求不规则四边形面积的几种方法

<正>面积问题是初中数学的重要内容之一,本文介绍利用转化思想求不规则四边形面积的方法.一、通过"割补",化不规则四边形为规则图形例1如图1,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.1.分割法解法一作CE∥AD交AB于E,CF∥AB交AD于F,如图2.     

一道中考题的“前思后想”

<正>1试题及解析(2014年武汉中考题)如图1,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为____.分析问题中要求的边BD和已知边和角度很难直接建立联系,此时我们可以考虑将图形进行变换,把BD放在△ABD中,依托等腰直角三角形ABC,将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACM,此时△ADM也为等腰直角三角形,CM所在△CDM为直角三角形,且     

是对还是错

几何第二册第146页B组第二题:一组对角相等一组对边相等的四边形是平行四边形吗?李俊杰同学认为是对的,他的证明如下: 已知如图1,四边形ABCD中,∠B=∠D,AB=CD, 求证四边形ABCD是平行四边形. 证明分别过A、C作AE⊥BC于E,CF⊥AD于F→∠AEB=∠CFD=90°,∠B=∠D,AB=CD,则Rt△ABE≌Rt△CDF→①BE=DF,②AE=CF.连结 AC.在Rt△ACE与 Rt△CAF中,∠AEC=∠CFD=90°,AC=CA,已证AE=     

由一个数量关系引发的探究

<正>这个学期,数学老师带领我们进行了很多有意思的数学探究,很多时候从一个普通的题目出发,却往往能收获意想不到的惊喜.今天,我们也来小试牛刀一下!原题如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=45°,求AC和BD的数量关系.解如图2,延长DC交AB的延长线于E.因为∠ABC=∠ADC=90°,所以A,B,C,D四点共圆,所以∠EAC=∠EDB,     

用勾股定理列方程组求多边形的面积

<正>一、构造方程组求三角形的面积例1如图1,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=槡3,PB=5,PC=2,求△ABC的面积.解过点P作PD⊥BC于点D,作PE⊥AC于点E,则∠AEP=∠PDC=∠PDB=90°.因为∠BAC=60°,AB=2AC,     

一题多解 拓宽思维

<正>(2017年陕西中考第14题)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为.这是一道由课本的图形变化而得的几何题,源于课本但高于课本.可以采用旋转、割补等多种方法,从不同角度求解,拓宽学生的数学思维.     

一道初中竞赛题的另解

<正>2015年北京市中学生数学竞赛(初二)填空第3题:在△ABC中,AB=AC,AD、BE分別为∠A、∠B的平分线,且BE=2AD.则∠BAC的度数为______.另解1(应用取半法)如图1,设∠CBE=α,依题设,则有∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,∠AEB=∠EBC+∠ECB=3α,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=90°-2α.过点D作DG//BE,与AC交于点G,     

由射影定理产生的联想

射影定理,如图1,在△ABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB,则, (1)∠1=∠B=90°-∠A;(2)△ACD∽△ABC;(3)AC~2=AD·AD……联想:如图2,任意△ABC,如果∠1=∠B,是否有△ACD∽△ABC,AC~2=AD·AB? 很容易证明结论是成立的。     

浅谈共边共角三角形解题模型

<正>本文介绍一种相似三角形中常见的解题模型——"共边共角"三角形.新人教版教材数学九下第35页例2:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D;求AD的长.分析由∠A=∠A,∠C=∠EDA容易证得△AED∽△ABC,再根据相似三角形对     

一道竞赛题的多种解法

<正>例(2014年北京市中学生数学竞赛初二级试题)在四边形ABCD中,BC=8,CD=12AD=10,∠A=∠B=60°,AB=.图1解法1如图1,延长AD、BC相交于点E,则∠E=60°.设AB=x,则DE=x-10,CE=x-8.过点C作CF⊥AE于点F.在Rt△CFE中,∠E=60°,所以∠ECF=30°.于是FE=CE2=x-82.在Rt△CFE中,CF2=CE2-FE2,     

浅谈一道联赛题的证明

20 0 4年全国初中数学联赛第二试第二题 :已知 ,如图1.梯形ABCD中 ,AD∥BC ,以两腰AB ,DC为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF ,连接EF .设线段EF的中点为M .求证 :MA =MD .此题与一道旧题密切相关 .该题是 :已知 ,如图 2 .△ABC中 ,AD是BC边上的高 ,以两边AB ,AC为一边分别向外作正方形ABQF ,ACPE ,连接EF ,交AD的反向延长线于G ,求证 :G为EF的中点 .简证如下 :证 :过E作EM⊥DG于M ,过F作FN⊥DG于N ,则FN∥ME ,∠EMA =∠ADC =90°.又∵∠ 1+∠ 2 =90° ,∴∠ 1=∠ 3.又∵AC =AE ,∴△ADC≌△EMA .∴ME…     

另解一赛题

贵刊2014年8月下刊登北京市中学生数学竞赛初二年级试题填充(3)在四边形ABCD中,BC=8,CD=12,AD=10,∠A=∠B=60°,则AB=.解延长AD、BC相交于P点,易知△ABP是正三角形.过C点作CM∥AB,交AD于M点,则△PCM也是正三角形.     

一道求角度赛题的多种解法

<正>2014年全国初中数学联赛初赛第二题:如图1,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC等于().图1(A)80°(B)100°(C)140°(D)160°一、特殊化解法1由于∠ABC=80°及AB=BC=BD都是常量,△ABD和△DBC的形状可改变是变量,即与∠ABD的取值无关.所以     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

一个结论的延伸及应用

<正>例如图1,在矩形ABCD中,若OC、OD分别是∠BCD、∠ADC的平分线,则AD+BC=AB.证明如图1,因为AB∥DC,所以∠AOD=∠CDO.因为OD是∠ADC的平分线,所以∠ADO=∠CDO.因此∠AOD=∠ADO.所以AD=AO.同理,得BC=BO.于是AD+BC=AO+BO,即AD+BC=AB(还有多种证法,读者可自行探究).延伸1如图2,在平行四边形ABCD中,     

一道初中几何竞赛题的解答

<正>如图1,在凸四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=120°,BC=CD=10,则AC=_.本题为2017年北京市中学生数学竞赛初二年级填空第2题,可以利用全等得出问题的解答.解法1 (利用全等)如图2,以AC为一边构造∠ACA′=120°,在射线CA′上截取CA′=CA,连接A′B,A′A,BD.∵∠BAD=∠BCD=120°,∴∠ACD=∠A′CB.又∵CB=CD,∴△A′CB≌△ACD(SAS).∴A′B=DA,∠A′BC=∠ADC,∵∠BAD=∠BCD=120°,     

旋转变换妙解赛题二则

<正>例1 (2012年"数学周报杯"全国初中数学竞赛)如图1,四边形ABCD中,AC、BD是对角线,△ABC是等边三角形,∠ADC=30°,AD=3,BD=5,则CD的长为().(A)2^(1/3)(B)4(C)5(1/3)(B)4(C)5^(1/2)(D)4.5解法1如图2,将△BCD绕点C沿顺时针方向旋转60°,得到△ACE.连接DE,则AE=BD=5,△CDE是     

一道课外练习题的另解

<正>《中学生数学》2015年(4月下),课外练习及参考解答栏目中,初三年级第1题.在正方形ABCD中,N为CD的中点,M在AD上,且∠CBM=∠NMB,若AB=1,求四边形BCNM的面积.分析如图1,线段BM、MN把边长为1的正方形ABCD分割成三部分,Rt△AMB、Rt△MDN和四边形BCNM.只需求出Rt△AMB和Rt△MDN     

构造直角三角形解题

用直角三角形的性质解题是中数常见的方法,特别是在平几中运用更为广泛,对于有些较难的习题,若能巧妙构造出直角三角形,定会“柳暗花明”,获得新的解题路径。一、利用已知的直角构造直角三角形例1 已知如图1,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=2,CD=1,求BC和AD的长。分析因∠B=∠D=90°,于是设想构造出直角三角形。虽然连AC后会出现直角三角形。但AC将∠A分成的两个角不特殊,不便利用已知条件,我们延长BC与AD,延长线交于E,则得到Rt△ABE和     

纸条打个结结成了一个正五边形

问题将一张等宽的纸条按如图1的方式打一个结,就可以得到一个正五边形(如图1所示).这奇怪吗?为什么呢?让我们用平面几何知识来证明这个问题.首先给一个引理:一个三角形中,如果两边上的高相等,那么这两条边也相等.此引理可由两个三角形全等得证.问题的证明在△EAB中,边EA、AB上的高BH、EG均为纸条的宽度(图2),即BH=EG,∴EA=AB.同理,在△ABC、△BCD中,有AB=BC,BC=CD,∴EA=AB=BC=CD.∵纸条的两条边是平行的,故四边形EABC、ABCD均为等腰梯形,∴∠EAB=∠ABC=∠BCD,∴△EAB≌△ABC≌△BCD,∴BE=AC=BD.①图3在△ABD…