非线性随机动力系统的概率密度演化分析

阐述了基于概率密度演化理论进行多自由度结构非线性随机动力反应分析的基本思想.采用随机过程的正交分解或物理系统建模的思想,实现随机激励的随机函数表述.对由此获得的随机状态方程采用概率密度演化理论求解,可以获得随机动力系统反应的概率密度函数及其演化.以某剪切型框架结构的非线性随机地震反应分析为例,说明了所发展方法的可行性和有效性.     

三类随机系统广义概率密度演化方程的解析解

近年来逐步发展的概率密度演化方法理论为随机动力系统的分析与控制研究提供了新的途径.过去若干年来,已经发展了一系列数值方法如有限差分法、无网格法用于求解广义概率密度演化方程.但是,针对典型随机系统,关于这一方程解析解尚比较缺乏.本文以李群方法为工具,研究给出了Van der Pol振子、Riccati方程和Helmholtz振子3类典型随机非线性系统的广义概率密度演化方程解析解.这些结果,不仅可以作为检验求解广义概率密度演化方程的数值方法结果正确性的判别依据,也为概率密度演化理论的进一步深入研究提供了若干分析实例.     

随机荷载作用下随机结构线性反应的概率密度演化分析

提出了随机荷载作用下随机结构线性静力反应的概率密度演化方法.基于力学平衡方程,导出了随机荷载作用下随机结构反应的状态方程,进而引入扩展状态向量,建立了随机荷载作用下的随机结构静力反应的概率密度演化方程,讨论了其差分数值求解技术.进行了八层框架结构在随机荷载作用下的反应的算例分析.在单一随机参数结构的情况下,与随机结构反应的精确解答进行了对比;对于多个随机参数结构随机反应,则与MonteCarlo分析结果进行了比较.研究表明,本文提出的方法具有很高的精度及良好的实用性.     

随机结构静力反应概率密度演化方程的差分方法

随机结构分析的概率密度演化方法是分析随机结构静力反应的一种具有良好前景的方法.本文研究了求解随机结构静力反应概率密度演化方程的差分方法,分别探讨了单边差分格式和Lax-Wendroff格式的计算性态.二者均能满足概率相容性条件并且能够保证均值线性增长.以八层框架结构的静力随机反应为例,对两种差分格式的结果及精确解答进行了具体的比较分析.研究表明,两种差分格式均是收敛和稳定的,在不连续点处存在角点效应,单边差分格式能够保证概率非负性,而Lax-Wendroff格式具有往往更快的收敛速度.就变异系数而言,通常单边差分格式的变异系数随着区间离散数的增长而趋于稳定值,Lax-Wendroff格式则一开始就可得到恒定的值.     

随机结构动力反应分析的概率密度演化方法

提出了随机结构动力反应分析的概率密度演化方法．基于有限单元法基本原理,导出了含有随机参数的结构反应状态方程,进而,通过引入扩展状态向量,建立了随机结构反应的概率密度演化方程．将精细时程积分方法与Lax-Wendroff差分格式相结合,探讨了求解概率密度演化方程的数值方法．对一个8层层间剪切型随机结构进行了算例分析,并与Monte Carlo方法的结果进行了比较．研究表明,随机结构反应的概率密度具有演化特征,且概率密度曲线与正态分布差异甚大,甚至可能出现双峰曲线．     

基于概率密度演化方法的随机结构可靠度分析

随机结构反应的概率密度演化方法能够给出随机荷载作用下随机结构反应的概率密度函数。在此基础上,根据给定的正常使用位移限值要求,直接进行积分给出了随机结构的正常使用可靠度及其失效概率。在实例分析中,与一类情况下的精确解答及基于反应正态分布假定的二阶矩方法分析结果进行了比较。研究表明：基于密度演化方法的随机结构可靠度分析具有很高的精度,而二阶矩方法的可靠度分析结果则往往具有一定的偏差,在失效概率较低时可能给出虚假的失效概率。     

广义概率密度演化方程的再生核质点加密算法

采用一般质点近似和再生核质点近似表示系统响应量,给出了动力系统响应量的一般表达式。在此基础上,发展了一类求解广义概率密度演化方程的再生核质点加密算法,给出了详细求解步骤。以单自由度系统为例,从响应概率密度的角度考察了再生核质点加密算法的精度。以多自由度框架结构为例,验证了再生核质点加密算法求取非线性随机动力系统响应概率密度的正确性。     

结构随机反应概率密度演化分析的数论选点法

密度演化方法可以直接获取结构的线性和非线性响应概率密度函数解答及其演化过程。当结构参数与激励中含有多个随机变量时,在多维随机变量空间中的离散代表点选点规则对密度演化分析的精度和效率至关重要。基于高维数值积分的数论方法,建议了多维随机变量空间的数论选点方法。利用多维随机变量空间的联合概率密度函数的球对称性或近似辐射衰减性质,对数论方法给出的单位超立方体中的分布点集进行筛选,可大幅度减少选点数目,从而将具有多个随机变量的结构随机响应分析问题计算工作量降低到与单一随机变量结构随机响应分析问题相当的水平。     

广义密度演化方程的δ函数序列解法

随机动力系统响应或状态向量的概率密度函数一般遵循概率密度演化方程,如Liouville方程、FPK方程和Dostupov-Pugachev方程,但是上述方程均属于高维偏微分方程,求解相当困难. 基于概率守恒原理的随机事件描述导出的广义密度演化方程,其维数与系统自由度无关,为随机动力系统分析提供了可能的途径. 从广义密度演化方程的形式解出发,引入δ函数的渐近序列,获得了广义密度演化方程的一种新的数值解法------广义密度演化方程的δ序列解法. 将建议方法与非参数密度估计进行了对比,指出非参数密度估计是该方法的一个特例. 最后,分别采用重构实例和演化实例验证了该方法在一维和多维情形下的有效性.      

含多维随机变量的广义概率密度演化方程解析解: 以Euler-Bernoulli梁为例

广义概率密度演化方程的解析解, 不仅具有重要理论价值, 而且具有校验数值解、进而标定数值算法误差的作用. 以Euler-Bernoulli简支梁为例, 推导给出了梁受迫振动时跨中位移响应所对应的广义概率密度演化方程解析解. 包括非平稳非高斯随机载荷作用下的解(包含2维随机变量)以及同时考虑载荷随机性和结构参数随机性时的解(分别包含2维、4维和5维随机变量). 分析结果表明, 真实的概率密度演化是一个十分复杂的过程, 远不能用简单的概率分布函数加以描述. 这一进展, 可为概率密度演化理论的进一步深入研究提供一个方面的基础.     

Asymptotic behavior of 2D generalized stochastic Ginzburg-Landau equation with additive noise

The 2D generalized stochastic Ginzburg-Landau equation with additive noise is considered. The compactness of the random dynamical system is established with a priori estimate method, showing that the random dynamical system possesses a random attractor in H^1 0.     

转子支承系统临界转速概率分析的随机响应面法

概率密度演化方法(probability density evolution equation, PDEM)为非线性随机结构的动力响应分析提供了新的途径. 通过PDEM获得结构响应概率密度函数(probability density function, PDF)的关键步骤是求解广义概率密度演化方程(generalized probability density evolution equation, GDEE). 对于GDEE的求解通常采用有限差分法, 然而, 由于GDEE是初始条件间断的变系数一阶双曲偏微分方程, 通过有限差分法求解GDEE可能会面临网格敏感性问题、数值色散和数值耗散现象. 文章从全局逼近的角度出发, 基于Chebyshev拟谱法为GDEE构造了全局插值格式, 解决了数值色散、数值耗散以及网格敏感性问题. 考虑GDEE的系数在每个时间步长均为常数, 推导了GDEE在每一个时间步长内时域上的序列矩阵指数解. 由于序列矩阵指数解形式上是解析的, 从而很好地克服了数值稳定性问题. 两个数值算例表明, 通过Chebyshev拟谱法结合时域的序列矩阵指数解求解GDEE得到的结果与精确解以及Monte Carlo模拟的结果非常吻合, 且数值耗散和数值色散现象几乎可以忽略. 此外, 拟谱法具有高效的收敛性且序列矩阵指数解不受CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)条件的限制, 因此该方法具有良好的数值稳定性和计算效率.

     

Construction of the stationary probability density for a family of SDOF strongly non-linear stochastic second-order dynamical systems

In this paper, a new procedure is proposed to construct the stationary probability density for a family of the single-degree-of-freedom (SDOF) strongly non-linear stochastic second-order dynamical systems subjected to parametric and/or external Gaussian white noises. First of all, the Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) equation associated with the original Itô stochastic differential equation is replaced by the equivalent FPK equation by adding arbitrary anti-symmetric diffusion coefficient. Then, a family of invariant measures depending on the arbitrary anti-symmetric diffusion coefficient and another arbitrary function is constructed by vanishing the probability flows in two directions. Finally, the drift vector associated with a family of Itô stochastic differential equations is deduced by giving, a priori, these two arbitrary functions. It is shown that the known invariant measures dependent on energy are only the special cases of invariant measures presented in this paper, while some other classes of invariant measures are independent of energy. Thus, the invariant measures constructed in this paper are those belonging to the most general class of the SDOF strongly non-linear stochastic second-order dynamical systems so far.     

一般大气环境下锈蚀钢筋混凝土梁的时变可靠度分析

根据一般大气环境下锈蚀钢筋混凝土梁中的钢筋截面损失时变模型和抗剪、抗弯承载力退化模型,建立了考虑其随机性的极限状态方程。基于概率守恒原理分析得到满足该极限状态方程的概率密度演化方程,并引入吸收边界条件,提出了梁时变可靠度的计算方法。以受对称集中荷载的锈蚀钢筋混凝土简支梁为例,展示了目标函数的概率密度演化过程,并讨论了配置不同直径箍筋和不同厚度保护层时的时变可靠度。结果表明,在保证梁具有足够初始抗剪强度和抗弯强度的前提下,适当增大保护层厚度和箍筋直径(具有相同配箍率)能延缓混凝土构件力学性能的退化。通过和100万次蒙特卡洛模拟结果的对比可知,选用本文方法能在以付出较小计算代价的前提下,获得计算精度良好的分析结果。