一道联赛题的多种证法

2014年广西高中数学联赛第10题为：如图1,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,△ABC的内切圆分别与边BC、CA切于G、F,求证：DE、GF的交点在∠ABC的角平分线上.标准答案给出的证明较为复杂,下面提供几个简单的证法.证法一如图2,设DE、GF的交点为H,K为边AB与圆的切点,连接AH并延长交BC于W.∵DE∥BC,BD=DA,∴AH=HW.     

一道高中联赛题的几种新证法

1题目如图1，已知两个半径不等的圆O1与圆O2相交于M、N两点，且圆O1与圆O2内切于S、T两点，求证：OM上MN的充要条件是S、N、T三点共线（满分50分，命题组供题）这是1997年全国高中联赛第二试中第一大题，命题组为改卷提供的参考答案只有一种证法【’］．其实，平面几何问题，常无定法，从不同角度去思考，往往可以发现多种途径，有的还是很简捷的证法．本文除了给出几种不同于上述参考答案的新证法以外，还用根轴的知识给出了一个最简证法．2充分性证明的简化在证充分性时，需要先证OO．NOZ是平行四边形原证法是利用面OISN，凸OZ…     

一道联赛题的新证

<正>如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH以点P,求证:点P为CH的中点.这是2014年全国初中竞赛题的一道几何题,命题组给出的答案不容易想到,本文连接现有的点,应用相似三角形的比和正弦定理以及中线均分三角形面积的结论,思路清晰,推理简单,很适合初中生学习.     

2001年全国高中数学联赛一道平几题的几种证法

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是 :如图 1 ,△ ABC中 ,O为外心 ,三条高 AD、图 1BE、CF交于点 H ,直线ED和 AB交于点 M,FD和 AC交于点 N.求证 :(1 ) OB⊥ DF,OC⊥ DE;(2 ) OH⊥ MN.由于第 (1 )小题比较容易 ,本文将略去其证明 ,而重点介绍第 (2 )小题的证明方法 .证法 1　 (解析法 )以直线 BC为 x轴 ,AD为 y轴建立直角坐标系 ,设 A(0 ,a) ,B(b,0 ) ,C(c,0 ) ,H (0 ,h)由 CH⊥ AB,得　 h- c. a- b=- 1∴　 h =- bca,即 H (0 ,- bca) .又设⊙ O的方程为x2 y2 Dx Ey F =0 ,则　a2 Ea F =0b2 Db F =0c2 Dc…     

简解一道联赛题

最近遇见一道“陈题”,笔者发现此题蕴含的数学思想不一般,是一道可圈可点的好题,现整理如下,供大家参考．     

一道联赛题的两种新解法

题目必的最大值.若:井0,求解1(1992年全国初中数学联赛题)要使原式有最大值,必须:)0.(配偶法)令 力不尹泣石而一丫万下尹材:二二——一——,召互干乎不石万+了丁浮石飞矛,二二二则(、万不王丁平户)“拄矛、‘二一——一-一一—兰-心三鱼一i一1,一在不二+存石一价令一)2十3+在事藕当一圣一云二O,即x~l时砂.小~ 故当林.大--了了+抓牙.1时, l沂百十丫-百~丫万~一汀. 附:上述解法受本刊1991年第7期《配偶·运算·解题》一文启发而得.更值得一提的是,该文的例16:“设:>0,试求;~了下十介一沂再二。。大值一,与这道联赛题类似. 解2(解析法)但 一扛…     

一道联赛题的推广

分析 要证此小数是有理数，即证此小数是循环小数，也就是要证{cn}是周期数列．这种传统的方法在大多数参考书上都可以看到，在此不过多介绍．     

一道联赛题的详解

1996年全国初申数学联赛试题中有这样一道选择困：着一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（）（N内心①）外心（Q重心①）垂心此困在本刊1996年第六期上已有详细解答，答策为（0．从解答那里，我得到启示．此题实际上说的是一个三角形的周长被一条直线所赢得的两部分的比Q：Q一丑：1，面积被分成的两部分的比几：而一1：1，那么这条直线通过四心中如一心？若将1：1去掉，直接换成G。Q＝＆：＆，是否能得到同样的结果呢？绿我认立思考后，发现结论仍然成下面给出其证明过召证明设此直线交AB、AC分别为…     

一道联赛题的推广

一道联赛题的推广４４３０００宜昌市一中陈建森９５年全国高中数学联合竞赛试题第二论的最后一题为：将平面上每个点都以红蓝两色之一治色，证明：存在这样的两个相似三角形，它《ｒ的相似比为１９９５，并且每一个三角形的三ｆ顶点同色．现将以上命题作如下推广：将平面...     

一道联赛题的挖掘

题目设n为自然数,a、b为正实数,且满足a b=2,则1/a a~n 1/a b~n的最小值是__。(1990年全国高中数学联合竞赛试题二(1)) 这是一道值得精心挖掘的佳题。 (一)横向挖掘——多解由已知条件,知a~nb~n≤1,当且仅当a=b=1时,等号成立。灵活地运用a~nb~n≤1,我们发现本题有多种求解思路。解1 [用1/b~n 换a~n] 1/1 a~n 1/1 b~n≥1/1 1/b~n 1/1 b~n=b~n/b~n 1 1/1b~n=1,其中等号成立1/b~n=a~n即a~nb~n=1a=b=1。故1/a~n 1/b~n的最小值为1。解2 [通分,用a~nb~n换分子中一个1]     

一道联赛题的探索

(2008年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第17题)已知正数a,b,c满足2a+4b+7c≤2abc,求a+b+c的最小值.     

一道联赛题的探源

题目 已知正整数N〉1,求证：1/n＋1＋1/n＋2＋…1/2n〈25/26 （2007年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第二试第2题）     

一道联赛题的妙解

2008年全国高中数学联赛一试第15题:如图1,P是抛物线y~2=2x上的动点,点B,C在y轴上,圆(x-1)~2+y~2=1内切于△PBC,求△PBC面积的最小值.命题组给出的方法是用点P的横坐标表示△PBC的面积S,然后求S的最小值,这种方法运算量太大,下面我们用算两次的思想来轻松解决这一问题.设点P的坐标是(x_0,y_0),△PBC的面积为S,PB,PC和圆分别切于D,E,则有     

一道联赛题的新解

(2008年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第17题)已知正数a,b,c满足2a+4b+7c≤2abc,求a+b+c的最小值.文[1]公布的标准解答很难想到,文[2]的解答技巧性太强,本文按常规思路给出一种易于接受的方法供大家参考.     

一道平几题的简易证法

下述命题是一个常见的几何题,一般的证明方法是本文的证法一;而证法二(见《数学通报》1982。6期,P5,例十,也有其繁杂的一面,对此命题,我想给出一种较简单的证法,也就是本文的证法三。为了比较,对前二种证法略述在前,最后给出证法三。原题由圆外一点A引两切线AS、AT (S、T为切点)。过A引圆的任一割线APQ交ST于R,若M为PQ中点,则AP·AQ=AR·AM. 证法一先证A、S、M、O、T五点共圆,再证△ASR∽△AMS。这是一种常见的证明方法,且证明步骤繁杂。     

一道几何题的代数证法

<正>韩舒婷同学在《从平面到立体:意想不到的解答》(2007年2月（上）P₃₉)一文中,用几何方法讲述了一道平面几何题的证明,方法十分巧妙.我试着用代数方法     

一道几何题的特别证法

一道几何题的特别证法３１２３５３浙江省上虞市春晖中学高二冯兴华《数学通讯》１９９２年第７期，关于第６期问题解答第１７道问题是：如图所示，在△ＡＢＣ中，ＢＥ＝ＣＤ；ＣＤ．（田廷彦提供并解答）原解答需添辅助线，且不易想到．现笔者给出一个特别的证法如下：那...     

一道平几题的多种证法

一题多解的目的,在于开拓学生思路,进一步激发学生学习数学的积极性,提高分析问题和解决问题的能力。本文以82年湖北省初中数学竞宽第一试试题第六题为例,作如下多种证法。例题在等腰三角ABC中的一腰AB上任取一点D