結式定理的一種證法

在解多個未知量的高次方程組時,消去法是重要的方法,而施行消去法的主要工具则是結式,關於結式定義及其行列式表示法,各種高等代數書中都有介紹,但在證明結式及其行列式表示式的相等時,所用的方法或則偏於抽象,不易為同學所徹底接受〔例如庫洛什高等代數數程(以下簡稱庫高)及奥庫涅夫高等代數(以下簡稱奧高)中的證法〕,或則不够詳明(例如狄克遜初級方程式論§112的證法),下面先略述這些證法來說明我的意見,然後介紹一種直接計算的方法,不算太長,但是比較好懂。一.常見的證法概述以下綜合上引三書的講法,作一概括的叙述,以說明問題之所在。 (一) 先談一個特殊情形,即當域P上多項式f(x),g(x)次數均大於零,且首係數均為1時: f(x)=x~n+a_1x~(n-1)+…+a,     

關於行列式理論的公理構成

行列式起源於解綫性方程組的問題,為了將解2未知量或3未知量綫性方程組的克來母规則推廣到n未知量的情形,我們從2階及3階行列式去找它們的內在规律,然後依照這種規律去定義n階行列式,並證明這樣定義的n階行列式確能使克來母規則成立。這在一般高等代數書上都有介紹,這裏不多說(可參看柯召譯庫洛什著高等代數教程第二章,此書以下簡稱庫高。) 由n階行列式的定義可以推出它們的很多性質,在庫高§23中曾指出利用這些性質中的若干條也可以反過來决定行列式。即若一方陣函數適合該若干條性質,則此函数必為方陣的行列式,這告訴我們對行列式可以有比較抽象的講     

解非線性函數方程的最速下降法

<正> H.B.Curry曾討論了解有窮多變数的非線性方程的最速下降法.他曾提到其推理可以推廣到無窮多參數的情形,但他並未實際作出.趙訪熊先生和A.D.Booth也只就有窮多變數的情形考慮.這裹我們考察無窮維空間的情形;更確切地說,我們證明在一些較強的條件下,解希爾柏特空間中的非線性方程的最速下降法依這     

希爾伯脫的“幾何學基礎”及其在問題的歷史發展中的地位

當我們研究幾何學的時候,最初如在中等學校所講授的一樣,在我們的認識中發生了獨創的思維世界,它很奇異地是現實的而同時又是幻想的。事實上,我們對直線、平面、幾何的體(例如,球)等等,給它們配上完全確定的性質來進行討論。但是,在什麼地方和在怎樣意義下,存在這樣方式的東西,使它們成為我們研究的對象呢?倒不是我們都知道,儘管我們來磨譬如說一塊金屬板的表面,由於在器具上和在動作本身上的不可避免的誤差,我們决不可能把它磨成“理想的平面”的形狀。不僅如此,非但不能達到理想地平的形狀,而且根據物質的原子構造,甚至要無限接近它都是不可能的,實際上,當我們要擴大所要求的精確度的時候,那末金屬板是在各別的原子上配列起來的,於是一般地談論它的表面,是沒有意義的。     

在中国数学会北京分会中学數学講習會上的開幕詞

毛主席指示我們“從中華人民共和國成立,到社會主義改造基本完成,這是一個過渡時期。黨在這個過渡時期的總路綻和總任務,是要在一個相當長的時間內,逐步實現國家的社會主義工業化,並逐步實现國家對農業,對手工業和對资本主義工商業的社會主義改造。這條總路綫是照耀我們各項工作的燈塔,各項工作離開它,就要犯右倾和‘左’傾的錯誤。”要實現黨在過渡時期的總路綫,我們就應該積極地參加到正在進行的偉大的五年計劃經濟建設的行列中去,在國家首先集中力量發展重工業的同时,相應地,有計劃地發展文化教育事業中,貢獻出自己的力量來;把積極地提高我們的業務水平,並     

對於數π的瓦理斯公式,萊布尼茲公式和歐拉公式的初等推導

在高等數學中,推得了許多把數π表爲無窮級數或無窮乘積的公式,這些公式中最著名的是瓦理斯公式2/1·(2/3)·(1/5)·(1/5)·(5/6)·(6/7)·=π/2 (1)萊布尼茲公式 1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+…=π/4 (2)歐拉公式 1+(1/2~2)+(1/5~2)+(1/4~2)+…=π/6~2 (3) 在高等學校裏,這些公式普通是在研究積分學(瓦理斯公式),研究函數展為冪級數(萊布尼茲公式)和展為三角級數(歐拉公式)的理論時被證明的,我們認為,對於大學裏的高等代數教師,特別,對於師範大學的高等代數教師來說,下面的一個這些公式的簡單推導,它只基於複數的運算法則和多項式代數的基礎,可能引起興趣;實際上,這個推導甚至對於中學生來說,都是可以理解的。     

談談“關於數學練習本批改方法的改進意見”一文

自從本通報發表了夀望斗同忐的關於批改練習本的文章(1955年2月號)以後,曾光後接到石光等同志的來稿,對壽望斗同志的文章提出若干不同的意見,同時也提出了他們自己在這方面的經驗。据我們所知,批改作業的辦法是目前中學存在问题之一,為了交流和研究在這個問题上的经驗,我們先發表石光等6位同志的來稿,供大家參考和討論。     

怎样在課堂上檢查作業

在數学教学中,時間花得較多的就是批改作業,在过去,我們学校曾为这事十分头痛,每日夜深人尽,總是我們組的办公室散射灯光,一直弄到十點,甚至十二點,我們知道,若是大部分時間花在批改作業上,那麼怎样能够提高教学呢?因此,提出了怎样才能从作業中解放出來。从雜誌上及教育学上都可看到,苏联很重視在課堂上檢查家庭作業,那麼,我們不是也可以在課堂上來檢查作業嗎?下面是一年來的一些經驗与体会。在起初,我們曾疑心,在課堂上檢查作業,豈不耽誤教学時間嗎?我們学校是中等技術学校,課程多,時間少,平常上課,常是講得滿堂灌;若再檢查作業,豈不是講不完了嗎?但是通过观摩,也有老師講得輕鬆的,經过研究,認为是重點明確所致,当然,重點明確是每一个老師都知道的;但是,我們若仔細檢查講过的一堂課,總会發現有的地方是不必要的細緻,有的話是廢話;甚至有的老師,不管問題大小,交代得詳詳細細,若用同学的話來說:『听的清楚明就是抓不住重點』,我認为,教課好比喂小孩吃东西白,一样,既不能大塊地拚命往內塞,也不能嚼得細細的,連一點滋味都没有,应提出这样的口号:「不說一句廢話」,在以前,每到期考時,同学就反映:「太多了,那能看得完」,今年期考時,就有同学这样反映:「虽然有好幾本書(代數、三角、高等數学教程),但是總起來問題並不多」,但是这裹不是討論重點教学,     

關於數列的求通項

高二代數在講級數前,要補講數列,因此看了些參考材料,在這些材料裹的例題和習題中間似乎表示;只須已知數列的前幾項,就可以考察出這數列的構成規律,並且能確定它的通項。 這是舆事實不符的, 事實是:已知數列的通項,或它的構成規律,必定可以寫出這數列的前幾項,並且可以寫出這數列的任意一項來,但有了數列的前幾項,未必     

用對數計算尺的平方尺标作乘除运算時的定位

本文的目的在於指出P.A.卡尔寧著,赵根榕,張理京譯,代数学教程下册221頁,用对数計算尺的平方标作乘除运算时的空位法則是不方便的,而且容易產生計算上的錯誤。同时在本文中还提出了修改这个法則的意見,为了易於說明本文起見,現在將在代數学教程中能够讀得到的利用对數計算尺作乘除运算時的定位方法,略去其理由,配合了必需的知識,簡單扼要地概括如下: 主尺标A与A_1上的數字是代表函數y=log x的自变量的值,与自变量x相对应的函數值用自1開始至自变量x的長度來代表。平方尺标B与B_1是由兩段長度相等而先後刻度完全一样的尺标组成,每一段是將主尺标縮小1/2制成,我們分別地把它們叫做左段尺与右段尺,其範圍是:     

在高一代數教學中關於無理數概念的引进

關於無理数概念的引進,代數課本中的教材與教學大綱所指示的不盡一致,但这一課題在教学中非常重要,因此,有些教師很希望知道這一段教材應該怎樣處理。我們曾先梭收到白綿和范棄疾同志的稿件,論及這個問題,因兩稿有不少相同之處,所以我們把這兩篇綜合成一篇發表,供教師們參考。     

關於初中代數第一章(Ⅰ)的教學問題

(一)教學目的 這一部分的主要教學目的是使學生瞭解使用文字的便利,其次則應使學生熟練地掌握計算的程序,從而能够熟練地求出代數式的值。 學生在算術中對於文字符號的使用,雖已具有一定的某礎,但尚未臻十分熟練,而且使用文字符號究竟有什麼好處亦未透澈理解。因為使用文字來代替一般的數以研究數舆敷間的普遍關係乃是代數學的主要精神,所以在這一單元中,便應在講課時把這一點說得非常突出。在計算程序方面,關於加減乘除學生雖已熟悉,但再加入乘方的運算,其運算程序為何,對於學生還是一個新的東西,因而在講課中應該特別注意。 關於代數教學的整個的教學目的,已具見教學大綱代數部分的說明中,教師首先必須明確,但關於這點僅能在學習過程中逐步使學生明確,在教代數的開始,教師似可不必講給畢生。     

我是怎样在课堂上檢查代數作業的

自从本通報在1955年2月号上發表關於批改數学作業的文章以後,曾引起广大教師們的研究、討論。尤其更有許多教師們將自己的經驗与看法撰文發表在本通報上,这都足以說明批改作業問題確实是当前在教学工作中須要解决并且也是教師們所渴望解决的事,同时教師們積極鑽研力求改進工作的精神,是值得欽佩的。然而由於我們作教師的对於这項工作都还不敢說已經有了充分的經驗与成熟的办法,同時对於这項工作在本通報上也已討論了数月;虽然从事实說明很多教師确实已经从这上边吸取了很多經驗;但是为了更好地改進这項工作,势必还須要再从实践中更多地發現与總結經驗。因此我們决定討論到本期为止,对这項工作暫時传一段落,希望教師們在工作中再多多試驗,使得經过一段時期的实践發現更好的办法後,再來總結並發表在本通報上,以便使得廣大教師在这項工作上更有所改進,有所提高。     

近似計算

1.为什麼要用近似值及近似計算? 在日常生活中及工程設計及施工中我們遇到的數值絕大多數是有一定準確度的近似值,我們的錶告訴我們時間的一个近似值,如果每天中午無線电的報時与我們的錶在校正前相差不到半分鐘,那麼我們的錶已經足够準確了,要求我們的錶絕对準確是不可能的,也是不必要的。在工程施工中要求的準確度也是有一定限度的,有些零件要求準確到千分之一寸,有些零件要求準確到十万分之一寸,不过在任何情形下,要求絕对準確是不可能的,也是不必要的,要求过苛的準確度就要造成人力的浪費,要求的準確度不够就要造成很多廢品,結果浪費人力及資財,我們要求,也僅僅要求,足够的恰到好处的準確度,多餘或不足的準確度都会帶來損失。把幾个近似值加以加减乘除等运算後所得的結果仍是一个近似值。例如用算盤或筆算算出     

軌跡

在初等幾何裏,軌跡是一個較為難講的課題,若只按課本講去,往往效果不好,這裏的原因,大半是對於軌跡的立論講得不透徹,軌跡的理論根源在於點集,教師若適當地用點集的思想啟發學生,學生便易於瞭解軌跡,為了說明點集,還要先說明集,所以我們從集談起。§1.集 1.1 名詞與符號甚麼是集?很難在眼前找出一個更簡單的名詞解釋它:比如,“總體”,“集團”,“組”,“類”,“族”,“系”,“一羣”都不見得比“集”)更清楚,所以只好舉一些實例說明它: 1.梁、唐、晉、漢、周(五代), 2.北京市的中學生, 3.一個人身上的細胞, 4.一個方程的所有根, 5.一切正整數, 6.一切多項式, 7.一切連續函數, 8.一條直線上的點,這些都是集,集論的創始人坎托爾(G.Cantor)說:“集就是把許多物件想像作一個物件。”也可以說是在我們的周圍世界之中,圈定了確定的一些事物,讓它們結成一個總體。集M包含的東西e,比如前面說的五代名稱、學生、細胞、根、……,叫做M的元素;同時說e屬於M.記作     

素數

在人類社会發展的最早階段就已遇到运用計算和使用整數的必要性,整數是指無窮序列 1,2,3,4,5,…… (1)中的項,(1)就是常說的自然數列。 誠然,只是由於很長的过程,才能意識到序列 (1) 中含有任意大的数;例如人類最初只会数到二、三、四,而所有較大的數則被包含在“多”这一概念之中。在我們的語言中有“二重數”(把單數和多數同時放在一起)就是这一事实的反映;我們說:“一个(?)”,“兩个     

根式算術根的運算和根式圖象

1. 什麼是算術根? 根式a~(1/n)所代表的值(假定n是正整數)是多值的,利用代數的或非代數的運算(例如三角運算,便是非代數運算),可以求得n個不同的值,它的n次冪,均等於a我們加以限制,祇取一個主值,這個主值,叫做算術根,例如4的平方根的算術根是2。高中同學,都能解下面這個無理方程。     

無理方程

本文以較有系統的叙述,討論中學範圍內無理方程的解法,特別着重討論無理方程的增根及在實數範圍内無根(以後凡談到有根或無根均指在實數範圍內而言)的問題,給出若干規律以簡化驗根的手續。假若我們能用理論和實踐相結合的方法去指導學生,那末就可以逐漸培養他們的分析力、判斷力以及獨立思考的能力,從而减少激條式的驗根演算,改變學生們知其然而不知其所以然的不良學習方法。     

連乘積(x+a_1)(x+a_2)…(x+a_n)的一種算法

由實際乘法,自然可展開(x+a_1)(x+a_2)…(x+a_n),下面討論一個計算這種連乘積的公式爲以後叙述簡便計,茲約定: 1) R_K~((O))=1,K=1,2,…,n。 2) 當i≠0時,R_K~((i))代表所有可能的al_1,al_2…al_i;型之項(即共為i個a之積)之和,但須:     

對代數學教程中近似算法的一點意見

作者在本文中举出(?)著,赵根榕、張理京译代數學教程第二章“近似算法”及第四章“幂舆根”中所存在的一些問题並提出了修改的意見,我們在这里特別指出作者在本文中所提出的準確有效數字的定義的修改意見与原書有着原则上的分歧,原書的定義是按四舍五入法的標准来确定一个近似数的有效數字的,四捨五入法是最好的近似数的記法,在中等技術學校里把計算和测量的结果按四捨五入法记錄下來這個規則介紹給學生對於养成學生的优良習慣來說是十分必要的。结合四捨五入法的規則來下準確有效數字的定義是有根据的。作者認為在實践中近似数可以採用四捨五入的記法,但在理論上準確有效数字不能以四捨五入的記法作為判斷的準繩,所以作者另下定義,這是和原書精神不一致的。 關於有效數字的定義,有規定以不超過近似数的最末位上半个單位為標準的(例如(?)的书),亦有規定以不超過最末一位上一个單位為標準的,也有兩種都採用的(例如(?)的近似计算法,但該書特别指出按四捨五入法記成的近似數,它的有效數字的定義是以下超過最末位上的半個單位為標準的)。闵乃大先生在近似數誤差分析(數學通報1954年10,11,12月號)一文則把符合第一種定義的数字稱為準確有效數字而把符合第二種定義的數字稱為可靠數字以示區別。究竟应該把那一種有效数字的定義介紹給中等技術學校的學生或者把兩種都介紹給學生的問题,我們希望有關讀者能展開討論,好有所决定。