On some relations between a dual pair of multiple objective linear programs

Summary This paper is a contribution to the theory of multiple objective linear programming. Existence and duality properties for multiple objective linear programs are developed which contain the fundamental existence and duality results of linear programming as special cases. Several implications of the duality results will be indicated.

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Zusammenfassung In diesem Beitrag werden einige Existenz- und Dualitätsaussagen für lineare Programme mit mehreren Zielfunktionen (Vektoroptimierungsprobleme) vorgestellt. Es wird gezeigt, daß diese Aussagen die Existenz- und Dualitätsaussagen der linearen Programmierung als Spezialfälle enthalten.

     

Solvability results for sublinear functions and operators

In this paper there are stated asymptotic solvability results which yield a Farkas' lemma for sublinear functions and operators. Applications to duality for homogeneous programming and to necessary optimality conditions for nonlinear programming are given. Some closedness conditions used in the paper are also discussed.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit werden asymptotische Lösbarkeitsresultate angegeben, die ein Farkas-Lemma für sublineare Funktionen und Operatoren liefern. Es werden Anwendungen auf die Dualitätstheorie homogener Programme und auf notwendige Optimalitätsbedingungen der nichtlinearen Programmierung angegeben. Einige Abgeschlossenheitsvoraussetzungen, die in der Arbeit benutzt werden, werden diskutiert.

     

Duality for a class of continuous-time homogeneous fractional programming problems

In this note we present a continuous-time analogue of a duality formulation due to Craven and Mond for a class of homogeneous fractional programming problems. In this duality formulation, the dual problem is also a fractional program with the same objective function as the primal problem.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird der Dualitätsansatz von Craven und Mond für homogene Quotientenprogramme in endlich vielen Variablen auf unendlich dimensionale Probleme verallgemeinert, wobei Zähler und Nenner sowie die Nebenbedingungsfunktionale als Integrale gegeben sind. Der Ansatz zur Dualität ist dadurch gekennzeichnet, daß das duale Problem wieder ein Quotientenprogramm ist und die gleiche Zielfunktion wie das primale Problem hat.

     

Zur Schätzung der Marktreaktion mit Zeitreihendaten: Die Band-Spektrum-Regression

Zusammenfassung Der folgende Beitrag befaßt sich mit einer der vermutlich häufigsten Ursachen für Fehlschläge bei der empirischen Marktmodellierung: zu Parametrisierung des auf spezifischen Hypothesen beruhenden Strukturmodells werden Zeitreihen-Daten herangezogen, in denen typischerweise andere als die gesuchten Interdependenzen dominieren. Dies führt zu den bekannten spurious regressions und falschen Modellkoeffizienten. Um die spezifischen Hypothesen in erster Linie mit der ihnen entsprechenden Variation in den Daten zu konfrontieren, schlägt der Autor die Band-Spektrum-Regression vor, die es ermöglicht, die für die Parametrisierung eines Marktreaktionsmodells relevante Information in den Daten zu lokalisieren und, von störenden Einflüssen befreit, in die Schätzung einzubringen. Anhand einer empirischen Studie wird gezeigt, daß sich das theoretische Konzept der Band-Spektrum-Regression auch bei der praktischen Marktmodellierung bewährt.

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This paper discusses a main problem in empirical market modelling, namely that rather specific hypothesis about market structure are confronted in the estimation phase with time series which are typically dominated by interdependencies from other sources than formulated in the model. Results are spurious regressions and wrong coefficients. In order to evaluate the specific hypothesis on the basis of the appropriate variation in the data, Band-Spectrum-Regression can serve as an instrument to locate the relevant part of information in the data and to eliminate the misleading information. An empirical case study proves that the theoretical concept of Band-Spectrum-Regression can successfully be applied in the practice of market analysis.

     

Mathematische Programmierung in der Zementindustrie

Zusammenfassung Mit Hilfe der Methoden der Mathematischen Programmierung wird für eine Zementfabrik ein Modell gebildet, das gestattet, die optimale Größe der Klinkerhalle, Mahlanlage und Siloanlage zu berechnen. Vorgegeben ist eine jährliche Klinkerproduktion von 500 000 Tonnen; in Abhängigkeit vom saisonalen Absatzverlauf, dem Tarif für die elektrische Energie und Leistung, dem Baukostenverlauf für variable Größe der betrachteten Anlageteile, der technischen Lebensdauer dieser Anlageteile und dem langfristigen Zinssatz werden die gesuchten optimalen Größen berechnet. Der Absatzverlauf, der dieser Berechnung zugrunde liegt, wird zuerst durch eine Erweiterung der dualen Aufgabe des primären linearen Programms hergeleitet; dieser Absatzverlauf muß so gewählt werden, daß die Lösung des linearen Programms eine fat solution im Sinne der linearen Programmierung unter Unsicherheit ergibt; dies führt auf eine quadratische Programmierungsaufgabe. Abschließend werden einige numerische Resultate diskutiert.

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Summary A model for a cement factory is developed by using the methods of mathematical programming, which allows to calculate the optimum capacity of the clinker hall, grinding works and silo plant. An annual clinker output of 500 000 tons is given; the desired optimum capacities are calculated in dependence on the seasonal sales trend, electrical power rates, the trend of building costs of the variable plant capacities taken into consideration, the technical life-span of the plant and the long-term rate of interest. The sales trend taken as a basis for these calculations is first derived from an extension of the dual problem of the primary linear program. This sales trend is thus chosen that the solution of the linear program results in a fat solution in the sense of the linear programming under uncertainty. In order to find out this underlying sales trend a quadratic programming problem has to be solved. In conclusion some numerical results are discussed.

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Bezeichnungen: In den folgenden Ausführungen sind Matrizen mit großen Buchstaben bezeichnet, Zeilenvektoren mit kleinen Buchstaben mit waagrechtem Pfeil; Koeffizienten und Konstante sind durchwegs mit kleinen Buchstaben bezeichnet.

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Dissertation, angenommen von der Rechts- und Staatswissenschaftlichen Fakultät der Universität Zürich. Ich möchte dem Referenten, Herrn ProfessorH. P. Künzi, hier meinen Dank aussprechen. Der Zementfabrik Holderbank AG bin ich für die großzügige Unterstützung zu Dank verpflichtet; ebenfalls möchte ich der Firma IBM danken für die Zurverfügungstellung einer IBM 7090-Rechenanlage.

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Vorgel. v.:H. P. Künzi     

A weak duality theorem for stochastic linear programming

Summary A linear programming problem is said to be stochastic if one or more of the coefficients in the objective function or the system of constraints or resource availabilities is known only by its probability distribution. A distinction is usually made between two related approaches to stochastic linear programming, the active and passive approach respectively. An extension of the duality theorem of non-stochastic or deterministic programming problem has been attempted in this paper in the area of stochastic linear programming in its two approaches. The method of proof is based on the idea that since the parameter space defined by a stochastic linear programme is the topological product of the real line with itself, it forms a first countable topological space. Using a set of distinct and selected points in the parameter space the concepts of feasibility, optimality and duality are extended to stochastic linear programming problems of arbitrary dimensionality. Based on the non-singular regions of the parameter space of a stochastic linear programming problem the theorem utilizes the conditions of convergence of the sequence of distinct and selected points in the parameter space to a limit point and thereby generalizes the duality theorem in the stochastic case. Furthermore it is shown that the regions of feasibility of the active and passive approaches of stochastic linear programming may be different, so that on this basis it may be possible to establish some inequality relations for the optimal solutions defined for the respective feasible regions.

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Zusammenfassung Ein lineares Programmproblem wird stochastisch genannt, wenn ein oder mehrere Koeffizienten der Zielfunktion oder des Systems der Beschränkungen oder der verfügbaren Ressourcen nur durch ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt sind. Gewöhnlich wird zwischen zwei verwandten Verfahren für das stochastische lineare Programmieren unterschieden, dem aktiven und dem passiven Verfahren.In der vorliegenden Arbeit wird versucht, das für nichtstochastische oder deterministische Programmprobleme gültige Dualitätstheorem unter Berücksichtigung beider Verfahrensweisen auf den Bereich des stochastischen linearen Programmierens auszudehnen. Der Beweis gründet sich auf den Gedanken, daß der Parameterraum einen abzählbaren topologischen Raum bildet, da er — durch ein stochastisches lineares Programm definiert — das topologische Produkt der reellen Achse mit sich selbst ist. Unter Benutzung einer Menge von verschiedenen und ausgewählten Punkten im Parameterraum werden die Begriffe der Zulässigkeit, der Optimalität und der Dualität auf stochastische lineare Programmprobleme beliebiger Dimension ausgedehnt. Auf der Grundlage nichtsingulärer Bereiche des Parameterraumes eines stochastischen linearen Programmproblems benutzt das Theorem die Bedingungen für die Konvergenz einer Folge verschiedener und ausgewählter Punkte des Parameterraumes nach einem Grenzpunkt und verallmeinert damit das Dualitätstheorem für den stochastischen Fall. Weiter wird gezeigt, daß die Zulässigkeitsbereiche der aktiven und passiven Verfahren des stochastischen linearen Programmierens verschieden sein können, so daß es möglich sein kann, gewisse Ungleichungen für die optimalen Lösungen aufzustellen, die für die entsprechenden zulässigen Bereiche definiert sind.

     

Some duality theorems for the non-linear vector maximum problem

Summary In this paper the well-knownLegendre transform-type of non-linear duality is extended to the general vector maximum problem. Duality is studied in terms of the primal and dual objective sets rather than in terms of the underlying feasible solutions. The structure of the objective sets is fully explored. The main result in duality is that under reasonable regularity assumptions there are no duality gaps between the primal and dual objective sets.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das bekannte, derLegendre-Transformation nachgebildete Konzept der nichtlinearen Dualität auf das allgemeine Vektor-Maximum-Problem übertragen. Hierbei wird die Dualität der Zielmengen (nicht aber der zulässigen Lösungen) des primalen und dualen Programms untersucht. Die Struktur der Zielmengen wird eingehend studiert. Hauptergebnis ist, daß unter plausiblen Regularitätsbedingungen keine Lücken zwischen der primalen und der dualen Zielmenge auftreten.

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This paper was originally written when the author was at the Center for Operations Research and Econometrics, University of Louvain. I wish to thank ProfessorsG. de Ghellinck, J. Drèze, of Louvain, andW. Szwarc, of Wrocaw, for stimulating discussions of the subject. I alone am responsible for all remaining errors.

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Vorgel. v.:W. Wittmann     

Multinomial solutions of the beach equation

Exact multinomial solutions of the beach equation for shallow water waves on a uniformly sloping beach are found and related to solution of the same equation found earlier by other investigators, using integral transform techniques. The use of these solutions for a general initialvalue problem for the equation under investigation is briefly discussed.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden genaue Multinomlösungen der sogenannten Strand-Gleichung gefunden, und zwar für den Fall von langen Wellen in seichtem Wasser auf einem Strand mit gleichmäßiger Neigung. Anschließend werden diese Lösungen auf die von anderen Autoren durch Integral-Transformationen gefundenen Lösungen bezogen. Die Anwendung der Resultate auf ein verallgemeinertes Anfangswertproblem für die genannte Gleichung wird kurz besprochen.

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This work was carried out under the UGC (India). Project on Wave Phenomena No. 23-884/78 (CSRIF-Code No. 001/Maths/78.     

On the convergence of successive approximations in dynamic programming with non-zero terminal reward

This paper considers the convergence of the finite-horizon optimal value functions of dynamic programming to the infinite-horizon optimal value function, when there is a non-zero terminal-reward function. The model and methods follow closely these used by Schäl in a recent paper, in which a terminal reward of zero was assumed. We first present convergence conditions that are direct extensions of Schäl's, then related conditions in which the terminal-reward function is an upper or lower bound for the infinite-horizon optimal value function. Some applications to problems in queueing control are mentioned briefly. We also comment on the relation between our conditions and the more restrictive conditions of strongly convergent and contractive models, and present a very general result concerning uniqueness of the solution to the infinite-horizon optimality equation.

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Zusammenfassung In der Arbeit wird die Konvergenz von Wertfunktionen dynamischer Optimierungsprobleme mit endlichem Planungshorizont gegen die Wertfunktionen bei unendlichem Planungshorizont betrachtet, wobei die Endauszahlung verschieden von Null ist. Modell und Vorgehensweise lehnen sich an entsprechende Resultate von Schäl an für den Fall, daß die Endauszahlung Null ist. Zunächst werden Konvergenzbedingungen angegeben, welche unmittelbare Erweiterungen der Schälschen Ergebnisse sind, gefolgt von Bedingungen, bei denen die Endauszahlung eine obere oder untere Schranke für die Endauszahlung bei unendlichem Planungshorizont ist. Einige Anwendungen auf Probleme der Steuerung von Warteschlangen werden erwähnt. Ferner werden der Zusammenhang zwischen unseren Bedingungen und den restriktiveren Bedingungen bei stark konvergenten und Kontraktions-Modellen erläutert und ein sehr allgemeines Modell über die Eindeutigkeit der Lösung der Optimalitätsgleichung bei unendlichem Planungshorizont angegeben.

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An earlier draft of this paper appeared as: On the Convergence of Successive Approximations and Uniqueness of the Solution to the Functional Equation of Dynamic Programming. IMSOR Report 2190, The Institute of Mathematical Statistics and Operations Research, The Technical University of Denmark, May 1977 (revised, July 1977).

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This research was partially supported by NATO Research Grant No. SRG.SS.5, administered by the NATO Special Programme Panel on Systems Science, and was begun while the author was guest professor at The Institute of Mathematical Statistics and Operations Research at The Technical University of Denmark, January to July, 1977. Further support was provided by the National Science Foundation under Grant No. ENG78-24420.     

On duality in the vectorial control-approximation problem

The author formulates vectorial dual problems for a certain class of vectorial control-approximation problems in real reflexive Banach spaces. A number of propositions concerning duality are derived. Corresponding propositions are mentioned for the special case of the vectorial location problems.

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Zusammenfassung In der Arbeit werden für eine Klasse von vektoriellen Steuer-Approximationsproblemen in reellen reflexiven Banachräumen vektorielle Dualprobleme konstruiert und Dualitätseigenschaften hergeleitet. Als Spezialfall ergeben sich entsprechende Aussagen für vektorielle Standortprobleme.

     

Dynamische Optimierung und PONTRJAGINsches Maximumprinzip

Zusammenfassung Die Frage nach der optimalen Steuerung wirtschaftlicher, technischer und anderer Prozesse führt oft auf Problemstellungen, die mit den Methoden der klassischen Variationsrechnung nicht mehr behandelt werden können. In den letzten Jahren sind nun zwei Lösungsverfahren entwickelt worden, die diesen Aufgabenstellungen besser angepaßt sind: Die Methode der dynamischen Optimierung und dasPontrjaginsche Verfahren, das auf dem sogenannten Maximumprinzip beruht. Nach einer Zusammenstellung typischer Probleme obiger Art werden beide Verfahren kurz geschildert. Anschließend werden sie hinsichtlich ihres Rechenaufwandes miteinander verglichen, und es wird angegeben, in welchen Fällen das eine oder andere der beiden Verfahren vorzuziehen ist.

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Summary The question of the optimal control of economic, technical, and other processes leads in many cases to problems, which cannot be solved by application of the classical calculus of variations. During the last years there were two methods developed, which more correctly encompass these problems: the procedure of dynamic programming, and the method ofPontrjagin based on the so-called maximum principle. Having composed series of typical problems of the above-mentioned type, both procedures are briefly described. Finally, they are compared with each other in regard to the extent of calculation, in order to indicate in which cases the first or the second method is to be preferred.

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Vorgel. v.:J. Heinhold.     

Beiträge zur Dekomposition von linearen Programmen

Zusammenfassung Das Ziel dieser Arbeit besteht vor allem darin, die Zusammenhänge der Dekompositionsmethoden für lineare Programme vonDantzig/Wolfe, Abadie/Williams, Benders, Rosen usw. aufzusuchen. In Kapitel I und III werden diese Methoden mehr oder weniger ausführlich behandelt. Für einige Sätze werden neue Beweise angegeben. In Kapitel II entwickeln wir eine neue Dekompositionsmethode, die aus der Kombination des primaldualen Verfahrens mit derDantzig/Wolfeschen Dekomposition entsteht. Der Idee vonCharnes/Cooper folgend benützen wir dyadische Transformationen in Kapitel IV, um mehrstufige und Transportprobleme durch Dekomposition zu lösen. Schließlich werden in Kapitel V Überlicke über Anwendungen, Erweiterungen für nichtlineare Programmierung und einige Ausblicke gegeben.

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Summary In this paper we are concerned with the decomposition methods ofDantzig/Wolfe, Abadie/Williams, Benders andRosen, particularly to show the relations among them. A new method, the primal-dual decomposition method is developed. FollowingCharnes/Cooper, dyadic transformations are used to solve various linear programs by decomposition. A survey of extensions and applications is also given.

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Diese Arbeit wurde von der Philosophischen Fakultät II der Universität Zürich als Dissertation angenommen.     

Zur Konvergenz des Rayleigh-Ritz-Verfahrens bei Eigenwertaufgaben

Zusammenfassung Bei der näherungsweisen Berechnung von Eigenwerten und Eigenelementen spielt das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren gerade im Hinblick auf die Finite-Elemente-Methode eine bedeutende Rolle. Umfangreiche Untersuchungen zur Konvergenz des Verfahrens liegen vor (vgl. etwa [1, 2, 4, 5, 7, 12, 15, 16, 19, 20]). Dabei werden zumeist quantitative Fehlerabschätzungen für konkrete Approximationen spezieller Probleme hergeleitet. Die Behandlung der Näherungseigenelemente erweist sich als besonders schwierig, wenn die zugehörigen Eigenwerte mehrfach vorliegen. Die für viele weiteren Untersuchungen fundamentalen Ergebnisse von Birkhoff et al. [1] gelten ausschließlich für einfache Eigenwerte.Das Hauptanliegen dieser Arbeit ist die Darlegung des qualitativen und quantitativen Konvergenzverhaltens der Näherungseigenelemente. In einer rein funktionalanalytischen Vorgehensweise betrachten wir Eigenwertaufgaben, die sich durch halbbeschränkte selbstadjungierte Operatoren beschreiben lassen. Die Konvergenzaussagen werden zurückgeführt auf die Approximationsgüte der Diskretisierung. Die erzielten Abschätzungen stehen somit generell fürjede Konkretisierung zur Verfügung. Insbesondere werden die Resultate aus [1] verallgemeinert. Die Beweise orientieren sich direkt an der Problemstellung. Methoden der Spektralapproximation (vgl. Chatelin [3], Vainikko [20]) werden nicht eingesetzt.

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On the convergence of the Rayleigh-Ritz method for eigenvalue problems

Summary This paper is concerned with the Rayleigh-Ritz method applied to eigenvalue problems, discribed by operators which are selfadjoint and bounded from below. In a purely functional analytic procedure the convergence results are reduced to error estimates for the discretization.

Dedicated to the memory of Professor Lothar Collatz     

Das Dualproblem in der linearen Planungsrechnung

Zusammenfassung Der folgende Beitrag zeigt den ökonomischen Hintergrund des mathematischen Problems der Dualität. Es werden das Beispiel eines Primal- und des zugehörigen Dualproblems sowie die allgemeinen Eigenschaften der Dualität behandelt. Während die Lösung der ursprünglichen Aufgabe eine optimale Ausnutzung der vorhandenen Betriebskapazitäten im Hinblick auf den erreichbaren Maximalgewinn anstrebte, werden durch die Lösung des Dualproblems diesen einzelnen Kapazitäten, dem Grade ihrer Knappheit entsprechend, bestimmte Werte zugerechnet. Aus diesen Werten können wertvolle Hinweise für die Kapazitätsplanung gewonnen werden.

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Summary The following contribution shows the economic sense of the mathematical dual-problem. An example of a primal-problem and the corresponding dual as well as all general features of duality are dealt with. Whereas the primal-problem is used to find an optimal allocation of scarce resources to maximize the profit, the solution of the dual-problem is used to impute values of these scarce resources. These values are useful guides for decisions concerning the planning of capacities.

     

Some constrained shortest-route problems

Summary This paper treats five constrained shortest-route problems: 1) determining the shortest route when it is constrained to pass through a given set of specified nodes; 2) determining the shortest route when it is constrained to pass through a given set of specified nodes and the specified nodes are to be visited in a fixed order; 3) finding an optimal route for the travelling-salesman problem; 4) determining the shortest route throughK sets of specified nodes when at least one node of every set of specified nodes is to occur on the shortest route; and 5) finding the shortest route through the sets of specified nodes when at least one node of every set of specified nodes is to occur on the shortest route and the sets of specified nodes are to be visited in a fixed order. The functional equation technique of dynamic programming is employed to solve problems 1), 3), and 4), while problems 2) and 5) are solved through simpler algorithms. The methods are illustrated by examples.

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Zusammenfassung Es werden fünf Kürzeste-Wege-Probleme mit besonderen Bedingungen behandelt: 1) Bestimmung des kürzesten Weges unter der Bedingung, daß die in einer gegebenen Menge spezifizierten Knoten passiert werden müssen, 2) Bestimmung des kürzesten Weges, wobei die in einer gegebenen Menge spezifizierten Knoten in einer bestimmten Reihenfolge passiert werden müssen, 3) Ermittlung der optimalen Rundreise im Travelling-Salesman Problem, 4) Bestimmung des kürzesten Weges durchK Mengen von spezifizierten Knoten, wobei aus jeder Menge wenigstens ein Knoten passiert werden muß, und 5) Bestimmung des kürzesten Weges durch Mengen von spezifizierten Knoten, wobei aus jeder Menge wenigstens ein Knoten passiert und die Mengen in einer vorgegebenen Reihenfolge aufgesucht werden müssen. Zur Lösung der Probleme 1), 3) und 4) wird die Technik der dynamischen Optimierung angewandt, während die Probleme 2) und 5) mit einfacheren Algorithmen behandelt werden. Die Methoden werden an Beispielen erläutert.

     

Symmetric dual fractional programming

A pair of symmetric dual fractional programming problems is formulated and appropriate duality theorems are established.

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Zusammenfassung Es wird ein symmetrisches Paar primaler und dualer Quotientenprogramme eingeführt, für das Dualitätsbeziehungen hergeleitet werden.

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Research by this author was carried out while he was a visiting research fellow at the University of Melbourne.     

Nonlinear analysis of flow pulses and shock waves in arteries

Zusammenfassung In jeder Gruppe von Menschen variieren die Kreislaufparameterwerte von Individuum zu Individuum ziemlich stark. Um die Effekte realistischer Schwankungen dieser Parameter auf die Strom-und Druckpulse in arteriellen Leitungen zu untersuchen und um mögliche Manifestationen gewisser pathologischer Zustände wie Arteriosklerosis und die Insuffizienz der Aortenklappen zu identifizieren, werden hier einige der Resultate präsentiert, die sich auf Grund des im ersten Teil beschriebenen mathematischen Modells ergeben. Insuffizienz der Aortenklappen ist nachgebildet durch einen Ausströmungspuls mit aussergewöhnlich grossem Rückstrom. Der zugehörige Druckpuls zeigt die bekannten Eigenschaften von Stosswellen, die anscheinend verantwortlich sind für die pistol shot sounds, die man über der arteria femoralis und der arteria radialis von Patienten mit Aorteninsuffizienz hört.

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For Part I see Z. ang. Math. Phys.22, 217 (1971).     

Finite state dynamic programming with the total reward criterion

Dynamic programming problems with the expected total reward criterion and finite state space are considered. Two different value functions, the supremum over all policies and the supremum over all stationary policies, are examined. It is shown that both value functions satisfy the optimality equation and upper and lower bounds as well as conditions for equality for these functions are presented. Using these results characterizations for those policies which achieve the maximum within all policies and for those which achieve the maximum within all stationary policies are derived. Finally a modified version of the Howard policy improvement is proposed which yields an optimal policy for problems with finite action sets.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit werden Dynamische Optimierungsprobleme mit dem Gesamtgewinnkriterium und endlichem Zustandsraum behandelt. Dabei werden zwei verschiedene Wertfunktionen, einmal das Supremum über alle Politiken und einmal das Supremum über alle stationären Politiken, untersucht. Beide Wertfunktionen sind Lösungen der Optimalitätsgleichung, und es werden untere und obere Schranken sowie Bedingungen für die Gleichheit für diese Funktionen gegeben. Mit diesen Ergebnissen können dann die Politiken charakterisiert werden, die optimal in der Menge aller Politiken sind, und diejenigen, die optimal in der Menge aller stationären Politiken sind. Schließlich wird noch, in Anlehnung an Howard, ein Politikverbesserungsverfahren vorgeschlagen, das für Probleme mit endlichen Aktionsräumen eine optimale Politik liefert.

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This paper is based on the last part of the author's doctoral thesis written under guidance of Prof. M. Schäl.     

The ‘electromagnetic’ Wigner equation for an electron with spin

We derive and analyse the three-dimensional quantum Liouville equation for an electron with spin in an external electromagnetic field. By using methods of semigroup theory, we prove existence and uniqueness of the initial value problem. Expanding the solution into a series of pure states, we derive the existence of a generalized particle density and anL -estimate on the solution. The last section is devoted to an analysis of the classical and electrostatic limits.

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Zusammenfassung Die drei-dimensionale Quanten-Liouville Gleichung für ein Elektron mit Spin in einem äueren elektromagnetischen Feld wird hergeleitet und analysiert. Mit Hilfe der Halbgruppen-Theorie werden Existenz und Eindeutigkeit des Anfangswertproblems bewiesen. Aus der Entwicklung der Lösung in eine Reihe von reinen Zuständen schließen wir die Existenz einer verallgemeinerten Teilchendichte und erhalten eineL -Abschätzung für die Lösung. Im letzten Kapitel werden der klassische und elektrostatische Limes untersucht.

     

The optimum strategy for choosing the maximum ofN independent random variables

Summary In this paper the problem of choosing the maximum of a given number of Random Variables (R.V.'s) has been considered when they are presented sequentially and their distribution is known. Only one R.V. can be accepted and in each case when a R. V. is presented it is either accepted, or rejected never to be accepted later. The strategy which maximizes the probability of obtaining the largest R. V. is obtained and called the optimum strategy. When this optimum strategy is followed, the probability of choosing any particular order statistic is determined and shown to be independent of the distribution of the R. V.'s. The asymptotic distribution of the order statistic chosen is found and selected probabilities listed in the Tables. Also included is a table of the optimum strategy and a graph of the number of R. V.'s to be sampled if one wishes the R. V. chosen to be in the top fraction of the population with a given probability.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das Problem der Wahl des Maximums einer gegebenen Anzahl von unabhängigen, identisch verteilten, Zufallsvariablen behandelt. Diese Zufallsvariablen sollen der Reihe nach vorgestellt werden. Ihre Verteilung ist bekannt. Jede Zufallsvariable kann entweder angenommen werden, oder sie ist für immer verloren. Hat man einmal eine bestimmte Zufallsvariable angenommen, so kann keine zweite mehr angenommen werden. Die Strategie, die die Wahrscheinlichkeit maximiert, daß man unter den gegebenen Zufallsvariablen die größte findet, wird entwickelt und optimale Strategie genannt. Es wird die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt, daß man bei Vorgehen nach dieser optimalen Strategie eine bestimmte Ranggröße erhält, und dabei gezeigt, daß sie unabhängig ist von der Verteilung der Zufallsvariablen. Es wird die asymptotische Verteilung der gewählten Ranggrößen bestimmt und die Wahrscheinlichkeit auszugsweise tabelliert. Beigefügt ist eine Tabelle für die optimale Strategie und eine graphische Darstellung der Anzahl der Zufallsvariablen, die man höchstens prüfen muß, wenn man wünscht, daß bei gegebener Wahrscheinlichkeit die gewählte Zufallsvariable über einer -Fraktile liegt.

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Mitteilung aus dem Zentral-Laboratorium für Nachrichtentechnik der Siemens A.G., München.

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Vorgel. v.:J. Heinhold