递归算法 遞归算法論Ⅰ

<正> §1.引言 能行性問題,也就是算法問題或可計算性問題,是数理邏輯的中心問題.这問題在数理邏輯基本理論研究中的重要性是数理邏輯工作者所熟知的.然而,它的重要性是远远地超出数理邏輯的范围的. 能行性問題涉及一般数学的极为本貭的問題,而且牽涉得十分深广.以递归函数論     

命題演算的初步介紹

数理邏輯是把数学方法应用于邏輯研究的产物。从它的历史看,是应数学的需要而产生的。在近二十余年来,由于自动化和計算技术发展的要求,数理邏輯在这方面以及其他一些技术領域中得到广泛的应用。在数理邏輯中,命題演算是最簡单的、最基本的一部分。     

数理邏輯和自动化

建立以概念和命題为对象的字母演算的最早想法和尝試皆属于十七世紀著名的数学家和哲学家萊布尼茲(1646-1716)。根据这种邏輯演算的思想,他曾幻想有一天人們可以用計算去代替辯論。因而萊布尼茲设法使邏輯和計算結合起来,使邏輯代数化,把組合分析的思想灌輸到邏輯中去,即建立現在称为数理邏輯的这門科学。数理邏輯发展到今天已达高度完善的程度,并成为最主要的数学学科之一。数学基础和数理邏輯現在也几乎变为同义語了。今天任何一篇有关数学現状及其发展的途的較长的綜合性文章部首先要考察数学基础和数理邏輯。这很自然,因为一方面研究数理邏輯并不需要任何的数学預备知識,另方面数理邏輯对現代数学的所有各分支却是必不可少的,因为現代数理邏輯的研究对象是建立数学証明的方法和工具。現代的数理邏輯可定义为研究数学証明的科学。     

数理邏辑的簡单介紹

我国的讀者近来已越來越多地对数理邏輯发生兴趣了,这是一个很好的現象。它表明了我国大众已經开始重視这門重要的科学;从而将使这門科学在我們祖国的土地上开出光輝灿烂的花朵来。但是一般讀者每每詢問下列一連串問題:数理邏輯是怎样的一門科学?它研究什么?有什么主要內容?学习它时需要什么预备知識?有什么主要参考书?……这些問題如果得不到很好的回答,对数理邏輯的学习将受到不良的影响。本文的目的想介紹数理邏輯的主要內容,部分地回答上述各問題。由于数理邏輯內容的丰富,任何人想在一篇短文內加以介紹,势必掛一漏万。再由于作者水平不够,本文必然会詳略失宜甚至含有严重的錯誤。因此讀者必須用批判的眼光来閱读它,这样才可以不因本文可能出現的錯誤而受到影响。否則本文原来的目的不但沒有达到反而带來了流弊了。数理邏輯簡史数理邏輯的內容是非常丰富的,要介紹它真是不知从何說起。現在我們先从它的发展过程来說起吧。因为一件东西,无論多么复杂,如果能够从它的发展史来看,每每极易得出它的基本特性的。     

浙江省临海县中等学校数学教学座談会紀要

为了交流各中等学校数学教学的情况,对当前数学教学中存在的主要問題进行比较深入的討論与研究,总結教学經驗,推动下一阶段的数学教学工作,我局于一九六三年五月三日至五日,召开了中等学校数学教学座談会,着重討論了以下两个問題:(一)钻研教材与使用教材問題;(二)精耕多练問題,此外对培养学生的邏輯思維能力和毕业班的复习問題,也交換了一些意見。 現把座談     

試談平面几何教学中习題的深度与要求

近一年来,許多从事数学教育工作的同志們,对中学几何課的教学目的和任务問題进行了热烈地討論,目前,就討論的范围来看,已經涉及到在平面几何教学中发展学生的邏輯思維能力、直观与推理的关系,以及內容的安排等問題,就笔者所知,这是非常切合     

邏輯方程的求解

1.本文作者多年的經驗証明,邏輯方程的求解会引起学生們极大的兴趣。此外,它还能教給学生数理邏輯初步的一个很自然的方法。在中学設置这一課程的必要性,人們談論过不止一次。学生通过邏輯方程的求解的学习,还会学到一門在近代科学技术中有着广泛应用的新代数,并且根据印象,他們还会由于能够解决新的問題而感到欢欣鼓舞。     

中国科学院数学研究所数理邏輯室举办数学基础講座

在反右傾,鼓干劲的基础上,中国科学院数学研究所数理邏輯室为了在高等学校中开设数学基础課創造条件,为了使数学工作者能够正确地运用馬克思列宁主义的观点和思想方法去认识数学的发展規律,进行数学研究,从而使馬克思列宁主义的思想在数学界的思想領域中占絕对的统治地位,举办了数学基础讲座。数学基础,一般来说是研究数学的对象、性质和数学的发生、发展的一般规律問題的。它对数学历史的发展、內容和現代数学水平作了科学的概括,并且提高到哲学的高度。它的任务是:揭露数学的本貭,揭露数学的物貭基础和数学的发展规律,使我們利用这些規律去指导数学的发展,使数学这門科学更好地为人类     

谈談中学几何課中計算問题的教学

在最近一个时期內,很多数学工作者,特别是从事中学数学教育工作的同志們,都在热烈地討論中学几何課的設課目的和任务,以及有关教学方法問題;并且討論的范围除了已經涉及到內容安排的問題外,也进一步涉及到了中学几何教学中发展学生邏輯思維能力的問題。显然,这是非常必要的,因为只有通过这样的討論、研究,才能更好地改进中学几何教学。但是就笔者所知,有关中学几何課中的作图和計算方面的問題,尤其是有关計算問題的教学目的和要求以及如何进行教学等,似乎討論的还不多,因此笔者愿从这个方面——中学几何課中的計算问题(以下略称几何計算)发表一些个人的看法,提供同志們参考,并希望有助于問题的討論。     

数学题的拟造

(一) 对于一道数学題,教师經常可以通过适当地变更問題的条件和結論,或变更問題的內容和形式,拟造出一些新的数学題来,这种工作称为数学題的拟造。任何一道数学題,都蘊涵着一定的数量間的相依关系或图形性貭問的相依关系。在解題的时候,还要运用一些特定的邏輯关系和思維方法,通过数学題的拟造,甚至是最簡单的拟造,都能使我們对其中的关系有更深刻的认識并对所运用的方法能更透彻地掌握。恩格斯在自然辯証法中曾說:“数学上各种形态的轉变,并不是一种无聊的游戏,它是数学科学最有力的杠杆之一。”这話不仅对于数学定律和公式等的变形是正确的,对于数学問題的变形和拟造也同样是正确的,近代数学有些部門正是在对旧有的問題进行內容和形     

数理邏輯与自动化(續完)

Ⅱ.数理邏輯和电子管继电线路的理論在技术发展还沒有提出要設計复杂的、具有大量起着继电器作用的电子管自动装置时,关于建立电子管继电綫路的分析和綜合的科学方法問題就沒有产生。为了設計具有少量电子管的继电綫路,通常的工程計算法是足够的。然而,当技术提出要设計包含有几千个,甚至在某些情形要多于上万个电子管的自动装置时,建立电子管继电綫路的分析和綜合的問題就成为极为迫切的了。     

关于解析几何教学的几点注意

本文拟环繞解析几何中的一些概念,关于在数学教学中如何对待“直观与論证”談一些个人的看法。內容包括:一、数学中的邏輯論証及直观說明;二、解析几何教学中一些問題的商榷;三、关于綫段的量的一个定理;四、关于三角形面积公式的一个証明;五、关于二次曲綫中心的定义問題。一、数学中的邏辑論证及直观說明先談談数学中的邏輯論証。通常在数学中的論証属于形式邏輯中論証的范畴。形式邏輯中的任何証明都是由下列三部分构成:(一)論題,(二)論据,(三)論証。論題是需要加以証明的判断,論据是被用来作为論題底充足理由的諸判断,論証是組成从論据推出論     

大、中学数学教学的銜接問题

一、問題的真象刚进大学的学生覺得大学数学課程与中学的大不相同,数学思維总是跟不上,有时課堂上听不出头緒来,大約經过半个学期的时間才能逐漸走上邏輯思維的軌道。这就是大中学数学教学不够銜接的問題。说大学与中学数学     

数理逻輯的簡单介紹(續)

数理邏輯的主要內容数理邏輯的內容是非常丰富的,要在一篇短文內介紹其主要內容是非常困难的,遺漏不但无法避免,甚至于可能是掛一漏万的。下面的介紹是根据比較流行的說法再結合作者的理解而立諭的。数理邏輯的主要內容可以分作四大部分。第一部分可以叫做数理邏輯本論。又分两部分,純演算与应用演算。純演算部分主要是命題演算(在其中每一命題不加以分析,从而只討論“非”“或者”“并且”“如果…則…”等命題联結詞的性貭)以及謂詞演算(在其中把每一命題分析成主語及謂語两部分,主語又叫做个体,而     

怎样解数学題

怎样教学生解題,这是数学教学中的一个很重要的問題,苏联“数学启蒙”1957年第1期中有一篇书籍評介的文章,援引了美国数学家波利阿(G.Polya)所編制的表,并且对該表的特点也作了分析。这些对我們都有一定的参考价值,因摘譯在下面。     

数学归納法教学探討

数学归納法是数学中一种重要証題工具。但是,高中学生往往难以理解它的实貭,对它的証題步驟,也往往是死記硬套,因此数学归納法是中学数学课中較大难点之一。下面对这一段教学及学生常出現的問題提出几点意見。 (一)怎样提出数学归納法人們进行邏輯推理时有归納和演繹二种方法。演繹法是由一般命題推出特殊命題的方法。例如:任何平行四边形其对角綫互相平分。菱形是平行四边形, 所以菱形的对角綫互相平分。与此相反,归納法是由特殊命題概括出一般命題的方法。     

关于充分条件和必要条件

充分条件和必要条件是在构成許多数学命題时要用到的最重要的概念。不了解它們的邏輯关系,学生就不能透彻地理解定理的含义,不能深刻地認識定理的証明和解題过程。因此,为提高学生数学知識的貭量以及对他們加强邏輯推理和分析問題的訓练,就不得不要求学生对同一个命題中的前提和結論之間的关系以及命題与命題之間的关系有清楚的認識。本文就我們在这方面教学实践中得到的点滴体会来談一談,以供同志們参考并請指教。     

指導複習应用問題

1)应用問题与方程:在我們講課中应明確:要解决我們生活实际中的应用問题,必須在數学中產生方程这个內容。反之任何一个具有实根的方程都有它的实际意义,方程式「現代学校代數課的內容的四个主要發展系統之一。」「在現在的代數課中無疑的是很重要的。」(伯拉斯基著,吳品三譯中学數学教学法第三册§2) 2)解应用問题之意义:解应用問題就是要把關於數量的事实問題,化成代數問題,換一句話說就是要做一次翻譯工作,把普通語言譯成代數語言,这首先是用字母代未知數,其次是用+、-、×、÷等符号联合字母与已知數成代數式,以表各种事实關係,再用等号联合兩代數式以表合乎条件的相等關係,於是事实間題,化成方程的關係,解方程即求出合於事实条件的未知數。事实問題中的限制很多,方程往往不能完全顧到,同時解方程的过程可能有違背事实的情形,故解方程求得根之後是否合事实仍須審查。 3)定未知數:一个題中未知數往往不止一个,题中指定要求的为直接未知數,題中不必求出的为     

算术四則应用問題的教材分析

一、算术四則应用問題的教学目的通过四則应用題的教学,能够使学生正确运用已学过的基础知識去解决日常生活中和实际生产中所遇到的問題,和发展学生的邏輯思維和空間想象力。我們联系到初中学生所学的数学各科来看,用算术解答較繁难的四則应用題远不如用代数解答来得簡捷和易于掌握,因而后者的任务就更加显著了。用代数的方法立式需要涉及到很多算术中所讲的基本概念、观念,基本的数量关系,用算术方法来解答也同样以这些为推理的依据,因此为了使学生能正确的立式,应該把基本概念、观念,基本的数量关系的讲解,放在应用題教学的首要地位。这些内容在课本上是由浅入深地安排着,富有强烈的系統性,在整数一章,不惜用大量課时安排了很多分别用加、減、乘、除法法則来解的浅易的应     

对于在中学講授数理邏輯的初步意見

目前,随着全国范围內轰轰烈烈的技术革命文化革命广泛深入的发展,我国数学界也在进一步开展羣众性的大搞数学联系实际以及关于数学教学彻底改革的討論及試驗。在中学数学向現代化方向改革的討論中,不少同志提出应該在中学讲授一些数理邏輯基本知識;作者也同意这样的意見,为了参加討論,現在談一些不成熱的看法,难免有片面或錯誤之处,希望得到批評。一、数理邏輯的主要內容数理邏輯这門科学,就其原来的内容說,是用数学方法来帮助研究某些較初級的思維过程中的規律性。应該說明,絕不是任何思維規律的研究都适于引用数学方法;数理邏輯的研究对象,主要是一些形式邏輯中的規律,特别是数学論証中的思維規律。研究的途径是将这些思維的进行作数学的抽象和描述,使之符号