Hall effects on free convective flow and mass transfer through a porous medium

Summary A theoretical analysis of unsteady free convective and mass transfer flow through a porous medium bounded by an infinite vertical plate taking Hall effects into consideration is presented when a strong magnetic field is imposed in a direction which is perpendicular to the free stream and makes an angle to the vertical direction. The effect of Hall currents on the flows (primary and secondary) are studied for various values of.

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Halleffekte auf die Naturkonvektion und den Stofftransport durch ein poröses Medium

Zusammenfassung Es wird eine theoretische Analyse der instationären Naturkonvektion und des Stoffüberganges durch ein poröses Medium vorgestellt, das durch eine unendliche vertikale Platte begrenzt ist und in dem Halleffekte, aufgebracht durch ein starkes magnetisches Feld rechtwinklig zur Strömung der freien Konvektion und unter einem bestimmten Winkel zur Vertikalen, zu berücksichtigen sind. Der Einfluß der Hallströme auf die Konvektion (primär und sekundär) wird für verschiedene Werte des Winkels zur Vertikalen studiert.

     

Unified treatment of free convection adjacent to a vertical plate with three thermal boundary conditions

Free convection adjacent to a vertical plate is considered with three different boundary conditions, namely, the plate is subjected to a prescribed temperature, a prescribed heat flux or a prescribed heat transfer coefficient. By a unified treatment of similarity analysis, the governing equations of free convection are reduced to identical system of ordinary differential equations for all the cases. It is shown that these equations are invariant under a certain transformation group and solution for one case can be used to obtain the solutions for the other two cases by a simple method. The critical cases are found for which the solutions for all the three cases are identical.

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Einheitliche Behandlung der freien Konvektion längs einer vertikalen Platte für drei verschiedene Randbedingungen

Zusammenfassung Die freie Konvektion längs einer vertikalen Platte wird für drei verschiedene Randbedingungen betrachtet: einmal wird die Platte auf einer bestimmten Temperatur gehalten, dann einem bestimmten Wärmestrom ausgesetzt und letztens mit einem bestimmten Wärmeübergangskoeffizienten untersucht. Bei einer einheitlichen Behandlung der Ähnlichkeitsanalyse werden für alle Fälle die bestimmenden Gleichungen für freie Konvektion zu einem identischen System von gewöhnlichen Differentialgleichungen reduziert. Es wird beweisen, daß diese Gleichungen unter bestimmten Transformationsgruppen invariant sind und Lösungen von einem Fall dazu benützt werden können, um die Lösungen der restlichen Fälle zu erhalten. Es werden die kritischen Fälle gefunden, für die alle Lösungen der drei entsprechenden Randbedingungen identisch sind.

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Nomenclature c _o positive constant - c _p specific heat of the convective fluid - C function defined by Eq. (6a) - E energy convection by the boundary layer - f dimensionless stream function - g gravitational acceleration - G function defined by Eq. (6b) - k thermal conductivity - N heat transfer coefficient - PHF prescribed heat flux - PHTC prescribed heat transfer coefficient - Pr Prandtl number - PT prescribed temperature - q _w surface heat flux - T temperature - T _e ambient temperature - u velocity component inx direction - v velocity component iny direction - x coordinate in the vertical direction - y coordinate in the horizontal direction - coefficient of thermal expansion - dimensionless similarity variable - kinematic viscosity - dimensionless temperature - density of the convective fluid - stream function     

An integral method for free convection from a vertical heated surface in a thermally stratified porous medium

The Kárman-Pohlhausen integral procedure was exploited to solve the problem of free convection from a vertical heated surface imbedded in a thermally stratified porous medium. Upon considering the Darcy law, the energy integral relation, and the auxiliary relation associated with the curvature of the temperature profile at the wall, a closed-form expression for the Nusselt number was reduced for the case where the distributions of the wall temperature and ambient temperature vary according to power-functions of distance. Results on an isothermal plate are found to be in close agreement with those from the exact solution. Effects of the thermal stratification on local heat transfer rates are also discussed.

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Freie Konvektion von einer beheizten, vertikalen Fläche in der thermischen Schichtung eines porösen Mediums

Zusammenfassung Die Kárman-Pohlhausen-Integration wurde angewandt, um das Problem der freien Konvektion von einer vertikalen Fläche, die in ein thermisch geschichtetes poröses Medium eingebettet ist, zu lösen. Unter Hinzuziehung des Darcyschen Gesetzes der integralen Energiebeziehung und einer Hilfsbeziehung, die mit der Krümmung des Temperaturprofiles an der Wand zusammenhing, wurde eine geschlossene Form für die Nusselt-Zahl gefunden, jeweils bezogen auf den Fall, wenn die Verteilung der Wandtemperatur und der Umgebungstemperatur entsprechend eines Exponentialansatzes mit dem Abstand abnimmt. Ergebnisse, die für eine isotherme Platte mit dieser Methode berechnet wurden, sind in guter Übereinstimmung mit denen der exakten Lösung. Es werden auch Einflüsse der thermischen Schichtung auf den örtlichen Wärmeübergang diskutiert.

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Nomenclature A, B, C, D shape factors - f profile function - g acceleration due to gravity - K permeability - m parameter associated with thermal stratification - n power-law exponent of the wall temperature - Nux local Nusselt number - Pr Prandtl number - Rax local Rayleigh number - T temperature - u, v velocity components inx andy directions - x, y boundary layer coordinates Greek symbols shape parameter - \ coefficient of thermal expansion - boundary layer thickness - similarity variable     

Steady laminar flow past a heated horizontal plate embedded in a saturated porous medium

In this paper we study the boundary layer equations for steady laminar flow past a heated horizontal plate embedded in a saturated porous medium by adopting the formulation of Chandrasekhara [3], Kolar and Sastri [7]. The velocity distribution and temperature distribution are determined by using the implicit Crank-Nicolson-Predictor-Corrector method of finite difference scheme [7] and [1]. With the help of a compute the distributions are estimated at both (i+1/2)th and (i+1)th levels and they are presented in tabular form. The curves for these distributions are plotted. We calculate the shear stress and skin friction at the wall and observe that the skin-friction directly depends upon the dimensions of the plate and inversely depends upon the Reynolds numberRe. The heat flux and the Nusselt number are evaluated. Further we observe that the Nusselt number depends upon the length of the porous plate.

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Stetige laminare Strömung über eine in einem gesättigten porösen Medium eingebettete horizontale Platte

Zusammenfassung Diese Untersuchung befaßt sich mit den Grenzschichtgleichungen für eine stetige laminare Strömung über eine beheizte Platte, die in ein gesättigtes poröses Medium eingebettet ist, mittels des Formalismus von Chandrasekhara [3], Kolar und Sastri [7]. Die Geschwindigkeits- und Temperaturverteilung wurden unter Benutzung der impliziten Crank-Nicolson-Korrekturmethode des Finiten-Elemente-Schemas bestimmt. Die (i+1/2). und die (i+1). Ebene der Verteilungen wurden mit Computer-Hilfe berechnet und in Tabellenform dargestellt. Die Graphen der Temperatur- und Geschwindigkeitsverteilung wurden ausgeplottet. Die Schubspannungen und die Oberflächenreibung an der Wand wurden berechnet und es konnte festgestellt werden, daß die Oberflächenreibung direkt von der Größe der Platte abhängt und umgekehrt proportional der Reynolds-ZahlRe ist. Der Wärmestrom und die Nusselt-Zahl wurden bestimmt. Weiterhin konnte festgestellt werden, daß die Nusselt-Zahl von der Länge der porösen Platte abhängt.

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Nomenclature C _p specific heat of the convective fluid - D skin friction - k permeability of the porous medium - k _f thermal conductivity of the fluid - k _m the coefficient of thermal conductivity of the porous medium - k _s the conductivity of the solid matrix - N(x) Nusselt number - q(x) specific heat flux - Re local Reynolds number - T temperature - T ₀ temperature of the free stream - T _w temperature of the plate - u velocity in thex-direction - u ₀ velocity of the free stream - V velocity iny-direction - x coordinate axis along the plate - y coordinate axis normal to the plate Greek symbols thermal diffusivity - thickness of the velocity boundary layers in thex direction - thickness of the velocity boundary layer in they-direction - the porosity of the medium - dimensionless variable - kinematic viscosity of the fluid - density of the fluid - shear stress     

On the similarity solutions for free convection in a saturated porous medium adjacent to impermeable horizontal surfaces

The similarity solutions for free convection about a horizontal surface in a saturated porous medium when the wall temperature is prescribed as a power law of distance from the origin, i.e. proportional tox ^m, are considered. Solutions valid form1 are obtained. Numerical solutions are obtained which reveal that there is a valuem ₀ such that a solution of the similarity equations is possible only form>m ₀. It is shown thatm ₀=–2/5 and the nature of the singularity is discussed and an asymptotic expansion is obtained.

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Ähnlichkeitslösungen für eine freie Konvektion in einem gesättigten porösen Medium, das an eine undurchlässige, horizontale Oberfläche grenzt

Zusammenfassung Die Ähnlichkeitslösungen sind für eine freie Konvektion über eine horizontale Oberfläche in einem gesättigten porösen Medium in Betracht gezogen worden, wenn die Wandtemperatur beschrieben ist als eine Potenzfunktion des Abstandes vom Ursprung, z. B. proportional zux ^m.Gültige Lösungen sind fürm1 bestimmt. Numerische Lösungen sind bestimmt worden, die offenbaren, daß es einen Wertm ₀ geben muß, so daß eine Lösung von ähnlichen Lösungen nur fürm>m ₀ möglich ist. Es wird gezeigt, daßm ₀=–2/5 und daß die Beschaffenheit der Singularität besprochen und die asymptotische Ausdehnung bestimmt worden ist.

     

Lösungen und Schmelzen von Hochpolymeren

Zusammenfassung Die Modelle der ideal verdünnten Lösung und des unendlichen Netzes (Bueche) werden besprochen; für praktische Fälle werden die Modelle verdünnte Lösung mit Gelteilchen und unendliches Netz mit Verhängungsbereichen vorgeschlagen und diskutiert. Es wird eine Methode angegeben, aus dem Übergangspunkt verdünnte Lösung unendliches Netz den Verknäuelungsparameter Am auszurechnen.Einleitungsvortrag anläßlich der Arbeitstagung der Sektion Rheologie des Vereins Österreichischer Chemiker am 28. September 1965 in Graz.     

Diffusion mit überlagerter reibungsbehafteter Strömung

Zusammenfassung Es wird eine allgemeine Differentialgleichung für den Massen- oder Mengenstrom im Fall einer Überlagerung von Diffusion und reibungsbehafteter Strömung, d.h. bei gleichzeitiger Änderung des Gesamtdruckes und der Partialdrücke über den Weg, für den stationären (und quasistationären) Fall abgeleitet. Die sich ergebenden gekoppelten Differentialgleichungen können näherungsweise analytisch gelöst werden.Bei den Überlagerungen wurde allein von Gas-(Fickscher) Diffusion ausgegangen. Unberücksichtigt blieben auch sekundäre Diffusionströme, so durch Druck- u. Thermodiffusion und in anderen Kraftfeldern. Damit wird an zwei Beispielen — einseitige Diffusion (Verdunstung) und Adsorption in porösen Stoffen — gezeigt, daß die Annahme reibungsfreier konvektiver Ausgleichsströmungen bei der Diffusion in porösen Körpern mit engen Poren nicht zulässig ist. Vielmehr treten am Ort der Entstehung des Diffusionsstromes (Verdunstungsspiegel) bzw. in der Adsorptionsfront Änderungen des Gesamtdruckes auf, die zu zusätzlichen Strömungen führen und Rückwirkungen auf den Massenstrom besitzen. Neben der Höhe der Konzentrationen ist für die Größe des Effektes allein das Verhältnis der Transportkoeffizienten für Strömung und Diffusion maßgebend. Der Effekt macht sich bei hohen Konzentrationen der diffundierenden Komponente deutlich bemerkbar, bei niedrigen ist er — wie zu erwarten — zu vernachlässigen.

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Diffusion of superimposed frictional flow

A general differential equation for a mass and volume flow will be derived for the case of diffusion superimposed frictional flow, that means, at simultaneously varying total and partial pressures along the path, for the stationary and quasi-stationary states. The resulting coupled differential equations can be analytically treated for an approximate solution.The conception was based entirely upon (Fick's) gas diffusion. Secondary diffusional flows were neglected, like pressure and thermal diffusions, or those caused by other potential gradients. Two examples, the diffusion through a stagnant gas film (evaporation by diffusion), and the adsorption in porous material exemplify that assuming a frictionless convective arbitration flow is invalid in the case of diffusion within porous structures of narrow pores. Adequately, at the source of the diffusional flow (mirror of diffusional evaporation), respectively within the adsorption front, changes in total pressure arise, causing additional flows acting upon the mass flow. The scope of the effect depends entirely upon the extents of the concentration and the ratio of transport coefficients of the flow and diffusion. The effect increases noticeably at elevated concentration of the diffusing components, while it gets negligible at lower concentration, as to be expected.

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Formelzeichen c Konzentration [kmol/m³] - d _p Porendurchmesser - bezogener Diffusionsstrom - f Querschnittsfläche - bezogener Strom - M relative Molmasse - Mengenstromdichte - P Druck - R _a Radius eines kugelförmigen Partikels - s Diffusionsweg - t Zeit - v Geschwindigkeit des konv. Stroms - w _Fr Frontgeschwindigkeit - x Variable des Weges - X Beladung des Adsorbens [kmol/kg] - Z, z Variable, s. Gl. (23), Gl. (29) Griechische Buchstaben (X) Kapazitätsfaktor - Verhältnis der Transportkoeffizienten _lam/ _D - Diffusions- bzw. äquivalenter Transportkoeffizient - freie Weglänge - dynamische Zähigkeit - Tortuositätsfaktor - Dichte - Lage der Adsorptionsfront - Porosität des Adsorbens Indices o Bezugsgröße bzw. vorgegebener Wert der Größe im Gas - e einseitig - D Dampf, diffundierende Komponente - L Luft, aufnehmendes Gas - lam laminare Strömung - s Feststoff - in der Adsorptionsfront     

The behavior of a spherical bubble near a solid wall in a compressible liquid

Summary The behavior of a spherical bubble near a solid wall is analysed by considering the liquid compressibility. The equation of motion of the bubble with first order correction for the effects of liquid compressibility and solid wall is derived. The equation obtained here coincides with the known result in case of L or C . Further experimental study is made on the motion of bubbles produced by a spark discharge in water. The theoretical results are in good agreement with the experiments.

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Das Verhalten einer kugelförmigen Blase in einer kompressiblen Flüssigkeit in der Nähe einer festen Wand

Übersicht Bei Berücksichtigung der Flüssigkeitskompressibilität wird das Verhalten einer kugelförmigen Blase in der Nähe einer festen Wand analysiert. Die Gleichung der Bewegung der Blase wird mit der Korrektur erster Ordnung für den Einfluß der Flüssigkeitskompressibilität und der festen Wand angegeben. Aus der erhaltenen Gleichung wird für L oder C das bekannte Ergebnis hergeleitet. Darüber hinaus wird eine experimentelle Untersuchung der Blasenbewegung durchgeführt. Die Blase wird mit Hilfe von Funkendurchschlägen zwischen Elektroden in Wasser erzeugt. Die theoretischen Ergebnisse stimmen gut mit den Experimenten überein.

     

Ein Quadraturverfahren zur Berechnung der Reibungsschicht an axial angeströmten rotierenden Drehkörpern

Zusammenfassung Als Abschluß eines umfangreichen Programmes zur Berechnung der Strömung an angeblasenen rotierenden Rotationskörpern wird der bisher noch fehlende Fall turbulenter Strömung behandelt.Für die Berechnung der Impulsverlustaicken sowie des Drehmomentes konnten einfache Quadraturformeln erhalten werden, die für den laminaren Fall ebenfalls eine recht brauchbare Näherung darstellen. In den Formeln kommen nur die Verteilung des Körperhalbmessers und des Körperhalbmessers und die Geschwindigkeitsverteilung um den Körper vor. Es wird eine Abschätzung zur Bestimmung der Lage des Ablösungspunktes infolge der Drehbewegung des Körpers angegeben.Das Verfahren wurde erprobt an den Beispielen der rotierenden Scheibe, der Kugel, der Rotationsellipsoide und des räumlichen Halbkörpers. In allen Fällen wurde der Momentenbeiwert bei laminarer und turbulenter Strömung berechnet. Allgemein kann man zeigen, daß sich das Drehmoment bei konstant gehaltener Anströmungsgeschwindigkeit linear mit der Umfangsgeschwindigkeit ändert.Die vorliegende Arbeit stellt den zweiten Teil einer von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig angenommenen Habilitationsschrift mit dem Titel Die Strömung um rotierende Drehkörper bei axialer Anströmung dar. (Berichter Prof. Dr. H. Schlichting, Mitberichter Prof. Dr. H. Blenk.) Der erste Teil mit dem Titel Die turbulente Strömung an einer angeblasenen rotierenden Scheibe wird in der Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik erscheinen.Diese Untersuchungen wurden mit Unterstützung der Deutschen Forschungsgemeinschaft im Institut für Strömungsmechanik der T. H. Braunschweig ausgeführt.     

Interaction of spheres in a viscoelastic fluid

Summary The interaction between two identical spheres of radiusa in a second-order fluid is studied, if the undisturbed flow is a general homogeneous flow. WithR the (instantaneous) distance between the sphere centers only the situationa/R 1 is considered. It turns out that it is not sufficient to know thea/R-term of the perturbation velocity, since certain contributions of the (a/R)²-terms are also needed. For two spheres sedimenting in a quiescent fluid a change of the relative position vector is predicted: the distance decreases and so does the orientation, i.e. the spheres tend to fall along their line of centers. If the motion of the individual sphere is restrained via a rigid connection (rigid dumbbell) this change of orientation implies that the dumbbell rotates until its axis is parallel to the direction of the applied force (stable orientation). In simple shear the first-order dumbbell (a/R-terms due to interaction) ultimately ends up in the plane normal to the gradient direction, independent of the rate of shear. This contrasts the behavior of a second-order dumbbell: if the symmetry axis lies in the plane of flow it will rotate around the vorticity axis at small rates of shear. Increasing the shear rate this dumbbell reaches a spinfree terminal state in which the angle between the symmetry axis and the flow direction is non-zero (although it is small). It is conjectured that for arbitrary initial orientations (not in the flow plane) the axis of the second-order dumbbell will not rotate in the Jeffrey orbits but rather show a systematic drift to become oriented parallel to the vorticity axis.

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Zusammenfassung Die Wechselwirkung zweier identischer Kugeln vom Radiusa in einer beliebigen homogenen Strömung einer Flüssigkeit zweiter Ordnung wird untersucht. MitR dem (augenblicklichen) Abstand der Kugelzentren beschränken wir uns auf die Situationa/R 1. Es zeigt sich, daß es nicht genügt, diea/R-Glieder der Störungsgeschwindigkeit zu kennen, da einige Beiträge der (a/R)²-Terme ebenso benötigt werden. Für zwei in einer ruhenden Flüssigkeit sedimentierende Kugeln wird eine Änderung der relativen Position vorausgesagt: der Abstand verkleinert sich, und das gleiche gilt für die Orientierung, d. h. die Kugeln streben die Situation, hintereinander zu fallen, an. Schränkt man die Bewegung der individuellen Kugeln durch eine starre Verbindung ein (starre Hantel), so zieht diese Orientierungsänderung eine Rotation nach sich, die die Hantelachse parallel zur Richtung der angreifenden Kraft ausrichtet (stabile Orientierung). Bei einer einfachen Scherung wandert unabhängig von der Schergeschwindigkeit die Achse einer Hantel erster Ordnung (die nur die Wechselwirkungsgliedera/R enthält) in der Ebene, deren Normale in Gradientenrichtung zeigt. Damit verhält sie sich völlig anders als eine Hantel zweiter Ordnung: Liegt bei letzterer die Symmetrieachse in der Strömungsebene, so rotiert diese bei kleinen Schergeschwindigkeiten um eine Achse senkrecht zur Strömungsebene. Bei einer Vergrößerung der Schergeschwindigkeit wird dagegen eine rotationsfreie Lage erreicht, bei der die Hantelachse unter einem kleinen Winkel zur Strömungsrichtung steht. Bei einer beliebigen Anfangsorientierung (außer in der Strömungsebene) schließen wir auf eine Wanderung der Achse einer Hantel zweiter Ordnung, bis diese parallel zur indifferenten Richtung steht.

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With 5 figures     

Kritische Drehzahlen und Biegeschwingungen kontinuierlich besetzter Wellen bei verschiedenen Lagerungen

Zusammenfassung Für eine gleichmäßig kontinuierlich besetzte Welle konstanter Biegesteifigkeit werden die kritischen Drehzahlen des synchronen Gleich- und Gegenlaufs und die Eigenfrequenzen der Biegeschwingungen berechnet, und zwar für vier verschiedene Lagerungsarten (fliegend gelagerte Welle; zweifach kugelig gelagert; ein Wellenende eingespannt, das andere kugelig gelagert: zweifach eingespannt). Die genauen Ergebnisse für die Grundfrequenz bis einschließlich der dritten Oberfrequenz sind graphisch dargestellt und lassen den Einfluß der Trägheitsmomente und der Lagerungsart erkennen. Für die höheren Frequenzen werden Näherungsformeln mitgeteilt, so daß das gesamte Frequenzspektrum erfaßt wird.Vorliegende Arbeit entstand auf Anregung von Prof. Dr. H. Neuber, Lehrstuhl für Technische Mechanik der Technischen Hochschule München.     

Hall effects on the oscillatory MHD flow through porous medium in a rotating fluid

Taking Hall currents into account the unsteady magnetohydrodynamical flow through a porous medium bounded by an infinite vertical limiting surface in a rotating frame of reference is theoretically investigated when a strong magnetic field is imposed in a plane which makes an angle a with the normal to the plate. The influence of Hall currents on the velocity and temperature distribution are shown graphically for various values of .

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Hall-Effekte in oszillierender magnetohydrodynamischer Strömung durch ein poröses Medium in einer rotierenden Flüssigkeit

Zusammenfassung Bei der Betrachtung von Hallströmen wird die unstetige magnetohydrodynamische Strömung durch ein poröses Medium, begrenzt durch eine unendlich lange senkrechte Fläche in einem rotierenden Rahmen, für den Fall theoretisch untersucht, daß ein starkes magnetisches Feld in einer Ebene, die den Winkel a mit der normalen auf die Fläche einschließt, angelegt wird. Der Einfluß der Hallströme auf die Geschwindigkeit und die Temperaturverteilung wird für verschiedene Werte von graphisch dargestellt. Wärme- und Stofflibertragung 23 (1988)

     

Free convection above a horizontal circular disk in a saturated porous medium

The boundary-layer flow above a horizontal impermeable circular disk embedded in a saturated porous medium is considered in the cases both when the disk is held at a constant temperature above ambient and when heat is supplied to the convective fluid by the disk at a constant rate. Series solutions are obtained based on the flat plate solution, which holds at the edge of the disk, as the leading order terms. These series solutions can then be used to describe the flow nearly all the way across the disk. A simple approximate solution, based on an integrated form of the energy equation, is also obtained and is shown, for the constant wall temperature case, to be useful in indicating how the solution behaves near the centre of the disk. The solutions asr0, wherer measures distance from the centre is discussed in both cases, and it is shown that the solution develops a singularity with the boundary layer having a thickness of 0[(–logr)^1/2].

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Freie Konvektion über einer waagerechten Kreisscheibe in einem gesättigten porösen Medium

Zusammenfassung Es wird die Grenzschicht über einer waagerechten undurchlässigen Kreisscheibe, die in einem gesättigten porösen Medium eingebettet ist, untersucht. Zwei Möglichkeiten werden betrachtet: bei der einen ist die Oberflächentemperatur der Scheibe konstant, aber größer als die der Umgebung, bei der anderen ist die Scheibe gleichförmig beheizt. Es werden Lösungen in Form von Reihenentwicklungen erzielt, wobei die ersten Glieder den Lösungen einer ebenen Platte entsprechen, die an dem Rand der Scheibe gültig sind. Danach werden diese Lösungen zur Beschreibung der Bewegung der Flüssigkeit über einen großen Bereich der Scheibe benutzt. Eine einfache Lösung für den Fall der konstanten Wandtemperatur wird durch Integration der Energiegleichung erhalten und zur Beschreibung des Verhaltens der Lösung in der Nähe der Scheibenmitte verwendet. Man untersucht die Lösung fürr0 in beiden betrachteten Fällen, wobeir der Abstand von der Scheibenmitte ist. Bei einer Dicke von 0[(–logr)^1/2] der Grenzschicht weist die Lösung eine Singularität auf.

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Nomenclature a radius of disk - g acceleration due to gravity - K permeability of the porous medium - k thermal conductivity - q prescribed wall heat flux - Q (non-dimensional) heat transfer coefficient - r, coordinate measuring distance from the centre of the disk - R _a,R _a ^* Rayleigh number - T temperature of the convective fluid - T ₀ ambient temperature - T ₁ prescribed wall temperature - u Darcy's law velocity in ther-direction - V _w (non-dimensional) wall velocity - w Darcy's law velocity in thez-direction - x coordinate measuring distance from the edge of the disk - z, coordinate measuring distance normal to the disk - equivalent thermal diffusivity - coefficient of thermal expansion - non-dimensional temperature - _w (non-dimensional) wall temperature - viscosity of the convective fluid - stream-function - stream function at the edge of the boundary layer     

Einsetzen der Konvektion in einer von unten gekühlten Wasserschicht bei Temperaturen unter 4° C

The onset of convection was analytically and experimentally investigated for a horizontal water layer cooled from below. The water temperature varied from 0°C to 20°C. The neutral stability curves, predicted for different boundary conditions, are described by three parameters, the Rayleigh-Number Ra, the Nonlinearity N and the Biot-Number Bi. The Nonlinearity N considers the deviation of the real density-distribution from a linear distribution, the case of the well known Benard-problem. The experimental results are in good agreement with the predicted values.

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Einsetzen der Konvektion in einer von unten gekühlten Wasserschicht bei Temperaturen unter 4° C

Zusammenfassung Das Einsetzen der Konvektion in einer horizontalen von unten gekühlten Wasserschicht im Temperaturbereich 0°C bis 20°C wird analytisch und experimentell untersucht. Die, für verschiedene Randbedingungen an den beiden Begrenzungsflächen, berechneten Stabilitätsgrenzen werden durch drei Parameter, die Rayleigh-Zahl Ra, die Nichtlinearitat N und die Biot-Zahl Bi vollstandig beschrieben. Die Nichtlinearitat N ist ein Maß für die Abweichung des tatsachlichen Dichteverlaufs von einem der Temperatur proportionalen Dichteverlauf, wie er beim klassischen Bénard-Problem vorliegt. Die experimentellen Ergebnisse stimmen mit den berechneten Werten sehr gut überein.

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Bezeichnungen a Temperaturleitfähigkeit - b Wellenzahl - E,F,G Störfunktionen - g Erdbeschleunigung - H Höhe der Wasserschicht - k=(0,0,-1) Einheitsvektor - p Druck - q Wärmestromdichte - t Zeit - T Celsiustemperatur - Geschwindigkeitsvektor - Langenvektor - kinematische Viscosität - Dämpfungsfaktor - Dichte - =z/H dimensionslose Höhe - =tl Laplace-Operator - xy zweidimensionaler Laplace-Operator - tl Nabla-Operator - Bi Biot-Zahl - N Nichtlinearität - Ra Rayleigh-Zahl Indizes ungestörte Größe - * Störgröße - Vektor - 0 Bezugsgröße - K Konvektionsbeginn - G Gefrierbeginn - U Umgebung - 1 Wasserunterseite - 2 Wasseroberseite     

Boiling heat transfer performance of plain and porous tubes in falling film flow of refrigerant R114

The falling film flow characteristic and heat transfer performance of four types of commercially available porous tubes (High flux tube by Union Carbide, Gewa-T, Wieland, Thermoexcel-E and -EC by Hitachi) were compared with an ordinary sand-blasted tube and a plain copper tube. The test evaporator consisted of a single 2 m vertical tube. The evaporating liquid was refrigerant R 114 flowing down the outside of the test tube. Flow observations were made by high-speed photography. Nucleate boiling was dominant in all the tests with porous surfaces. No boiling hysteresis was observed. All structured surfaces showed an excellent performance compared with plain tube.Thermoexcel-E had the highest heat transfer coefficient, 12 times better than smooth tube. Ordinary sand-blasted tube could not compete with porous surfaces. Its performance during surface evaporation was nevertheless 1.4 to 1.8 times and during nucleation 1.7 times higher.

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Wärmeübergang beim Sieden in vertikaler Rieselfilm-Strömung für glatte und poröse Rohre mit Kältemittel R114

Zusammenfassung Die Charakteristik und der Wärmeübergang in einer Riesel-Film-Strömung für vier verschiedene kommerzielle Rohre mit porösen Oberflächen (High flux-Rohr von Union Carbide, Gewa-T von Wieland, Thermoexcel-E und -EC von Hitachi) wurden mit einem gewöhnlichen ebenen und einem sandbestrahlten Rohr verglichen. Der Versuchsverdampfer war ein einzelnes vertikales Rohr, 2 m lang. Die siedende Flüssigkeit war das Kältemittel R114 und strömte abwärts entlang der Außenfläche. Strömungsbeobachtungen wurden mit der Hochgeschwindigkeits-Kinematographie gemacht. Blasensieden war vorherrschend in allen Versuchen mit porösen Oberflächen. Es wurde keine Hysterese beobachtet. Alle strukturierten Flächen zeigten einen hervorragenden Wärmeübergang im Vergleich zur glatten Fläche. Thermoexcel-E hatte den besten Wärmeübergangskoeffizienten, 12mal besser als die glatte Fläche. Sandgestrahltes Rohr konnte nicht mit porösen Rohren konkurrieren. Jedoch war die Leistung bei konvektiver Verdampfung 1,4-bis l,8mal und bei Blasensieden l,7mal höher als für die glatte Oberfläche.

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Nomenclature C constant in Eq. (1) - d diameter, m - h heat transfer coefficient, W/m² K - L evaporation length, m - m mass flowrate, kg/s - n exponent in Eq. (1) - Pr Prandtl number - q heat flux density, W/m² - Re Reynolds number=4m/d - T temperature, K - T temperature difference, K - thermal conductivity, W/Km - kinematic viscosity. m²/s - g gravity acceleration, 9.81 m/s² - h* ( ²/g ³)^1/3 h nondimensional heat transfer coefficient - dynamic viscosity, kg/ms     

Verschiedene Phänomene in Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten durch Düsen

Zusammenfassung In Fortsetzung einer vorangegangenen Untersuchung über nicht-lineare Effekte beim Strömen viskoelastischer Flüssigkeiten durch Düsen werden drei verschiedene Phänomene behandelt:Zuerst wird gezeigt, daß Luftblasen und Feststoffteilchen, die in solchen Flüssigkeiten suspendiert sind in vielen Fällen nicht durch die Düse hindurchgehen. sondern seitlich auswandern und sich in den Zirkularströmungszonen anreichern. Dieser Effekt wird durch die Inhomogenität des Spannungsfeldes im Einströmbereich gedeutet.Anschließend wird die zuerst vonMetzner u. Mitarb. an Lösungen sehr hochmolekularer Polymerer beim Einströmen beobachtete Trübung genauer analysiert und insbesondere gezeigt, daß diese nicht vom Druck an der Auslaufseite abhängt. Hierdurch wird die Vermutung, daß es sich um einen Entgasungseffekt infolge lokalen Unterdrucks handeln könnte, als unhaltbar erwiesen, und es wird wahrscheinlich gemacht, daß die Ursache in einer reversiblen Aggregation der parallel gerichteten, gestreckten Molekülketten zu suchen ist.Endlich wird die Ausströmung aus Lochdüsen in ein Flüssigkeitsreservoir hinein untersucht. Im Widerspruch zu gewissen theoretischen Voraussagen beobachtet man hier keine Zirkulationszonen, sondern eine überall auswärts gerichtete, von der Mitte zum Rand hin monoton abnehmende Strömung, die — abgesehen von einer Krümmung der Stromlinien in unmittelbarer Nähe der Düsenöffnung — nur wenig von der schleichenden Strömung einerNewtonschen Flüssigkeit abweicht. Bei hohen Durchsätzen tritt allerdings ein von den Instabilitätsphänomenen inNewtonschen Flüssigkeiten wesentlich verschiedener Umschlag in eine ganz andere Strömungsform ('bäumchenartige Strömung) auf, die der bei Freistrahlen beobachteten 'Zwiebelablösung korrespondiert. Diese wird ebenfalls durch die vor der Düse gebildeten Aggregationen und deren endliche Zerfallszeit gedeutet. Es wird einsichtig gemacht, warum die Approximationstheorie, welche für Einlaufströmungen durchaus vernünftige Voraussagen liefert, für Auslaufströmungen versagen muß.

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Summary In continuation of a preceding investigation of non-linear effects in viscoelastic flow through dies three different phenomena are analyzed:First it is shown that air bubbles and solid particles, suspended in such fluids, in many cases do not pass through the die, but migrate laterally and accumulate in the neighbouring circulation zones. This effect is explained by the inhomogeneity of the stress field in the inflow area.Subsequently the haze, first observed byMetzner et al. in the inflow zone with solutions of long-chain polymers, is studied particularly, and it is shown that its intensity does not depend on pressure at the outflow side. Hereby the suggestion that this haze should be a degassing phenomenon due to local pressure reduction below atmospheric is shown to be maintainable no longer, and it is pointed out as being very likely to originate from a reversible aggregation of parallelized, elongated chain molecules.Finally, discharge out of holes into a fluid reservoir is studied. In contradiction to certain theoretical predictions, a flow everywhere directed outwards and monotonously decreasing from the midst to the walls with no circulation areas at all is observed which only deviates from slowNewtonian, flow by some curvature of stream lines near the outlet. With high flow rates, however, a transition occurs into a quite different flow type (tree-like outflow) which is characteristically divergent from instability phenomena inNewtonian fluids but corresponds to onion slide-down in free jets. This is also explained by aggregation before entering the die and its finite decay time. It is elucidated why approximation theory, which provides reasonable predictions for inflow, must fail for discharge flow.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin vom 20.–22. Mai 1968

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Für Entwurf und Bau der Versuchsapparaturen sei HerrnH. Stollorz, für die Durchführung der Experimente HerrnH. Pickelin herzlich gedankt.     

Berechnung des Temperaturfeldes um eine im Erdboden verlegte Punkt- und Linienquelle bei Randbedingung III. Art an der Erdoberfläche

Zusammenfassung Für den Fall, daß sich in einem halbunendlichen Körper in der Tiefe L eine Punkt- bzw. Linienquelle befindet und daß an der Oberfläche des Körpers ein örtlich und zeitlich konstanter Wärmeübergangskoeffizient herrscht, wird das stationäre Temperaturfeld analytisch berechnet. Beim Vergleich mit einer Näherungslösung (Hilfsschicht) zeigt sich, daß nicht so sehr die Biot-Zahl Bi= · L/ als vielmehr der größte Winkel zwischen Wandnormale und Wärmestromdichte in der Hilfsschicht ein Maß für die Genauigkeit der Näherungslösung ist.

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Calculation of the temperature field around a buried point- and linesource, respectively, when the boundary condition is Newton's law

The steady state temperature field in a semiinfinite body caused by a buried point- and linesource, respectively, has been analytically calculated. The comparison with a simple approach (additional-layer) shows that the greatest angle between the normal of the wall and the heat flux density in the additional-layer, describes the quality of the approach better than the Biot-number Bi=L/ does.

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Formelzeichen A Fläche - Bi Biot-Zahl - C Eigenwertfunktion - E₁ Exponentialintegral - exp Exponentialfunktion - i komplexe Einheit - J₀ Besselfunktion nullter Ordnung und 1. Grades - L Verlegungstiefe der Punkt- bzw. Linienquelle - Q Quellstärke - r Radius - Re Realteil eines Ausdruckes - T Temperatur - t Integrationsvariable - x, y, z Ortskoordinaten - Wärmeübergangskoeffizienten an der Erdoberfläche - Laplace-Operator - Wärmeleitfähigkeit des Erdbodens - dimensionslose Temperatur - Integrationsvariable - dimensionsloser Radius - komplexe Ortskoordination Indizes 0 Erdoberfläche, senkrecht über der Quelle - 1 Lösung für das 1. Randwertproblem - 3 Lösung für das 3. Randwertproblem - 13 Zusatzfunktion - w Erdoberfläche - Umgebungstemperatur - Näherungslösung     

Rayleigh-Bénard-Konvektion in Rohrbündeln-Experimentelle Überprüfung eines einfachen Modells-

Übersicht Für die freie Konvektion in den Rohren eines senkrechten Rohrbündels wurde kürzlich eine sehr einfache analytische Lösung mitgeteilt [1]. Zur Überprüfung der Ergebnisse sind inzwischen Versuche an einer kleinen Laborapparatur mit zwei und mit drei parallelen senkrechten Rohren durchgeführt worden. Numerische Berechnungen, die gleichzeitig von Merker für Bündel paralleler Spalte mit adiabater Wand ausgeführt wurden, bestätigen die Ergebnisse der einfachen Theorie. In der Laborapparatur ließ sich aber die im analytischen Modell zunächst gewählte Randbedingung adiabate Rohrwand nicht realisieren. Daher wurde der Wärmetransport über die Rohrwand an die umgebende, in einer adiabaten Hülle eingeschlossene Luft näherungsweise mit einem konstanten Wärmedurchgangskoeffizienten berücksichtigt. Auch dafür läßt sich noch eine geschlossene analytische Lösung angeben. Die kritische Rayleighzahl wächst danach mit zunehmendem Wärmetransport durch die Rohrwände. Unsere Meßergebnisse bestätigen diese erweiterte Theorie.

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Convective heat transfer in a parallel plate channel with porous lining

The paper proposes a theoretical model for the study of flow and heat transfer in a parallel plate channel, one of whose walls is lined with non-erodible porous material, both the walls being kept at constant temperatures. The analysis uses Brinkman model in the porous medium and employs the velocity and temperature slips at the interface (the so called nominal surface). The influence of the thickness as well as the permeability of the porous medium on the flow field and Nusselt numbers at the walls is investigated.

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Konvektive Wärmeübertragung in einem Parallelplattenkanal mit porösem Überzug

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit dem Vorschlag eines theoretischen Modells, um die Wärmeübertragung in einem Parallelplattenkanal mit unauswaschbarem porösem Überzug zu studieren. Die Strömung innerhalb des porösen Überzugs ist mit Hilfe der Brinkmannschen Gleichung analysiert. An der Grenze (der sogenannten Nominalfläche) zwischen dem Überzug und der freien Strömung sind die Geschwindigkeitsgleitung und die Temperaturgleitung benutzt. Die Beeinflussung des Geschwindigkeitsfelds und die Nusseltschen Zahlen an den Wänden in Abhängigkeit von der Dicke und der Durchlässigkeit des porösen Überzugs ist untersucht.

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Nomenclature u streamwise velocity in Zone 1 (Fig. 1) - û streamwise velocity in Zone 2 (Fig. 1) - p pressure - coefficient of viscosity of the fluid - k absolute permeability of the material used for lining - density of the fluid - R Reynolds number - the average velocity in Zone 1 (Fig. 1) - T temperature in Zone 1 (Fig. 1) - T temperature in Zone 2 (Fig. 1) - K thermal conductivity in Zones 1 and 2 (Fig. 1) - M ₁ non-dimensional mass flow rate in Zone 1 (Fig. 1) - M ₂ non-dimensional mass flow rate in Zone 2 (Fig. 1) - (Nu)_U Nusselt number at the upper plate (Fig. 1) - (Nu) _L Nusselt number at the lower plate (Fig. 1) - _E experimental value of the temperature in the channel (with porous lining) at a specified point - _E/* experimental value of the temperature in the channel (without porous lining) at a specified point     

Zur Formulierung der Randbedingungen in Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten mit Injektion und Absaugung an den Wänden

Zusammenfassung Es wird die Strömung einerOldroyd-Flüssigkeit B im Spalt zwischen zwei parallel angeordneten, in ihrer eigenen Ebene stationär bewegten Platten analysiert unter der zusätzlichen Bedingung, daß an einer der Platten eine räumlich und zeitlich konstante Injektion und an der anderen eine entsprechende Absaugung erfolgt. Zur Formulierung angepaßter Randbedingungen wird das Problem in der Weise idealisiert, daß der ganze Raum als mit Flüssigkeit gefüllt betrachtet wird und anstelle der Plattenberandungen zwei gleichmäßig mit Flächenkräften belegte Ebenen angeordnet sind. Für diese Ebenen werden Anschluß- und Sprungbedingungen bestimmt, und es wird die Existenz von asymptotischen Werten der Geschwindigkeit auf beiden Plattenseiten postuliert. Diese Bedingungen reichen aber im allgemeinen nicht zur vollständigen Bestimmung des Problems aus, sondern es muß bezüglich der Injektionsplatte noch die Bedingung der Rückwärtsabschirmung hinzugefügt werden.Die Lösungen des so definierten Problems werden in dimensionsloser Form angegeben und diskutiert. Dabei wird besonders auf den Spezialfall verschwindender Retardation (Maxwell-Oldroyd-Flüssigkeit B) eingegangen, denn in diesem Fall führen die Randbedingungen zu Sprüngen in der Geschwindigkeit, und beim Überschreiten einer kritischen Absauggeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit) ändert sich das Strömungsfeld unstetig in bemerkenswerter Weise.Weiterhin wird einsichtig gemacht, daß das Problem im allgemeinen nicht mit einer Approximation für langsame Strömungen (Rivlin-Ericksen-Flüssigkeit) zu lösen ist, sondern nur in dem Spezialfall, daß die Injektionsfläche ins Unendliche rückt. In diesem Fall werden Lösungen für eine Approximation zweiter Ordnung angegeben und mit den strengen Lösungen verglichen.In zwei Anhängen werden schließlich die in der Untersuchung auftretenden Ausdrücke für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Transversalwellen und für den Deformationsverlauf beim Kriech- und Kriecherholungsversuch kurz abgeleitet.

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Summary The problem of flow of anOldroyd fluid B between two parallel plates, both moving steadily in their own planes, is analysed. Additionally it is assumed that the fluid is injected with uniform and constant velocity at one plate and is sucked at the other. In order to formulate the boundary conditions in an appropriate manner the problem is idealized in such a way that the whole space is taken to be filled with fluid and instead of porous plates there are two singular planes with uniformly distributed forces. For these planes matching and jump conditions are stated and the existence of asymptotic velocities on both sides are postulated. But, in general, these conditions are not sufficient for the solution of the problem and a further condition, namely that of back-shielding at the plate with injection, has to be introduced.The solutions of the above defined problem are given in dimensionless form and discussed in detail. Emphasis is laid on the special case with vanishing retardation (Maxwell-Oldroyd fluid B) because the boundary conditions result here in jumps in velocity, and when a critical value of suction velocity (velocity of sound) is attained the flow field changes its character unsteadily in a remarkable manner.Further it is elucidated that the problem in general cannot be solved by the method of approximation for slow flows (Rivlin-Ericksen fluid) but only in that particular case in which the injectional area is taken to be at infinity. For this case solutions for second-order approximation have been given and are compared with the exact solutions.Finally, in two appendices, the expressions for the velocity of propagation of transversal sound waves and for the slope of deformation in the so-called creep and creep-recovery experiment respectively, which are used in the above investigation, are derived in short.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Bad Münster a. Stein vom 28.–30. Mai 1969.