解决不等式问题的一种重要思想

我们知道,对于实数a、b,必有a>b a-b>0.将这个关系稍加改动,即可得到应用价值较大的一种重要思想方法——松驰量方法,即对于实数a、b:a>b必定存在实数c∈R+,使a=b+c.在这里,实数c也可以叫做松驰量.它往往可以将刻画大小关系的不等式a>b等价地化归为等量关系a=b+c.用它可轻松地化解相当多的问题,教材中的“不等式”一章中的不少问题都可以利用这种思想方法加以解决.例1已知a>b>c,求证1a-b+1b-c+1c-a>0.(全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上),人教版P30第8题)证明由a>b>c,存在正实数α、β,使得a=b+,αb=c+β,于是,a-b=,αb-c=,βc-…     

用二次函数的性质证明不等式

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质可从二次函数的图像中由二次项系数a、判别式△、函数y三者之间的内在联系而得到: (1)若a>0且△=b2-4ac≤0.则y=ax2+bx+c≥0; (2)若a<0且△=b2-4ac≤0,则y=ax2+bx+c≤0. 应用上述性质(1)、(2)去证明一元二次不     

原命题与逆否命题"不"一定等价

原命题:若a>6,则 (?)a >(?)b . 显然原命题为假. 逆否命题:若(?)a≯(?)b,则a≯b. 因为:“不大于”就是“小于等于”,所以这个逆否命题可变形为:若(?)a≤(?)b,则a≤b,内容正确,即逆否命题为真.     

例谈“左右平衡放缩法”证明不等式

<正>笔者最近在研究三元全对称不等式的证明过程中,发现一种巧妙的证明方法,起名为"左右平衡放缩法"(又名为"正负同向放缩法")效果很好,现举例说明,供同学们参考.例1设正数a、b、c满足a+b+c=1,求证     

利用一个简单结论解题

众所周知:若a0时,原不等式的解集为〔-a/4,0〕.2　证明不等式例2　设|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:a b c abc1 ab ac bc<1.证明　记x=a b c abc1 ab ac bc,则原不等式|x|<1-1相似文献   

初一年级

一、选择题1.在全部有理数的排序中,零是( ). (A)最小的正整数(B)最大的负整数(C)最小的非负有理数(D)最小的有理数2.设a<0,则a与-a的大小关系是( ). (A)a<-a (B)a≤-a (C)a>-a (D)a≥-a3.已知|a|=2,|b|=5,且a>b,则a+b的值是( ). (A)3或-3 (B)-3或-7 (C)-7 (D)7     

浅析中考中图象的识别

如何识别图象不仅是初中新课标中加强的基本技能,而且也是当代社会中每一个公民应具有的适应生活基本技能.2004年不少中考试题对此进行了考察.下面通过对曲型中考图象识别试题进行分析,了解其基本方法以供参考.一、确定参数范围判定解析式中参数范围与图象关系,在识别图象时关键是要先认准图象与坐标轴交点.再次才是图象本身的形状.例1已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图示,则a,b,c满足()(04潍坊(9)[即2004年潍坊中考试题第9题,下同]A.a<0,b<0,c>0B.a<0,b<0,c<0C.a<0,b>0,c>0C.a>0,b<0,c>0分析:由图象知:开口向下,则a<0.图象交y轴点在x轴上…     

配方法及其在二次极值问题中的应用(Ⅰ)

<正> 配方法是在中学数学课程中求解极值问题的主要方法.简单地说来,就是在求二次三项式y=ax~2+bx+c,a(?)0 (1)的极值时,将(1)的右方配成完全平方,得y=a(x+b/2b)~2+(c-b~2/4a),(2)由此就可以看出,y 在 x=-b/2a 时达到极值 c-b~2/4a.如果 a>0,则 y 达到极小,而在a<0时,则 y 达到极大.有意义的是,这个配方技巧在很多场合都有重要的应用.除去本文将要介绍的种种极值问题之外,还可以提到的有:在线性代数的二次型理论中,用配方法来决定一个二次     

例谈“放缩法”证明不等式的基本策略

<正>"放缩法"它可以和很多知识内容结合,它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.因为放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度,否则就不能同向传递.下面结合一些高考试题,例谈"放缩"的基本策略,期望对读者能有所帮助.一、用均值不等式放缩例1已知a、b、c是不全相等的正数.求     

从一道题到一类题

文[1]利用整体置换解决了下面的题目:原题若实数a,b,c满足a相似文献   

课外练习

初一年级1.对于整数a、b、c、d,定义等号|ab/dc|=ac-bd,若1<|1b/d4|<3,试求b+d 的值. (山东梁山县梁山镇二中(272600) 王可民) 2.对有理数x、y,定义运算“(?)”;x(?)y =ax+by+c(a、b、c为常数,等式右边是通常的加法与乘法运算),已知3(?)5=15,4(?)7 =28.求1(?)1值.     

一个和单位分数有关的不定方程的解

给出了一个和单位分数有关的满足α|n+1,b|n+1,c|n+1,d|n+1,a相似文献   

2005年高考数学湖北卷

一、选择题: C.(令劲D.(今刹 为A.C. B.D. 1.设尸、Q为两个非空实数集合,定义集合 P十Q二{a+b}a任P,b任Q},若P={0,2, 5},Q二毛1,2,台},则尸十Q中元素的个数是 () A.9 B.8 C.7 D.6 2.对任意实数a,b,c,给出下列命题:() ①“a~b,,是“ae=bc”充要条件;②“a+5是无 理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b’’ 是,’a2>夕”的充分条件;④“a<5”是“a<3” 的必要条件. 其中真命题的个数是() .若lim 了一卫‘_一兰‘、 \1一xl一x艺/ =l,则常数a,b的值 () a-一2,b=4 a-一2,b二一4 B.己一2,b=一4 D.口二2,b~4 .若。相似文献   

例谈一个不等式的证明与推广

1 问题呈现 设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2≥100/3. 2思路探索 方法1(基本不等式): 首先,借用基本不等式a2 +b2≥2ab,对不等式左边放缩.     

关于S.Axler的一个猜想的注记

In this note, we prove that a^p,q,a(0-1) is a self-con jugate spacl, so a^p ( =a^p,q,a) is self-conjugate, in other words, we prove that the conjecture of S. Axler istrue.     

严格一道课本习题

教材数列中有这样一道习题:已知a~2,b~2,c~2成等差数列。求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。严格地说,这条命题不真,它忽略了|a|=|b|=|c|时,分式1/(b c)等可能无意义。弥补的办法是加以限制条件:(a b)(b c)(c a)≠0。这时,关于它的证明也严格了。 a~2、b~2、c~2成等差数列(?)b~2-a~2=c~2-b~2 (?)(b-a)(b a)=(c-b)(c b)(其中a b,c d(?)0)(?)(b-a)/(b c)=(c-b)/(b a)①有1/(c a)-1/(b c)=1/(c a)·1/(b c)     

一道高考试题的常规解法

2012年高考浙江理科卷第22题:已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b.(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,(ⅰ)函数f(x)的最大值为|2a-b|+a;(ⅱ)f(x)+|2a-b|+a≥0;(Ⅱ)若-1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.本题主要考察不等式、导数、单调性、线性规划等知识点及综合运用能力.官方给出的答案中,对(Ⅰ)(ⅱ)的解答中运用了"放缩法",有一定的     

用构造法证明不等式

证明不等式时 ,从研究题目的条件与结论入手 ,巧妙构造方程、函数、不等式、数列、图形等 ,可以使不等式获得简捷证明 ,下面从四个方面谈谈怎样用构造法证明不等式 .1　寻觅题设或结论的固有规律进行“构造”例 1　已知a>b>c.求证 1a-b+ 1b-c+1c-a >0 .简析 :寻觅题设条件a >b>c的固有规律 ,若令x1>x2 >0 ,则必有a=x1+c,b=x2 +c .用构造方程a =x1+c ,b=x2 +c(x1>x2 >0 )去证明 ,简洁明快 .证明　因为a>b>c可构造方程a =x1+c,b =x2 +c(x1>x2 >0 ) ,将它们分别代入特征式 ,得 1a-b + 1b-c + 1c-a =1(x1+c) - (x2 +c) + 1x2 +c-c +1c- (x1+c) =…     

不等式证明的几种方法

不等式是初等数学的重要内容 ,是研究方程和函数的重要工具 .不等式的证明题型多变 ,方法多样 ,技巧性强 ,无固定程序可循 .常用的不等式证明方法有比较法、综合法、分析法、函数法、放缩法、代换法、反证法、数学归纳法等等 .一、比较法 :比较法主要有作差比较法和作商比较法两种 .1.作差比较法 (简称比差法 ) :a、b、c≥ 0 ,求证 :a3 +b3 +c3 ≥ 3abc .证明 :a3 +b3 +c3 - 3abc=(a +b) 3 - 3ab(a +b) +c3 - 3abc=(a +b +c) 3 - 3(a +b)·c (a +b) +c -3ab(a +b +c)=(a +b +c) (a2 +b2 +c2 -ab -bc -ca)=12 (a +b +c)· (a -b) 2 + (b -c) …     

a~2=b~2+mc一类几何题的证明

在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,且a>b,若证a2=b2+mc时,可以C为圆心,BC为半径作圆C,然后分别延长BA,AC和CA,使与圆C相交,再应用相交弦定理证之.