Numerical method for elastic-plastic waves in cracked solids,Part 1: anti-plane shear problem

Summary The paper deals with a numerical method combining a characteristic-based scheme and Zwas' method in order to solve the hyperbolic PDE's of elastic and elastic-plastic anti-plane shear waves in two space dimensions. First, the need of new physically reasonable numerical methods for stress waves in solids is demonstrated by numerical applications to problems with impulsive loading, where defects of some standard methods are shown. Then, the new secon-dorder accurate method is derived. A suitable procedure to model the elastic-plastic behaviour of materials by simple waves is included. The capability of the methods is demonstrated by application to several examples. Additionally, for comparison with numerical results, a similarity solution for the semi-infinite crack undergoing an elastic-plastic shock loading is derived in the appendix.

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Numerisches Verfahren für elastisch-plastische Wellen in gerissenen Festkörpern, Teil 1: Das dynamische Querschubproblem

Übersicht In der Arbeit wird eine numerische Methode vorgestellt, in der das Charakteristiken erfahren mit der Methode von Zwas kombiniert wurde, um die hyperbolischen, partiellen Differentialgleichungen der elastisch-plastischen Wellenausbreitung für das dynamische Querschubproblem zu lösen. Um die Notwendigkeit neuer, physikalisch brauchbarer Methoden für Spannungswellenprobleme zu begründen, werden zunächst an Beispielen typische Schwächen einiger Standardmethoden gezeigt. Danach wird die neue Methode dargestellt. Dabei wird auch ein geeigneter Weg im Spannungsraum angegeben, um elastisch-plastische Wellen durch sog. einfache Wellen zu beschreiben. Die Fähigkeiten der Methode werden an einigen Beispielen überprüft. Ferner wird im Anhang, um mit numerischen Ergebnissen zu vergleichen, eine Ähnlichkeitslösung hergeleitet, die für den halbunendlichen Riß bei stoßartig aufgebrachter Belastung und Beanspruchung bis in den elastisch-plastischen Bereich gilt.

     

Notes on plastic reloading zone in the asymptotic analysis of elastic-plastic crack extension

Summary The asymptotic structures of near-tip stress and deformation fields are studied for steady-state crack extension in elastic-plastic solids. The condition for the existence of a plastic reloading zone is formulated. If a plastic reloading zone is to exist in hardening materials, the effective stress must become unbounded as the crack flank is approached. It is shown explicitly in the case of mode III that solutions with logarithmic singularity produce negative plastic dissipation in the plastic reloading sector.

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Über die rückplastizierte Zone bei asymptotischen Lösungen der elastisch-plastischen Rißausbreitung

Übersicht Untersucht wird die asymptotische Form von rißspitzennahen Spannungs- und Verformungsfeldern bei der stationären Rißausbreitung in elastisch-plastischen Körpern. Die Bedingung für die Existenz einer rückplastizierten Zone wird formuliert. Wenn eine solche Zone bei verfestigendem Material vorhanden sein soll, muß die Vergleichsspannung bei Annäherung an die Rißflanke unendlich werden. Es wird gezeigt, daß bei Mode III die Lösungen mit logarithmischer Singularität negative Dissipation in der rückplastizierten Zone bedeuten würden.

     

Natural vibrations of rectangular plates with a through crack

Summary The paper presents a finite element model of the rectangular plate with a through crack. The crack occurring in the plate is nonpropagating and open. It was assumed that the crack changes only the stiffness of the plate, whereas the mass is unchanged. The method of the formation of the stiffness matrix of a finite element for the rectangular, cracked plate is presented. The effects of the crack location and its length on the changes of the eigenfrequencies of the simply supported and cantilever plate are studied. The results of numerical computations are compared with results of theoretical and experimental data presented in the literature.

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Eigenschwingungen von rechteckigen Platten mit Transverslriß

Übersicht Der Beitrag präsentiert ein Finite-Element-Modell einer rechteckigen Platte mit Transverslriß. Der Riß pflanzt sich nicht fort und bleibt offen. Es wird angenommen, daß der Riß nur die Steifigkeit der Platte verändert, wogegen die Masse konstant bleibt. Eine Methode zur Aufstellung der Steifigkeitsmatrix für ein finites Element der rechteckigen Platte wird vorgestellt. Der Einfluß der Lage des Risses und der Rißlänge auf die Eigenschwingungen der einfach gestützten und freitragenden Platte wird untersucht. Abschließend erfolgt ein Vergleich der numerischen Berechnungen mit den Ergebnissen von theoretischen und experimentellen Literaturdaten.

     

Viscoelastic crack analysis by the boundary integral equation method

Summary The linear viscoelastic three-dimensional crack problem is analyzed by combining the correspondence principle and the boundary integral equation method. In a general crack analysis the usual boundary integral equations lead to a nonunique formulation of the problem, because they do not involve information about the loading on the crack surface. Here, the boundary integro-differential equations are applied to the numerical calculation of the crack opening displacement of a penny-shaped crack in an infinite linear viscoelastic body. Moreover, the influence of several parameters of the three-parameter viscoelastic model on the crack opening displacement and the incubation time is shown.

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Viskoelastische Rißanalyse durch Randintegralgleichungen

Übersicht Das linear viskoelastisch räumliche Rißproblem wird mit Hilfe einer Kombination von Korrespondenzprinzip und Randintegralgleichungsverfahren gelöst. In einer allgemeinen Rißanalyse führen die üblichen Randintegrale zu einer nicht eindeutigen Formulierung dieses Problems, weil die Angaben über Belastung und Rißoberfläche fehlen. Das Randintegralgleichungsverfahren wird für die numerische Berechnung der Rißerweiterung eines münzförmigen Risses in einem unendlich linear viskoelastischen Körper angewendet. Weiterhin wird der Einfluß von verschiedenen Parametern des räumlich viskoelastischen Modells auf die Rißerweiterung und die Inkubationszeit gezeigt.

     

Coupled torsional and bending vibrations of a rotor with an open crack

Summary The influence of transverse cracks on the coupled torsional and bending vibrations of a rotor is presented in this study. A fragment of the shaft of constant cross-section with a crack is modelled by means of a beam finite element. A procedure to calculate the stiffness coefficients in cross-sections weakned by cracks is given. The crack is considered to be open. The stiffness matrix for the above mentioned element is given. The method is illustrated by an example.

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Über gekoppelte Dreh- und Biegeschwingungen eines Rotors mit offenem Riß

Übersicht Der Einfluß von transversalen Rissen auf die gekoppelte Dreh- und Biegeschwingungen eines Rotors wird vorgestellt. Der Abschnitt einer Welle von konstantem Querschnitt mit Riß wird mit Hilfe der Finite-Element-Methode modelliert. Ein Rechenverfahren zur Bestimmung der Torsions- und Biegesteifigkeitskoeffizienten in durch den Riß geschwächten Querschnitten wird angegeben. Dabei wird der Spalt als offen betrachtet. Eine Steifigkeitsmatrix für das erwähnte Element wird aufgestellt. Die Methode wird mit einem Beispiel veranschaulicht.

     

Parametric vibrations of beam with crack

Summary The paper presents a mathematical model of transverse vibrations of a Bernoulli-Euler beam with a closing crack. In damaged cross-sections of the beam there were applied elastic elements of flexibility calculated on the basis of the laws of fracture mechanics. Making use of the elaborated model, an analysis of the effect of magnitude and position of the crack upon the basic instability area of the beam was carried out.

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Parametrische Schwingungen eines Balkens mit Riß

Übersicht Es wird ein mathematisches Modell für die Biegeschwingungen eines Euler-Bernoulli-Balkens mit schließendem Riß vorgestellt. Geschädigte Balkenteile werden ersetzt durch elastische Elemente mit einer Nachgiebigkeit, die nach den Gesetzen der Bruchmechanik berechnet wird. Mit diesem Modell wird der Einfluß von Rißposition und-größe auf den wesentlichen Instabilitätsbereich der Balkenschwingungen untersucht.

     

The stress intensity variation of an orthotropic perforated plate containing an internal crack

Summary The elastic problem of an infinite orthotropic plate with different roots of its characteristic equation, when the fibers are oriented perpendicularly to an internal crack, and is weakened by an elliptic hole, is solved using Lekhnitskii's theory. The plate is subjected to prescribed stresses at infinity, while the boundary conditions are given at the flanks of the crack, at the rim of the perforation and at infinity.Using the complex-variable method, the solution of the problem is reduced to the evaluation of Cauchy-type integrals concerning the analytic functions of the problem. The numerical solution of the problem revealed an intense variation of mode-I stress intensity factors (SIF) at the crack tips due to the increase of either the crack length, or the distance of the near-by rack tip from the center of the hole. Furthermore, it was found that orthotropy strongly influences the intensity of stresses at the crack tips. These findings are in complete agreement with results given in a previous work by the authors, concerning a similar problem for an orthotropic plate, which, however, constitutes a special case, where the material presents equal roots for its characteristic equation [1].

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Spannungsintensitätsvarianten einer orthotropen Platte mit einem Loch und innerem Riß

Zusammenfassung Das elastische Problem einer unendlichen, orthotropen Platte mit verschiedenen Wurzeln ihrer charakteristischen Gleichung wird im Falle, daß die Fasern senkrecht zu einem inneren Riß verlaufen und daß sie durch ein elliptisches Loch geschwächt sind, im Rahmen der Lekhnitskii-Theorie gelöst. Die Platte wird im Unendlichen einer vorgeschriebenen Spannung unterworfen, während die Randbedingungen an den Rißflanken, am Lochrand und im Unendlichen gegeben sind.Mit Hilfe der Methode der komplexen Variable wird die Lösung des Problems zurückgeführt auf die Berechnung von Cauchy-Integralen der analytischen Funktionen des Problems. Die numerische Lösung des Problems zeigt eine starke Abhängigkeit von Mode-I-Spannungsintensitätsfaktoren (SIF) an den Rißspitzen von der Rißlänge oder des Ligaments zwischen der Rißplatte und dem Loch. Weiterhin wurde gezeigt, daß Orthotropie starken Einfluß auf die Spannungsintensität hat. Diese Beobachtungen stehen in voller Übereinstimmung mit Resultaten aus der Arbeit [1] über ein ähnliches Problem für eine orthotrope Platte, wo allerdings die Wurzel der charakteristischen Gleichung identisch sind.

     

Coupling of bending and torsional vibration of a cracked Timoshenko shaft

Summary A transverse surface crack is known to add to the shaft a local flexibility due to the stress-strain singularity in the vicinity of the crack tip. This flexibility can be represented by way of a 6 × 6 matrix describing the local flexibility in a short shaft element which includes the crack. This matrix has off-diagonal terms which cause coupling of motion along the directions which are indicated by the off-diagonal terms. Not all motions are coupled, however. To study the coupling of torsion and shear, a 3 × 3 flexibility matrix is used which includes the appropriate terms. Due to the shear terms of the Timoshenko beam equation of the shaft, bending vibration is finally coupled to torsional vibration. This effect is the subject of this investigation, which is of particular importance in turbomachinery operation. The equations of motion of a Timoshenko beam shaft with three degrees of freedom are derived. The free vibration of the shaft and the influence of the crack on the vibrational behaviour of the shaft is studied. The relation of the eigenvalues of the system, to the crack depth and the slenderness ratio of the shaft is derived. Moreover forced vibration analysis of the cracked shaft is performed. The significant influence of the bending vibration on the torsional vibration spectrum, and vice-versa, is demonstrated. It is believed that this effect can be very useful for rotor crack identification in service, which is of importance to turbomachinery.

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Kopplung zwischen Biege- und Torsionsschwingungen einer Welle Tom Timoshenko-Balkentyp mit Riß

Übersicht Bekanntlich verringert ein von der Oberfläche in den Querschnitt reichender Riß infolge der Spannungs- und Verzerrungssingularität an der Rißspitze örtlich die Steifigkeit einer Welle. Dies kann mit Hilfe einer 6 × 6-Nachgiebigkeitsmatrix für ein kurzes Wellenstück, das den Riß enthält, beschrieben werden. Die Matrix enthält Elemente außerhalb der Diagonalen, wodurch eine Kopplung der Bewegungen in die Richtungen erfolgt, welche das Element anzeigt. Nicht alle Bewegungen sind dabei verknüpft. Zur Untersuchung der Kopplung von Torsion und Querschub wird eine 3 × 3-Nachgiebigkeitsmatrix benutzt, die die betreffenden Elemente enthält. Infolge der Querkraft-Terme in der Timoshenko-Balkengleichung werden letztendlich Biegef- und Torsionsschwingungen gekoppelt. Dieser Effekt ist Gegenstand der Untersuchung. Die Bewegungsgleichungen eines Timoshenko-Balkens mit 3 Freiheitsgraden werden hergeleitet. Die freien Schwingungen der Welle und der Einfluß des Risses auf das Schwingungsverhalten werden untersucht. Die Beziehungen zwischen Eigenformen, Rißtiefe und Schlankheitsgrad der Welle werden hergeleitet. Darüber hinaus werden erzwungene Schwingungen der angerissenen Welle untersucht. Der deutliche Einfluß der Biegeschwingung auf das Spektrum der Torsionsschwingung und umgekehrt wird aufgezeigt. Dieser Effekt ist bei Turbomaschinen bedeutsam, da er für die Identifizierung von Rotorrissen beim Betrieb nützlich sein müßte.

     

On debonding and delamination effects in adhesively bonded cracks —A boundary integral approach

Summary The present paper studies the influence of adhesives on the behaviour of cracks in two-dimensional linear elastic bodies. Especially the delamination and debonding effects are studied. The adhesive material is assumed to introduce non-monotone, possibly multivalued laws which can be described via non-convex superpotentials. The direct boundary integral equation method is extended for this problem. It gives rise to two equivalent multivalued integral equations holding on each crack. Numerical examples concerning the resulting stress intensity factors illustrate the theory.

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Über Entklebe- und Delaminationseffekte in adhäsiv geklebten Rissen — Eine Randintegralmethode

Übersicht In dieser Arbeit wird der Einfluß von adhäsiven Materialien auf das Verhalten der Risse in zweidimensionalen linear-elastischen Körpern untersucht. Insbesondere werden Delaminations- und Entklebeeffekte behandelt. Es wird angenommen, daß das adhäsive Material ein nichtmonotones mehrdeutiges Gesetz einführt, das durch nichtkonvexe Superpotentiale beschreiben werden kann. Die direkte Randwertintegralmethode wird für dieses Problem erweitert. Man erhält zwei äquivalente, mehrdeutige Integralgleichungen für jeden Riß. Die Theorie wird durch numerische Beispiele erläutert, die die Berechnung der auftretenden Spannungskonzentrationsfaktoren betreffen.

     

Rapid extension of a crack

Summary For a body which is initially in a state of uniform anti-plane shear, the wave motion generated by a rapidly extending crack is analyzed in this paper. It is shown that extension with constant speeds of the crack tips is not consistent with the criterion for brittle fracture, but it is consistent with a fracture criterion related to postulated zones of cohesive tractions near the crack tips.

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Zusammenfassung Anbringen eines Lochs in einem gespannten Körper kann die Entstchung eines rasch sich ausbreitenden Risses veranlassen. In dieser Arbeit wird für einen Körper, der sich ursprünglich in einem Zustand gleichförmiger Schubspannung befand, die durch einen in schneller Ausbreitung begriffenen Riß verursachte Wellenbewegung untersucht. Es wird gezeigt, daß eine Ausbreitung mit konstanten Geschwindigkeiten der Rißenden nicht verträglich ist mit dem Kriterium für Sprödbruch, wohl aber mit einem Bruchkriterium, das mit postulierten Zonen kohäsiver Zugspannungen in der Nähe der Rißenden zusammenhängt.

     

Analysis of multiple cracks in an infinite plate under arbitrary crack surface tractions

Summary Based on the analytical solution derived for a crack under arbitrary crack surface tractions an alternating method is presented to analyze two-dimensional mixed-mode fracture problems with multiple cracks which are arbitrarily distributed in an infinite plate. During the iterative solution process the reversed residual stresses at the location of fictitious cracks induced by other cracks are repeatedly evaluated and treated as new applied loading until the residual stresses on each crack surface are negligible. The influence of interaction effects among cracks on the determination of stresses and deformations is studied in detail. Several numerical example are solved to demonstrate the validity of the method. Good agreement between the computed stress intensity factors and referenced solutions shows the accuracy and efficiency of the this work.

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Analyse mehrfacher risse in einer unendlichen platte mit beliebigen randspannungen am riß

Übersicht Eine alternierende Methode, die auf dem Ergebnis für einen Riß unter beliebigen Spannungen an der Rißoberfläche basiert, wird hier zur Analyse zweidimensionaler mixed-mode Bruchprobleme mit mehrfachen Rissen präsentiert. Die mehrfachen Risse können in der Platte beliebig verteilt sein. Mit einem Iterationsprozeß wird die umgekehrte Restspannung an der Stelle angenommener Risse, die von anderen Rissen verursacht werden, solange berechnet und als neue Last betrachtet, bis die Restspannung in jeder Rißfläche sehr klein geworden ist. Bei der Bestimmung der Spannung und der Verformung wird der wechselseitige Einfluß zwischen den Rissen eingehend untersucht. Um die Genauigkeit der Methode zu prüfen, werden mehrere Beispiele gegeben. Die Ergebnisse zeigen, daß die gerechnete Spannungsintensitätsfaktoren mit bekannten Lösungen sehr gut übereinstimmen.

     

Antiplane shear problems of perfect and partially damaged matrix-inclusion systems

Summary Antiplane shear problem of an infinite medium containing a circular inclusion of different material is investigated in this article. Perfectly bonding between the matrix and the inclusion, as well as partial debonding in the form of a circumferential crack occurring at the interface of these two constituents, are considered. Using the complex variable method in conjunction with a semi-inversed technique, exact expressions for the stress, displacement and stress intensity factor in the problem are obtained for various external loading conditions, including that brought about by stress singularities. A number of numerical results of stress intensity factors for a partially damaged matrix-inclusion system are given, and a discussion is made on the general features of the antiplane shear problem of inhomogeneous matrix-inclusion systems.

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Scherung von perfekten und teilweise beschädigten Matrix-Einschluß-Systemen außerhalb der Ebene

Übersicht In dieser Abhandlung wird das Problem der Scherung au\erhalb der Ebene für einen unendlichen Körper mit einem kreisförmigen Einschluß aus unterschiedlichem Material untersucht. Es wird die perfekte Verbindung zwischen der Matrix und dem Einschluß ebenso wie teilweise Ablösung in der Form eines Umkreisrisses an der Schnittfläche zwischen den beiden Bestandteilen betrachtet. Unter Verwendung der komplexen Variablenmethode in Verbindung mit einem Halbinversionsverfahren werden exakte Ausdrücke für Spannung, Verschiebung und Spannungsintensitätsfaktor für verschiedene äußere Belastungszustände, einschließlich dem Einfluß von Spannungssingularitäten, erhalten. Es werden numerische Ergebnisse für den Spannungsintensitätsfaktor für ein teilweise beschädigtes Matrix-Einschluß-System gegeben, und die allgemeine Form des Problems der Scherung außerhalb der Ebene für ein nicht homogenes Matrix-Einschluß-System wird diskutiert.

     

Rotationskörper geringsten Wellenwiderstandes

Zusammenfassung Es wird gezeigt, wie man durch Spezialisierung einer Lösung vonHavelock ein Integral zur Berechnung des Wellenwiderstandes von Quell- und Doppelquellverteilungen, die sich über eine waagerechte Achse erstrecken, für gleichförmige Geschwindigkeiten gewinnen kann. Der Zusammenhang zwischen den Verteilungen und den Formen von Rotationskörpern wird kurz gestreift und der Einfluß der Belegungskurven diskutiert. Für einige einparametrige Scharen bei bestimmter Tauchung werden die besten Verteilungen angegeben; das allgemeine Variationsproblem und die dabei möglichen Schwierigkeiten werden besprochen. Die genaue Angabe der berechneten Körperformen und die experimentelle Prüfung der Ergebnisse bleiben einer weiteren Untersuchung vorbehalten; doch kann jetzt schon gesagt werden, daß Versuche, die in der Preußischen Versuchsanstalt für Wasserbau und Schiffbau mit Unterstützung der Gesellschaft von Freunden der Technischen Hochschule Berlin vorgenommen sind, sich in gutem Einklang mit der Theorie befinden, soweit es sich um einigermaßen normale Körper handelt.     

Die ebene Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt

Zusammenfassung Die Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt wird mit Hilfe der konformen Abbildung berechnet. Zuerst wird die Abbildungsfunktion der geknickten Platte mit Spalt so dargestellt, daß die numerische Auswertung für kleine Spalte besonders einfach wird. Durch Hinzunahme weiterer Abbildungen kann man schrittweise von der Strömung um Skelette übergehen zur Strömung um dünne Flosse und profiliertes Ruder und um Flosse und Ruder mit Wölbung und Dicke. Für alle diese Kombinationen wurden die Druckverteilungen berechnet. Es zeigt sich, daß die Rechnungen für Skelette schon recht gute Werte für die Gesamtkräfte liefern. Jeder Schritt in dem Annäherungsprozeß an Formen, wie sie der Wirklichkeit entsprechen, wurde wenn möglich einer entsprechenden Messung gegenübergestellt, um so den Einfluß der Form auf die Druckverteilung klar erkennen zu können. Zum Schluß ergibt sich, daß die Potentialtheorie alle wesentlichen Eigenschaften der Strömung um das geknickte Profil mit Spalt gut wiedergibt.     

Biegung elliptischer und kreisförmiger Platten von veränderlicher Dicke bei hydrostatischer Belastung

Zusammenfassung Die Gleichung der elastischen Fläche der eingespannten elliptischen Platte und der eingespannten sowie der gelenkig gelagerten Kreisplatte gleicher Dicke für gleichmäßig verteilte Belastung wird dazu benutzt, die Beanspruchung solcher Platten bei hydrostatischer Belastung und veränderlicher Plattendicke zu ermitteln. Die Differentialgleichung wird für linear veränderliche Plattensteifigkeit in der Richtung des Druckgradienten streng erfüllt. Die Randbedingungen, werden ebenfalls streng befriedigt. Für dreieckförmige Belastung, die gerade bis zur Oberkante der Platte reicht, werden Zahlenbeispiele durchgerechnet. Für die Kreisplatte wird der Vergleich mit der Platte gleichbleibender Dicke gegeben. Dabei ergibt sich für die eingespannte Platte gleichbleibender Dicke ein Mehraufwand an Werkstoff von 8% gegenüber der Platte von veränderlicher Dicke, wenn die größten Spannungen in beiden Fällen dieselben sein sollen.     

Elastic fields of a dislocation loop in a two-phase material

The purpose of this study is to set forth the mathematical framework for an efficient treatment of a plane dislocation loop in a two-phase material, and to carry the elastostatic part of the analysis far enough, so that the results are immediately tractable for applications to solid state. The two-phase material is idealized as two isotropic elastic half-spaces with perfect adhesion, while the loop is placed in a plane parallel to the interface. It is shown that the elastic fields can be obtained by differentiating two types of integrals and, thus, are readily evaluated for any shape of the loop for which the integrals are available from potential theory. Explicit results are given for circular prismatic and glide loops.

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Zusammenfassung Mit der vorliegenden Arbeit wird die Absicht verfolgt, den mathematischen Rahmen zu einer leistungsfähigen Behandlung von ebenen Versetzungsschleifen in einem Zweiphasenmaterial zu erweitern und den elastostatischen Teil der Berechnung so weit fortzuführen, daß die Resultate für die Anwendung in der Festkörperphysik unmittelbar zur Verfügung stehen. Das Zweiphasen-Material wird idealisiert durch zwei isotrope elastische Halbräume mit perfekter Adhäsion, während die Versetzungsschleife in einer Ebene parallel zur Trennfläche angenommen wird. Es wird gezeigt, daß die elastischen Felder durch Differentiation zweier Integraltypen und damit für jede beliebige Form der Versetzungsschleife erhalten werden können, für die die Integrale sich aus der Potentialtheorie ergeben. Explizite Resultate werden für kreisförmige prismatische und gleitende Schleifen angegeben.

     

Elastische Knickung gerader Stäbe von exponentiell veränderlichem Querschnitt unter dem Einfluß ihres Eigengewichtes

Zusammenfassung Ausgehend von der Differentialgleichung für die Ausbiegung eines geraden Stabes bei veränderlichem Druck und veränderlichem Querschnitt, wird eine Lösung bei exponentiell veränderlichem Querschnitt mit Hilfe von Whittakerschen Funktionen für den Fall angegeben, daß der Querschnitt ein reguläres Vieleck ist und die Druckkraft durch das Eigengewicht allein hervorgerufen wird. Die Knickbedingung wird bei freiem oberem und eingespanntem unterem Ende aufgestellt und für gewisse Werte des Parameters k der Whittakerschen Funktion ausgewertet. Es wird ferner die Lösung der Differentialgleichung für. exponentiell veränderlichen Querschnitt angegeben, wenn der Querschnitt ein Rechteck ist, dessen kürzere Seite unveränderlich bleibt. Diese Lösung ist durch Zylinderfunktionen von imaginären Argument und Parameter gegeben, weshalb die zugehörige Knickbedingung erst nach der Berechnung der in Frage kommenden Funktionen ausgewertet werden kann.Die theoretischen Ergebnisse werden auf die Berechnung der größten erreichbaren Höhe von Bäumen angewandt.     

Zonenmethode zur Berechnung ebener Körperumströmungen mit Totwasser und Bodeneinfluß

Übersicht Es wird ein Drei-Zonen-Verfahren zur Berechnung ebener Körperumströmungen mit Totwasser und Bodeneinfluß vorgestellt. Hierzu wird das Strömungsfeld in drei Zonen, die reibungsfreie Außenströmung, die am Körper anliegende Grenzschichtströmung und das Totwassergebiet aufgeteilt. Die reibungsfreie Außenströmung wird mit einem Panelverfahren, die laminare und turbulente Grenzschichtströmung mit Hilfe eines mehrparametrigen Integralverfahrens berechnet. Das Totwassergebiet wird als fiktiver geschlossener Körper aufgefaßt, dessen Kontur mit Hilfe eines inversen Panelverfahrens iterativ bestimmt wird. Die einzelnen Zonen werden iterativ angepaßt. Beispielrechnungen für Tragflügel- und PKW-Umströmungen zeigen gute Übereinstimmungen mit Meßergebnissen.

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Die Untersuchungen wurden von der Deutschen Forschungsgemeinschaft, dem Ministerium für Wissenschaft und Forschung des Landes NRW und der Daimler-Benz AG gefördert     

Thermal and mechanical fields in continuous casting slab — A steady state analysis incorporating solidification

Summary A finite element scheme is presented in this paper to simulate fields of temperature and deformation as well as stress in the steady continuous casting process. A steady heat conduction equation incorporating heat generation due to solidification is formulated when considering the effect of flow rate. A viscoplastic constitutive model capable to describing elastic-viscoplastic solids as well as a viscous fluid is developed for the stress analysis. As an illustrative example a vertical continuous casting process is simulated by use of the finite element method, and the calculated results of temperature, deformation and stress in a slab are discussed.

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Thermische und mechanische Felder in Brammen beim Stranggießen — Stationäre Analyse unter Berücksichtigung des Erstarrungsvorganges

Übersicht In dieser Arbeit wird ein Finite-Elemente-Schema vorgestellt, das sowohl zur Simulation der Temperatur- und Formänderungsfelder als auch zur Spannungssimulation im Stranggießprozeß verwendet werden kann. Eine stationäre Wärmeübertragungsgleichung, einschließlich der Wärmefreisetzung als Folge des Erstarrungsvorganges, wird unter Berücksichtigung des Einflusses der Zuflußmenge formuliert. Für die Spannungsanalyse wurde ein viskoplastisches Modell entwickelt, welches elastisch-viskoplastische Festkörper und auch zähflüssige Fluide zu beschreiben vermag. Als Beispiel wurde mittels FEM ein Stranggießprozeß simuliert. Die Berechnungsergebnisse für Temperatur, Verformung, Strangschalendicke und Spannungen in der Bramme werden diskutiert.

     

Uniform tension of a semi-infinite plate with a crack at an end of a stiffened edge

Summary The semi-infinite plate which is rigidly stiffened at a part on the boundary and with a crack originating from an end of the stiffened edge is analyzed as a mixed boundary value problem in a plane elastic problem. A complex variable method and a rational mapping function are used for the analysis. A closed solution is obtained. The rational mapping function is formed as a sum of fractional expressions. Distributions of stress and displacement in the neighbourhood of the crack and the stiffened edge are investigated for the state before and after occuring of a crack. Stress intensity factors which are important in linear fracture mechanics are obtained for various crack lengths.

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Übersicht Eine Halbscheibe, die an einem Teil ihrer Berandung verstärkt ist und einen Haarriß hat, der von dem einen Ende des verstärkten Randes ausgeht, wird als ein gemischtes Randwertproblem innerhalb eines Scheibenproblems analysiert. Eine Methode komplexer Veränderlicher und eine Abbildungsfunktion werden zur Analyse verwendet. Eine geschlossene Lösung läßt sich angeben. Die Abbildungsfunktion wird als Summe von Partialbruchzerlegungen dargestellt. Spannungs- und Verschiebungs verteilung in der Umgebung des Risses werden berechnet. Der verstärkte Rand wird auf den Zustand vor und nach dem Entstehen eines Risses untersucht. Spannungsintensitätsfaktoren, die in der linear-elastischen Bruchmechanik von Bedeutung sind, werden für verschiedene Rißlängen ausgerechnet.