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[题目]设数列{a_n}的前n项之和S_n,a_1=1且a_m~2+1=S_(n+1)+S_n(n∈N),求数列{a_n}的通项公式。(摘自新江《中学教研》1992年第七期《培养学生观察能力浅见》一文) 此题常见解法是: ∵a_(n+1)~2-a+_n~2=S_(n+1)-S_(n-1)=a_(n+1)+a_n (1) a_(n+1)~2-a_n~2=(a_(n+1)-a_n)(a_(n+1)+a_n) (2) 由(1)、(2)得:a_(n+1)-a_n=1 (3) 或a_(n+1)+a_n=0 (4) ∴数列{a_n}是公差为1的等差数列或公比为-1的等比数列。故a_n=a_1+(n-1)·1=n 或a_n=a_1(-1)~(n-1)=(-1)~(n-1) 此解法似无懈可击。现有一个不同于其解答的数列{b_m}:1、2、3、-3、-2、-1、1、-1、0、1、-1、…(其中当m≥10时,b_n=(-1)~n)也满足题设条件a_1=1和 相似文献
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本文给出等差数列的两个判定方法,并举例说明其应用。 1.通项公式判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是a_n=k_n+b.(k,b为常数) 证:若{a_n}是公差为d的等差数列,则a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d),记d=k,a_1-d=b,∴a_n=kn+。若a_n=kn+b,(k,b为常数),则a_(n+1)-a_n=k(n+1)+b-(kn+l)=k, (n=1,2,…) 故{a_n}是等差数列。 2.前几项和判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是S_n=an~2+bn,(a,b为常数) 证:若{a_n}是等差数列,则S_n=na_1+n(n-1)/2 d=(d/2)n~2+(2n_1-d)n/2 相似文献
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求数列通项公式的常用方法,很多数学刊物都作过介绍,本文就一类特殊数列,介绍一种求通项公式的方法——拆项法。先引入“子数列”的概念: 设数列{a_n},若有a'_i+b'_i=a_i(i=1,2,…),则称数列{a'_n}和{b'_n}为数列{a_n}的子数列,且有关系a_n=a'_n+b'_n。①一般地,若有a'_i+b'_i+…+S'_i=a_i(i=1,2,…),则称数列{a'_n},{b'_n},…,{S'_n}为数列{a_n}的子数列,且有关系 a_n=a'_n+b'_n++…+S'_n ②因此,求一个数列的通项公式,可将这个数列“拆”成若干个子数列,先求出它的子数列的通项公式,然后由关系①或②而得到这个数列的通项公式。现举数例说明。 相似文献
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一般地,数列{a_n}若满足递归关系 a_n= ∫(a_(n-1),a_(n-2),…,a_(n-k)),那么它由递归关系及k个初始值确定,我们称其为递归数列。与递归数列有关的问题是数学竞赛中的一个热点。确定某些递归数列的通项在有关递归数列问题的研究中又占有重要地位,以下是几种常用方法。 1.代换法。例1 在数列{a_n}中,a_1=1,a_(n 1)=5a_n 1,求a_(n 1) 解依题设a_n 1=5a_n 1 ①以n代换n十1,可得 a_n=5a_(n-1) 1 ②①-②得a_(n 1)-a_n=5(a_n-a_(n-1))(n≥2) ③对③进行迭代,得 相似文献
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一类线性循环数列的通项公式 总被引:1,自引:0,他引:1
定义:若数列{a_n}满足循环方程 a_n=C_1a_(n-1) C_2a_(n-2) ¨ C_ka_(n-k)其中n=k_1,k 2,…;C_k0,就称数列{a_n}是一个k阶线性循环数列。方程 相似文献
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近几年来,国内外还不断有人讨论自然数方幂和的求法(见[1]~[4]),本文研究等差数列的方幂和问题,得到一个简单的求和方法.并导出了一个自然数方幂和公式。首先,我们介绍“循环积和”的概念及其有关结果。设{a_n}为等差数列,记 a_ k~(r)=a_k a_(k 1)…a_(k r-1),k=1,2,3,…我们把数列{a_k~(r)}叫做等差数列{a_n}的r阶循环积,而将和 S_n~(r)=a_1(r) a_2(r) …a_n~(r)叫做数列{a_n}的r阶循环积和,简称循环积和。我们有[5] S_n~(r)=1/(r 1)d[a_n(r 1)-a_0~(r 1)] (1)其中d为{a_n}的公差,a_0=a_1=d。特别,令a_n=n,则对自 相似文献
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对于给定的数列{a_n},若存在一个为自然数的常数T,使得对任意自然数n,恒有 a_(n T)=a_n (n=1,2,3,…)则我们称T为数列{a_n}的周期。数列{a_n}称为周期数列。对周期数列,不难得如下简单的性质。性质1 若T是数列{a_n}的周期,则2T、3T、…、nT、…都是数列{a_n}的周期。由此知,周期数列的周期有无穷多个,我们把最小的一个称为最小正周期。 相似文献
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设有两个数列{a_n}及{b_n}:a_1,a_2,a_3,…,a_n,…b_1,b_2,b_3,…,b_n,…依次交错排列 a_k、b_k(k=1,2,…)构成一个新的数列{x_n}:a_1,b_1,a_2,b_2,…,a_n,b_n,…我们称上述数列{x_n}为数列{a_n}和{b_n}的合成数列.本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用. 相似文献