen, die durch endliche Unstetigkeit in der Auftriebscharakteristik hervorgerufen werden können, untersucht. Das Ergebnis dieser Untersuchung hat gezeigt, dass diese Möglichkeit bei den in der Praxis vorkommenden Steifigkeiten und Dämpfungseigenschaften der Schaufeln kaum besteht.     

Partial solutions of finite elasticity-axially symmetric deformations

For axially symmetric deformations of isotropic incompressible hyperelastic materials new reduced forms of the equilibrium equations are given. For the neo-Hookean and extreme-Mooney materials these equations are shown to admit exact solutions expressible in terms of Bessel functions of order zero. These solutions can be rendered as approximate solutions of problems involving the large axially symmetric deformations of circular discs containing a concentric circular hole.

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Zusammenfassung Neue reduzierte Formen von Gleichgewichtsgleichungen für axial symmetrischen Deformationen von isotropisch unzusammendrückbaren, hyperelastischen Materialien werden gegeben. Für die neo-Hookean und extrem-Mooney Materialien können aus diesen Gleichungen exakte Schlüsse gezogen werden, die in Form von Bessel-Funktionen der Null-Ordnung ausgedrückt werden. Diese Lösungen können als ungefähre Lösungen von Problemen angesehen werden, die in Zusammenhang stehen mit grossen axial symmetrischen Deformationen von runden Scheiben, die ein konzentrisches, rundes Loch haben.