椭圆竞赛题的解法赏析与推广

<正>题目(2018年全国高中数学联赛江苏复赛)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆M:x²、6+y2、6+y²、3=1,过点P(2,2)作直线l_1,l_2与椭圆M分别交于A,B和C,D,且直线l_1,l_2的斜率互为相反数.(1)证明:PA·PB=PC·PD;(2)记直线AC,BD的斜率分别为k_1,k_2,     

利用齐次式解决圆锥曲线问题

<正>笔者发现若能合理构造并巧妙应用关于x、y的二次齐次式ax²+bxy+cy2+bxy+cy²能快速解决圆锥曲线的一类题,先举三个例子以此抛砖引玉.题1已知直线y=kx+4交椭圆x2能快速解决圆锥曲线的一类题,先举三个例子以此抛砖引玉.题1已知直线y=kx+4交椭圆x²/4+y2/4+y²=1于A、B两点,O是坐标原点,若k_(OA)+k_(OB)=2,求该直线方程.解设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),     

直线与椭圆位置关系的三角判断法及应用

<正>众所周知,在解析几何中,直线与椭圆位置关系的判断,常选择代数法和几何法.设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A²+B2+B²≠0),椭圆E的方程为:x2≠0),椭圆E的方程为:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x2=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,消去x或y利用判别式判断,当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ<0时,直线与椭圆相离.而几何法是利用仿射变换将椭圆变为圆,比较圆心到直线的距离与圆的半径大小进行     

射影几何背景下的2019年北京高考解析几何试题

<正>1试题呈现(2019年北京卷文科)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q.直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2.求证:直线l经过定点.     

一道高考题的探究

<正>题目(2014年北京市高考理19题)已知椭圆C:x²+2y2+2y²=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x²+y2+y²=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x2=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x²+y2+y²=2相     

一道高中数学联赛省级预赛试题的探究

<正>1问题呈现(2019全国高中数学联赛福建省预赛)已知F为椭圆C:x²/4+y2/4+y²/3=1的右焦点,点P为直线x=4上的动点,过点P作椭圆C的切线PA,PB,A、B为切点.(1)求证:A、F、B三点共线;(2)求△PAB面积的最小值.解析(1)要想证明A、F、B三点共线,我们只要求出直线AB的方程,若点F在直线     

系数和定值竞赛题的探究与拓展

<正>题目(2018年全国高中数学联赛甘肃预赛)已知椭圆C:x²/y2/y²+y2+y²/b2/b²=1过点M(0,2),且右焦点为F(2,0).(1)写出椭圆C的方程;(2)过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点,交y轴于点P,若PA=m AF,PB=n BF,求证:m+n为定值;(3)在(2)的条件下,若点P不在椭圆C的     

解析几何问题多种解法欣赏

<正>题目如图1,已知椭圆E:(x~2)/4+y~2=1的左、右顶点分别为A,B,圆x~2+y~2=4上有一动点P,P在x轴上方,C(1,0),直线PA交椭圆于点D,连接PB,DC,已知直线PB与DC的斜率存在且分别为k_1,k_2,若k_1=λk_2,求λ取值范围.这是高三解析几何深度复习中遇到的一道典型题,也是解析几何复习中教师必选的一道题,其解法多而精彩.众所周知:只有建立函数关系才能求λ的取值范围,那么以什么参数     

一道“两根不对称”问题的化简想法

2021年2月江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷中有这样一道解析几何题:设F为椭圆C:x²/2+y²=1的右焦点,过点(2,0)的直线与椭圆C交于两点.(1)若点B为椭圆C的上顶点,求直线AF的方程.     

一道定点问题的推广

<正>已知椭圆C的方程为x²/2+y2/2+y²=1,过椭圆C的右焦点F且与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点,B关于x轴的对称点为点D.求证:直线AD过定点.证明设过点F(1,0)的直线AB的方程为y=k(x-1),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则D(x_2,-y_2).     

对一道线段比值为定值联考题的探究

1.试题呈现(东北师大附中等六校2020届高三联考)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点(1,3/2),且离心率为1/2.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A、B,左焦点为F,过F的直线l与C交于M、N两点(M和N均不在坐标轴上),直线AM、AN分别与y轴交于点P、Q,直线BM、BN分别与y轴交于点R、S,求证:|RS|/|PQ|为定值,并求出该定值.     

一道解析几何试题的多视角探析

<正>已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为32=1(a>b>0)的离心率为3^(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x²=4y的准线上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设O为坐标原点,M,N为椭圆上的两个不同的动点,直线OM,ON的斜率分别为k1和k2,当k1k2=-1/4时,探讨△MON的面积是否为定值,若为定值,求出该定值.若不为定值,说明理由.     

与焦点有关的一组圆锥曲线结论

<正>性质1如图1,已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F,点M是C上异于左、右顶点A,B的一点,直线AM与直线x=a交于点N,线段BN的中点为E,则(1)∠EFB=∠EFM;(2)EM是C的切线.证明(1)由已知,得A(-a,0),B(a,0),F(c,0),设M(x_0,y_0),直线AM的方程为y=k(x+a),     

2012年高考安徽卷理科第20题的探究与推广

题目:如图1,F₁（-c,0）,F₂（c,0）分别是椭圆C:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F₁作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=（a²）/c于点Q;（Ⅱ）证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.分析:此题第（Ⅱ）问结构简洁,内涵深刻,由     

对一道浙江高考调测题的解法探究及推广

试题:如图1,椭圆C:x²+3y²=3b²（b>0）.（I）求椭圆C的离心率;（Ⅱ）若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3^1/2,求△AOB面积的最大值.解法一:（I）由x²+3y²=3b²得x²/（3b²）+y²/b²,所以e=c/a=(（3b²-b²）^1/2)/(（3b²）^1/2)（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,△ABO的面积为S.如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(3^1/2/2,3^1/2/2),此时S=1/2·3^1/2/2·3^1/2=3/4;如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx     

一道椭圆问题的解法探究

<正>最近在研究直线与椭圆位置关系问题时,发现求弦长的问题解法颇多,与大家分享.题目已知直线l:y=x-1与椭圆C:x²/3+y2/3+y²/2=1交于A,B两点,求弦AB的长度.分析1这是一道弦长问题.可以直接求出A,B两点坐标,然后利用两点间的距离公式.     

斜率定值竞赛题的探究与引申

<正>题目(2018年全国高中数学联赛黑龙江预赛)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为32=1(a>b>0)的离心率为3^(1/2)/2,并且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的方程;(2)如图1,设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),若直线PQ平分     

解析几何试题中几何条件代数化的探究

<正>在解析几何的学习中,学生往往面临着两大困难:一是将题目中的几何条件代数化,二是代数运算.例(2018年西城期末理科改编)已知椭圆x~2/4+y~2=1右顶点为A,直线l∶y=kx+3~(1/2),与椭圆C交于M,N两点.若直线x=3上存在点P,使得四边形PAMN是平行四边形,求直线l的方程.     

一道2020年高中数学联赛选拔试题的探究

2020年全国高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛试卷第11题为:如图1,已知椭圆C:X²/4+Y²=11的下顶点为a,上顶点为点M(M,一2)(M≠0)在直线y=—2上,直线MA,ME分别与椭圆C交于两点G,H,记△MAB的面积S1.     

一道课本例题的新解引发的一个不等式的发现

<正>1课本例题的新解题目1已知椭圆C:x²/52+y2/52+y²/9=1,直线l:4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少?该题是人教A版普通高中课程标准试验教科书选修2-1第47页的例7,课本上提供的解法是我们常见的通解通法,但是该法运算量大,往往我们还可以采用设椭圆C上动点坐标(5cosθ,3sinθ),利用点到直线距离公式求解,将问题转化为三角函数的最值问题,同样该法对学生的数学运算能力要求较高,