函数的周期性在解三角方程中的应用

三角方程是中学三角課的内容之一。它是研究三角函数的性貭的一个方面,即从自变量(角)的值来研究三角函数式的值。三角方程解的一个最重要的特性是,如果三角方程有解,那末它的解是无限多个。其所以如此,是由于三角函数的周期性所致,因此,从函数的周期性来研究方程的解,可以突出三角方程的特性,加深对三角方程的认識。尤其是对三角方程变形时所产生的增根与遺根的检驗及不同形式的根的等效性等問題,利用函数的周期性来讲解既簡单又明确。一、方程的周期在用三角函数的周期性来研究三角方程前,我們先引用方程的周期的概念。定义。当方程f_1(x)=f_2(z)化为形如 F(x)=0     

检查三角方程通值式等效性的三个方法

現用高中三角課本自习題三起就有三角方程的題目。随着教材进度,学生获得了同一方程的不同解法,因而得出的根在形式上也就不同了。学生必須掌握怎样检查各种解答的真确性。教师在最末一章“解同一方程的多种方法”这課題上也应該提出怎样检查通值式的等效性。現在根据赵宪初和王志亭两同志的意見(分別見数学教学月刊1957年6期及1958年3期)綜合三个方法如下: (一)判别通值式諸角終边位置是否一致。例如解方程:sin~2x=3/4。     

三角方程的增根和遺根問題

1. 研究教学大綱,决定如何引出增根、遺根問題 中学數学教学大綱(修訂草案)中指示,“在学習三角方程時,……(1)要求出方程的一切解(不强求把通值公式再加綜合);(2)在方程变形時,不应当忽略增根和遺根的可能性的問題。”这一指示引起了我們对研究增根和遺根可能性問題的重視,在过去我們進行三角方程教学時,關於增根和遺根的可能性問題强調得不够,而在代數課中關於方程的等效的概念講的是不够清楚的,在解方程过程中,破坏同值性問題一般只了解下列二點:(1)方程兩边同乘以含未知數的同一式子或使方程兩端平方,可能使方程發生增根;(2)方程兩边同除以含未知數的同一式子或兩端開方,可能使方程遺根,但这二點对於解三角方程時,檢查增根和遺     

关于三角方程的教学

本文拟谈三个问题:1.对统编教材高中数学第一册“简单的三角方程”这一单元内容安排的分析;2.在用不同方法解三角方程时,可能得出不同形式的答案,如何判别它们是等价的;3.有关增根、失根的问题。 1.课本首先总结了最基本的三角方程:sin x=a;cos x=a;tg x=a的解集。当a为具体数值时,这些方程的解集,已经在第二章“任意角的三角函数”中,通过已知三角函数值求角的问题解决了,并且也给出了一般解,只是朱用反三角函数表示。在这     

关于指数方程和对数方程的驗根問題

解指数方程和对数方程得出的根,哪些必須检驗,哪些不須检驗,換句話說,解指数方程和对数方程时,哪些变形是同解变形,哪些不是同解变形,現行高二代数課本(以下簡称課本)上沒有明确說明。用什么方法检驗,課本上也沒有明确說明。大概是用計算原方程两边的值是否相等的方法。然而这样检驗的方法有时     

讲授因式分解的几点经验

初中代數課本里因式分解部分.是紧接乘除法公式之後來講解它的逆運算,同時又為以後分式,分式方程的學習奠定基礎.它在整個代數課程的有機的體系里所佔的地位及其重要性、自不待言.目前所用的課本(東北人民政府教育部根據蘇聯中學教科书所編譯的課本)對因式分解所用各種方法有精簡扼要的叙述,習題本中附有200多個習題,在初中代數教學進度表(草稿)內規定用24小時的授課时間來講授這一部分,我們怎樣根據教學大綱的規定,领会先進教材的精神实質,去教好這一部分課程,使學生獲得完整的科學知識與熟練技巧呢?現在把我從实際教學過程中所獲得的經验寫在下面:     

建国以來我社中学数学課本的編輯工作

解放前,中学数学課本的版本极不一致。刚解放时,各地学校仍沿用旧課本。为了迅速改变这种状态,建国初,我社根据中央教育部頒发的“普通中学数学精簡綱要”(草案),从旧的中学数学課本中选出使用較为普遍的課本,加以精簡,出版了一套精簡本。各地大体采用了这套精簡本,因而基本上結束了多年来中学数学教材的混乱状态,保証了数学教学的必要貭量。但是,这套精簡本的科学系統性比較差,各課本間也缺乏联系配合,特别是課本中的資产阶級思想毒素沒有得到清除。 1952年,中央教育部頒发了“中学数学教学大綱”(草案),在全国各地試行,我社根据这个大綱,参考苏联十年制中学数学課本,編譯成了一套新的数学課本。     

三角函数的定义域的教学

現行高中平面三角課本在§7同角的三角函数間的关系的注中写着“上面的关系式都是对于使它的两边具有意义的那些角而說的,以后遇到的关系式也是这样”。这是一段非常重要的話。学生如果对这段話沒有充分的注意和深刻的理解,在以后对待三角函数的恆等变換时就会不注意自变量的允許值的扩大与縮小;运用三角公式时往往不注意公式的适用范围;解三角方程时不能根据函数定义域的扩大和縮小鉴别增根和收回遺根。应該肯定:三角函数的定义域的教学不仅是理解三角方程增、減根的基础,更是加强函数观念所不可缺少的課題。为了加强三角函数定义域的教学,笔者对現行高中平面三角課本作了某些修改,进行了試驗,現将試教情况介紹如下,請指正。     

初一几何教学小結

我們在1961—1962学年度第二学期后半期,在初中一年級試驗几何教学。共讲二章。現就教材教法两方面,小結如下。一、关于教材的处理北京市初級中学平面几何第一册,比过去用的老課本(人民教育出版社編的)有不少优点。例如:在緒论的引言部分,虽然文字很少,但概括說明了什么是几何学,为什么要学习几何学,以及几何学与我国社会主义建設的关系,这对初学者有好处。又如注意了理論与实际的联系;注意了多种作图工具的使用,此外还去掉了旧課本中的一些較繁难的內容,这样使初学者感到直观,实际。但課本仍然存在一些问题值得研究。例如,就前两章来說,在理論要求上浅了一些;有些概念看来很重要,而課本中沒有提到,讲的簡单。針对这个問题我們便在教学中适当增加了一些內容。为了說明增加了哪些內容,为什么要增加,先說一说我们对第     

二次方程解法概述

在代数課本中,二次方程一般被认为是簡单熟悉的問題,但是不少教师为了在这一問題上扩大学生的知識范围和培养学生的解題技巧,正在不断的研究和改进着自己的教学方法。本文企图指出在初等数学的教学中进行此一工作仍有着广闊的余地,从而为教师或学生进一步独立钻研打下基础。哈恰多里(巴庫)写道,数年来他坚持在八年級的一节課上进行了利用韦达定理口答带有有理根的完全二次方程的练习。为此目的,他証明了二次方程枳的一个簡单性貭。已知方程 ax~2+bx+c=0, 証明方程 y~2+bx+ac=0的根等于已知方程根的a倍。为了証明此性质,我們应用公式解每一方程     

关于初中代数课本中多項式除法升幂排列問题及对教材的意見

初中代数課本出版者的話中,提到这本教材的編写,取材于吉氏課本並参考法捷耶夫、索明斯基合編代数学上册(以下簡称法氏本)。 課本对多項式除法的取材和处理上,有些不妥的地方,給教师帶来很多麻煩。如課本的講述曾强調多項式除法升冪或降冪排列都可以,而后轉到举例时,对例三这个帶余式的除法,就产生了問題。显然用升冪排列与降冪排列所得的結果不会一样,这該怎样解釋呢?     

我們在平面三角教学改革中的一些作法

一、教材的改編我們对現行三角教材进行了如下的处理和安排: 1.在教材顺序上把原第二章变为第一章,原第一、三两章合并为第二章,原第四章变为第三章,原第八章变为第四章,接着讲原第九章、第五章、第六章。 2.在教材內容上作了如下的变动。 (1) 为了減少无益的循环,一开始就給出了任意角三角函数的定义: sinα=y/r,cosα=x/r,tgα=sinα/cosα,ctgα=1/tgα,secα=1/cosα,cosecα=1/sinα这样就更反映了三角函数之間的本貭联系,又节省了“同角的三角函数之間的关系”的教学。 (2) 为了克服支离破碎的現象,使教材的系統性更强,我们把課本§6,§14,§53的例4、例5,§54的例3,§55的例3等都合并到三角方程中进行讲授。为使教材更加符合实际的需要,加强数學与物理、实际的联系,我們补充下列內容: (1) 形如y=sin(nx α),y=cos(nx α)和     

我怎樣教指數方程及對數方程

1.分析教材及根據學生水平,決定教學目的: 指數方程及對數方程,這節是高中代數學第121節,為高中二年下學期的課程,它緊接著對數學完之後即在懂得對數的若干性質,及二次方程解法知識的基礎上而學習的,但因此二類方程各無一般解法,在小學階段只能限於若干特殊的例子,也就是可化為普通的一次方程及二次方程來解的問題而已,課本中只有①解方程2~x=1024。②解方程a~(2x)-a~x=1。③解方程1g(a+x)+1g(b+x)=1g(c+x)三個例子,而習題本中除了簡單的方程外,尚有比較複雜而且常有增根失根的情況,在另一方面,對於為什麼要學習指數方程與對數方程,以及比種超越方程不能都以代數方程的解法去解它,課本中未曾提起,根據我班學生一般水平,在代數知識上是參差下齊的,對於二次聯立方程的知識還不很豐富,對於同根定理的認識更是膚淺,因此對本節的教學要     

关于asinx bcosx=c型方程解法的补遗

三角方程在中学数学中是一个难点,学生学习时有一定的困难。高中代数课本三角方程一章中,只给出了几个典型的例题的解法,要求教者通过例题的分析,总结这一类题的解题规律和方法,以提高学生的解题能力。关于αsinx bcosx=c(α≠0)型的方程的解法,教材中是以一个例题(高中代数甲种本第二册P30的     

关于“复数无大小”的問题

在高三代数課复数这一章的教学中,一个突出的問題是如何向学生讲授“复数无大小”?教学大綱的說明中沒有涉及这个問題,但現行課本中关于这个問題却有一段比較含糊的敍述。根据历年来我讲授这部分教材的經驗,都有較多学生提出問題,最普遍的問題是:“为什么不規定复数的大小?”     

十年來中学数学参考書在教学中的作用和成就

解放十年来,文化教育事业获得了巨大的发展,中学数學参考书的出版也是天天向上,欣欣向荣,現就它在教学上所起的作用和成就,分为四个部分来談。一、貫彻党的方針政策解放之初,各地中学所用的課本很是混乱,既不重视基本知識,又和实际脱离,而且教材庞杂,不能适应当时形势的需要;但是新的課本一时还沒有編出,所以当时在党的領导下,先行精簡旧有的教材。之后,使用了苏联教材。因为許多教师对于新教材认識不足,故有教育资料丛刊社的“中学数学教学的改进”一书之編行;又因对新教材使用上感到困难,人民教育出版社出     

談談在数学教学中使用課本的問题

一在教学中使用課本包含着两个方面的工作,一是教师在教学中如何恰当地运用課本,一是如何經常地指导学生閱讀与鉆研課本。教材是按照教学大綱編写的,課本是教师传授知識的主要依据,是学生获得知識掌握技能技巧的主要源泉之一,因此任何学科的教学都必須很好的使用課本,     

对数学課程設置問題的意見

我們对这个問題的意見如下: 小学在小学五年中将算术課程全部学完(刪去现行教材中的一些无实际作用的四則难題,增添与生产实际、生活实际相联系的計算題),其中包括簡单的几何图形和簡易的面积,体积的計算,統計图表以及有关代数学中的負数,簡易方程等材料(給将来在中学一年級学习代数創造条件)。初中代数讲到二元二次联立方程組。平面几何要大量刪去陈旧落后,煩琐无用的內容,增添与生产建设有关的內容和三角函数,簡易測量及簡易繪图知识,并全部讲完。高中代数課,要增加概率論和綫性規划的初步知識。在立体几何和制图課中,要大量精簡立体几何的論証部分,增添球面几何和非欧几何简介;在制图中,要讲些平行投影法,中心投影法和它們的基本性质等知識。三角課,要增添球面三角内容。增设平面解析几何和微积分大意。至于計算上所使用的图、表、简     

在高三代数教学中提高学生解題的基本技能的点滴体会

解題基本技能的培养是数学教学的經常性任务,要很好地完成这一任务,教师必須努力不懈地进行一系列的細致的工作。近年来,我在学习和在高三代数的教学实践中关于提高学生解題基本技能方面有几点粗浅的体会和做法,茲写在下面,祈指正。一、在备課中深鉆教学大綱和教材,明确每一单元基本技能的要求要經常而有效地进行基本技能的培养,关鍵就在于教师首先深鉆教学大綱和教材,明确每一单元教材內容的基本技能的要求,然后才能做到心中有底且有計划地貫彻于教学过程和課外工作中。例如在不等式一章中的第一个部分不等式这一单元教材的基本技能,我通过鉆研,在单元計划中提出了如下要求:使学生在彻底理解不等式的基本性貭和同解不等式的定理的基础上,能严密地正确地証明不等式、准确地求出极值和合理地解一元一次不等式与不等式組。具体来說,就是:     

初中代数第一、二两章的教学

普通中学代数課在初中一年級第二学期就要开始讲授了,现在提出关于課本上第一章和第二章的教学目的,教材組織系統表以及教学中值得注意的一些問題,供同志們参考,并請指正。一、关于“第一章代数式、方程”方面 (一) 教学目的根据教学大綱的要求和現行初中代数課本的安排,本章的教学,主要是讲解关于初学代数时,必不可少的一些基本的概念。同时为了使学生初步认识代数学的某些作用,巩固所学的概念以及为以后学习打下良好基础,也应讲解代数式的值的計算和方程的概念及初步的应用等,因此本章的教学目的应确定为: