Criterion of polynomial increase of a function and its derivatives

ДОкАжАНО, ЧтО Дль тОгО, ЧтОБы Дльr РАж ДИФФЕРЕНцИРУЕМОИ НА пРОМЕжУткЕ [А, + ∞) ФУНкцИИf сУЩЕстВОВА л тАкОИ МНОгОЧлЕН (1) $$P(x) = \mathop \Sigma \limits_{\kappa = 0}^{r - 1} a_k x^k ,$$ , ЧтО (2) $$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - P(x))^{(k)} = 0,k = 0,1,...,r - 1,$$ , НЕОБхОДИМО И ДОстАтО ЧНО, ЧтОБы схОДИлсь ИН тЕгРАл (3) $$\int\limits_a^{ + \infty } {dt_1 } \int\limits_{t_1 }^{ + \infty } {dt_2 ...} \int\limits_{t_{r - 1} }^{ + \infty } {f^{(r)} (t)dt.}$$ ЕслИ ЁтОт ИНтЕгРАл сх ОДИтсь, тО Дль кОЁФФИц ИЕНтОВ МНОгОЧлЕНА (1) ИМЕУт МЕс тО ФОРМУлы $$\begin{gathered} a_{r - m} = \frac{1}{{(r - m)!}}\left( {\mathop \Sigma \limits_{j = 1}^m \frac{{( - 1)^{m - j} f^{(r - j)} (x_0 )}}{{(m - j)!}}} \right.x_0^{m - j} + \hfill \\ + ( - 1)^{m - 1} \left. {\mathop \Sigma \limits_{l = 0}^{m - 1} \frac{{x_0^l }}{{l!}}\int\limits_a^{ + \infty } {dt_1 } \int\limits_{t_1 }^{ + \infty } {dt_2 ...} \int\limits_{t_{m - l - 1} }^{ + \infty } {f^{(r)} (t_{m - 1} )dt_{m - 1} } } \right),m = 1,2,...,r. \hfill \\ \end{gathered}$$ ДОстАтОЧНыМ, НО НЕ НЕОБхОДИМыМ Усл ОВИЕМ схОДИМОстИ кРА тНОгО ИНтЕгРАлА (3) ьВльЕтсь схОДИМОсть ИНтЕгРАл А \(\int\limits_a^{ + \infty } {x^{r - 1} f^{(r)} (x)dx}\)      

Uniqueness properties of degenerate elliptic operators

Let ?? be an open subset of R ^d and ${ K=-\sum^d_{i,j=1}\partial_i\,c_{ij}\,\partial_j+\sum^d_{i=1}c_i\partial_i+c_0}$ a second-order partial differential operator with real-valued coefficients ${c_{ij}=c_{ji}\in W^{1,\infty}_{\rm loc}(\Omega),c_i,c_0\in L_{\infty,{\rm loc}}(\Omega)}$ satisfying the strict ellipticity condition ${C=(c_{ij}) >0 }$ . Further let ${H=-\sum^d_{i,j=1} \partial_i\,c_{ij}\,\partial_j}$ denote the principal part of K. Assuming an accretivity condition ${C\geq \kappa (c\otimes c^{\,T})}$ with ${\kappa >0 }$ , an invariance condition ${(1\!\!1_\Omega, K\varphi)=0}$ and a growth condition which allows ${\|C(x)\|\sim |x|^2\log |x|}$ as |x| ?? ?? we prove that K is L ₁-unique if and only if H is L ₁-unique or Markov unique.     

On the properties of the strong Cesàro summability and strong convergence of series

Говорят, что ряд \(\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \) сумм ируется к s в смысле (С, gа), gа >?1, если $$\sigma _n^{(k)} - s = o(1),n \to \infty ,$$ в смысле [C,α] _λ , α<0, λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {\sigma _k^{(\alpha - 1)} - s} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ и в смысле [C,0] _λ , λ>0, если $$\frac{1}{{n + 1}}\mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left| {(k + 1)(s_k - 1) - k(s_{k - 1} - 1)} \right|^\lambda = o(1),n \to \infty ,$$ где σ _n ^(α) обозначаетn-ое ч езаровское среднее р яда. Суммируемость [C,α] _λ , α>?1, λ ≧1 о значает, что $$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty k^{\lambda - 1} \left| {\sigma _k^{(\alpha )} - \sigma _{k - 1}^{(\alpha )} } \right|^\lambda< \infty .$$ В данной статье содер жится продолжение ис следований свойств [C,α] _λ -суммиру емо сти, которые начали Винн, Х ислоп, Флетт, Танович-М иллер и автор, в частности свя зей между указанными методами суммирования. Наконец, даны некотор ые простые приложени я к вопросам суммируемости ортог ональных рядов.     

On coefficients of null-series and on sets of uniqueness of trigonometric and Walsh systems

В работе доказываютс я следующие утвержде ния. Теорема I.Пусть ? _n ↓0u \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\varepsilon _n^2 = + \infty } \) .Тогд а существует множест во Е?[0, 1]с μЕ=0 такое что:1. Существует ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n W_n } (t)\) с к оеффициентами ¦а _n ¦≦{in¦n¦, который сх одится к нулю всюду вне E и ε∥a_n∥>0.2. Если b _n ¦=о(ε _n )и ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {b_n W_n (t)} \) сх одится к нулю всюду вн е E за исключением быть может некоторого сче тного множества точе к, то b _n =0для всех п. Теорема 3.Пусть ? _n ↓0u \(\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{{\varepsilon _n }}{{\varepsilon _{2n} }}< \sqrt 2 \) Тогд а существует множест во E?[0, 1] с υ E=0 такое, что:

1. Существует ряд \(\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {a_n e^{inx} ,} \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\left| {a_n } \right|} > 0,\) кот орый сходится к нулю в сюду вне E и ¦a_n≦¦n¦ для n=±1, ±2, ...
2. Если ряд \(\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {b_n e^{inx} } \) сходится к нулю всюду вне E и ¦b_v¦=о(ε ¦n¦), то b_n=0 для всех я. Теорема 5. Пусть послед овательности S⁽¹⁾={ε ₀ ⁽¹⁾ , ε ₁ ⁽¹⁾ , ε ₂ ⁽¹⁾ , ...} u S²=ε ₀ ⁽²⁾ , ε ₁ ⁽²⁾ . ε ₂ ⁽²⁾ монотонно стремятся к нулю, \(\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varepsilon ^{(i)} /\varepsilon _{2n}^{(i)}< 2,i = 1,2\) , причем \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \varepsilon _n^{(2)} /\varepsilon _n^{(i)} = + \infty \) . Тогда для каждого ε>O н айдется множество Е? [-π,π], μE >2π — ε, которое является U(S¹), но не U(S¹) — множеством для тригонометричес кой системы. Аналог теоремы 5 для си стемы Уолша был устан овлен в [7].

     

The convergence of moments in the central limit theorem for stationary ϕ-mixing processes

Пусть {X_j} - строго стац ионарная последоват ельностьс ?перемешиванием, EXj-Q,E¦-X _j¦^r<∞ для некоторогоr>2. Положим \(S_n = \mathop \sum \limits_{j = 1}^n X_j \) . Ибрагимов (1962) доказал, что если приn →∞, то 1 $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\{ S_n /\sigma _n< x\} = (2\pi )^{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^x e^{{{ - u^2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - u^2 } 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} du.$$ В работе установлено, что при указанных выш е условиях в этой центральной пр едельной теореме имеет место т акже и сходимостьr-ых абсолютных моментов, т.е. если σ _n ² →∞ приn→ ∞, то $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } E|S_n /\sigma _n |^r = (2\pi )^{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } |u|^r e^{ - u^2 /2} du.$$ Этот результат обобщ ает один более ранний результат автора (1980 г.).     

Uniqueness of the embedding continuous convolution semigroup of a Gaussian probability measure on the affine group and an application in mathematical finance

Let $\{\mu _{t}^{(i)}\}_{t\ge 0}$ ( $i=1,2$ ) be continuous convolution semigroups (c.c.s.) of probability measures on $\mathbf{Aff(1)}$ (the affine group on the real line). Suppose that $\mu _{1}^{(1)}=\mu _{1}^{(2)}$ . Assume furthermore that $\{\mu _{t}^{(1)}\}_{t\ge 0}$ is a Gaussian c.c.s. (in the sense that its generating distribution is a sum of a primitive distribution and a second-order differential operator). Then $\mu _{t}^{(1)}=\mu _{t}^{(2)}$ for all $t\ge 0$ . We end up with a possible application in mathematical finance.     

Uniqueness of integrable solutions to {\nabla \zeta=G \zeta, \zeta|_\Gamma = 0} for integrable tensor coefficients G and applications to elasticity

Let ${\Omega \subset \mathbb{R}^{N}}$ be a Lipschitz domain and Γ be a relatively open and non-empty subset of its boundary ${\partial\Omega}$ . We show that the solution to the linear first-order system $$\nabla \zeta = G\zeta, \, \, \zeta|_\Gamma = 0 \quad \quad \quad (1)$$ is unique if ${G \in \textsf{L}^{1}(\Omega; \mathbb{R}^{(N \times N) \times N})}$ and ${\zeta \in \textsf{W}^{1,1}(\Omega; \mathbb{R}^{N})}$ . As a consequence, we prove $$||| \cdot ||| : \textsf{C}_{o}^{\infty}(\Omega, \Gamma; \mathbb{R}^{3}) \rightarrow [0, \infty), \, \, u \mapsto \parallel {\rm sym}(\nabla uP^{-1})\parallel_{\textsf{L}^{2}(\Omega)}$$ to be a norm for ${P \in \textsf{L}^{\infty}(\Omega; \mathbb{R}^{3 \times 3})}$ with Curl ${P \in \textsf{L}^{p}(\Omega; \mathbb{R}^{3 \times 3})}$ , Curl ${P^{-1} \in \textsf{L}^{q}(\Omega; \mathbb{R}^{3 \times 3})}$ for some p, q > 1 with 1/p + 1/q = 1 as well as det ${P \geq c^+ > 0}$ . We also give a new and different proof for the so-called ‘infinitesimal rigid displacement lemma’ in curvilinear coordinates: Let ${\Phi \in \textsf{H}^{1}(\Omega; \mathbb{R}^{3})}$ satisfy sym ${(\nabla\Phi^\top\nabla\Psi) = 0}$ for some ${\Psi \in \textsf{W}^{1,\infty}(\Omega; \mathbb{R}^{3}) \cap \textsf{H}^{2}(\Omega; \mathbb{R}^{3})}$ with det ${\nabla\Psi \geq c^+ > 0}$ . Then, there exist a constant translation vector ${a \in \mathbb{R}^{3}}$ and a constant skew-symmetric matrix ${A \in \mathfrak{so}(3)}$ , such that ${\Phi = A\Psi + a}$ .     

A class of inequalities for non-negative sequences

В работе для неотрица тельных последовате льностей (...,a _?1 ⁱ ), aa ₀ ⁱ ),a ₁ ⁱ ), ...), удовлетв оряющих условию \(0< \mathop {\sup }\limits_k a_k^{(i)}< \infty\) (i=1,...,т), доказ а но неравенство (1) $$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty \mathop {\sup }\limits_{k \leqq k_1 + \ldots + k_m \leqq k + l} (a_{k_1 }^{(1)} \ldots a_{k_m }^{(m)} ) \geqq \hfill \\ \geqq \mathop \prod \limits_{i = 1}^m (\mathop {\sup }\limits_{ - \infty< k< \infty } a_k^{(i)} )\left[ {\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \frac{{\mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty (a_k^{(i)} )^{p_i } }}{{(\mathop {\sup }\limits_{ - \infty< k< \infty } a_k^{(i)} )^{p_i } }} + l - m + 1} \right], \hfill \\ \end{gathered}$$ гдеl произвольное не отрицательное целое число, 1≦p ₁, ...,p _m ≦∞ и \(\mathop \sum \limits_{i = 1}^m p_i^{ - 1} = 1\) . Это неравенство явля ется обобщением и уто чнением неравенств А. Прекопа, Ш. Данча и Л. Лейндлера. Доказано также, что ес ли все последователь ности содержат только коне чное число ненулевых членов, то н еобходимым условием для равенства в (1) является существование такого числа α>0, чтоa _k( ⁱ )=а илиa _k( ⁱ )=0 для всехi=1,...,m;?∞<k<∞.     

Asymptotic behavior of multiperiodic functionsG(x) = \prod\limits_{n = 1}^\infty {g(x/2^n )}

Let 0≤g be a dyadic Hölder continuous function with period 1 and g(0)=1, and let $G(x) = \prod\nolimits_{n = 0}^\infty {g(x/{\text{2}}^n )} $ . In this article we investigate the asymptotic behavior of $\smallint _0^{\rm T} \left| {G(x)} \right|^q dx$ and $\frac{1}{n}\sum\nolimits_{k = 0}^n {\log g(2^k x)} $ using the dynamical system techniques: the pressure function and the variational principle. An algorithm to calculate the pressure is presented. The results are applied to study the regulatiry of wavelets and Bernoulli convolutions.     

Optimal recovery methods for the integral on classes of differentiable functions

Найдены методы восст ановления интеграла по информации $$I\left( f \right) = \left\{ {f^{(j)} \left( {x_i } \right)\left( {j = 0, ..., \gamma _i - 1; i = 1, ..., n; 1 \leqq \gamma _i \leqq r; \gamma _i + ... + \gamma _n \leqq N} \right.} \right\},$$ оптимальные на класс ахW _p ^r ,r=1,2,...; 1≦p≦∞. Это позволило, в частност и, получить наилучшие для классаW _p ^r квадратурные форму лы вида $$\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{\gamma _i - 1} a_{ij} f^{(j)} \left( {x_i } \right) + \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} b_j f^{(2j - 1)} \left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{k = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} c_k f^{(2k - 1)} \left( 1 \right) + R\left( f \right)$$ И $$\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = af\left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n \mathop \Sigma \limits_{j = 0}^{\gamma _i - 1} a_{ij} f^{(j)} \left( {x_i } \right) + bf\left( 1 \right) + \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} b_j f^{(2j - 1)} \left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{k = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} c_k f^{(2k - 1)} \left( 1 \right) + R\left( f \right).$$      

Lower Bounds for the Perron Root of a Sum of Nonnegative Matrices

Let $A^{(l)} (l = 1, \ldots ,k)$ be $n \times n$ nonnegative matrices with right and left Perron vectors $u^{(l)} $ and $v^{(l)} $ , respectively, and let $D^{(l)} $ and $E^{(l)} (l = 1, \ldots ,k)$ be positive-definite diagonal matrices of the same order. Extending known results, under the assumption that $$u^{(1)} \circ v^{(1)} = \ldots = u^{(k)} \circ v^{(k)} \ne 0$$ (where `` $ \circ $ '' denotes the componentwise, i.e., the Hadamard product of vectors) but without requiring that the matrices $A^{(l)} $ be irreducible, for the Perron root of the sum $\sum\nolimits_{l = 1}^k {D^{(l)} A^{(l)} E^{(l)} } $ we derive a lower bound of the form $$\rho \left( {\sum\limits_{l = 1}^k {D^{(l)} A^{(l)} E^{(l)} } } \right) \geqslant \sum\limits_{l = 1}^k {\beta _{l\rho } (A^{(l)} ),{\text{ }}\beta _l >0.} $$ Also we prove that, for arbitrary irreducible nonnegative matrices $A^{{\text{ (}}l{\text{)}}} (l = 1, \ldots ,k),$ , $$\rho \left( {\sum\limits_{l = 1}^k {A^{(l)} } } \right) \geqslant \sum\limits_{l = 1}^k {\alpha _{l\rho } (A^{(l)} ),} $$ where the coefficients ∝₁>0 are specified using an arbitrarily chosen normalized positive vector. The cases of equality in both estimates are analyzed, and some other related results are established. Bibliography: 8 titles.     

On theA-integral representation of the Hilbert transform and conjugate function

Рассматривается воп рос о представлении о ператора Гильберта и сопряжен ной функцииA-интегралом. Доказывается следую щая Теорема. Если ? - такая неотрицательная фун кция на [0, ∞), что х^?1?(х) монотонно не убывает на (0, ∞) и для н екоторого Н> 0 \(\mathop \smallint \limits_H^\infty \varphi ^{ - 1} (x)dx< \infty\) , а определенная на R функ ция fε?∩?(?), то почти всюду оператор Гильберта $$\tilde f(x) = - \frac{1}{\pi }(A)\mathop \smallint \limits_0^\infty \frac{{f(x + t) - f(x - t)}}{t}dt$$ . Из данной теоремы сле дует, что для функций и з ?^p, 1<р<#x221E;, оператор Гильберта и сопряженная функция представляютсяA-инте гралом. Что для функций из ?¹ п одобное утверждение неверно, показывает следующа я теорема. Теорема.Существует т акая суммируемая на R ф ункция f≧0, что почти всюду $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \mathop \smallint \limits_0^\infty \left[ {\frac{{f(x + t) - f(x - t)}}{t}} \right]_n dt = \infty$$ .     

Integrability of vector-valued lacunary series with applications to function spaces

Let ${\mathcal L(r) = \sum_{n=0}^\infty a_nr^{\lambda_n}}$ be a lacunary series converging for 0 <  r < 1, with coefficients in a quasinormed space. It is proved that $$\int_0^1 F(1-r,\|\mathcal L(r)\|)(1-r)^{-1}\,{\rm d}r < \infty $$ if and only if $$ \sum_{n=0}^\infty F(1/\lambda_n,\|a_n\|) < \infty, $$ where F is a “normal function” of two variables. In the case when p ≥ 1 and F(x, y) =  x y ^p , this reduces to a theorem of Gurariy and Matsaev. As an application we prove that if ${f(r\zeta) = \sum_{n=0}^\infty r^{\lambda_n}f_{\lambda_n}(\zeta)}$ is a function harmonic in the unit ball of ${\mathbb R^N,}$ then $$\int_0^1M_p^q(r,f)(1-r)^{q\alpha-1} \,{\rm d}r <\infty\quad (p,\,q,\,\alpha >0 ) $$ if and only if $$\sum_{n=0}^\infty \|f_{\lambda_n} \|^q_{L^p(\partial B_N)}(1/\lambda_n)^{q\alpha} <\infty. $$      

Gamma-convergence of nonlocal perimeter functionals

Given ${\Omega\subset\mathbb{R}^{n}}$ open, connected and with Lipschitz boundary, and ${s\in (0, 1)}$ , we consider the functional $$\mathcal{J}_s(E,\Omega)\,=\, \int_{E\cap \Omega}\int_{E^c\cap\Omega}\frac{dxdy}{|x-y|^{n+s}}+\int_{E\cap \Omega}\int_{E^c\cap \Omega^c}\frac{dxdy}{|x-y|^{n+s}}\,+ \int_{E\cap \Omega^c}\int_{E^c\cap \Omega}\frac{dxdy}{|x-y|^{n+s}},$$ where ${E\subset\mathbb{R}^{n}}$ is an arbitrary measurable set. We prove that the functionals ${(1-s)\mathcal{J}_s(\cdot, \Omega)}$ are equi-coercive in ${L^1_{\rm loc}(\Omega)}$ as ${s\uparrow 1}$ and that $$\Gamma-\lim_{s\uparrow 1}(1-s)\mathcal{J}_s(E,\Omega)=\omega_{n-1}P(E,\Omega),\quad \text{for every }E\subset\mathbb{R}^{n}\,{\rm measurable}$$ where P(E, ??) denotes the perimeter of E in ?? in the sense of De Giorgi. We also prove that as ${s\uparrow 1}$ limit points of local minimizers of ${(1-s)\mathcal{J}_s(\cdot,\Omega)}$ are local minimizers of P(·, ??).     

Exact multiplicity for the perturbed Q-curvature problem in {\mathbb{R}^N,N \geq 5}

Let N ≥ 5 and \({{\mathcal{D}}^{2,2} (\mathbb{R}^N)}\) denote the closure of \({C_0^\infty (\mathbb{R}^N)}\) in the norm \({\|u\|_{{\mathcal{D}}^{2,2} (\mathbb{R}^N)}^2 := \int\nolimits_{\mathbb{R}^N} |\Delta u|^2.}\) Let \({K \in C^2 (\mathbb{R}^N).}\) We consider the following problem for ? ≥ 0: $$(P_\varepsilon) \left\{\begin{array}{llll}{\rm Find} \, u \in {\mathcal{D}}^{2, 2} (\mathbb{R}^N) \, \, {\rm solving} :\\ \left.\begin{array}{lll}\Delta^2 u = (1+ \varepsilon K (x)) u^{\frac{N+4}{N-4}}\\ u > 0 \end{array}\right\}{\rm in} \, \mathbb{R}^N.\end{array}\right.$$ We show an exact multiplicity result for (P _? ) for all small ? > 0.     

Averaged Pointwise Bounds for Deformations of Schrödinger Eigenfunctions

Let (M,g) be an n-dimensional, compact Riemannian manifold and ${P_0(\hbar) = -\hbar{^2} \Delta_g + V(x)}$ be a semiclassical Schrödinger operator with ${\hbar \in (0,\hbar_0]}$ . Let ${E(\hbar) \in [E-o(1),E+o(1)]}$ and ${(\phi_{\hbar})_{\hbar \in (0,\hbar_0]}}$ be a family of L ²-normalized eigenfunctions of ${P_0(\hbar)}$ with ${P_0(\hbar) \phi_{\hbar} = E(\hbar) \phi_{\hbar}}$ . We consider magnetic deformations of ${P_0(\hbar)}$ of the form ${P_u(\hbar) = - \Delta_{\omega_u}(\hbar) + V(x)}$ , where ${\Delta_{\omega_u}(\hbar) = (\hbar d + i \omega_u(x))^*({\hbar}d + i \omega_u(x))}$ . Here, u is a k-dimensional parameter running over ${B^k(\epsilon)}$ (the ball of radius ${\epsilon}$ ), and the family of the magnetic potentials ${(w_u)_{u\in B^k(\epsilon)}}$ satisfies the admissibility condition given in Definition 1.1. This condition implies that k ≥ n and is generic under this assumption. Consider the corresponding family of deformations of ${(\phi_{\hbar})_{\hbar \in (0, \hbar_0]}}$ , given by ${(\phi^u_{\hbar})_{\hbar \in(0, \hbar_0]}}$ , where $$\phi_{\hbar}^{(u)}:= {\rm e}^{-it_0 P_u(\hbar)/\hbar}\phi_{\hbar}$$ for ${|t_0|\in (0,\epsilon)}$ ; the latter functions are themselves eigenfunctions of the ${\hbar}$ -elliptic operators ${Q_u(\hbar): ={\rm e}^{-it_0P_u(\hbar)/\hbar} P_0(\hbar) {\rm e}^{it_0 P_u(\hbar)/\hbar}}$ with eigenvalue ${E(\hbar)}$ and ${Q_0(\hbar) = P_{0}(\hbar)}$ . Our main result, Theorem1.2, states that for ${\epsilon >0 }$ small, there are constants ${C_j=C_j(M,V,\omega,\epsilon) > 0}$ with j = 1,2 such that $$C_{1}\leq \int\limits_{\mathcal{B}^k(\epsilon)} |\phi_{\hbar}^{(u)}(x)|^2 \, {\rm d}u \leq C_{2}$$ , uniformly for ${x \in M}$ and ${\hbar \in (0,h_0]}$ . We also give an application to eigenfunction restriction bounds in Theorem 1.3.     

Distribution of integral functionals of a Brownian motion process

In this paper one considers methods which enable one to determine the distribution of certain functionals of a Brownian motion process. Among such functionals we have: the positive continuous additive functional of a Brownian motion, defined by the formula $$A\left( t \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\hat t\left( {t, y} \right)dF\left( y \right),} $$ where \(\hat t\left( {t, y} \right)\) is the Brownian local time process while F(y) is a monotonically increasing right continuous function; the functional $$B\left( t \right) = \mathop {\mathop \smallint \limits_{ - \infty } }\nolimits^\infty f\left( {y,\hat t\left( {t, y} \right)} \right)dy,$$ where f(y, x) is a continuous function; and the functional $$C\left( t \right) = \mathop {\mathop \smallint \limits_0 }\nolimits^t f\left( {w\left( s \right),\hat t\left( {sr} \right)} \right)ds$$ As an application of these methods one considers some concrete functionals such that \(\hat t^{ - 1} \left( z \right) = \min \left\{ {s:\hat t\left( {s, o} \right) = z} \right\},\mathop {\mathop \smallint \limits_{ - \infty } }\nolimits^\infty \hat t^2 \left( {t, y} \right)dy,\mathop {\sup }\limits_{y \in R^1 } \hat t\left( {T, y} \right)\) , where T is an exponential random time, independent of \(\hat t\left( {t, y} \right)\) .     

Asymptotic Behavior of Positive Solutions of a Nonlinear Combined p-Laplacian Equation

For p > 1, we establish existence and asymptotic behavior of a positive continuous solution to the following boundary value problem $$\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{A} \left( A\Phi _{p}(u^{\prime})\right) ^{\prime}+a_{1}(r)u^{\alpha _{1}}+a_{2}(r)u^{\alpha _{2}}=0, \, {\rm in}\, (0,\infty ),\\ {\rm lim}_{r\rightarrow 0} A\Phi _{p}(u^{\prime})(r)=0, {\rm lim}_{r\rightarrow \infty } u(r)=0,\end{array}\right.$$ where \({\alpha _{1}, \alpha _{2} < p -1, \Phi _{p}(t) = t|t| ^{p-2},A}\) is a positive differentiable function and a ₁, a ₂ are two positive functions in \({C_{\rm loc}^{\gamma}((0, \infty )), 0 < \gamma < 1,}\) satisfying some appropriate assumptions related to Karamata regular variation theory. Also, we obtain an uniqueness result when \({\alpha _{1}, \alpha _{2} \in (1-p,p-1)}\) . Our arguments combine a method of sub and supersolutions with Karamata regular variation theory.