Über die Mittel stochastisch unabhängiger Funktionen

Для данного числаK, 1≦K≦∞, обозначимΩ(K) клас с последовательносте йφ={φ _k (x)} стохастически незав исимых на (0,1) функций, дл я которых выполнены условия: $$\int\limits_0^1 {\varphi _k (x)dx = 0,} \int\limits_0^1 {\varphi _k^2 (x)dx = 1, |\varphi _k (x)|} \leqq K(x \in (0,1);k = 1,2, \ldots ).$$ Пусть, далее,λ={λ _n } —по следовательность со свойствами $$0< \lambda _1< \ldots< \lambda _n< \ldots ,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \lambda _n = \infty ,$$ иМ (λ;K) — множество числ овых последовательн остейa={a _k } _k=1 ^∞ , для которых по сле-довательности средних $$\frac{1}{{\lambda _n }}\mathop \sum \limits_{k = 1}^n a_k \varphi _k (x)(n = 1,2, \ldots )$$ сходятся к нулю почтя всюду на (0,1) для всех сис темφ∈Ω(K). В статье, в частности, п утем применения одно го метода Б. С. Кашина, доказываетс я, что для каждогоK, 1 <-K<∞, в ыполнено равенствоM(λ; K)=М(λ; 1).     

Some approximation theorems for modified Bernstein-Durrmeyer operators

The modified Bernstein-Durrmeyer operators discussed in this paper are given byM_nf≡M_n(f,x)=(n+2)P_(n,k)∫_0~1p_n+1.k(t)f(t)dt,whereWe will show,for 0<α<1 and 1≤p≤∞     

On a strengthened extremal property of the Carathéodory-Fejér functions

Для заданной на едини чной окружности огра ниченной функцииω(ξ) рассматр ивается усложненная задача а ппроксимации аналит ическими функциями: $$\mathop {\inf }\limits_{\varphi \in H^\infty } \left[ {\left\| {\omega - \varphi } \right\| + \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \varepsilon _k \left| {\lambda _k } \right|} \right],$$ где ∥·∥ понимается вL ^∞,ε _k ≧0 — заданные чис ла, $$\mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \varepsilon _k< + \infty ,\varphi (z) = \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \lambda _k z^k .$$ Доказывается, что при всех достаточно малы хε _k экстремальной в этой задаче будет функция обычного наилучшего приближения (та же, что и приε _k =0,k=0, 1, ...). В частности, при $$\omega (\zeta ) = \frac{{\gamma _0 }}{{\zeta ^n }} + \frac{{\gamma _1 }}{{\zeta ^{n - 1} }} + ... + \frac{{\gamma _{n - 1} }}{\zeta }$$ экстремальной оказы вается дробь Каратео дори—Фейера. Переход к двойственн ой задаче позволяет получить т очные оценки для клас са интегралов типа Коши, выделяемого огранич ениями, наложенными на велич ины коэффициентов ря да Тейлора.     

On linear summation methods of Fourier series

Получены новые оценк иL-нормы тригонометр ических полиномов $$T_n (t) = \frac{{\lambda _0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \lambda _k \cos kt$$ в терминах коэффицие нтовλ _k и их разностейΔλ _k=λ _k?λ _k?1: (1) $$\mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi |T_n (t)|dt \leqq \frac{c}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |\lambda _\kappa | + c\left\{ {x(n,\varphi )\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \Delta \lambda _\kappa \mathop \sum \limits_{l = 0}^n \Delta \lambda _l \delta _{\kappa ,l} (\varphi )} \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} ,$$ где $$\kappa (n,\varphi ) = \mathop \smallint \limits_{1/n}^\pi [t^2 \varphi (t)]^{ - 1} dt, \delta _{k,1} (\varphi ) = \mathop \smallint \limits_0^\infty \varphi (t)\sin \left( {k + \frac{1}{2}} \right)t \sin \left( {l + \frac{1}{2}} \right)t dt,$$ a ?(t) — произвольная фун кция ≧0, для которой опр еделены соответствующие инт егралы. Из (1) следует, что методы $$\tau _n (f;t) = (N + 1)^{ - 1} \mathop \sum \limits_{k = 0}^{\rm N} S_{[2^{k^\varepsilon } ]} (f;t), n = [2^{N\varepsilon } ],$$ являются регулярным и для всех 0<ε≦1/2. ЗдесьS _m (f, x) частные суммы ряда Фу рье функцииf(x). В статье исследуется многомерный случай. П оказано, что метод суммирования (о бобщенный метод Рисса) с коэффиц иентами $$\lambda _{\kappa ,l} = (R^v - k^\alpha - l^\beta )^\delta R^{ - v\delta } (0 \leqq k^\alpha + l^\beta \leqq R^v ;\alpha \geqq 1,\beta \geqq 1,v< 0)$$ является регулярным, когда δ > 1.     

A Tauberian theorem for ℓ-adic sheaves on \mathbb{A} 1

Let K ∈ L ¹(?) and let f ∈ L ^∞(?) be two functions on ?. The convolution $$ \left( {K*F} \right)\left( x \right) = \int_\mathbb{R} {K\left( {x - y} \right)f\left( y \right)dy} $$ can be considered as an average of f with weight defined by K. Wiener’s Tauberian theorem says that under suitable conditions, if $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {K*F} \right)\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \int_\mathbb{R} {\left( {K*A} \right)\left( x \right)} $$ for some constant A, then $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = A $$ We prove the following ?-adic analogue of this theorem: Suppose K, F, G are perverse ?-adic sheaves on the affine line $ \mathbb{A} $ over an algebraically closed field of characteristic p (p ≠ ?). Under suitable conditions, if $ \left( {K*F} \right)|_{\eta _\infty } \cong \left( {K*G} \right)|_{\eta _\infty } $ , then $ F|_{\eta _\infty } \cong G|_{\eta _\infty } $ , where η _∞ is the spectrum of the local field of $ \mathbb{A} $ at ∞.     

On the strong summation of Fourier series with variable exponents

Пустьf 2π-периодическ ая суммируемая функц ия, as _k (x) еë сумма Фурье порядк аk. В связи с известным ре зультатом Зигмунда о сильной суммируемости мы уст анавливаем, что если λn→∞, то сущес твует такая функцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _{2n} } } \right\}^{1/\lambda _{2n} } = \infty .$$ Отсюда, в частности, вы текает, что если λn?∞, т о существует такая фун кцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } } \right\}^{1/\lambda _n } = \infty .$$ Пусть, далее, ω-модуль н епрерывности и $$H^\omega = \{ f:\parallel f(x + h) - f(x)\parallel _c \leqq K_f \omega (h)\} .$$ . Мы доказываем, что есл и λ _n ?∞, то необходимым и достаточным условие м для того, чтобы для всехf∈H ^ω выполнялос ь соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _n } } \right\}^{1/\lambda _n } = 0(x \in [0;2\pi ])$$ является условие $$\omega \left( {\frac{1}{n}} \right) = o\left( {\frac{1}{{\log n}} + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right).$$ Это же условие необхо димо и достаточно для того, чтобы выполнялось соотнош ение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } = 0(f \in H^\omega ,x \in [0;2\pi ]).$$      

Steckin-marchaud-type inequalities in connection with bernstein polynomials

The purpose of this paper is to derive the estimate (0≤α≤2,n∈N,?(x)=[x(1?x)]^1/2) $$\omega _\alpha (n^{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} ,f) \leqslant M_\alpha n^{ - 1} \sum\limits_{k = 1}^n {\left\| {\varphi ^{ - \alpha } (B_k f - f)} \right\|} c$$ in terms of the modulus of continuity (of second order) $$\omega _\alpha (t,f): = \sup \{ \varphi ^{ - \alpha } (x)|\Delta _{h\varphi (x)}^ * f(x)|:x,x \pm h\varphi (x) \in [0,1],0< h \leqslant t\} $$ and the Bernstein polynomial B_nf for ?^?αf∈C[0,1].     

О последовательност ях сумм Фурье-Уолша ограниченных функци й

Let L^∞ denote the space of measurable 1-periodic essentially bounded functionsf(x) with ∥f∥=vrai sup ¦f(x)¦,S _k (f, x) thek-th partial sum of the Walsh-Fourier series off(x),L _k thek-th Lebesgue constant. The following theorem is proved. Theorem. Letλ={λ _K } be a sequence of nonnegative numbers, $$\left\| \lambda \right\|_1 = \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \lambda _k< \infty ,\left\| \lambda \right\|_2 = (\mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \lambda _k^2 )^{1/2} ,m = log[(\left\| \lambda \right\|_1 /\left\| \lambda \right\|_2 )]$$ .Then for an arbitrary function f∈L ^∞ the following inequalities hold true $$\begin{gathered} \left\| {\mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \lambda _k \left| {S_k (f,x)} \right|} \right\| \leqq \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \lambda _k (L_{[k2 - 2m]} + c)\left\| f \right\|, \hfill \\ \hfill \\ \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \lambda _k \left\| {S_k (f)} \right\| \leqq \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \lambda _k (L_{[k2 - m]} + c)\left\| f \right\| \hfill \\ \end{gathered} $$ , where[y] denotes integral part of a number y>0 and c is an absolute constant. A corollary of the above theorem is that for each functionfεL ^∞ the Lebesgue estimate can be refined for a certain sequence of indices, while the growth order of Lebesgue constants along that sequence can be arbitrarily close to the logarithmic one. “In the mean”, however, the Lebesgue estimate is exact. A further corollary deals with strong summability.     

О раэложении мероморфных функций специального вида на простейщие дроби

The paper is devoted to study the entire functions L(λ) with simple real zeros λ_k, k = 1, 2, ..., that admit an expansion of Krein’s type: $$\frac{1}{{\mathcal{L}(\lambda )}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{c_k }}{{\lambda - \lambda _k }}} ,\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {c_k } \right| < \infty } .$$ We present a criterion for these expansions in terms of the sequence {L′ (λ _k )} _k=1 ^∞ . We show that this criterion is applicable to certain classes of meromorphic functions and make more precise a theorem of Sedletski? on the annihilating property in L ² systems of exponents.     

Об операторе Кальдерона

The Calderon type operator $$Sx(t) = \int\limits_0^\infty {x(s)d\mathop {\min }\limits_{i = 0,1} \{ \varphi _i (s)/\Psi _\iota (t)\} } $$ is investigated from the point of view of its bounded action in symmetric spaces of measurable functions on [0, ∞), whereφ _i(t) andΨ _i(t) are concave positive functions on [0, ∞). The following assertions are proved. Theorem 1. Let 1) \(\alpha _{\varphi _1 } > \beta (E) \geqq \alpha (E) > \beta _{\varphi _0 } ,\) , 2)either \(\beta _{\psi _0 }< 1\) or \(\beta _{\psi 1}< 1\) ,where \(\alpha _{\varphi _1 } \) and \(\beta _{\psi _1 } \) denote exponents of the functions φ _i and Ψ_i, i=0, 1,and α(E),β(E) are indices of the space E. Then the Calderon operator acts boundedly from E into E _δ,where δ(t) and χ(t) stand for measurable solutions of the equations $$\psi _i (\delta (t)) = \chi (t)\varphi _i (t),i = 0,1,$$ and $$||x||_{E_{\delta ,\chi } } = ||x^{**} (\delta (t))\chi (t)||_E .$$ Theorem 2.If the ratio φ ₀/φ(t)/φ₁(t) is non-increasing, Ψ_i(t) are semimultiplicative and \(\alpha _{\psi _i } \) (i=0, 1),then a necessary condition for the Calderon operator to act boundedly from E into E _{δ, χ} $$\beta _{\varphi _1 } \geqq \beta (E) \geqq \alpha (E) \geqq \alpha _{\varphi _0 } .$$      

Riemann—Lebesgue theorem

Пусть?(x) — ограниченн ая функция на отрезке [0,1] и ее функция распределен ияΦ(t) удовлетворяет услов ию $$\Phi \left( t \right) + \Phi \left( { - t} \right) = 1.$$ Еслиf(x) — конечная поч ти всюду функция, то дл яF _n (t) — функции распределе ния произведенияf(x)?(nx) — вы полнены соотношения и В частности, еслиf(x) — и нтегрируемая функци я, то из (1) следует, что $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)\varphi \left( {nx} \right)dx = 0 $$      

On the continuity of functions in connection with a problem of V. G. Krotov

В РАБОтЕ ДАЕтсь ОтВЕт НА ОДИН ВОпРОс, пОстАВ лЕННыИ В. г. кРОтОВыМ. УстАНОВлЕН О, ЧтО ЕслИ Ф(х) — МОНОтОННО ВО жРАстАУЩАь ФУНкцИь,Ф (0)=0, Ф(2х)≦кФ(х), х[0, ∞), тО $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {S_k - f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k } \Phi (\lambda _k ) = \infty $$ Дль пРОИжВОльНых НЕО тРИцАтЕльНых ЧИслОВ ых пОслЕДОВАтЕльНОстЕ И {Μ_k} И {λ_k}. (жДЕсьS _k ОБОжНАЧАЕт ЧАстНУУ с УММУ пОРьДкАk РьДА ФУ РьЕ ФУНкцИИf). УстАНОВлЕН О тАкжЕ, ЧтО ВО МНОгИх слУЧАьх $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {\tilde S_k - \tilde f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{k\lambda _k }}} \Phi ^{ - 1} \left( {\frac{1}{{k\mu _k }}} \right)< \infty .$$      

On the divergence of Lagrange interpolation processes on a set of second category

В статье даны полные д оказательства следу ющих утверждений. Пустьω — непрерывная неубывающая полуадд итивная функций на [0, ∞),ω(0)=0 и пусть M?[0, 1] — матрица узл ов интерполирования. Если $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \omega \left( {\frac{1}{n}} \right)\log n > 0$$ то существует точкаx ₀∈[0,1] и функцияf ∈ С[0,1] таки е, чтоω(f, δ)=О(ω(δ)), для которой $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } |L_n (\mathfrak{M},f,x_0 ) - f(x_0 )| > 0$$ Если же $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \omega \left( {\frac{1}{n}} \right)\log n = \infty$$ , то существуют множес твоE второй категори и и функцияf ∈ С[0,1],ω(f, δ)=o(ω(δ)) та кие, что для всехx∈E $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } |L_n (\mathfrak{M},f,x)| = \infty$$ . Исправлена погрешно сть, допущенная автор ом в [5], и отмеченная в работе П. Вертеши [9].     

On certain estimates for orthogonal polynomials depending on parameters

Рассматривается сис тема ортогональных м ногочленов {P _n (z)} ₀ ^∞ , удовлетворяющ их условиям $$\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {P_m (z)\overline {P_n (z)} d\sigma (\theta ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,m \ne n,P_n (z) = z^n + ...,z = \exp (i\theta ),} \\ {h_n > 0,m = n(n = 0,1,...),} \\ \end{array} } \right.} $$ где σ (θ) — ограниченная неу бывающая на отрезке [0,2π] функция с бесчисленным множе ством точек роста. Вводится последовательность параметров {а_{n 0} ^∞ , независимых дру г от друга и подчиненных единств енному ограничению { ¦а_n¦<1} ₀ ^∞ ; все многочлены {Р _n (z)} 0/∞ можно найти по формуле $$P_0 = 1,P_{k + 1(z)} = zP_k (z) - a_k P_k^ * (z),P_k^ * (z) = z^k \bar P_k \left( {\frac{1}{z}} \right)(k = 0,1,...)$$ . Многие свойства и оце нки для {P _n (z)} ₀ ^∞ и (θ) можн о найти в зависимости от этих параметров; например, условие \(\mathop \Sigma \limits_{n = 0}^\infty \left| {a_n } \right|^2< \infty \) , бо лее общее, чем условие Г. Cerë, необходимо и достато чно для справедливости а симптотической форм улы в области ¦z¦>1. Пользуясь этим ме тодом, можно найти также реш ение задачи В. А. Стекло ва.     

On the convergence to infinity of Fourier series along dense subsequences of numbers

В статье доказываетс я Теорема.Какова бы ни была возрастающая последовательность натуральных чисел {H _k } _{k = 1} ^∞ c $$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{H_k }}{k} = + \infty$$ , существует функцияf∈L(0, 2π) такая, что для почт и всех x∈(0, 2π) можно найти возраст ающую последовательность номеров {n_k(x)} _k=1 ^∞ ,удовлетворяющую усл овиям 1) $$n_k (x) \leqq H_k , k = 1,2, ...,$$ 2) $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } S_{n_{2t} (x)} (x,f) = + \infty ,$$ 3) $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } S_{n_{2t - 1} (x)} (x,f) = - \infty$$ .     

О кОЁФФИцИЕНтАх тРИг ОНОМЕтРИЧЕскИх НУль-РьДОВ

Let {? _k } _k=0 ^∞ be a numerical sequence satisfying the conditions $$\varrho _k \downarrow 0(k \to \infty )and\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty \varrho _k^2 = + \infty .$$ It is proved that there exists a trigonometric series $$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty \varrho '_k \cos 2\pi (kx + \theta _k )$$ where ¦?′ _k ¦≦? _k ,k=0, 1, 2, ..., possessing the following property. For each measurable and a.e. finite functionF(x), x?[0, 1], the numbersδ _k =0 or 1,k=0, 1, ..., may be chosen in such a way that the series $$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty \delta _k \varrho '_k \cos 2\pi (kx + \theta _k )$$ converges toF(x) a.e. on [0,1]. In addition, ifF(x)=0, then \(\delta _{k_0 } \varrho '_{k_0 } \ne 0\) for at least onek ₀≧0. Certain generalizations are discussed, too.     

Über verallgemeinerte Momente additiver Funktionen

In this paper we give characterizations of additive functionsf, for which $$\mathop {\lim \sup }\limits_{x \to \infty } x^{ - 1} \sum\limits_{n \leqslant x} {\varphi (|f(n)|)}$$ is bounded, where φ: ?⁺ → ?⁺ is monotone and or $$\begin{array}{*{20}c} {\varphi (x) = c^x } & {(x \in \mathbb{R}).} \\ \end{array}$$ A typical example is φ (x)=x ^a (a>0) forx≥0.