微分多项式系统的约化算法理论

本文中，作者推广了纯代数形式的特征列集理论（吴方法）为微分形式的相应理论，即建立了在机器证明了诸多微分问题中非常重要的微分多项式组的约化算法理论。引入了一些新的概念和观点使函数微分（导数）具有直观的代数几何表示。给出了Coherent条件下的特征列集的算法。给出的算法易于在计算机上实现并适合应用于广泛的微分问题，如微分方程对称计算，各种微分关系的自动推理等问题。     

多项式组特征列的矩阵求法

基于矩阵多元多项式的带余除法,给出了代数情形多项式组特征列的一种新求法,并举例验证了这种方法的有效性.     

微分代数多项式系统的可解集

本文对一般微分代数方程给出了几类可解集的概念，并讨论了多项式微分代数方程的可解集，得到子多项式系统具有唯一解。特别是有多于一个的解的条件，并得到了低次多项式在一定意义下的充分必要条件。     

微分多项式的Picard集

设 f(z)为超越整函数,F=f~N(N≥3,N 为自然数),设复序列(?)={λ_n)满足|(λ_(n+1))/(λ_n)|>q>1.Anderson,I.M.等人在文[3]中证明了 F′在(?)中取任意非零复数ω∈(?)无限多次,并提出以下两个问题:(a)(?)对整函数能否扩大到含有无穷多个小圆盘?(b)相似的结论对 F=f~nQ[f](Q[f]是 f 的微分多项式)是否也成立?1983年,Langley,J.K.,对 F=f~N 形式将(?)扩大到含有无穷多个小圆盘,从而对(a)作出肯定回答.本文将[1]的结论推广到 F=f~NQ[f]的形式,从而对(b)作出肯定回答.     

多项式微分代数系统的奇点性质

本讨论多项式微分代数方程的奇点性质，证明了经用吴方法整序后的系统的奇点与原系统的相应奇点有相同的鞍点性质。     

微分多项式的例外集

设ｆ为任一超越整函数,为ｆ的任一微分多项式;本文证明了在满足｜ａ＿ｎ－ａ＿ｍ｜＞ε｜ａ＿ｎ｜（ｎ≠ｍ）和的无穷个圆盘的并集之外取任意有限非零复数无穷次。     

微分方程(组)对称向量的吴-微分特征列算法及其应用

给出（偏）微分方程（组）（PDEs）对称向量的吴-微分特征列集（消元）算法理论．把古典和非古典PDEs对称问量的计算问题统-在吴-微分特征列理论框架之下处理．给出了产生PDEs对称向量的无穷小方程和验证已知向量为PDES对称向量的机械化原理,理论上彻底克服了传统算法中的缺陷并为计算PDEs对称向量提供了一种新算法．用计算机代数系统mathematica编制了相应的软件包,具体实现了该算法．作为应用给出了Burgers方程的非古典对称向量的完整解答．     

改进的微分-差分特征列方法

基于高小山,J.Van der Hoeven等人2009年提出的微分-差分(DD)特征列方法理论,针对微分-差分系统的一些特性,在原有理论方法的基础上进行改进与补充,对升列,导元,约化等概念重新定义.提出了一则新算法(Seesaw),用来对多项式系统中的变量的类重新确定,目的是为在比较升列序的过程中重新对变量排序,在实际计算中可以降低系统求解的难度.另外对DD-伪余算法也进行了改进.     

偏微分方程(组)完全对称分类微分特征列集算法

给出了一个确定含参数偏微分方程(组)的完全对称分类微分特征列集算法,该算法能够直接、系统地确定偏微分方程(组)的完全对称分类．用给出的算法获得了含任意函数类参数的线性和非线性波动方程完全势对称分类．这也是微分形式特征列集算法(微分形式吴方法)在微分方程领域中的新应用．     

微分特征列法在拟微分算子和Lax表示中的应用

微分特征列法用于拟微分算子和非线性发展方程Lax表示的计算.首先,利用微分特征列法和微分带余除法计算拟微分算子的逆和方根,由于不必求解常微分方程组,并将解代入,因此,使得计算得以简化.其次,利用微分特征列法,约化从广义Lax方程和Zakharov-Shabat推出的非线性偏微分方程,并得到相应的非线性发展方程.在Mathematica计算机代数系统上,编写了相关程序,从而可以利用计算机辅助完成一些非线性发展方程Lax表示的计算.     

An Algorithm for Finding All Isolated Zeros of Polynomial Systems

Finding all zeros of polynomial systems is very interesting and it is also useul for many applied science problems.In this paper,based on Wu‘s method,we give an algorithm to find all isolated zeros of polynomial systems (or polynomial equations).By solving Lorenz equations,it is shown that our algo-rithm is efficient and powerful.     

矩阵多元多项式的带余除法及其应用

给出矩阵多元多项式的带余除法,从而用微分代数的观点,得到把一类微分方程(组)化为无穷维Hamilton系统的充要条件及其具体无穷维Hamilton系统形式。再把此方法和吴方法相结合获得构造一类微分方程(组)的通解的新方法。几个例子表明这些方法都很有效的。     

Applications of interval arithmetic in solving polynomial equations by Wu''''s elimination method

Wu's elimination method is an important method for solving multivariate poly- nomial equations.In this paper,we apply interval arithmetic to Wu's method and convert the problem of solving polynomial equations into that of solving interval polynomial equa- tions.Parallel results such as zero-decomposition theorem are obtained for interval poly- nomial equations.The advantages of the new approach are two-folds:First,the problem of the numerical instability arisen from floating-point arithmetic is largely overcome.Second, the low efficiency of the algorithm caused by large intermediate coefficients introduced by exact compaction is dramatically improved.Some examples are provided to illustrate the effectiveness of the proposed algorithm.     

扩充偏微分方程(组)守恒律和对称的辅助方程方法及微分形式吴方法的应用

首先,我们给出了引入伴随方程(组)扩充原方程(组)的策略使给定偏微分方程(组)的扩充方程组具有对应泛瓯即,成为Lagrange系统的方法,以此为基础提出了作为偏微分方程(组)传统守恒律和对称概念的一种推广-偏微分方程(组)扩充守恒律和扩充对称的概念;其次,以得到的Lagrange系统为基础给定了确定原方程(组)扩充守恒律和扩充对称的方法,从而达到扩充给定偏微分方程(组)的首恒律和对称的目的;第三,提出了适用于一般形式微分方程(组)的计算固有守恒律的方法;第四,实现以上算法过程中,我们先把计算(扩充)守恒律和对称问题均归结为求解超定线性齐次偏微分方程组(确定方程组)的问题.然后,对此关键问题我们提出了用微分形式吴方法处理的有效算法;最后,作为方法的应用我们计算确定了非线性电报方程组在内的五个发展方程(组)的新守恒律和对称,同时也说明了方法的有效性.     

亚纯函数的例外集

自从Ｌｅｈｔｏ Ｏ．［１］提出例外集的概念后,这方面已有不少工作,但这些工作基本上是局限于整函数来做的,主要原因是极点给证明带来很大困难．本文证明了任一个满足δ（∞,ｆ）＞３／４的超越亚纯函数ｆ（ｚ）,ｆｋＱ［ｆ］在任一不含ｆ和Ｑ［ｆ］极点的可数个圆盘并集之外取任何非零复数无穷次,其中ｋ≥１５／８＋１／２ГＱ,ГＱ是ｆ的微分多项式 Ｑ［ｆ］的权．本文的结果推广了 Ｈａｘｍａｎ等人的结论．     

亚纯函数微分多项式f~kQ[f]+P[f]的零点分布

文[4]对简单形式的微分多项式fkf’+a的零点分布进行了讨论,文[1]对一般形式的微分多项式fkQ[f]+P[f]的零点分布进行了讨论.但由于极点给证明带来的困难,这些工作主要是对整函数来做的.本文证明了任一满足δ(∞,f)>k+2ΓQ+3ΓP+2/2k+2ΓQ+1的超越亚纯函数f,微分多项式fkQ[f]+P[f]在不含f,Q[f]极点和P[f]零、极点的可数个圆盘并集之外有无穷多个零点,其中k≥3Γp+2,而ΓQ,ΓP分别是f的微分多项式Q[f],P[f]的权.文[1]和[2,4,6]中的结论是本文结论的特殊情况.     

ORDERING IN AUTOMATED THEOREMPROVING OF DIFFERENTIAL GEOMETRY

1.BackgroundMom1979,WuWentsunbeganthestudyofautomatedtheoremprovingindifferentialgeometry[1].Inhismethod,thehypotheses,representedbydifferentialpolynomials,aretriangulatedaccordingtoanorderofthevariablesinthepolynomials;theconclusionisprovedbythetriangulatedresultcalledcharacteristicset.Wuusedelement-basedorderingmethodwhichcanbeillustratedbythisexample'LettingxKybetwosmoothfunctionsofthesamevariable,thenxKX'KX"K'Ky'y,Ky"'.ThisorderisthefoundationofWu'seliminationprinciple.However,a…     

多项式方程组的主项解耦消元法

本文提出多项式组符号求解的主项解耦 (主项只含主元 )消元法 :视多项式为变元不同幂积的线性组合 ,以主项解耦三角型多项式组 DTS为引导 ,用逐项伪除求余式 ,将多项式组 PS化为与其同解的 DTS.内容涉及 :消元算法、DTS的存在性与结构特性、零点集结构公式等 .亦对 Grobner基法、吴文俊消元法与本文方法之间的相互联系、区别以及特点进行了比较 .研究表明主项解耦消元法适用于一般多项式组且效率较高     

亚纯函数微分多项式f~kQ[f]+P[f]的零点分布

从例外集的角度研究了亚纯函数微分多项式fkQ[f]+P[f]的零点分布,证明了:对于满足δ(∞,f)1-α>0的超越亚纯函数f(z),微分多项式fkQ[f]+P[f]在不含极点的可数个圆盘并集之外有无穷多个零点,其中k>1+ΓP+γP+α1(-1+αΓQ+ΓP-γP),ΓQ是Q[f]的权,ΓP,γP是P[f]的权和次数.本文推广了Hayman,Anderson,Langley等人的结论.