Perturbation analysis for periodic heat transfer in radiating fins

A perturbation analysis is presented for periodic heat transfer in radiating fins of uniform thickness. The base temperature is assumed to oscillate around a mean value. The perturbation expansion is carried out in terms of dimensionless amplitude of the base temperature oscillation. The zero-order problem which is nonlinear, and corresponds to the steady state fin behaviour, is solved by quasilinearization. A method of complex combination is used to reduce both the first and the second order problems to two, coupled linear boundary value problems which are subsequently solved by a noniterative numerical scheme. The second-order term is composed of an oscillatory component with twice the frequency of base temperature oscillation and a time-independent term which causes a net change in the steady state values of temperature and heat transfer rate. Within the range of parameters used, the net effect is to decrease the mean temperature and increase the mean heat transfer rate. This is in constrast to the linear case of convecting fins where the mean values are unaffected by base temperature oscillations. Detailed numerical results are presented illustrating the effects of fin parameter N and dimensionless frequency B on temperature distribution, heat transfer rate, and time-average fin efficiency. The time-average fin efficiency is found to reduce significantly at low N and high B.

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Störungsanalyse für periodische Wärmeübertragung an Strahlungsrippen

Zusammenfassung Eine Störungsanalyse wird für periodische Wärmeübertragung in Strahlungsrippen gleicher Dicke vorgelegt. Die Fußtemperatur wird als um einen Mittelwert schwingend angenommen. Die Störungsentwicklung wird in Termen einer dimensionslosen Amplitude e dieser Schwingung angesetzt. Das Problem nullter Ordnung, das nichtlinear ist und dem stationären Verhalten der Rippe entspricht, wird durch Quasilinearisierung gelöst. Eine Methode der komplexen Kombination wird angewandt, um die Probleme erster und zweiter Ordnung auf zwei gekoppelte Grenzwertprobleme zu reduzieren, die nacheinander nach einem nichtiterativen Schema gelöst werden. Der Term zweiter Ordnung besteht aus einer Schwingungskomponente mit der doppelten Frequenz der Schwingung der Fußtemperatur und einem zeitunabhängigen Term, der eine Nettoänderung der stationären Werte der Temperatur und der Wärmeübertragung verursacht. Im verwendeten Bereich der Parameter tritt eine Abnahme der mittleren Temperatur und eine Zunahme der mittleren Wärmeübertragung auf. Das steht im Gegensatz zum linearen Fall der Konvektionsrippe, bei dem die Mittelwerte durch Schwingungen der Fußtemperatur nicht beeinflußt werden. Detaillierte numerische Ergebnisse zeigen die Einflüsse des Rippenparameters N und der dimensionslosen Frequenz B auf Temperatur Verteilung, Wärmeübertragung und zeitliches Mittel des Rippengütegrades. Dieses zeitliche Mittel nimmt merklich ab bei kleinem N und hohem B.

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Nomenclature b fin thickness - B dimensionless frequency, L²/ - E emissivity - f₀, f₁ functions of X - g₀, g₁, g₂ functions of X - h₀, h₁, h₂ functions of X - k thermal conductivity - L fin Length - N fin parameter, 2EL²T_bm/bk - q heat transfer rate - Q dimensionless heat transfer rate, qL/kbT_bm - t time - T temperature - T_b fin base temperature - T_S effective sink temperature - T_bm mean fin base temperature - x axial distance - X dimensionless axial distance, x/L - dimensionless amplitude of base temperature (s. Eq.2) - thermal diffusivity - instantaneous fin efficiency - time-average fin efficiency - _ss steady state fin efficiency - dimensionless temperature, T/T_bm - ₀ zero-order approximation - ₁ first-order approximation - ₂ second-order approximation - _2s steady component of ₂ - , ₁, ₂ constants - complex function of X - ₁ real part of - ₂ imaginary part of - complex function of X - ₁ real part of Y - ₂ imaginary part of - dimensionless time, t/L² - frequency of base temperature oscillation     

Wärmeübergang bei freier Konvektion und Filmsieden im kritischen Gebiet von Wasser und Kohlendioxid

Zusammenfassung Es werden Messungen des Wärmeübergangs bei freier Konvektion und Filmsieden an einem elektrisch beheizten Platindraht (d=0, 1 mm) in Wasser in der Nähe des kritischen Punktes angegeben und zur Überprüfung eines theoretischen Grenzschichtmodells herangezogen.Für den Wärmeübergang bei freier Konvektion wird ein vereinfachtes Berechnungsverfahren abgeleitet, das mit zahlreichen Versuchen in Wasser und Kohlendioxid überprüft wird. Bei Filmsieden wird auf die Grenzen einer Darstellung von Versuchsergebnissen in Nusselt-Reyleigh-Diagrammen hingewiesen und eine vereinfachte Berechnungsmethode der Grundkurve des Wärmeübergangs angegeben.

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Free convection and film boiling heat transfer in the critical region of water and carbon dioxide

Measurements of free convection and boiling from an electrically heated platinum wire (d=0,1 mm) in water near its critical state are given and taken for checking a theoretical boundary layer modell.For heat transfer at free convection, a simplified calculation method is derived which is tested by several measurements in water and carbon dioxide. For film boiling, the limits of a representation of experimental results in Nusselt-Rayleigh-diagrams are pointed out. A simplified method of calculating the basic curve of film boiling heat transfer is given.

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Bezeichnungen A Auftriebsglied - B_i Konstanten - C_m Konstante - C_p spezifische Wärme bei konstantem Druck - d Zylinderdurchmesser - g Erdbeschleunigung - G() Funktion der affinen Verzerrung - G intergraler Mittelwert von G() - h Plattenhöhe - H spezifische Enthalpie - H_fd spezifische Verdampfungswärme - L charakteristische Länge - n Koordinate normal zur Wand - Nu Nußelt-Zahl - P Druck - Pr Prandtl-Zahl - q Wärmestromdichte - Ra Rayleigr-Zahl - S beliebiger Stoffwert - t Celsius-Temperatur - T absolute Temperatur - Wärmeübergangskoeffizient - isobarer Ausdehnungskoeffizient - T Temperaturdifferent T — T_u - Quotient aus Temperaturdifferenzen - Wärmeleitfähigkeit - kinematische Zähigkeit - dimensionslose Koordinate in Wandrichtung - Dichte - dimensionslose Grundgröße des Wärmeübergangs Indizes b Wert bei Bezugszustand - f Zustand der gesättigten Flüssigkeit - korr korrigierter Wert für kleine Durchmesser - L Bezug auf die charakteristische Länge - mod modifizierte Kenngröße - Pl. vertikale Platte - psk Wert im pseudokritischen Zustand - s Sättigungszustand - u Umgebungszustand - w Wert an der Wand - Zyl. horizontaler Zylinder - o Wert aus den Theorien mit unveränderlichen Stoffwerten - Grenzschichtlösung (Gr beim horiz. Zyl.) Auszug aus der von der Fakultät Maschinenwesen und Elektrotechnik der Technischen Universität München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs genehmigten Dissertation über Wärmeübergang bei freier Konvektion und Filmsieden — Allgemeines theoretisches Berechnungsverfahren und experimentelle Überprüfung im kritischen Gebiet des Diplom-Ingenieurs Michael Reimann. Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. U. Grigull und Prof. Dr. rer. nat. E. Winter. Die Dissertation wurde am 15. Juli 1974 bei der Technischen Universität München eingereicht und durch die Fakultät für Maschinenwesen und Elektrotechnik am 6 November 1974 angenommen. Tag der Promotion 8. November 1974.Institut A für Thermodynamik Technische Universität München     

Stabilitätsrechnung der Rohrströmung einer inkompressiblen viskoelastischen Flüssigkeit zweiter Ordnung

Zusammenfassung Für die Durchsatzströmung im Rohr wird mit Hilfe der klassischen hydrodynamischen Stabilitätstheorie gezeigt, daß die inkompressible Flüssigkeit zweiter Ordnungs = –pI + 2(d + 2t ₁ d ² –t ₀ d) stabil ist gegenüber kleinen rotationssymmetrischen Störungen.

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Summary For Poiseuille pipe flow it is shown by means of the classical theory of hydrodynamic stability, that the incompressible second-order fluids = –pI + 2(d + 2t ₁ d ² –t ₀ d) is stable with respect to small disturbances of rotational symmetry.

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Nomenklatur a _n Koeffizienten der Reihenentwicklung - c = /k komplexe Wellengeschwindigkeit - d Deformationsgeschwindigkeitstensor - D, D dimensionsloser Deformationsgeschwindigkeitstensor (Grund- und Störtensor) - e _i kovariante Basis - g Vektor der Erdbeschleunigung - I Einheitstensor - k Wellenzahl - M, O, S, Q, T Funktion vonk, Re, ₀ - p, P, p Gesamt-, Grund-, Stördruck - r, (r, , z) dimensionsloser Ortsvektor (Zylinderkoordinaten) - R Rohrradius - Re =U _M R/ Reynoldszahl - s(s ^*=s*pI) Spannungstensor (Isotroper Anteil des ) - t ₀,t ₁ Stoffzeiten, Parameter der Flüssigkeit zweiter Ordnung - t Zeit - u, U, u Vektor der Gesamt-, Grund-, Störgeschwindigkeit - U _M Maximale Grundgeschwindigkeit - v, V, v Vektor der dimensionslosen Gesamt-, Grund-, Störgeschwindigkeit - w Rotationsgeschwindigkeitstensor - W, W Rotationsgeschwindigkeitstensor, dimensionslos (Grund-, Störtensor) - x (x _r ,x ,x _z ) Ortsvektor (Zylinderkoordinaten) - Viskosität - ₀, ₁ dimensionslose Stoffzeiten - dimensionsloser Druck - Dichte - dimensionslose Zeit - Stromfunktion, dimensionslos - komplexe Frequenz, dimensionslos - = e ⁱ /x _i Nablaoperator (e ⁱ kontravariante Basis) - _* Nablaoperator, dimensionslos - R, I Real-, Imaginärteil Mit 4 Abbildungen     

Ein Differenzenverfahren zur Berechnung der gekoppelten Geschwindigkeits- und Temperaturfelder bei laminarer Rohrströmung mit temperaturabhängigen Stoffwerten

Zusammenfassung Die partiellen Differentialgleichungen für das Geschwindigkeits- und Temperaturfeld der laminaren Strömung in geheizten oder gekühlten Rohren sind wegen der Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte des Strömungsmediums gegenseitig gekoppelt. Zur Lösung dieses Systems nichtlinearer Differentialgleichungen wird ein Differenzenverfahren angegeben, bei dem die örtliche Linearisierung der Gleichungen durch Iteration korrigiert wird. Die Aufstellung der Differentialgleichungen und ihre Lösung bei verschiedenen Anfangsund Randbedingungen werden erläutert. Als Anwendungsbeispiele dienen die isotherme Rohreinlaufströmung und die Verformung der Geschwindigkeitsprofile beim Wärmeübergang als Folge der temperaturabhängigen Viskosität.

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The partial differential equations of the velocity and temperature fields of laminar flow in heated or cooled circular tubes are coupled because of the temperature dependent properties of the fluid. For solving this system of nonlinear differential equations a finite difference method is given, in which the local linearization of the equations is corrected by iteration. The derivation of the difference equations and their solution are described for variable initial and boundary conditions. The isothermal flow in the inlet of the tube and the deformation of the velocity profiles with heat transfer by the temperature dependent viscosity are given as examples.

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Bezeichnungen c _p ^* spez. Wärmekapazität - c _p dimensionslose spez. Wärmekapazität - D Rohrdurchmesser - l _H ^* hydrodynamische Einlauflänge - l _H dimensionslose hydrodynamische Einlauflänge - n Anzahl der radialen Schritte beim Differenzenverfahren - Pr Prandtl-Zahl - p* Druck eines Flüssigkeitsteilchens - p dimensionsloser Druck eines Flüssigkeitsteilchens - Wärmestromdichte - Re Reynolds-Zahl - R Rohrradius - r* radiale Koordinate - r dimensionslose radiale Koordinate - t Temperatur - u* Geschwindigkeit in axialer Richtung - u dimensionslose Geschwindigkeit in axialer Richtung - v* Geschwindigkeit in radialer Richtung - v dimensionslose Geschwindigkeit in radialer Richtung - z* Koordinate in axialer Richtung - z dimensionslose Koordinate in axialer Richtung - Parameter des Differenzenverfahrens - * dynamische Viskosität - dimensionslose dynamische Viskosität - dimensionslose Temperatur - _ER Reibungsdruckabfall im Rohreinlauf - * Wärmeleitfähigkeit - dimensionslose Wärmeleitfähigkeit - * Dichte - Verhältnis der Schrittweiten Indizes D auf den Rohrdurchmesser bezogen - j Laufzahl des Differenzenverfahrens in radialer Richtung - k Laufzahl des Differenzenverfahrens in axialer Richtung - W an der Rohrwand - 0 im Rohreintrittsquerschnitt oder bei Beginn des Wärmeübergangs Teil der von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig genehmigten Dissertation des Verfassers.     

Der Einfluß variabler Stoffwerte auf natürliche laminare Konvektionsströmungen

Zusammenfassung Es wird zunächst die laminare natürliche Konvektionsströmung in der Nähe eines ebenen Staupunktes und für die senkrechte Platte betrachtet. Die Stoffgesetze werden in der Umgebung des Bezugszustandes T (Umgebungstemperatur) in Taylor-Reihen entwickelt, deren Koeffizienten dimensionslose Stoffkennzahlen — wie die Prandtl-Zahl — sind, die als freie Parameter in die Rechnung eingehen. Wandschubspannung und Wärmeübergang lassen sich für beliebige Stoffgesetze als Potenzreihe eines Parameters universell angeben. Der Entwicklungsparameter ist dabei ein Maß für die Stärke der Wärmeübertragung. Ein Vergleich mit der Methode der Stoffwertverhältnisse ermöglicht die Bestimmung der dort vorkommenden Exponenten für alle Stoffe, ohne daß auf empirische Daten zurückgegriffen werden muß. Aus den Ergebnissen wird dann eine nicht-rationale Näherungsbeziehung für beliebige zylindrische Körper gewonnen.

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The influence of variable fluid properties to free convection laminar flows

First the free convection laminar flow near a plane stagnation point and at the vertical flat plate is investigated. The functions describing the temperature dependence of the fluid properties are expanded as Taylor series at the reference state T (ambient temperature) whose coefficients are dimensionless fluid properties like the Prandtl number, but are not specified for particular fluids. Shear stress and heat flux at the wall are given for arbitrary temperature dependence of the fluid properties as universal power series of a parameter. This perturbation parameter describes the strength of heat transfer. Comparison with the property-ratio method shows how the exponents in that method depend on the fluid properties without any need of empirical information. From these results a non-rational approximation for arbitrary cylindrical bodies is developed.

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Formelzeichen c _a integrierter Reibungsbeiwert, Gl. (64) - c _f Reibungsbeiwert, Gl. (49) - c _p spez. Wärmekapazität bei konstantem Druck - d Transformationsparameter, Gl. (6) - e Exponent bei der Verteilung der Wandtemperatur, Kap. 2 - f( _s ) dimensionslose Stromfunktion, Gl. (7) - f ₀ f(_s) für konstante Stoffwerte - f _1i dimensionslose Stromfunktionen, Gl. (25) i=1,2, 3, 4 - g Erdbeschleunigung - Gr Grashof-Zahl, Kap. 4 - K _a Kombination aus dimensionslosen Stoffwerten, Gl. (24) - k _ij dimensionslose Stoffwerte, Gln. (13) bis (17) i=1, 2; j=,,,c - k _ij dimensionslose Stoffwerte, Gln. (20) bis (23) i=1,2; j=, - L Bezugslänge, Tabelle 1 - L _i Linear-Operatoren, Gln. (37) bis (40) i=1,2,3,4 - m _i Exponenten, Gl. (59), i=1, 2, 3, 4 - Hilfsfunktionen, Gl. (53), i=1,2, 3, 4 - n _i Exponenten, Gl. (60), i=1,2,3,4 - Hilfsfunktionen, Gl. (55), i=1, 2, 3, 4 - N _u Nusselt-Zahl, Kap. 6 - Pr ^*,Pr Prandtl-Zahl, Tabelle 1 - q _w Wärmefluß an der Wand, Gl. (50) - Q _w Gesamt-Wärmefluß an der Wand, Gl. (63) - T absolute Temperatur - u _b Bezugsgeschwindigkeit, Kap. 4 - u, v Geschwindigkeitskomponenten - x, y kartesische Koordinaten - Kontur-Neigungswinkel, Bild 1 - Volumenausdehnungskoeffizient, Gl. (13) - Entwicklungsparameter, Gl. (15) - Viskosität - _s Ähnlichkeitsvariable, Gl. (6) - ( _S ) dimensionslose Temperatur, Tabelle 1 - ₀ (_S) dimensionslose Temperatur bei konstanten Stoffwerten - _1i imensionslose Temperaturen, Gl. (26) i=1,2, 3, 4 - Wärmeleitfähigkeit - kinematische Viskosität - Dichte _W Wandschubspannung - Stromfunktion - _i Exponenten, Gl. (69) i=,,,c_p Indizes c.p. konstante Stoffwerte - L an der StelleL ^* - m mittlerer Wert - W Wand - mgebungszustand     

Wärmeübergang bei laminarer Rohrströmung mit axialer Wärmeleitung

Zusammenfassung Der Einfluß der axialen Wärmeleitung auf den konvektiven Wärmeübergang kann bei laminarer Strömung bedeutsam werden. Theoretisch-numerische Methoden wurden angewendet, um eine umfassende Untersuchung dieses Wärmeübergangsproblems für folgende Bedingungen durchführen zu können: Axiale Wärmeleitung im Fluid stromaufwärts und stromabwärts des Wärmeübergangsrohres bei entweder konstanter Temperatur oder konstanter Wärmestromdichte an der Rohrwand. Für die Wand des Zulaufrohres wird entweder eine konstante Temperatur oder Wärmeundurchlässigkeit angenommen.

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Heat transfer in tubes with laminar flow and axial heat conduction

The influence of axial heat conduction on convective heat transfer becomes of importance for laminar flow conditions. Numerical methods have been applied for a comprehensive study of this mode of heat transfer for the following conditions: Axial molecular heat conduction in the fluid upstream and downstream of the heat transfer tube with constant temperature or constant heat flux at the tube wall. For the wall of the entrance tube arranged upstream of the heat transfer tube either constant temperature or adiabatic conditions were assumed.

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Bezeichnungen a m²/s Temperaturleitkoeffizient - c_p kJ/(kg K) spezifische Wärmekapazität - d m Rohrdurchmesser - q_w kJ/(m²s) Wärmestromdichte an der Wand - r m radiale Koordinate - R m Rohrradius - T K örtliche Temperatur des Fluids - T_O K Fluidtemperatur am Rohreintritt bei x=– - T₁ K Fluidtemperatur am Rohraustritt bei x=+ - ¯T K mittlere Fluidtemperatur - T_f K integrale Mitteltemperatur - w m/s örtliche Geschwindigkeit des Fluids - ¯w m/s mittlere Fluidgeschwindigkeit - x m axiale Koordinate - _x kJ/(m²s K) örtlicher Wärmeübergangskoeffizient - kJ/(m²s K) mittlerer Wärmeübergangskoeffizient - kg/(m s) dynamische Viskosität des Fluids - kJ/(m s K) Wärmeleitkoeffizient des Fluids - m²/s kinematische Viskosität des Fluids - kg/m³ Dichte des Fluids Herrn Prof. Dr.-Ing. H. Glaser zum 75. Geburtstag gewidmet     

Vergleich von Korrelationen zum Wärmeübergang beim unterkühlten Sieden

Zusammenfassung Es werden Experimente zum Wärmeübergang beim unterkühlten Sieden von R12 (CCl₂F₂) in einem senkrechten Kupferrohr bei Aufwärts- und Abwärtsströmung vorgestellt. Die Wärmeübergangskoeffizienten werden mit Korrelationen aus der Literatur verglichen. Für einige Korrelationen werden Änderungen in den Konstanten vorgeschlagen, um eine bessere Übereinstimmung mit den experimentellen Daten zu erreichen. Ein deutlicher Einfluß der Strömungsrichtung — aufwärts oder abwärts — auf den Wärmeübergangskoeffizienten konnte für Flüssigkeitsgeschwindigkeiten von 0,5 bis 1,75 m/s nicht festgestellt werden.

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Comparison of heat transfer correlations in subcooled boiling

Experimental results of subcooled boiling heat transfer of refrigerant R12 (CCl₂F₂) in a vertical copper tube in upflow and downflow are reported. The results are compared with different correlations given in literature. The constants of some correlations are adjusted to yield better agreement with the experimental data of R12. A clear effect of flow direction — upwards or downwards — cannot be observed for liquid flow velocities of 0.5 to 1.75 m/s.

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Formelzeichen A _C Querschnittsfläche des Strömungskanals - c _p spezifische Wärmekapazität - C ₁...C ₄ Konstanten - D Durchmesser - Massenstromdichte - p Druck - Wärmestromdichte - R _p Rauhigkeit - T _S Sättigungstemperatur - T _F Fluidtemperatur - T _W Wandtemperatur - v spezifisches Volumen - Volumenstrom - w Geschwindigkeit - Wärmeübergangskoeffizient - dynamische Viskosität - Wärmeleitfähigkeit - Dichte - Oberflächenspannung - h _V spezifische Verdampfungsenthalpie - T _U Unterkühlung - Siedekennzahl - Ja =c _p T _U /h _V modifizierte Jakobzahl - Nu = D/ Nusseltzahl - Pr = c _p / Prandtlzahl - Reynoldszahl - St=/(wc _p ) Stantonzahl Indizes B Sieden (boiling) - f Flüssigkeit - g Dampf - K Konvektion - pb Behältersieden (pool boiling) - S Sättigung - W Wand     

Wärmeübergang bei ausgebildeter und nicht ausgebildeter laminarer Rohrströmung mit temperaturabhängigen Stoffwerten

Zusammenfassung Der Wärmeübergang bei laminarer Rohrströmung läßt sich für viele Rand- und Anfangsbedingungen sowie temperaturabhängige Stoffwerte durch eine numerische Integration der Differentialgleichungen für das Geschwindigkeits-und Temperaturfeld berechnen. Die Ergebnisse solcher Rechnungen werden für die ausgebildete und für die nicht ausgebildete Strömung inkompressibler Fluide mitgeteilt. Sie lassen sich bei der thermischen Randbedingung einer konstanten Wandtemperatur in einer Gleichung für die mittlere Flüssigkeitstemperatur darstellen. Bei einer konstanten Wärmestromdichte an der Wand ist der Verlauf der Wandtemperatur von Bedeutung; er wird für die beiden Einlaufbedingungen der Rohrströmung angegeben.

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The heat transfer of laminar flow in circular tubes can be calculated for many boundary and initial conditions and temperature dependent properties of the fluid by a numerical integration of the differential equations of the velocity and temperature field. The results of those calculations are given for the developed and for the not developed flow of incompressible fluids. Under the boundary condition of a constant wall temperature they can be represented in an equation for the mean bulk temperature. For a constant heat flux at the wall, the course of the wall temperature is significant; it is given for both inlet-conditions of the laminar flow.

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Bezeichnungen a*¹ Stoffwertkoeffizient des Viskositätsgesetzes Gl. (5) - b* Stoffwertkoeffizient des Viskositätsgesetzes Gl. (5) - c _p ^* spez. Wärmekapazität - c _p dimensionslose spez. Wärmekapazität nach Gl. (3) - D* Rohrdurchmesser - * Enthalpiestrom - i* spez. Enthalpie - K Korrekturfaktor für den Einfluß der temperaturabhängigen Stoffwerte auf den Wärmeübergang bei konstanter Wandtemperatur nach Gl. (29) - k* Stoffwertkoeffizient des Viskositätsgesetzes Gl. (5) - m-A002A Massenstrom - N _u mittlere Nusselt-Zahl nach Gl. (17) - P _r Prandtl-Zahl,P _r=c _p ^* */* - Q-A002A Wärmestrom - q-A002A Wärmestromdichte - R* Rohrradius - R _e Reynolds-Zahl,R _e=u**R*/* - r* radiale Koordinate - r dimensionslose radiale Koordinate nach Gl. (1) - T* absolute Temperatur - t* Temperatur - t _q ^* reduzierte Wärmestromdichte nach Gl. (20a) - u* Geschwindigkeit in axialer Richtung - u dimensionslose Geschwindigkeit in axialer Richtung nach Gl. (2) - z* Koordinate in axialer Richtung - z dimensionslose Koordinate in axialer Richtung nach Gl. (1) - 007A-0304; Kennzahl für den Wärmeübergang nach Gl. (21) - * mittlere Wärmeübergangszahl - relative Abweichung der mittleren Flüssigkeitstemperatur bei temperaturabhängigen Stoffwerten von der bei konstanten Stoffwerten - Kennzahl für den Einfluß der Temperaturabhängigkeit der Viskosität auf den Wärmeübergang nach Gl. (26) - * dynamische Viskosität - dimensionslose dynamische Viskosität nach Gl. (3) - dimensionslose Temperatur nach Gl. (4) - dimensionslose mittlere Flüssigkeitstemperatur als Kennzahl für den Wärmeübergang bei konstanter Wandtemperatur nach Gl. (19) - * Wärmeleitfähigkeit - dimensionslose Wärmeleitfähigkeit nach Gl. (3) - * Dichte Indizes D auf den Rohrdurchmesser bezogen - m mittlere ... - W an der Rohrwand - 0 auf den Rohreintrittsquerschnitt oder den Beginn des Wärmeübergangs bezogen Teil der von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig genehmigten Dissertation des Verfassers. Vorgetragen auf der internen Arbeitssitzung des Fachausschusses Wärme- und Stoffübertragung der Verfahrenstechnischen Gesellschaft im VDI in Freudenstadt am 17. 4. 1967.     

Untersuchung des lokalen Stoffüberganges am laminaren und turbulenten Rieselfilm

Zusammenfassung Der lokale Stoffübergang wurde in Abhängigkeit von der Meßlänge, dem Startort und der Zulaufhöhe gemessen. Der Gültigkeitsbereich der Theorie von Nusselt wird ermittelt. Die Reynolds-Zahl nahm Werte zwischen 3,86 und 2496 an. Die örtlich wirkende Hydrodynamik ist entscheidend für das Anwachsen der örtlichen Sherwood-Zahl. Die Genauigkeit aller Versuchsergebnisse kann auf ± 5% abgeschätzt werden.

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Investigation of the local mass transfer of a laminar and turbulent falling liquid film

The local mass transfer was measured as a function of the measuring length, the starting point and the liquid height above the ring-slot. The range of the Reynolds number was 3,86 Re 2496. The validity of the Nusselt theory and the range of it is shown. The local hydrodynamic is the most important factor of the increase of the local Sherwood number. The accuracy of the measurements is ± 5%.

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Bezeichnungen a Temperaturleitfähigkeit m²/s=/(c_p) - c Konzentration, c=¯c + c kmol/m³ - c_i0 Konzentration im Flüssigkeitskern kmol/m³ - D Diffusionskoeffizient m²/s - EL-NR Elektrodennummer - Fa Faraday-Konstante A s/kgäq=96,5·10⁶ - g Erdbeschleunigung m/s² - i_G Grenzstromdichte A/m² - u Geschwindigkeit in x-Richtung, u= + u - U Umfang des Rohres m - v Geschwindigkeit in y-Rich- m/stung, v=¯v + v - V^* Volumenstrom m³/s - x Lauflänge, Koordinate in m Strömungsrichtung - x_M Meßlänge für den Stoff-Übergang m - x_ST Startort für den Stoff-Übergang m - y Wegkoordinate senkrecht zur Rohroberfläche m - z Wertigkeit der Elektro-denreaktion kgäq/kmol - ZH Zulaufhöhe m - Wärmeübergangskoeffizient W/m²C - Stoffübergangskoeffizient m/s - Filmdicke m - Wärmeleitfähigkeit W/(mC) - kinematische Viskosität m²/s - Re=u/=V^*/U Reynolds-Zahl - Pr=/a=c_p/ Prandtl-Zahl - Sc=/D Schmidt-Zahl - Nu= / Nusselt-Zahl - Sh= /D Sherwood-Zahl - SHL lokale Sherwood-Zahl - SHM mittlere Sherwood-Zahl - - zeitlich gemittelt - örtlich gemittelt Die Durchführung der Arbeit am Institut für Verfahrens — und Kältetechnik der ETH Zürich bei Prof. Dr. P. Grassmann wurde ermöglicht durch Zuschüsse der Kommission zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung und meiner Eltern.     

Wärmeübergang von stehendem Wasserdampf bei Tropfenkondensation

Based on the assumption of a smallest nucleation radius of a droplet being able to exist, an equation is developed which describes the thickness of a characteristic layer with variable subcooling on a condenser surface. In a somewhat simplified manner the condenser surface consists of a part of an area being free of droplets and another one being occupied by droplets. At the non-occupied spots heat is transported to the condenser surface and droplets are formed. At the spots which are occupied by droplets, heat is taken away due to the rolling down movement of the droplets.Using the energy balance between added and deduced heat, a differential equation can be formulated which describes the temporal change of this part of the area, which is occupied by non-active large droplets. For steady state conditions one gets an equation for the heat transfer at the condenser surface as a function of the subcooling and of the saturation temperature. The differential equation is also solved for the non-steady case, the start up of the process. Equations are presented describing the heat transfer with droplet condensation at saturation temperaturesT _s= 296K up toT _s=413 K, corresponding to saturation pressures from 0.03 bar to 4.0 bar. The maximum subcooling is T=15K.

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Wärmeübergang von stehendem Wasserdampf bei Tropfenkondensation

Zusammenfassung In Anlehnung an den kleinstmöglichen existenzfähigen Keimradius eines Tröpfchens in der Dampfphase wird eine Gleichung für eine charakteristische Schichtstärke bei einer variablen Unterkühlung an der Kühloberfläche angesetzt. Die Kühloberfläche besteht vereinfacht aus einem Flächenanteil, der frei von Tropfen ist und einen von Tropfen besetzten Flächenanteil. An den freien Stellen wird Wärme an die Kühloberfläche zugeführt, wobei sich Kondensat bildet. An den von Tropfen besetzten Stellen wird Wärme durch die abrollenden Tropfen abgeführt.Durch Aufstellen einer Bilanz zwischen zu- und abgeführte Wärmemenge kommt man zu einer Differentialgleichung, die die zeitliche Veränderung des Flächenanteils beschreibt, der mit inaktiven, großen Tropfen besetzt ist.Für den stationären Fall erhält man eine Gleichung für den Wärmeübergang an der Kühloberfläche als Funktion der Unterkühlung und der Sattdampftemperatur. Die Differentialgleichung wird auch für den instationären Fall, den Anfahrzuständen gelöst. Gleichungen für den Wärmeübergang bei Tropfenkondensation werden angegeben bei SattdampftemperaturenT _s=296 K bisT _s=413 K das entspricht Sattdampfdrücken von 0, 03 bar bis 4, 0 bar, die Unterkühlung Tist max. 15 K

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Formelzeichen Bi Biotzahl,h _i R _max/_L - Nu Nußelt'sche Zahl - Pr Prandtlzahl - Re _x Reynoldszahl - _k Thermokapillare Kräfte/Viskosität, _L T/ _L v _L ² Lateinische Bezeichnungen C=CT _s Funktion der Sattdampftemperatur - c Konstante - C _p spezifische Wärme des Kondensates - f zeitlicher Mittelwert des Anteiles der Kühloberfläche, der mit aktiven Tropfen besetzt ist (wird in erster Annäherung zur freien Fläche gezählt) - g Erdbeschleunigung - h Wärmeübergangszahl bei Tropfenkondensation bezogen auf die Gesamtfläche - h _fg Verdampfungswärme - h _i Grenzflächen-Wärmeübergangszahl - h _L lokale Wärmeübergangszahl aus den neu freiwerdenden Flächenteilen - k Konstante - K Proportionalitätsfaktor - n Koeffizient, 1n > - q Wärmefluß - q _L lokaler Wärmefluß an den freiwerdenden Flächenteilen - R Gaskonstante - R _max Tropfengröße bei Abrollen - ₁=2 _L/h _i Tropfen kleiner alsr ₁ sind für den Wärmeübergang aktiv (Grenzwert bis zu dem in erster Annäherung die Fläche noch als frei betrachtet werden kann) - S neu freiwerdende Fläche - t Zeit - T _s Sattdampftemperatur des Dampfes - T Unterkühlung, Temperaturdifferenz zwischen Sattdampfund Kühloberflächentemperatur - V Volumen des Kondensates aufS - v _g spezifisches Volumen des Dampfes - v _L spezifisches Volumen des Kondensates Griechische Bezeichungen wirklicher Kondensationskoeffizient - Temperaturkoeffizient der Oberflächenspannung - _L Wärmeleitzahl des Kondensates - v _L kinematische Zähigkeit des Kondensates - _L charakteristische Schichtstärke - _L Dichte des Kondensates - Oberflächenspannung der Tropfen - Anteil der Flächeneinheit, der mit Tropfen mit dem Radius größer alsr ₁ besetzt ist (in erster Näherung gilt nur dieser Flächenanteil mit Tropfen besetzt) = 1—f     

Experimentelle Prüfung der Analogie zwischen konvektiver Wärme- und Stoffübertragung bei nichtabgelöster Strömung

Zusammenfassung Stoffübertragung für das System Naphthalin/Luft und Wärmeübertragung an Luft werden an der Platte mit laminarer und turbulenter Grenzschicht, in einem Rechteckkanal im Bereich des thermischen Analufs bei hydraulisch ausgebildeter turbulenter Strömung und am Kreisrohr bzw. Ringspalt bei vollausgebildeter Strömung gemessen. Die bekannten Gesetze bei Wärmeübertragung für Platte, Kreisrohr und Ringspalt in der Schreibweise für Stoffübertragung werden bestätigt. Die Gleichung vonElser für den thermischen Analufvorgang wird den Versuchsergebnissen angepaßt. Der Exponent der Prandtl- bzw. Schmidt-Zahl nimmt im Bereich 0,7<(Pr;Sc)<2,5 je nach Strömungsform Werte zwischen 0,33 und 0,67 an.

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Mass transfer for the system naphthalin/air and heat transfer with air were measured for the following geometries: a plate with laminar and turbulent boundary-layer, a rectangular channel with fully developed turbulent velocity distribution in the thermal entrance region, a pipe of circular cross-section, an annular both in fully developed turbulent flow. For the plate, pipe and annular, the results of the two measuring methods agree very well and confirm the well known laws of heat transfer.Elser equation for the thermal entrance region is adapted to the results. The exponent of the Prandtl and Schmidt numbers varies in the range of 0,7<(Pr;Sc)<2,5 between the values 0,33 and 0,67 depending on the state of flow.

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Bezeichnungen A empirische Zahlenkonstante - B empirische Zahlenkonstante - A Austauschgröße für Impuls [kg/ms] - A _q Austauschgröße für Wärme [kg/ms] - A _S Austauschgröße für Stoff [kg/ms] - B Plattenbreite [m] - C _f Widerstandsbeiwert - D Diffusionskoeffizient [m²/s] - F freier Strömungsquerschnitt [m²] - K empirische Zahlenkonstante - K _h Korrekturfaktor für Stefanstrom - L Plattenlänge [m] - M relative Molekülmasse [g/mol] - P Gesamtdruck [N/m²] - R Gaskonstante [Nm/kg grd] - S Oberfläche [m²] - T absolute Temperatur [°K] - U benetzter Umfang [m] - W Strömungswiderstand [N] - a Temperaturleitfähigkeit [m²/s] Exponent - b Exponent - c _p spezifische Wärme [J/kg grd] - d Rohrdurchmesser [m] - hydraulischer Durchmesser [m] - l charakteristische Bezugslänge [m] - Massenstromdichte [kg/m²s] - m Exponent - n Exponent - p Partial- bzw. Dampfdruck [N/m²] - q Wärmestromdichte [W/m²] - t Zeit [s] - u Exponent - mittlere Strömungsgeschwindigkeit [m/s] - y laufende Koordinate [m] - y* mittlere Lauflänge der Grenzschicht [m] - mittlere Wärmeübergangszahl [W/m²grd] - örtliche Wärmeübergangszahl [W/m²grd] - mittlere Stoffübergangszahl [m/s] - örtliche Stoffübergangszahl [m/s] - Temperatur [°C] - Wärmeleitfähigkeit [W/m grd] - kinematische Zähigkeit [m²/s] - Dichte [kg/m³] - Druckverlustbeiwert - P Druckverlust [N/m²] - G Gewichtsverlust [kg] Dimensionslose Kenngrößen Pr=/a Prandtl-Zahl - Sc=/D Schmidt-Zahl - Le=a/D Lewis-Zahl - Pr _t=A /A _q turbulente Prandtl-Zahl - Sc _t=A /A _S turbulente Schmidt-Zahl - Re=ie225-8 ·l/ Reynolds-Zahl - Nu= ·l/ Nusselt-Zahl - Sh _l= · l/D Sherwood-Zahl - St=Nu/Re Pr Stanton-Zahl - St=Sh/ReSc Stanton-Zahl für Stoffübertragung - j _W=St Pr ^1–n Wärmeübertragungskoeffizient - j _S=St Sc ^1–n Stoffübertragungskoeffizient - Tu % Turbulenzgrad Indizes A Stoff eines Zweistoffsystems - L Luft, Plattenlänge - M Mischung, bezogen auf den Massenstrom - N Naphthalin - S Stoffübertragung - W Wand; Wärmeübertragung - a, i außen, innen - 0 Bezugszustand     

Heat conduction in a cylinder crossed by an electric current with skin effect

The steady periodic temperature distribution in an infinitely long solid cylinder crossed by an alternating current is evaluated. First, the time dependent and non-uniform power generated per unit volume by Joule effect within the cylinder is determined. Then, the dimensionless temperature distribution is obtained by analytical methods in steady periodic regime. Dimensionless tables which yield the amplitude and the phase of temperature oscillations both on the axis and on the surface of copper or nichrome cylindrical electric resistors are presented.

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Wärmeleitung in einem stromdurchflossenen Zylinder unter Berücksichtigung des Skin-Effektes

Zusammenfassung Es wird die periodische Temperaturverteilung für den eingeschwungenen Zustand in einem unendlich langen, von Wechselstrom durchflossenen Vollzylinder ermittelt. Zuerst erfolgt die Bestimmung der zeitabhängigen, nichgleichförmigen Energiefreisetzung pro Volumeneinheit des Zylinders infolge Joulescher Wärmeentwicklung und anschließend die Ermittlung der quasistationären Temperaturverteilung auf analytischem Wege. Amplitude und Phasenverzögerung der Temperaturschwingungen werden für die Achse und die Oberfläche eines Kupfer- oder Nickelchromzylinders tabellarisch in dimensionsloser Form mitgeteilt.

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Nomenclature A integration constant introduced in Eq. (2) - ber, bei Thomson functions of order zero - Bi Biot numberhr ₀/ - c speed of light in empty space - c ₁,c ₂ integration constants introduced in Eq. (46) - c _p specific heat at constant pressure - E electric field - E _z component ofE alongz - E time independent part ofE, defined in Eq. (1) - f function ofs and defined in Eq. (11) - g function ofs and defined in Eq. (37) - h convection heat transfer coefficient - H magnetic field - i imaginary uniti=(–1)^1/2 - I electric current - I _eff effective electric currentI _eff=I/2^1/2 - Im imaginary part of a complex number - J _n Bessel function of first kind and ordern - J electric current density - q _g power generated per unit volume - time average of the power generated per unit volume - time averaged power per unit length - r radial coordinate - R electric resistance per unit length - r ₀ radius of the cylinder - Re real part of a complex number - s dimensionless radial coordinates=r/r ₀ - s, s integration variables - t time - T temperature - time averaged temperature - T _f fluid temperature outside the boundary layer - time average of the surface temperature of the cylinder - u, functions ofs, and defined in Eqs. (47) and (48) - W Wronskian - x position vector - x real variable - Y _n Bessel function of second kind and ordern - z unit vector parallel to the axis of the cylinder - z axial coordinate - · modulus of a complex number - equal by definition Greek symbols amplitude of the dimensionless temperature oscillations - electric permittivity - dimensionless temperature defined in Eq. (16) - ₀, ₁, ₂ functions ofs defined in Eq. (22) - thermal conductivity - dimensionless parameter=(2)^1/2 - magnetic permeability - ₀ magnetic permeability of free space - function of defined in Eq. (59) - dimensionless parameter=c _p/() - mass density - electric conductivity - dimensionless time=t - phase of the dimensionless temperature oscillations - function ofs:= ₁+i ₂ - angular frequency - dimensionless parameter=()^1/2 r ₀     

Zweidimensionale Bestimmung des Wirkungsgrades zylindrischer Rippen

Zusammenfassung Mehrdimensionale, stationäre Temperaturfelder in zylindrischen Körpern mit rechteckigem oder kreisförmigem Querschnitt lassen sich durch Potentialfunktionen beschreiben, wenn man von den bei konvektivem Wärmeübergang üblichen Voraussetzungen ausgeht. Aus den Temperaturfunktionen kann man den Rippenwirkungsgrad ermitteln.

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Two dimensional determination of the efficiency of cylindrical fins

Two dimensional steady-state fields of the temperature in cylindrical fins of rectangular or circular cross-sections are discribed by potential functions. The fin-efficiency is deducted from this. Assumption is that the heat transfer coefficients are constant and that the heat-conductivity is independent of the temperature.

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Bezeichnungen a, b halbe Rippendicke - c_x, c_z Konstanten - h Rippenhöhe - m₁ Rippenparameter bei eindimensionaler Betrachtung - m, m_x, m_z Rippenparameter bei mehrdimensionaler Betrachtung - r, x, y, z Koordinaten - u m · a/2 - v m·h - A Querschnittsfläche des Stabes - F Wärmeübertragungsfläche - J₀, J₁ Besselfunktionen - R Zylinderradius - T Übertemperatur zur Umgebung - T₀, T₁, T₂ Übertemperaturen (vgl. Bild 1) - U Wärmeübertragender Rippenumfang - a Wärmeübergangskoeffizient - a _F,a _F1etc. a an den Rippenflanken - a _K a am Rippenkopf - _R ^* Rippen Wirkungsgrad ( _R füra _k=0) - Umfangswinkel (Koordinate) - Wärmeleitfähigkeit     

Wärmeübertragung und Druckverlust in glatten und gebeulten Rohren

Zusammenfassung Es werden Messungen von Wärmeübergang und Druckverlust an einem Glattrohr und zwei unterschiedlichen Beulrohren beschrieben.Ein spezielles Verfahren zur Versuchsauswertung ermöglicht die Berechnung der Wärmeübergangskoeffizienten sowohl im Rohr als auch im Ringspalt ohne Messung der Rohrwandtemperaturen.Für die Wärmeübergangskoeffizienten und Druckverluste im Rohr werden Näherungsgleichungen angegeben.

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Heat transfer and pressure drop in smooth and buckled tubes

Measurements of heat transfer and pressure drop in a smooth and two different buckled tubes are described.A special evaluation method permits the determination of heat transfer coefficients as well in the tube as in the annulus without measuring tube wall temperatures.Approximation equations are presented for in tube heat transfer coefficients and pressure drop.

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Formelzeichen

Symbol Einheit Bedeutung A m² Fläche - B Konstante - c_p kj/kj K isobare spezifische Wärmekapazität - C Konstante - d m Durchmesser - D m Innendurchmesser des Mantelrohres - E Konstante - k W/m ² K Wärmedurchgangskoeffizient - K Korrekturfaktor, Gl. (42) - l m Länge - m kg/s Massenstrom - n Konstante, Exponent - N Anzahl der Messungen - p bar Druck - q Konstante, Exponent - Q W Wärmestrom - V m³/s Volumenstrom - w m/s Geschwindigkeit - W K/W Wärmewiderstand - W/m² K Wärmeübergangskoeffizient - m Wanddicke - endliche Differenz von . - Widerstandsbeiwert - kg/ms dynamische Viskosität - °C Temperatur - W/mK Wärmeleitfähigkeit - v m²s kinematische Viskosität - kg/m³ Dichte - Funktion Indizes a außen - B1 Beulrohr 1 - B2 Beulrohr 2 - fm bei der mittleren Fluidtemperatur - i innen - Lm logarithmischer Mittelwert bei Wand- und mittlerer Fluidtemperatur - m Mittel - m mit der Bezugslänge - m/ gebildet - w bei Wandtemperatur - 0 für Glattrohr - 1 Warmwasserseite - 2 Kaltwasserseite - am Eintritt - am Austritt - * unkorrigierte Werte Dimensionslose Kennzahlen FZ Formkennzahl - Nu Nusselt-ZahlNu= · d/gl - Pr Prandtl-ZahlPr= c_p/ - Re Reynolds-ZahlRe=w · d /v - SK Strömungskennzahl Gl. (12)     

Anwendung der Methode der finiten Elemente zur Berechnung eines instationären Wärmeleitvorganges,dargestellt am Beispiel: Kühlung einer Springform bei der Keilriemenvulkanisierung

Zusammenfassung Ausgehend von einem praxisnahen Beispiel wird allgemein aufgezeigt, wie sich die Methode der finiten Elemente, die in der Kontinuumsmechanik bereits weit verbreitet ist, auch zur numerischen Lösung instationärer dreidimensionaler Wärmeleitvorgänge in inhomogenen Körpern mit beliebigen Randbedingungen heranziehen läßt. Es werden zwei Wege zur Auswertung des Variationsintegrals gewiesen, deren einer eine Verallgemeinerung des sogenannten digitalen Beukenmodells darstellt. Im Anhang wird eine physikalische Interpretation des Variationsintegrales gegeben.

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Application of finite element solution technique in transient heat conduction calculation: illustrated by cooling of a locked form in v-belt-vulcanization

Starting from a problem of technical interest the universal application of finite element solution technique, broadly used in continuum-mechanics, for a numerical calculation of three-dimensional instationary heat-conduction through inhomogeneous bodies with real boundary-conditions is demonstrated. Two different ways in treating the variation-integral are shown, one of which is a generalization of so-called digital Beuken-model. In the appendix a physical interpretation of the variation-integral is given.

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Formelzeichen [ ] quadratische Koeffizientenmatrix - {_: ^:} Spaltenvektor - a, ¯a Wärmeübergangszahl - Variationssymbol - Wärmeleitzahl - Gewichtsfaktoren bei der Gaußschen Quadratur - spezifische Dichte - Temperaturfunktion - Dissipationspotential - , t, T, t Zeit, Zeitintervall - , _w, Temperatur, Kühlwassertemperatur, Übertemperatur - ₀,¯ Anfangstemperatur, transformierte Temperatur - c spezifische Wärme - r, z Zylinderkoordinaten im rotationssymmetrischen Fall - s Transformationsparameter der Laplace-Transformation - m, n, M, N natürliche Zahl - L Koeffizient - I generalisierter Fluß - O Oberfläche - V, V_g, ¯V Volumen, Grenzschichtvolumen, Gesamtvolumen - R Restglied - S Schwerpunkt - X generalisierte Kraft - g, i, j, k, o, p, q, r Indizierung von Knotenpunkten und Referenzpunkten usw - [L], [C], [O], [A], [E] Leit-, Kapazitäts-, Oberflächen-, Quotienten- und Einheitsmatrix     

Untersuchungen des Blasensiedens einiger verflüssigter Gase und ihrer binÄren Mischungen

Zusammenfassung Die Arbeit behandelt das Blasensieden an einer ebenen, horizontalen, 64·10^–4m² gro\en KupferoberflÄche von Stickstoff, Methan, Aethan und Gemischen aus Stickstoff/Methan und Methan/Aethan bei verschiedenen Drücken. Die Messwerte und empirischen Ausgleichskurven sind angegeben. Die Daten für die binÄren Gemische bestÄtigen die Gleichung von Happel und Stephan.

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Heat transfer in nucleate boiling of liquified gases and their binary mixtures

The paper deals with pool boiling of nitrogen, methane, ethane and mixtures of nitrogen/methane and methane/ethane at different pressures. The boiling surface was a horizontal, plan copper disk of 64·10^–4m²· The measured data points and their fit by an empirical correlation are given. For mixtures the correlation of Happel and Stephan provides a good agreement with the results.

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Formelzeichen a₁, a₂, a₃ Konstanten - b₁,b₂ Konstanten - K Konstante - n,n₁,n₂ Konstanten - p Druck Pa, M Pa - p_red reduzierter Druck (p/p_kritisch) - q^* WÄrmestromdichte W/m² - R_p Rauhtiefe m - x Molanteil der leichter flüchtigen Komponente in der Flüssigkeit - y Molanteil der leichter flüchtigen Komponente im Dampf - WÄrmeübergangskoeffi-W m^–2 K^–1zient - _i idealer WÄrmeüber-W m^–2K^–1 - _i gangskoeffizient - realer WÄrmeübergangs-W m^–2K^–1 - _r koeffizient - T Temperaturdifferenz K     

Transport in ordered and disordered porous media V: Geometrical results for two-dimensional systems

In this paper we continue the geometrical studies of computer generated two-phase systems that were presented in Part IV. In order to reduce the computational time associated with the previous three-dimensional studies, the calculations presented in this work are restricted to two dimensions. This allows us to explore more thoroughly the influence of the size of the averaging volume and to learn something about the use of anon-representative region in the determination of averaged quantities.

Nomenclature

Roman Letters A interfacial area of the– interface associated with the local closure problem, m² - a _i i=1, 2, gaussian probability distribution used to locate the position of particles - l unit tensor - characteristic length for the-phase particles, m - ⁰ reference characteristic length for the-phase particles, m - characteristic length for the-phase, m - _i i=1,2,3 lattice vectors, m - m convolution product weighting function - m _V special convolution product weighting function associated with a unit cell - n _i i=1, 2 integers used to locate the position of particles - n unit normal vector pointing from the-phase toward the-phase - r _p position vector locating the centroid of a particle, m - r gaussian probability distribution used to determine the size of a particle, m - r ₀ characteristic length of an averaging region, m - V averaging volume, m³ - V volume of the-phase contained in the averaging volume,V, m³ - x position of the centroid of an averaging area, m - x ₀ reference position of the centroid of an averaging area, m - y position vector locating points in the-phase relative to the centroid, m Greek Letters V /V, volume average porosity - _{a i} standard deviation ofa _i - _r standard deviation ofr - intrinsic phase average of      

Ein Rechenmodell für reagierende turbulente Scherströmungen im chemischen Nichtgleichgewicht

Zusammenfassung Zur Berechnung turbulenter Strömungen mit chemischen Reaktionen wird ein Schlie\ungsmodell 2. Ordnung vorgeschlagen, das auch die Berücksichtigung von chemischem Nichtgleichgewicht erlaubt. Es besteht aus dem k- Modell zur Schlie\ung der gemittelten Impulsgleichungen, einem thermodynamischen Modell zur Schlie\ung der Zustandsgieichungen und der Energiegleichung und einem Mischungsmodell, das den Grad der Vermischung der Komponenten beschreibt und damit die Schlie\ung der gemittelten Stofferhaltungsgleichungen erlaubt.Für die Behandlung der gemittelten reaktionskinetischen Quellterme der Stofferhaltungsgleichungen wird eine Modifikation des Reihenansatzes von Borghi [7] vorgeschlagen, der die AnnÄherung an den Gleichgewichtszustand besser beschreibt. Das Modell wird auf die von Batt [11, 12] vermessene ebene Scherströmung angewendet und zeigt gute übereinstimmung zwischen Rechnung und Experiment.

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A method for predicting reacting turbulent shear flows with chemical non-equilibriums

A prediction model based on second order closure for the calculation of reacting turbulent flows including chemical non-equilibrium is put forward. It consists of the k- model for the closure of the mean momentum equations, the thermodynamic model for the closure of the mean equations of state and the mean energy-equation and the mixing model that describes the degree of mixedness of the components and consequently leads to the closure of the mean mass transport equations. A modification of the series truncation method of Borghi [7] is suggested that improves the representation of the mean chemical source terms as equilibrium is approached. The results of the calculations are compared with the measurements of Batt [11, 12] in a turbulent plane shear layer with and without reaction and show good agreement.

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Bezeichnungen C_i,j Turbulenzkonstante - D Divergenz der Geschwindigkeit (m/s) - D_b, D_f Vorexponentielle Faktoren im Arrheniusansatz (m³/kmol) - E_b, E_f Exponenten im Arrheniusansatz - F_b, F_f Aktivierungsenergie (K) - H_i Bezugsenthalpie der i-ten Komponente (kJ/kg) - K_i,j Turbulenzkonstante - KON Anzahl der im System vorkommenden Komponenten - M_i Molmasse (kg/kmol) - NR Anzahl der im System vorkommenden Elementargleichungen - Q_ij Konzentrationskorrelation zwischen der i-ten und der j-ten Komponente (kg²/m⁶) - R Restglied der Taylorentwicklung für die Geschwindigkeitskoeffizienten - T Temperatur (K) - a_b, a_f,b_b, b_f Koeffizienten der Taylorreihenentwicklung der Geschwindigkeitskoeffizienten - c_i Massenkonzentration der i-ten Komponente - c₁ Turbulenzkonstante der -Gleichung - c₂ Turbulenzkonstante der -Gleichung - c₃ Turbulenzkonstante der -Gleichung - c_pi spezifische WÄrmekapazitÄt der i-ten Komponente (kJ/kg/K) - h_i spezifische Enthalpie des Gesamtsystems (kJ/kg/K) - k Turbulenzenergie (m²/s²) - k_fj, k_bj Geschwindigkeit der j-ten Elementarreaktion (m³/kmol) - p Druck (N/m²) - v, (u,v,w) Geschwindigkeit (m/s) - x, (x,y,z) Raumkoordinate (m) - Molekularer Diffusionskoeffizient (m²/s) - Allgemeine Gaskonstante (kJ/kmol K) - w_i Quellterm der Konzentrationserhaltungsgleichungen (kg/m³/s) - _ijij stöchiometrische Koeffizienten deriten Komponente in der j-ten Elementarreaktion (VorwÄrtsreaktion ,RückwÄrtsreaktion) - _ij Kronecker-Symbol - Turbulente Dissipation (m²/s³) - Molekulare WÄrmeleitfÄhigkeit (KJ/m/s/K) - Dynamische ZÄhigkeit (kg/m/s) - _t Turbulente dynamische ZÄhigkeit(kg/ m/s) - kinematische ZÄhigkeit (m²/s) - _t Turbulente kinematische ZÄhigkeit (m²/s) - Turbulente Prandtlzahl Mittelwert und Schwankungsgrö\en Unbewichteter Mittelwert - · Unbewichtete Schwankungsgrö\e - Bewichteter (Favre-) Mittelwert - · Bewichtete (Favre-)Schwankungsgrö\e Indizes i,j Komponentenindex - , Summations-oder Vektorindex (,=1,2,3) - b RückwÄrtsreaktion - f VorwÄrtsreaktion     

Natural convection in rectangular enclosures with partial heating and cooling

The flow and heat transfer in partially heated and partially cooled cavities were numerically analyzed. Using the control volume approach, a computer program based on SIMPLE algorithm was developed. A square enclosure with variable size heater and cooler on the vertical walls was considered. Computations were carried out to investigate the effects of heater and cooler size on the heat transfer rate. It was observed that for a given cooler size, the mean Nusselt number decreases with increasing heater size. On the other hand, for a given heater size, the mean Nusselt number increases with increasing cooler size. For all Rayleigh numbers considered, the same behavior was observed.

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Natürliche Konvektion in geschlossenen Räumen mit partieller Heizung und Kühlung der Wände

Zusammenfassung Es wurde ein numerisches Modell zur Analyse des Strömungs- und Wärmeübergangsverhaltens in teilweise beheizten und gekühlten Hohlräumen entwickelt und unter Verwendung des Kontrollvolumenprinzips und des Algorithmus SIMPLE als Computer-Programm formuliert. Der Hohlraum ist rechteckig und die variablen Heiz- und Kühlflächen befinden sich auf gegenüberliegenden Vertikalseiten. Hauptziel der Berechnungen war es, den Einfluß der variablen Heiz- und Kühlflächen auf den Wärmeübergang zu ermitteln. Für eine bestimmte Kühlergröße zeigte sich eine Abnahme der gemittelten Nußelt-Zahl mit zunehmender Heizfläche. Andererseits — bei gegebener Heizfläche — stieg die Nußelt-Zahl mit der Kühlfläche an. Dieses Verhalten wurde bei allen untersuchten Rayleighzahlen gefunden.

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Nomenclature g gravitational acceleration - H height of cavity - k thermal conductivity of fluid - l _C cooler size - l _H heater size - mean Nusselt number - Nu _y local Nusselt number - P pressure - Pr Prandtl number - Ra Rayleigh number (Ra = gH ³(T _H –T _C)/()) - T temperature - T _C temperature of cold surface - T _H temperature of hot surface - T _R reference temperature (T _R = (T _C +T _H)/2) - u velocity component inx-direction - x horizontal axis - v velocity component iny-direction - y vertical axis Greek symbols thermal diffusivity - thermal expansion coefficient - density of fluid - stream function - kinematic viscosity     

Eine analytische Näherungslösung für die eingefrorene laminare Grenzschichtströmung eines binären Gemisches

Zusammenfassung Für die eingefrorene laminare Grenzschichtströmung eines teilweise dissoziierten binären Gemisches entlang einer stark gekühlten ebenen Platte wird eine analytische Näherungslösung angegeben. Danach läßt sich die Wandkonzentration als universelle Funktion der Damköhler-Zahl der Oberflächenreaktion angeben. Für das analytisch darstellbare Konzentrationsprofil stellt die Damköhler-Zahl den Formparameter dar. Die Wärmestromdichte an der Wand bestehend aus einem Wärmeleitungs- und einem Diffusionsanteil wird angegeben und diskutiert. Das Verhältnis beider Anteile läßt sich bei gegebenen Randbedingungen als Funktion der Damköhler-Zahl ausdrücken.

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An analytical approximation for the frozen laminar boundary layer flow of a binary mixture

An analytical approximation is derived for the frozen laminar boundary layer flow of a partially dissociated binary mixture along a strongly cooled flat plate. The concentration at the wall is shown to be a universal function of the Damkohler-number for the wall reaction. The Damkohlernumber also serves as a parameter of shape for the concentration profile which is presented in analytical form. The heat transfer at the wall depending on a conduction and a diffusion flux is derived and discussed. The ratio of these fluxes is expressed as a function of the Damkohler-number if the boundary conditions are known.

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Formelzeichen A Atom - A₂ Molekül - C Konstante in Gl. (20) - c₁=1/(2C) Konstante in Gl. (35) - c_p spezifische Wärme bei konstantem Druck - D binärer Diffusionskoeffizient - Ec=u ² /(2h_f) Eckert-Zahl - h spezifische Enthalpie - h_t=h+u²/2 totale spezifische Enthalpie - h _A ⁰ spezifische Dissoziationsenthalpie - K_w Reaktionsgeschwindigkeitskonstante der heterogenen Wandreaktion - 1= /( ) Champman-Rubesin-Parameter - Le=Pr/Sc Lewis-Zahl - M Molmasse - p statischer Druck - Pr= c_pf/ Prandtl-Zahl - q_w Wärmestromdichte an der Wand - q_cw, q_dw Wärmeleitungsbzw. Diffusionsanteil der Wärmestromdichte an der Wand - universelle Gaskonstante - R=/(2M_a) individuelle Gaskonstante der molekularen Komponente - Re_x= u x/ Reynolds-Zahl - Sc=/( D) Schmidt-Zahl - T absolute Temperatur - T_d=h _A ⁰ /R charakteristische Dissoziationstemperatur - u, v x- und y-Komponenten der Geschwindigkeit - U=u/u normierte x-Komponente der Geschwindigkeit - x, y Koordinaten parallel und senkrecht zur Platte Griechische Symbole - =A/ Dissoziationsgrad - Grenzschichtdicke - ₂ Impulsverlustdicke - Damköhler-Zahl der Oberflächenreaktion - =T/T normierte Temperatur - =y/ normierter Wandabstand - Wärmeleitfähigkeit - dynamische Viskosität - , ^* Ähnlichkeitskoordinaten - Dichte - Schubspannung Indizes A auf ein Atom bezogen - M auf ein Molekül bezogen - f auf den eingefrorenen Zustand bezogen - w auf die Wand bezogen - auf den Außenrand der Grenzschicht bezogen