活用λ的几何意义解题

定理　如果 A、B两点的坐标是A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P在直线 AB上 ,APPB=λ　 (λ≠ - 1 ) ,那么xp =x1 λx21 λ ,yp =λ1 λy21 λ .这是大家熟悉的定比分点公式 .运用该公式解题时 ,注意“数形结合”,明确点 P在直线 AB上的位置与数λ的相互对应关系 (见下表 ) ,不仅能使某些问题化难为易 ,而且能体味其解法的简洁美 .P在直线 AB上的位置λ的变化情况P在有向线段 AB内 0 <λ < ∞P→ Aλ→ 0 P→ Bλ→ ∞P为线段 AB中点λ =1P在有向线段 AB的延长线上 -∞ <λ <- 1P无限远离 B时λ→ - 1-P→ Bλ→ -∞P在有向…     

λ=PM／MQ=XM-XP／XQ-XM=YM-YP／YQ-YM的应用拾零

在定比分点公式的证明过程中 ,出现了如下一个重要的表达式 :λ =PMMQ=xM-xPxQ-xM=yM - yPyQ- yM　 ( )点P在有向线段PQ的内部 λ >0 ;点P在有向线段PQ的外部 λ <0 .在定比分点公式xM =xP+λxQ1+λ ,yM =yP+λyQ1+λ推导出来后 ,( )式就被忽视了 .其实 ,若能灵活地运用它们 ,则可事半功倍 .例 1　 (2 0 0 3年北京西城区高考模拟题 )已知点P(4 ,- 9) ,Q(- 2 ,3) ,则 y轴与直线PQ的交点分有向线段PQ所成的比为 (　　 )(A) 1.　　　　　 (B) 2 .(C) 3.　　　　　 (D) 4 .解　设PQ与y轴的交点为M (0 ,b) ,由题设及( ) ,知λ =…     

定比分点公式的应用

设 A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P( x,y)分有向线段 AB所成的比　 APPB=λ　 (λ≠ - 1 ) ,则 x =x1 λx21 λ ,y =y1 λy21 λ .且当 P为内分点时 ,λ >0 ;当 P为外分点时 ,λ <0 (λ≠ -1 ) ;当 P与 A重合时 ,λ=0 ;当 P与 B重合时λ不存在 .这就是定比分点的含义 .如果我们能适时地引导学生运用定比分点公式 ,不仅可以解决解析几何自身的若干问题 ,比如求点的坐标、证明三点共线、求参数范围、求轨迹方程等等 ,而且更重要的是拓宽或推广其它已学过的数学问题 .对培养学生的创新意识和激发学生的学习积极性和主动性都是大有裨益…     

第十一章 直线方程

§1 基本公式要点有向线段,两点间的距离公式,线段的定比分点公式,三角形的重心公式。例1 A、C、B、D是直线l上的顺次四点。且|AB|=5,|BC|=3,|CD|=7,E、F分别为线段AC、BD的中点。求|AC|、|BD|、|BE|。解如图11-1。选定直线l的正向。则有向线段AB=5,BC=-3,CD=7。得     

定比分点的应用

设 A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P( x,y)分有向线段 AB—— 所成的比 APPB=λ(λ≠ 1 ) ,则 x =x1 λx21 λ ,y =y1 λy21 λ .且当 P为内分点时λ>0 ;当 P为外分点时λ<0 (λ≠ - 1 ) ;当 P与A重合时λ=0 ;当 P与 B重合时λ不存在 .这就是定比分点的含义 .它在解析几何中的广泛应用是大家熟知的 ,如果我们注意充分挖掘定比分点的内涵 ,还不难发现它在其它一些非解几问题中的应用 .1　 用于比较数的大小例 1　已知 a >0 ,b >0 ,0 相似文献   

立足基本知识 培养学生能力——谈定比分点公式的应用

定比分点公式是解析几何中最基本的概念之一 ,如果我们在进行解几多点共线问题、复数的、不等式的教学时 ,能适时地引导学生灵活地应用或恰当引入定比 ,运用定比分点公式进行坐标变换或推广一些已学过的知识 ,则可以大大地激发学生的学习积极性和主动性 .定比分点公式　若已知两端点为 P1 (x1 ,y1 )、P2 (x2 ,y2 ) .点 P分有向线段 P1 P2 所成的定比为λ,则分点 P的坐标为　 x=x1 λ. x21 λ ,y =y1 λ. y21 λ(或　λ=x - x1 x2 - x=y - y1 y2 - y;　λ≠ - 1 ) .图 1如图 1 :随着点在直线上的不同分布 ,定比λ的值分布也在变化 .可…     

用平面区域的知识巧解一题

已知直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,那么直线l的斜率的取值范围是______.解由已知,可设直线l的方程为y-2=k(x+1),可化为kx-y+k+2=0,由于直线l与线段AB相交,可知点4(-2,-3)与点B(3,0)在直线l的两侧.     

用一个向量式解一组高考试题

向量是数学中的重要概念之一 .新的《全日制普通高级中学数学教学大纲》(试验修订版 )已将《平面向量》纳入教学计划 ,编入高中数学教材 .本文拟利用高中数学 (试验修订本.必修 )第一册 (下 ) P1 0 7例 5所得结论 ,即直线上的游动点公式解一组高考试题 .直线上的游动点公式 :设 O是点 A和 B的连线外一点 ,则点 P和 A、B共线的充要条件是存在实数λ,使得OP =λ OA ( 1 -λ) OB(如图 1 ) .图 1　　　　　　图 2例 1　已知两点 P( - 2 ,2 ) ,Q( 0 ,2 )以及一条直线 l:y =x,设长为 2的线段 AB在直线 l上移动 ,如图 2 .求直线 PA与 QB…     

平面几何中的一个定比分点公式及应用

众所周知,在解析几何中有一个常用的定比分点公式,实际上在平面几何中也存在类似的结论.笔者给出关于线段比的一个定比分点公式,并举数例说明其在解题中的应用. 定理 设D是△ABC的边BC上一点,P、Q、R分别为AB、AD、AC(或其延长线)上的点,记会AB/AP=x1,AC /AR=x2,AD/AQ=x,BD/DC=λ,若P、Q、R三点共线,则x=x=x1+λx2/1+λ(*).     

利用TI-92Plus解决几个解析几何典型题

例1 已知直线L:ax y 2=0与点A(-2,1),B(3,2),当直线L与线段AB相交时,实数a的取值范围是( ).     

活用λ的几何意义

定理　如果Ａ、Ｂ两点的坐标是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,点Ｐ在直线ＡＢ上 ,ＡＰＰＢ =λ(λ≠ -1) ,那么ｘＰ=ｘ1+λｘ21+λ ,ｙＰ=ｙ1+λｙ21+λ .这是大家熟悉的定比分点公式 .运用该公式解题时注意“数形结合” ,明确Ｐ在直线ＡＢ上的位置与数λ的相互对应关系 ,不仅能使某些问题化难为易 ,而且能体味其解法的简洁美 .Ｐ在直线ＡＢ上的位置λ的变化情况Ｐ在有向线段ＡＢ内Ｐ为线段ＡＢ中点0 <λ<+∞λ =1Ｐ在有向线段ＡＢ的延长线上 -∞ <λ<- 1Ｐ在有向线段ＢＡ的延长线上 - 1<λ <0　　例 1　解不等式 0 <ｘ2 -5ｘ + 6ｘ2 + 5ｘ …     

直线与二次曲线相关的一个命题

命题 设直线l：f（x,y）=0与二次曲线g（x,y）=0交于不同的两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,由{f（x,y）=0 g（x,y）=0,分别消去y,x得v（x）=0,v（y）=0（使u（x）,v（y）的二次项系数相等）,则以线段AB为走私的圆的方程为：u（x）＋v（y）=0.     

以定比λ为参数的题解拾零

一、定比λ的几何意义及其正负值的确定从高中课本《平面解析几何》所述“线段的定比分点”的内容中,我们便可得到定比λ(在定比分点坐标中λ≠-1)的几何意义是:λ所对应的点P就是分线段p_1p_2为定比λ=p_1 p/(pp_2 )的分点。如果点P是线段p_1 p_2了的内分点,这时λ为正值;如果点P是线段p_1p_2的外分点,这时λ为负值。二、应用举例如果视λ为多数,那么,我们在解决一些关于线段的比以及与线段的比有关的问题时,便可以考虑利用参数λ。 (I)组成解析法。例1 △ABC的两边AB、 AC 的中点分别     

推导定比分点公式的启示

定比分点公式是解析几何中的一个重要公式 ,有着广泛的应用 .推导公式的关键是将有向线段Ｐ1Ｐ2 投影到坐标轴上 (如图 1) ,化点Ｐ分有向线段Ｐ1Ｐ2 所成的比λ为点Ｍ分坐标轴上有向线段Ｍ1Ｍ2所成的比 .即应用了公式 :　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ (Ⅰ )　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ (Ⅱ )(1)　　　　　　　 (2 )图 1　推导公式 (Ⅰ ) ,(Ⅱ )所用图然而 ,定比分点公式一经推出 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)往往不再被重视 .事实上 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)启示着我们 :求解与线段之比有关的问题时 ,可以将其转化为在同一坐…     

定比分点公式的向量形式及应用

众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式.本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用,供大家参考.1定理及其推论定理(定比分点公式的向量形式)设点P分P1P2的比为λ(即P1P=λPP2,λ≠-1),Q为平面上     

用定比分点公式证明一类不等式

分析此题我们通常用判别式法去证．如果设，1分别是有向线段上的三点，则可通过定比A的值确定问、外分点来证得．证明设P为数轴上点P1（-4）与点P2（1）的分点，则∴λ≥0或λ不存在，∴点P不是P1P2的外分点．用定比分点公式证明一类不等式@刘成文$江西省新干县三湖中学!331303     

高中数学同步训练 第七章 直线

§1 直角坐标系·定比分点一、选择题 1.ABCD是一个四边形,顶点是A(-5,-1),B(15,-6),C(8,12),D(-2,7),P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点,则PR和QS的交点T的坐标是( ) (A)(5,4) (B)(4.5) (C)(4,3) (D)(3,4) 2.x~2 y~2—2axcosθ-2lysinθ-a~2sin~0=0在x轴上截得的弦长是( ) (A)2a (B)4|a| (C)2~2(1/2)|a| (D)2|a| 3.点P把线段P_1P_2分成P_1P与PP_2两线段的比λ=P_1P/PP_2,如果λ=-1那么( ) (A)P与P_1重合 (B)P与P_2重合 (C)P在线段P_1P_2之外 (D)P点不存在     

对2011年山东卷文科压轴题的探究

2011年高考山东卷文科压轴题：在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：x^2/3＋y^2=1.如图1所示,斜率为k（k〉0）且不过原点的直线L交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线0E交椭圆C于点G,交直线X=-3于点D（-3,m）．     

线段定比分点的“十分钟”

若P1,P,P2三点共线,则P叫有向线段P1P2的定比分点,且把满足P1P=λPP2的实数λ叫P分有向线段P1P2所成的比.由P1P=λPP2得|λ|=||PP1PP2||,其分子、分母分别为:有向线段的P1P2始点的P1到分点P,分点P到终点P2的向量的长度,结合分子、分母并取其谐音即为“十分钟(始分分终)”.P在线段P1P2上时,λ>0,λ=||PP1PP2||(“十分钟”).P在线段P1P2延长线上时,λ<-1,λ=-|P1P||PP2|(负“十分钟”).P在线段P1P2延长线上时,-1<λ<0,λ=-|P1P|(负“十分钟”).线段定比分点的“十分钟”@刘建$新疆乌鲁木齐市六中南湖分校!830063~~…     

巧用定比“λ”解题

对于定比“λ”的应用,我们一般只停留在求点的坐标或以“λ”为参数求轨迹的问题中,而实际上,它还可以解决许多比较繁难的题目。下文将归纳二类问题,以供大家参考。一、证明线段相等例1 双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1的切点为p的切线交渐近线于A,B二点。求证:P点必平分线段AB。证明:因双曲线渐近线方程为y=±(b/a)x,可设A(x~1,(b/a)x_1)、B(X_2,-(b/a)x_2)为切线与渐近线的二交点。再设P点分线段AB的定比为λ,且P点的