The Concentration Function of Additive Functions with Special Weight

Suppose that $${g\left( n \right)}$$ is an additive real-valued function, W(N) = 4+ $$\mathop {\min }\limits_\lambda $$ ( λ₂ + $$\sum\limits_{p < N} {\frac{1}{2}} $$ min (1, ( g(p) - λlog p)²), E(N) = 4+1 $$\sum\limits_{\mathop {p < N,}\limits_{g(p) \ne 0} } {\frac{1}{p}.} $$ In this paper, we prove the existence of constants C₁, C₂ such that the following inequalities hold: $\mathop {\sup }\limits_a \geqslant \left| {\left\{ {n, m, k: m, k \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N},n + m^2 + k^2 } \right.} \right. = \left. {\left. {N,{\text{ }}g(n) \in [a,a + 1)} \right\}} \right| \leqslant \frac{{C_1 N}}{{\sqrt {W\left( N \right)} }},$ $\mathop {\sup }\limits_a \geqslant \left| {\left\{ {n, m, k: m, k \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N},n + m^2 + k^2 } \right.} \right. = \left. {\left. {N,{\text{ }}g(n) = a} \right\}} \right| \leqslant \frac{{C_2 N}}{{\sqrt {E\left( N \right)} }},$ . The obtained estimates are order-sharp.     

Bombieri's theorem in short intervals

The well-known Bombieri-A. I. Vinogradov theorem states that (1) $$\sum\limits_{q \leqslant x^{\tfrac{1}{2}} (\log x)^{ - s} } {\mathop {\max }\limits_{(a,q) = 1} \mathop {\max }\limits_{y \leqslant x} } \left| {\psi (y,q;a) - \frac{y}{{\varphi (q)}}} \right| \ll \frac{x}{{(\log x)^A }},$$ whereA is an arbitrary positive constant,B=B(A)>0, and as usual, $$\psi (x,q;a) = \sum\limits_{\mathop {n \leqslant x}\limits_{n = a(q)} } {\Lambda (n),}$$ Λ being the Von Mangoldt's function. The problem of finding a result analogous to (1) for short intervals was investigated by many authors. Using Heath-Brown's identity and the approximate functional equation for DirichletL-functions, A. Perelli, J. Pintz and S. Salerno in 1985 established the following extension of Bombieri's theorem: Theorem 1. (2) $$\sum\limits_{q \leqslant Q} {\mathop {\max }\limits_{(a,q) = 1} \mathop {\max }\limits_{h \leqslant y} \mathop {\max }\limits_{\frac{x}{2}< \approx \leqslant x} } \left| {\psi (z + h,q;a) - \psi (z,q;a) - \frac{h}{{\varphi (q)}}} \right| \ll \frac{y}{{(\log x)^A }}$$ where A>0 is an arbitrary constant,y=x ^θ $$\frac{7}{{12}}< \theta \leqslant 1, Q = x^{\frac{1}{{40}}} .$$ ,Q=x ^1/40. By improving the basic lemma which A. Perelli, J. Pintz and S. Salerno used as the main tool to prove Theorem 1, we obtain Theorem 2.Under the same condition as in Theorem 1,for Q=x ^1/38.5, (2)still holds.     

Randomly weighted sums of dependent subexponential random variables*

We consider the randomly weighted sums $ \sum\nolimits_{k = 1}^n {{\theta_k}{X_k},n \geqslant 1} $ , where $ \left\{ {{X_k},1 \leqslant k \leqslant n} \right\} $ are n real-valued random variables with subexponential distributions, and $ \left\{ {{\theta_k},1 \leqslant k \leqslant n} \right\} $ are other n random variables independent of $ \left\{ {{X_k},1 \leqslant k \leqslant n} \right\} $ and satisfying $ a \leqslant \theta \leqslant b $ for some $ 0 < a \leqslant b < \infty $ and all $ 1 \leqslant k \leqslant n $ . For $ \left\{ {{X_k},1 \leqslant k \leqslant n} \right\} $ satisfying some dependent structures, we prove that $$ {\text{P}}\left( {\mathop {{\max }}\limits_{1 \leqslant m \leqslant n} \sum\limits_{k = 1}^m {{\theta_k}{X_k} > x} } \right)\sim {\text{P}}\left( {\sum\limits_{k = 1}^m {{\theta_k}{X_k} > x} } \right)\sim {\text{P}}\left( {\mathop {{\max }}\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} {\theta_k}{X_k} > x} \right)\sim \sum\limits_{k = 1}^m {{\text{P}}\left( {{\theta_k}{X_k} > x} \right)} $$ as x??????.     

On a problem in probability theory

For continuous random variables, we study a problem similar to that considered earlier by one of the authors for discrete random variables. Let numbers $$N > 0, E > 0, 0 \leqslant \lambda _1 \leqslant \lambda _2 \leqslant \cdots \leqslant \lambda _s $$ be given. Consider a random vector x = (x ₁, …, x _s), uniformly distributed on the set $$x_j \geqslant 0, j = 1, \ldots ,s; \sum\limits_{j = 1}^s {x_j = N} , \sum\limits_{j = 1}^s {\lambda _j x_j \leqslant E} .$$ We study the weak limit of x as s → ∞.     

Classes of functions subharmonic in ℝm and bounded on certain sets

Let Z_j be the Euclidean space of vectors \((z_{j,1,...,} z_{j_{j \cdot n_j + 1} } ), Z = \mathop \oplus \limits_{j = 1}^P Z_j\) . The function u: Z → ?₊, u ?0, is said to be logarithmically p-subharmonic if log u(z) is upper semicontinuous with respect to the totality of the variables and subharmonic or identically equal to ?∞ with respect to each z_j when the remaining ones are fixed. For such functions, with the growth estimate $$log u(z) \leqslant \delta \mathop \Pi \limits_{j = 1}^P (1 + |z_{j,n_j + 1} |) + N(\mathop {\sum\limits_{\mathop {1 \leqslant j \leqslant p}\limits_{} } {z_{j,k}^2 } }\limits_{1 \leqslant k \leqslant n_j } )^{1/2} + C; \delta ,N \geqslant 0, C \in \mathbb{R}$$ one proves theorems on equivalence of^∞) (L_q)-norms of their restrictions to \(X = \mathop \oplus \limits_{j = 1}^P (Z_{j,1} ,...,z_{j,n_j } )\) and to a relatively dense subset of it, generalizing the known Cartwright and Plancherel-Pólya results.     

Strong approximation by rectangular partial sums of double orthogonal series

Пусть {? _ik(x):i, k=1, 2,...} — орто нормированная систе ма в пространстве с полож ительной мерой и {a _ik} — последов ательность действит ельных чисел, для которой $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \kappa ^2 (i,k)< \infty ,$$ где {x(i, K)} — определенна я неубывающая последовательность положительных чисел. Тогда суммаf(x) двойног о ортогонального ряд а \(\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) существует в смысле с ходимости в метрикеL ² и сходимос ти почти всюду. Изучае тся порядок так называем ой сильной аппроксимац ииf(x) (при коэффициентн ых условиях) прямоуголь ными частными суммами \(s_{mn} (x) = \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) . Основной ре зультат состоит в сле дующем. Если {λ_j(m):m=1, 2,...} — неубывающи е последовательност и положительньк чисел, стремящиеся к ∞ и такие, что \(\mathop {\lim \sup }\limits_{m \to \infty } \lambda _j (2m)/\lambda _j (m)< \sqrt 2 \) дляj=1,2, и если $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \left[ {\log log (i + 3)} \right]^2 \left[ {\log log (k + 3)} \right]^2 (\lambda _1^2 (i) + \lambda _2^2 (k))< \infty ,$$ TO ПОЧТИ ВСЮДУ $$\left\{ {\frac{1}{{mn}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^m \left[ {s_{ik} (x) - f(x)} \right]^2 } \right\}^{1/2} = o_x (\lambda _1^{ - 1} (m) + \lambda _2^{ - 1} (n))$$ при min (m, n) → ∞.     

On the error term for the counting functions of finite Abelian groups

Leta(n) denote the number of non-isomorphic Abelian groups withn elements, and Δ(x) (resp. Δ _x ) appropriate error terms in the asymptotic formulas for the counting function \(\sum\nolimits_{n \leqslant x} {a(n)} (resp. \sum\nolimits_{m n \leqslant x} {a(m)} a(n))\) . Sharp bounds for $$\int\limits_1^X {\Delta (x) dx} , \int\limits_1^X {\Delta _{ 1} (x) dx} ,\int\limits_1^X {\Delta _1^2 (x) dx} $$ are given by using results on power moments of the Riemann zeta-function.     

Absolute tauberian conditions for absolute hausdorff and quasi-hausdorff methods

The purpose of this paper is to prove that for a large set of absolute Hausdorff and quasi-Hausdorff methods the condition $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {\lambda _n a_n - \lambda _{n - 1} a_{n - 1} } \right|< } \infty $$ is a Tauberian condition, i.e., its fulfillment together with the absolute summability of \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } \) tos implies that \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left| {a_n } \right|}< \infty \) and \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } = s.\) a _n =s.     

Asymptotic properties for the loglog laws under positive association

Let {X _n : n ?? 1} be a strictly stationary sequence of positively associated random variables with mean zero and finite variance. Set $S_n = \sum\limits_{k = 1}^n {X_k }$ , $Mn = \mathop {\max }\limits_{k \leqslant n} \left| {S_k } \right|$ , n ?? 1. Suppose that $0 < \sigma ^2 = EX_1^2 + 2\sum\limits_{k = 2}^\infty {EX_1 X_k < \infty }$ . In this paper, we prove that if E|X ₁|^2+?? < for some ?? ?? (0, 1], and $\sum\limits_{j = n + 1}^\infty {Cov\left( {X_1 ,X_j } \right) = O\left( {n^{ - \alpha } } \right)}$ for some ?? > 1, then for any b > ?1/2 $$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \searrow 0} \varepsilon ^{2b + 1} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{(\log \log n)^{b - 1/2} }} {{n^{3/2} \log n}}} E\left\{ {M_n - \sigma \varepsilon \sqrt {2n\log \log n} } \right\}_ + = \frac{{2^{ - 1/2 - b} E\left| N \right|^{2(b + 1)} }} {{(b + 1)(2b + 1)}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^k }} {{(2k + 1)^{2(b + 1)} }}}$$ and $$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \nearrow \infty } \varepsilon ^{ - 2(b + 1)} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{(\log \log n)^b }} {{n^{3/2} \log n}}E\left\{ {\sigma \varepsilon \sqrt {\frac{{\pi ^2 n}} {{8\log \log n}}} - M_n } \right\}} _ + = \frac{{\Gamma (b + 1/2)}} {{\sqrt 2 (b + 1)}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^k }} {{(2k + 1)^{2b + 2} }}} ,$$ where x ₊ = max{x, 0}, N is a standard normal random variable, and ??(·) is a Gamma function.     

Volume Formulas in Lp-Spaces

We extend classical volume formulas for ellipsoids and zonoids to p-sums of segments $${vol}\left( {\sum\limits_{i=1}^m { \oplus_p } [ -x_i ,x_i ]} \right)^{1/n} \sim_{c_p} n^{ - \frac{1}{{p'}}} \left( {\sum\limits_{card(I) = n} {|\det (x_i)_i |^p}} \right)^{\frac{1}{{pn}}}$$ where x1,...,xm are m vectors in $\mathbb{R}^n ,\frac{1}{p} + \frac{1}{{p\prime }} = 1$ . According to the definition of Firey, the Minkowski p-sum of segments is given by $$\sum\limits_{i = 1}^m { \oplus _p [ - x_{i,} x_i ]} = \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^m {\alpha _i } x_i \left| {\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {|\alpha _i |^{p^\prime } } } \right)} \right.^{\frac{1}{{p^\prime }}} \leqslant 1} \right\}.$$ We describe related geometric properties of the Lewis maps associated to classical operator norms.     

A Mean-Value Theorem for Multiplicative Functions on the Set of Shifted Primes

Let f be a complex-valued multiplicative function, letp denote a prime and let π(x) be the number of primes not exceeding x. Further put $$m_p (f): = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{\pi (x)}}\sum\limits_{p \leqslant x} {f(p + 1)} {\text{, }}M(f): = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x}\sum\limits_{n \leqslant x} {f(n)}$$ and suppose that $$\mathop {\lim \sup }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x}\sum\limits_{n \leqslant x} {\left| {f\left( n \right)} \right|^2 } < \infty ,\sum\limits_{p \leqslant x} {\left| {f\left( n \right)} \right|^2 } \ll x\left( {\ln x} \right)^{ - \varrho } ,$$ with some \varrho > 0. For such functions we prove: If there is a Dirichlet character χ_d such that the mean-value M(f χ_d) exists and is different from zero,then the mean-value m_p(f) exists. If the mean-value M(f) exists, then the same is true for the mean-valuem_p(f) .     

Bemerkungen zu einem Satz von Fejér

Последовательность {ita_k} _(n) ^k =1/∞ вещественных ч исел называется дважды мо нотонной, еслиa _k -2a _k+1 +a _k+2 ≧0 дляk≧1. В работе доказываютс я следующие утвержде ния, являющиеся обобщени ем двух теорем Фейера:

1. Если {ita_k — дважды моно тонная последовател ьность, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^n {a_\kappa z^\kappa } > 1/2$$ дляи≧ 1.
2. Если О≦β<1 и последова тельность (k+1-2β)ak} дважд ы монотонна, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {ka_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } > \beta $$ , то есть $$\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } \varepsilon S_\beta ^\kappa $$ . При помощи 2) получены о бобщения и уточнения теорем из работы [1] о линейных комбинациях некотор ых однолистных функц ий.

     

An extremal problem for algebraic polynomials in the symmetric discrete Gegenbauer-Sobolev space

We study discrete Sobolev spaces with symmetric inner product $$\left\langle {f,g} \right\rangle _\alpha = \int_{ - 1}^1 {f g d\mu _\alpha } + M[f(1)g(1) + f( - 1)g( - 1)] + K[f'(1)g'(1) + f'( - 1)g'( - 1)]$$ , where M ≥ 0, k ≥ 0, and $$d\mu _\alpha (x) = \frac{{\Gamma (2\alpha + 2)}}{{2^{2\alpha + 1} \Gamma ^2 (\alpha + 1)}}(1 - x^2 )^\alpha dx, \alpha > - 1$$ , is the Gegenbauer probability measure. We obtain the solution of the following extremal problem: Calculate $$\mathop {\inf }\limits_{a_0 ,a_1 ,...,a_{N - r} } \left\{ {\langle P_N^{(r)} ,P_N^{(r)} \rangle _\alpha ,1 \leqslant r \leqslant N - 1, P_N^{(r)} (x) = \sum\limits_{j = N - r + 1}^N {a_j^0 x^j } + \sum\limits_{j = 0}^{N - r} {a_j x^j } } \right\}$$ , where the a _j ⁰ , j = N ? r + 1, N ? r + 2, ..., N ? 1, N, a _N ⁰ > 0, are fixed numbers, and find the extremal polynomial.     

On the strong summation of Fourier series with variable exponents

Пустьf 2π-периодическ ая суммируемая функц ия, as _k (x) еë сумма Фурье порядк аk. В связи с известным ре зультатом Зигмунда о сильной суммируемости мы уст анавливаем, что если λn→∞, то сущес твует такая функцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _{2n} } } \right\}^{1/\lambda _{2n} } = \infty .$$ Отсюда, в частности, вы текает, что если λn?∞, т о существует такая фун кцияf, что почти всюду $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } } \right\}^{1/\lambda _n } = \infty .$$ Пусть, далее, ω-модуль н епрерывности и $$H^\omega = \{ f:\parallel f(x + h) - f(x)\parallel _c \leqq K_f \omega (h)\} .$$ . Мы доказываем, что есл и λ _n ?∞, то необходимым и достаточным условие м для того, чтобы для всехf∈H ^ω выполнялос ь соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n}\mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{2n} |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _n } } \right\}^{1/\lambda _n } = 0(x \in [0;2\pi ])$$ является условие $$\omega \left( {\frac{1}{n}} \right) = o\left( {\frac{1}{{\log n}} + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right).$$ Это же условие необхо димо и достаточно для того, чтобы выполнялось соотнош ение $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |s_k (x) - f(x)|^{\lambda _k } = 0(f \in H^\omega ,x \in [0;2\pi ]).$$      

On linear summation methods of Fourier series

Получены новые оценк иL-нормы тригонометр ических полиномов $$T_n (t) = \frac{{\lambda _0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \lambda _k \cos kt$$ в терминах коэффицие нтовλ _k и их разностейΔλ _k=λ _k?λ _k?1: (1) $$\mathop \smallint \limits_{ - \pi }^\pi |T_n (t)|dt \leqq \frac{c}{n}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n |\lambda _\kappa | + c\left\{ {x(n,\varphi )\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \Delta \lambda _\kappa \mathop \sum \limits_{l = 0}^n \Delta \lambda _l \delta _{\kappa ,l} (\varphi )} \right\}^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} ,$$ где $$\kappa (n,\varphi ) = \mathop \smallint \limits_{1/n}^\pi [t^2 \varphi (t)]^{ - 1} dt, \delta _{k,1} (\varphi ) = \mathop \smallint \limits_0^\infty \varphi (t)\sin \left( {k + \frac{1}{2}} \right)t \sin \left( {l + \frac{1}{2}} \right)t dt,$$ a ?(t) — произвольная фун кция ≧0, для которой опр еделены соответствующие инт егралы. Из (1) следует, что методы $$\tau _n (f;t) = (N + 1)^{ - 1} \mathop \sum \limits_{k = 0}^{\rm N} S_{[2^{k^\varepsilon } ]} (f;t), n = [2^{N\varepsilon } ],$$ являются регулярным и для всех 0<ε≦1/2. ЗдесьS _m (f, x) частные суммы ряда Фу рье функцииf(x). В статье исследуется многомерный случай. П оказано, что метод суммирования (о бобщенный метод Рисса) с коэффиц иентами $$\lambda _{\kappa ,l} = (R^v - k^\alpha - l^\beta )^\delta R^{ - v\delta } (0 \leqq k^\alpha + l^\beta \leqq R^v ;\alpha \geqq 1,\beta \geqq 1,v< 0)$$ является регулярным, когда δ > 1.     

Über verallgemeinerte Momente additiver Funktionen

In this paper we give characterizations of additive functionsf, for which $$\mathop {\lim \sup }\limits_{x \to \infty } x^{ - 1} \sum\limits_{n \leqslant x} {\varphi (|f(n)|)}$$ is bounded, where φ: ?⁺ → ?⁺ is monotone and or $$\begin{array}{*{20}c} {\varphi (x) = c^x } & {(x \in \mathbb{R}).} \\ \end{array}$$ A typical example is φ (x)=x ^a (a>0) forx≥0.     

Some approximation theorems for modified Bernstein-Durrmeyer operators

The modified Bernstein-Durrmeyer operators discussed in this paper are given byM_nf≡M_n(f,x)=(n+2)P_(n,k)∫_0~1p_n+1.k(t)f(t)dt,whereWe will show,for 0<α<1 and 1≤p≤∞     

On oscillatory integral Hilbert transformation with trigonometric polynomial phase

Let $ \mathcal{P}_n $ denote the set of algebraic polynomials of degree n with the real coefficients. Stein and Wpainger [1] proved that $$ \mathop {\sup }\limits_{p( \cdot ) \in \mathcal{P}_n } \left| {p.v.\int_\mathbb{R} {\frac{{e^{ip(x)} }} {x}dx} } \right| \leqslant C_n , $$ where C _n depends only on n. Later A. Carbery, S. Wainger and J. Wright (according to a communication obtained from I. R. Parissis), and Parissis [3] obtained the following sharp order estimate $$ \mathop {\sup }\limits_{p( \cdot ) \in \mathcal{P}_n } \left| {p.v.\int_\mathbb{R} {\frac{{e^{ip(x)} }} {x}dx} } \right| \sim \ln n. $$ . Now let $ \mathcal{T}_n $ denote the set of trigonometric polynomials $$ t(x) = \frac{{a_0 }} {2} + \sum\limits_{k = 1}^n {(a_k coskx + b_k sinkx)} $$ with real coefficients a _k , b _k . The main result of the paper is that $$ \mathop {\sup }\limits_{t( \cdot ) \in \mathcal{T}_n } \left| {p.v.\int_\mathbb{R} {\frac{{e^{it(x)} }} {x}dx} } \right| \leqslant C_n , $$ with an effective bound on C _n . Besides, an analog of a lemma, due to I. M. Vinogradov, is established, concerning the estimate of the measure of the set, where a polynomial is small, via the coefficients of the polynomial.