“圆”来如此

<正>圆作为平面几何的基本图形之一,是中小学学习的重要几何模型.以圆为基本框架的综合题是历年来中考的一种常见题型,因其有较好的几何性质,极易把几何知识与代数知识进行综合形成综合题.但是圆作为重要的几何图形,它并不总是直白地出现在几何题目中,反而经常隐含在题目里,却又是解决问题的关键所在.发现隐含在题目中的圆(简称隐圆),并加以应用,可以起到事半功倍的作用.     

巧用辅助圆解题一例

在解题的过程中,往往会遇到一些看似与圆无关的题目,但若能从题目中捕捉一些与圆有联系的信息,添加辅助圆,往往能使复杂问题变得简单.     

透过现象看本质——“隐圆”问题探究

<正>圆是高中数学一种重要的曲线,在一些与圆有关的题目中,条件没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题设中.通过题意的分析发现圆(或圆的方程),从而可以利用圆的相关知识求解问题,我们称这类问题为"隐圆"问题.这类题目构思巧妙,综合性强,充分考查了数形结合、转化和化归等数学思想,处理这类题目关键在于能否把"隐圆"找出来.下面我们结合以下例题探讨几类常见类型的"隐圆".     

例谈巧用“辅助圆”解题

在解题的过程中,往往会遇到一些看似与圆无缘的题目,但若能从题目中捕捉一些与圆有联系的信息,添加辅助圆,往往能使复杂问题变得简单,简单问题变得简洁,下面列举     

提炼模型 多题同解——动点对定线段的张角问题

<正>动点对定线段所张的角最大值,从表面上看这类题与圆无关,但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件,善于联想所学定理,巧妙地构造辅助圆,再利用圆的有关性质来解决问题,往往能起到化隐为显、化难为易、化繁为简的解题效果,从而"圆满"地解决这类问题.     

巧用圆的性质解题

圆具有很多优美的性质,在许多题目中都能看到它的影子．在解题时,如果能够根据题目条件,灵活运用圆的性质,往往可以找到比较简洁的解法．     

一道课本题的解法探讨与拓展

1 题目及其研究价值 　　1.1 题目已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?……     

巧用向量三角不等式求解向量模取值范围

<正>在学习平面向量这部分内容时,会常见求与圆有关的向量的模的范围的题目,许多同学感觉这类题目比较困难,不易入手.研究之后,我发现解这类题目大致可以分为三步:(1)确定题目条件中已知的或者隐藏的圆,并确定圆上的动点;(2)把原问题转化为求一个大小与方向都固定的向量与一个(或多个)大小固定方向     

不识庐山真面目 只“圆”身在此山中

<正>圆是高中数学中一种简单但又很重要的曲线,也是近几年来高考必考的内容.有些数学问题当中,将圆隐藏在已知条件里,隐晦地考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.解题时,需要通过对已知条件的分析与探索,发现这些隐藏的圆,再利用圆的相关知识进行求解.解决此类问题的关键就是充分挖掘题目中的条件,找到隐藏的圆,从而达到化繁为简,化难为易的目的.下面谈一谈隐藏圆的一些解题策略.     

巧用向量三角不等式求解一类向量模的取值范围

<正>在学习平面向量这部分内容时,会常见求与圆有关的向量模的范围的题目,许多同学感觉这类题目比较困难,不易入手.研究之后,我发现解这类题目大致可以分为三步:(1)确定题目条件中已知的或者隐藏的圆,并确定圆上的动点;(2)把原问题转化为求一个大小与方向都固定的向量与一个(或多个)大小固定方向任意的向量的和;     

依托旋转研究极限,函数思想破解难关

"直线与圆"是解析几何的重要组成部分,其地位同圆锥曲线.很多考试都会命制质量上乘的考查直线与圆的位置关系的题目.求解直线与圆的位置的关系的题目,最关键的是灵活转化——将题目所给的条件灵活转化为相关的式子,要能透过表象看透本质,看透命题人的目的,看透命题人想考查的知识点,看透命题人想考查的数学方法,应用之求解.题目1(2014年江苏南通五校联考,18)已知△ABC的三个顶点A(-1,0)、B(1,0)、C(3,2),其外接圆为圆H.(1)求圆H的方程;(2)若直线l过点C,且被圆H截得的弦长为2,求直线     

例析“辅助圆”的作用

<正>部分初中几何综合题,如果能根据题目的本质特征恰当构造辅助圆,既能巧妙地利用"同弧所对圆周角是圆心角的一半,同弧所对的圆周角相等"求角,也能利用"圆外一点与圆上各点之间的最长距离是这点到圆心的距离与半径的和,圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差",从而突破线段最值问题.     

直线与圆位置关系解题探索

直线与圆位置关系有三种:相离、相切、相交,关于直线与圆位置关系的题目较多,知识综合较强.研究这类型题目的常用方法有:代数方法,即讨论直线与圆方程组成的方程组实数解的个数;几何方法,即由圆心到直线的距离与半径作比较.下面就这类型问题的解法具体分析,以供参考.     

巧添辅助圆 妙解最值题

<正>最值问题是中考热点也是难点.在最值问题中,以圆为背景命制的题目难度较大,尤其是一些平面几何综合类题目以隐圆的形式呈现,难度大、失分率高.查阅近几年的中考试题,部分选择和填空压轴的最值题以隐圆为背景命制,这些题型看似高深莫测,实则有迹可循.为此,本文以中考隐圆最值题型为载体,通过巧妙添加辅助圆解决圆中的最值问题,期望为同学们快速解答压轴题提供方法上的指导.     

圆幂定理在解析几何中的巧用

<正>解析几何题目的一大特点就是计算量较大,本文通过两道例题对比传统解法和运用圆幂定理转化后的解法,发现有些题目巧妙运用圆幂定理进行转化后,计算量明显减小.例1在极坐标系中,曲线C的极坐标方     

一道圆与抛物线综合题目的求解与探究

一、题目的求解 题目1 动圆D过定点A（O,2）,圆心D在抛物线x^2=4y上运动,MN为圆D在x轴上截得的弦．当圆心D运动时,记｜AM｜=m,｜AN｜=n,求n/m＋m/n的最大值．     

一道习题的思考过程

<正>在教学中,我发现许多同学拿到几何题目往往不知如何画好图,特别是有多解的题目,对题目的分析缺少合适的思路,下面就和同学们分享一道习题的思考过程,希望能给同学们一点帮助.已知:过非圆上一点P作一直线与半径为R的圆O相交于A、B两点.求证:PA·PB     

“圆”的问题漏解溯因

有关“圆”的题目不仅是初中几何中综合性很强的内容,更是中考热门.“多解”是这类题目的难点,当图形没有给出时,点、线、圆的关系可以产生多种位置的可能性,极易漏解.笔者就此从产生漏解的原因加以分析,谈点体     

一道课本题的研究价值、解法探讨与问题拓展

1 题目与研究的价值 1.1 题目已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由(苏教版高中课程标准实验教科书数学必修2第116页第27题).     

硬币悖论问题

<正>1982年5月1日的美国高考试卷中出现了一道数学选择题目如下:如图1所示,圆A的半径是圆B半径的13,圆A沿着圆B滚动,请问圆A滚动回到起始点的话本身一共转了几圈?候选选项:(A)3/2(B)3(C)6(D)9/2(E)9出题者的意图是选择(B)(3圈),但是实际正确答案是4圈,备选项里没有正确答案.据说当时参加考试的30万考生中只有3人做对了,出题者也做错了.这道题目很容易让人掉进陷阱,第一次接触这种题目的学生往往会直接选择(B),得到真正答案后觉得不可思议.由于圆A和圆B像两个大小硬币,因此这个问题后来被人们称之为硬币悖论.