关于莫莱三角形两个猜想的修正

文［１］首先证明了莫莱三角形的一条性质：性质１　将△ＡＢＣ各内角三等分,每两个角的相邻三等分线相交得△ＰＱＲ,∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的平分线分别与ＱＲ、ＲＰ、ＰＱ交于点Ｘ、Ｙ、Ｚ,则ＰＸ、ＱＹ、ＲＺ三线共点．最后猜想：性质１中三点Ａ、Ｘ、Ｐ;Ｂ、Ｙ、Ｑ;Ｃ、Ｚ、Ｒ分别共线;进而猜测△ＡＢＣ与其内莫莱△ＰＱＲ对应顶点的连线：ＡＰ、ＢＱ、ＣＲ共点,且该点为△ＡＢＣ的内心．经探究,笔者发现：上述两个猜想并不成立．现修正为如下两个命题．命题１　在性质１的条件下,Ａ、Ｘ、Ｐ;Ｂ、Ｙ、Ｑ;Ｃ、Ｚ、Ｒ分别共线的充要…     

关联三个正方形的几个有趣结论

本文给出关联三个正方形的几个有趣结论．为讨论问题的方便,先看几条引理：引理１两边对应垂直的两个相似三角形的第三边也相互垂直．引理２正方形ＡＥＤＢ、ＡＣＦＧ共顶点Ａ,如图１,则（１）ＢＧ和ＣＥ垂直且相等;（２）ＢＧ、ＣＥ、ＤＦ三线共点;（３）设ＢＧ、Ｃ...     

涉及三角形折中点的一个性质

设Ｆｘ为△ＡＢＣ的三边ａ,ｂ,ｃ中除ｘ边的另两边所在折线的中点,称Ｆｘ为相对于ｘ边的折中点．对于△ＡＢＣ的折中点,有如下 定理 如图 １,设Ｆｘ是△ＡＢＣ的折中点,Ｉｘ是△ＡＢＣ中ｘ边对角的平分线与ｘ边的交点,ｘ∈｛ａ,ｂ,ｃ｝,ａ≥ｂ≥ｃ,则ＦａＩａ、ＦｂＩｂ、ＦｃＩｃ三线共点的充要条件是ａ＝ｂ或ｂ＝ｃ． 定理的证明需用到如下引理： 引理 １ 条件同定理,则ＩａＩｂ／／ＦａＦｂ且 证明 如图１,由内角平分线性质得 从而同理有于是,且有 引理 ２ 如图２,Ｐ,Ｑ为△ＡＢＣ边ＡＢ,ＡＣ上的点,ＰＱ ／／ ＢＣＪ…     

第二周几何能力训练一

说明　此组题主要训练对三角形一章的知识、方法的灵活应用能力．　　一、选择题（每小题３分，共２４分）１．定理：三角形的两边之和大于第三边的知识依据是（　）．（Ａ）两边差小于第三边（Ｂ）两点之间，线段最短（Ｃ）两点间的距离的定义（Ｄ）两点确定一条直线２．证明等腰三角形的性质定理的辅助线不能是（　）．（Ａ）顶角的平分线　（Ｂ）底边上的中线（Ｃ）腰上的中线　　（Ｄ）底边上的高３．到三角形的三边距离相等的点是三角形的（　）．（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三条中线的交点（Ｃ）三条角平分线的交点（Ｄ）三边的中垂线的…     

帕斯卡定理的面积法证明及应用

<正>帕斯卡定理^([1])圆的内接六边形的三双对边如果分别相交,那么三个交点共线.这是法国数学帕斯卡16岁时发现的一个惊人的定理,发表于1639年.这条共点直线为帕斯卡线.帕斯卡定理可改写成:设六边形ABCDEF内接于圆(与顶点次序无关,即ABCDEF无需为凸六边形),直线AB与DE交于点x,直线CD与AF交于点z,直线EF与BC交于点y,则x、y、z三点共线.     

一个定理的应用及推广

一个定理的应用及推广２２６３２１江苏通州市二甲中学曹兵１定理若Ｅ、Ｆ分别为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＢ、ＤＣ上的点，那么２证明如图１，将Ｒｔ△ＡＢＥ绕点Ａ逆时针旋转９０°至Ｒｔ△ＡＤＥ′，则点Ｆ、Ｄ、Ｅ′必共线，于是，证毕．３应用例１已知正方形ＡＢＣＤ的...     

一类几何命题的统一构图证明

对于一类形如的几何问题证明方法五花八门,本文利用一个常见的构图,给出这一类问题的一个统一证明．１ 基本构图及其结论 命题 如图１,ＡＢ//ＥＦ//ＣＤ,则 略证２ 一组常见问题的统一解决及启示 问题 １ 如图 ２,△ＡＢＣ中,ＢＥ平分ＡＢＣ,ＥＦ//ＢＣ,则． 略证 过Ａ作ＡＤ//ＢＣ与ＢＥ的延长线交于Ｄ,则 ＡＤ=ＡＢ,结论显然成立． 问题２ 如图 ３,ＡＢＣ=１２０°,ＢＤ平分ＡＢＣ,点Ａ、Ｄ、Ｃ在一直线上,则 证明 过Ａ、Ｃ作ＢＤ的平行线与ＣＢ、ＡＢ 的延长线交于Ｅ、Ｆ,由ＡＥ＝ＡＢ,ＣＦ＝ＣＢ,结论成立． 一般的文…     

抛物线的内接梯形

设抛物线Γ :ｙ2 =2 ｐｘ ( ｐ >0 ) ,本文讨论Γ的内接梯形的性质 .我们需要下面的引理 .引理　梯形两底的中点 ,两对角线的交点 ,两腰延长线的交点 ,四点共线 .(证略 )性质　设抛物线Γ的内接梯形ＡＢＣＤ ,ＡＤ∥ＢＣ ,ＡＣ ,ＢＤ交于Ｎ ,两腰ＡＢ ,ＣＤ的延长线交于Ｔ ,过Ｔ作Γ的二切线 ,切点为Ｐ1 ,Ｐ2 ,如图 1,则1 Ｐ1 Ｐ2 ∥ＡＤ ;2 Ｐ1 ,Ｎ ,Ｐ2 三点共线 ;3 1)若ＡＣ ,Ｐ1 Ｐ2 ,ＢＤ与ｘ轴不垂直 ,则ｋＡＢ,ｋＰ1Ｐ2 ,ｋＢＤ成调和数列 ;2 )若Ｐ1 Ｐ2 ⊥ｘ轴 ,则ｋＡＣ ｋＢＤ=0 ;3)若ＡＣ⊥ｘ轴 ,则ｋＰ1Ｐ2 =2ｋＢＤ;图 1　抛…     

三角形中内切椭圆存在性及其尺规作图

1问题的提出众所周知,任意三角形顶点到内切圆与对边切点的连线共点,称为葛耳刚(Gergonne)点,这利用塞瓦(Ceva)定理容易证明.由于此问题仅涉及的点、线结合及共线三点的单比均是仿射几何的不变性质和不变量,很容易知道此结论对三角形内切椭圆同样成立.自然地,人们会反过     

再谈椭圆中一类三角形面积的最大值

文［１］利用伸缩变换讨论了椭圆内过定点的直线与椭圆的两个交点与原点构成的三角形面积的最大值．本文将利用行列式及二次函数在闭区间上的最值理论讨论这一问题．为此先给出下面两个引理．引理１　坐标平面内逆时针排列的三点Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）、Ｃ（ｘ３,ｙ３）构成的△ＡＢＣ的面积Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｘ１ｙ１１ｘ２ｙ２１ｘ３ｙ３１．（证明略）．引理２　二次函数在闭区间上的最值要么在顶点取得,要么在区间的端点取得（证明略）．定理　椭圆ｍｘ２＋ｎｙ２＝１（ｍ、ｎ∈Ｒ＋）内有一定点Ｍ（ｐ,ｑ）,过Ｍ的直线…     

欧拉定理 费尔巴哈定理及相关命题的统一证明

欧拉定理　费尔巴哈定理及相关命题的统一证明刘裕文（四川省彭州市中学６１１９３０）三角形之外心Ｏ、重心Ｇ、垂心Ｈ三心共线，且ＯＧ：ＧＨ＝１：２；三角形三边之中点、三高之足、垂心至顶点连线之三中点，凡九点共圆．此乃欧氏几何中著名的欧拉定理与费尔巴哈定理．...     

三角形的一个命题及其推论

在三角形 ,有以下一个有趣的命题 :命题　设Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ上的两点 ,记 ＢＥＥＣ =α1 、ＢＦＦＣ =α2 ,且 0 <α1 <α2 ,若任一直线分别与ＡＢ、ＡＥ、ＡＦ、ＡＣ或其延长线交于点Ｍ、Ｇ、Ｈ、Ｄ ,则不论直线的位置如何 ,总有 ＧＨＭＤ ≤α2 - α1α2 α1.为使证明简洁明了 ,首先给出如下引理 :引理　设Ｅ、Ｄ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ上的两点 ,记 ＢＥＥＣ =α、ＣＤＤＡ =β ,ＢＤ与ＡＥ交于点Ｇ ,则 ＢＧＧＤ =α(1 β) .证明　如图 1所示 ,在△ＢＣＤ中 ,由梅涅劳斯 (Ｍｅｎｅｌａｕｓ)定理得　 ＢＥＥＣ· Ｃ…     

有关线段成比例问题的两种模型

在平面几何中,合理添加辅助线,构造恰当模型,往往成为顺利解题的关键,而在证明有关线段成比例的定理中,常用的有两个,下面用模型表示：图１１°　若ＤＥ∥ＢＣ,则ＤＡＡＣ＝ＥＡＡＢ,△ＤＡＥ∽△ＣＡＢ．２°　若ＤＥ∥ＢＣ,则ＡＤＡＢ＝ＡＥＡＣ,ＡＤＤＢ＝ＡＥＥＣ,△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ．我们不妨把１°的模型叫Ｘ型,２°的模型叫Ａ型,这两种模型在证明有关线段成比例的问题上,能帮助我们快速、有效地作出辅助线．下面结合一道命题对此作出阐述．命题　过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任意作一条直线,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于Ｆ、Ｅ…     

欧拉线的共轭线

概念位于三角形的各边上，且将周长两等分的点叫周界中点，顶点和周界中点的连线叫周界中线，三条周界中线交于一点，这点叫三角形的界心．大家知道欧拉线，即三角形的垂心、重心和外心共线，且重心到垂心的距离等于重心到外心距离的两倍，与此极其相似的是定理三角形的界心、重心和内心共线，且重心到界心的距离等于重心到内心距离的两倍．引理1三角殂一边上的周界中线平行于内心与这边中点的连线证明如图1，△ABC中，三边为a、b、C，AD是BC上的周界中线，M是BC的中点，AE平分LA，I是AABC的内心．引理2三角形的界心到一个顶点的距…     

一个几何不等式的证明

问题设ａ，ｂ，ｃ表示△ＡＢＣ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的对边，形内任意两点Ｐ１，Ｐ２到Ａ，Ｂ，Ｃ三个顶点的距离分别为ａ１，ａ２，ｂ１，ｂ２，ｃ１，ｃ２求证：ａａ１ａ２＋ｂｂ１ｂ２＋ｃ１ｃ２ａｂｃ．这是Ｈａｙａｓｈｉ不等式的一个拓广，笔者经研究探索，得到如...     

三角形中三线间比例线段的关系式

１ 问题的提出 例 １ 如图 １，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是 ＢＣ边上的中线，过Ｂ作射线ＢＥ交ＡＤ于Ｆ，交 这道题并不难，只需过 Ｄ作 ＤＧ ／／ ＢＥ交 ＡＣ于 Ｇ，则Ｇ为 ＥＣ中点， 但这道题却先后被陕西省、河北省、天津市选用作为中考试题，其采用率之高并不多见，与之类似的考题几乎在每年各地的中考试题中常能见到． 例２ 过八ＡＢＣ的顶点Ｃ任作一直线，与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于点Ｆ和，求证： 这是现行九年义务教育初二《几何》相似形一章的复习题中的一道习题，教材中给出了添加辅助线的提示，有的教学辅导刊物上给出了８种添加辅…     

向量法解立体几何中点线面的位置关系问题

为适应高中数学教材改革的新情况 ,需要研究用向量方法求解立体几何的各种问题 .本文举例说明如何用向量方法解决立几中点、线、面的位置关系问题 .以此强化“向量”的应用价值 ,激发学生学习向量的兴趣 ,从而达到提高探索和创新能力之目的 .现举例说明如下 .1　根据共线向量定理证点共线欲证点共线 ,通常先构造共始点的向量 ,再根据共线向量定理证明 .图 1　例 1图例 1　已知 ,如图 1,长方体ＡＣ1中 ,Ｍ为ＤＤ1的中点 ,Ｎ在ＡＣ上 ,且ＡＮ :ＮＣ =2 :1,Ｅ为ＢＭ的中点 .求证 :Ａ1,Ｅ ,Ｎ三点共线 .证　ＡＢ =ａ ,ＡＤ =ｂ ,ＡＡ1=ｃ,则Ａ1…     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

判别“三点共线”的一种新方法

判别“三点共线”的一种新方法２４６１４２安徽省怀宁江镇中学黄全福文［１］曾从六个方面较系统地讨论了＂三点共线＂问题．这里再提供一种本人近期发现的证明＂三点共线＂的新方法，算是对文［１］内容的一点补充．观察图１，两条直线Ａ１Ｂ１、Ａ２Ｂ２相交于Ｏ点，点...