Sul problema di Cauchy relativo alle equazioni alle derivate parziali del primo ordine di tipo semilineare

Sunto Si fa vedere come il problema di Cauchy relativo ad una equazione alle derivate parziali del primo ordine, in n variabili, di tipo semilineare, può essere ricondotto allo studio di una equazione integrale alla quale viene poi applicato il metodo delle approssimozioni successive per la costruzione effettiva di una eventuale soluzione della equazione stessa. Lavoro eseguito nell’ambito del VI gruppo di ricerca del Comitato per la Matematica del C.N.R. per l’anno 1961–62.     

Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementari dell’elettromagnetismo

Sunto Si espone un algoritmo particolarmente adatto per lo studio delle leggi elementari dell’elettromagnetismo, sia allo scopo di stabilire il grado di indeterminazione da cui sono affette, sia allo scopo di determinare tutte le leggi elementari dotate di requisiti assegnati. Nel primo capitolo si esaminano le proprietà generali delle leggi elementari e si classificano. Nel secondo capitolo si studiano i tensori del secondo e del terzo ordine associati alle leggi elementari. Tali tensori sono tutti funzioni di un vettore e godono delle proprietà che al mutare della terna di riferimento le nuove componenti del tensore, espresse in funzione delle nuove componenti cartesiane del vettore, godono dell’invarianza formale. Tale proprietà si traduce in un sistema di equazioni funzionali, che vengono risolte. Si ha così che le 9 (27) componenti del tensore di secondo (risp. terzo) ordine possono essere espresse mediante una combinazione lineare di sole 3 (risp. 7) funzioni del solo modulo del vettore, che vengono chiamate “funzioni di distanza” del tensore. La ricerca delle leggi elementari dotate di proprietà assegnate dà luogo a sistemi di equazioni differenziali fra le componenti dei tensori associati alle dette leggi. Tali sistemi constano talvolta di un enorme numero di equazioni alle derivate parziali del primo o del secondo ordine. Tuttavia la sopradetta conoscenza della semplice struttura dei tensori incogniti ed un appropriato procedimento di calcolo permettono di pervenire alle soluzioni in modo relativamente semplice, rispetto alle complessità che la questione offre a prima vista. Alcuni esempi vengono illustrati. Nel terzo capitolo si risponde in modo esauriente all’antica questione relativa all’indeterminazione della prima legge elementare diLaplace. Nel quarto capitolo si determinano le espressioni generali di particolari insiemi di leggi elettrodinamiche. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Maggiorazione degli integrali delle equazioni totalmente paraboliche alle derivate parziali del secondo ordine

Sunto. Si conseguono semplici formole generali maggioranti gli integrali, soggetti ad assegnate condizioni al contorno atte a determinarli, delle equazioni totalmente paraboliche alle derivate parziali del second'ordine in due o più variabili indipendenti. La ricerca offre numerosi nuovi risultati, fra i quali, per esempio, quelli concernenti il comportamento all'infinito degli integrali; il teorema d'unicità per l'annoso problema della propagazione del calore in un mezzo conduttore illimitato, senza l'aggiunta di ulteriori ipotesi — affatto estranee al punto di vista fisico — sul comportamento all'infinito delle derivate della soluzione; le condizioni atte a determinare ? in grande ? gli integrali delle equazioni lineari alle derivate parziali del primo ordine, ecc. Insignita del premio Tenore dall'Accademia Pontaniana di Napoli, nella seduta del 10 giugno 1928.     

L'indicatrice proiettiva dei funzionali lineari e i predotti funzionali proiettivi

Sunto. Poichè le funzioni di più variabili complesse presentano particolarità profondamente differenti da quelle di una variabile, si studiano i funzionali analitici lineari delle funzioni di più variabili mediante la loro ? indicatrice proiettiva ?, specialmente adatta a metterne in luce le più intime proprietà. Il valore del funzionale lineare per una funzioney viene così espresso mediante una nuova formazione (il ? prodotto funzionale proiettivo ? dell'indicatrice proiettivap per la funzioney variabile indipendente), la quale dipende bilinearmente e simmetricamente dalle due funzioni, e inoltre gode della notevole proprietà di restare invariata di fronte a tutte le coppie di trasformazioni proiettive duali che si effettuino contemporaneamente nei due spazi ove le due funzioni sono rispettivamente definite. Si mostra poi come il prodotto funzionale proiettivo possa calcolarsi, nel caso che le funzioni si decompongano in fattori, e infine si studiano alcuni operatori lineari (? monovalenti ?) e alcuni funzionali lineari (? abeloidi ?) particolarmente interessanti. Questi funzionali abeloidi, caratterizzati dal fatto di avere indicatrice proiettiva razionale, si calcolano infatti mediante integrali abeliani multipli e permettono l'integrazione di quasi tutte le equazioni a derivate parziali della fisica matematica (di quelle lineari e a coefficienti costanti). L'argomento di questa Memoria è stato sviluppato in una parte del mio corso di Alta Analisi del 1940–41, presso il Reale Istituto Nazionale di Alta Matematica.     

Sul problema di Cauchy per le equazioni a derivate parziali

Sunto Si considerano equazioni alle derivate parziali in più variabili indipendenti, lineari e non lineari, di ordine qualsiasi; si dimostrano teoremi di esistenza e unicità per il problema di Cauchy non caratteristico. Il metodo di questo lavoro consiste nel ricondurre il problema di Cauchy allo studio di una trasformazione in sé di uno spazio funzionale, strettamente connesso alle classi di Gevrey.

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Summary We consider linear and non linear partial differential equations of any order, in several independént variables. We prove some existence and uniqueness theorems for the non-characteristic Cauchy problem. Our method consist in the reduction of the Cauchy problem to a study of a mapping of a function space into itself; this function space is closely related to Gevrey classes.

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Questo lavoro fa parte dell'attività del gruppo di ricerca n. 23 del C.N.R.     

Proprietà topologiche della varietá degli elementi differenziali del secondo ordine dell'S r complesso

Sunto Si considera il modello V, di dimensione complessa 3r-2, della varietà degli elementi differenziali del secondo ordine di uno spazio proiettivo complesso S_r, costruito daG. Gherardelli, E. Bompiani, C. Longo. In questo lavoro tale modello viene considerato come varietà topologica a 2(3r-2) dimensioni reali e, mediante l'uso di un opportuno complesso cellulare, se ne determina il gruppo di omologia intera, assegnando altresì un semplice significato geometrico, nello spazio S_r, per i sistemi fondamentali di cicli delle varie dimensioni. Ne consegue, in particolare, che il gruppo di omologia di V è isomorfo a quello del prodotto di un S_r-1 per la varietà degli elementi di primo ordine di un S_r, in accordo con un risultato diF. Gherardelli ottenuto per altra via; ma si stabilisce d' altra parte che V non è, almeno in generale, omeomorfa a tale prodotto. Si prova, per inciso, che anche la varietá degli elementi di primo ordine di S_r, non è prodotto di un S_r-1 per un S_r, quantunque le due varietà abbiano anch'esse gruppi di omologia isomorfi. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico. Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo di ricerca n. 37 del C. N. R. per l'anno accademico 1960–61.     

Proprietà globali degli spazi analitici reali

Sunto In questo lavoro si prova che ogni spazio analitico reale coerente X, (con eventuali elementi nilpotenti), ammette un complessificato ed inoltre X ha in un sistema fondamentale di intorni che sono spazi di Stein. Da questo risultato segue la validità dei teoremi A e B per gli spazi analitici reali coerenti. Sia V^m una varietà complessa di dimensione m, σ : V^m → V^m un’antiinvoluzione, il il luogo dei punti fissi di σ è vuoto, oppure è una sottovarietà analitica reale di dimensione m. Da questo fatto e dal primo risultato si deducono dei teoremi di immersione degli spazi analitici reali in Rⁿ. Si prova infine che per ogni spazio analitico reale coerente (senza elementi nilpotenti) esiste una decomposizione in componenti irriducibili globali ed una normalizzazione. Lavoro eseguito nel Gruppo di ricerca n. 35 del Comitato Nazionale per la Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche per l’anno 1965–66.     

Lototsky-Schabl operators on the unit interval

In questo lavoro si studiano versioni uni-dimensionali degli operatori di Lototsky-Schnabl associati a proiezioni di Altomare. Si discutono la conservazione della monotonia, la convessità, le classi di Lipschitz ed il primo modulo di continuità. Si dimostra pure che, in condizioni molto generali, questi operatori convergono, in un senso opportuno, all'operatore classico di Szász, e si danno allo stesso tempo stime dell'ordine di approssimazione. Alcune delle proprietà si dimostrano utilizzando rappresentazioni probabilistiche degli operatori in termini di opportuni processi stocastici.     

Applicazione del metodo di Lighthill per la costruzione di flussi transonici retti dall’equazione di Tomotika e Tamada

Sunto L’A. indica come il metodo diLighthill per la costruzione di flussi transonici attorno ad ostacoli cilindrici in corrente uniforme all’infinito subsonica si possa applicare quando si faccia uso dell’equazione diTomotika eTamada per definire il flusso; questo metodo è molto utile quando è prescritta la forma dell’ostacolo, e quando la prora di questo è qualsiasi e la poppa non é a cuspide, casi in cui il procedimento ordinariamente seguito cade in difetto. Viene prima ottenuta una nuova espressione di un integrale particolare dell’ equazione diTomotika eTamada, e sono studiate le proprietà che l’integrale stesso presenta: fra l’altro è mostrato come questo possa esprimersi per mezzo di una serie assolutamente convergente comoda per le applicazioni numeriche, perchè ogni termine di essa contiene solo funzioni di cui esistono estese tabelle. Per questa ragione i risultati che qui si ottengono conservano il vantaggio della maggiore semplicità rispetto a quelli deducibili considerando come equazione del flusso quella diChaplygin. è mostrata infine l’applicazione del procedimento esposto alla deduzione del campo transonico attorno ad un ostacolo ? quasi circolare ?. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Sulle curve multiple risolubili prive di punti di diramazione

Sunto. In questo lavoro si presenta la costruzione di tutte le curve algebriche multiple risolubili di ordine primon, prive di punti di diramazione, cioè di tutte le funzioniz(xy), an valori, senza punti di diramazione su una curva dataf(xy)=0, che sono soluzioni di un'equazione algebrica, risolubile per radicali. Tale costruzione viene fatta determinando una funzione ausiliaria (risolvente)w(xy), senza punti di diramazione suf(xy)=0, a gruppo di monodromia risolubile, la qualew ha un numero di valori uguale all'ordine del gruppo. Si costruisce anzitutto, con relativa semplicità, una particolare classe di queste curve multiple; quindi, in base ad alcune considerazioni topologiche, notevoli per loro stesse, si mostra che la soluzione del problema si riduce alla costruzione fatta.     

Sulle origini del Calcolo di Ricci

Sunto Con riferimento alle due Memorie delRicci, citate nei Cap. I e II di questo lavoro, si mettono in evidenza quelle parti che hanno condotto ilRicci, per la prima volta, all' uso delle derivate covarianti d'una funzione rispetto al ds² d'una varietà riemanniana sulla risoluzione dei problemi che sono ivi posti. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico.     

On stationary Navier-Stokes flows in 2D semi-infinite channel involving the general outflow condition

Summary We consider the stationary Navier-Stokes equations in a certain type of semi-infinite channel under the general outflow condition. Assuming that the domain and the data are symmetric with respect to a straight line, the axis of symmetry, and that the axis intersects every component of the boundary, we show the existence of solutions and certain regularity properties of the solutions.

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Sunto In questo lavoro consideriamo le equazioni di Navier-Stokes stazionarie in un certo tipo di canali semi-infiniti sotto la condizione generale di outflow. Assumendo che sia il dominio sia i dati siano simmetrici rispetto ad una retta, l’asse di simmetria, e che questa retta intersechi ogni componente del bordo, mostriamo esistenza di soluzioni ed alcune proprietà di regolarità delle stesse.

     

Problemi di Cauchy e problemi ai limiti per equazioni di evoluzione del tipo di Schroedinger lineari e non lineari

Sunto Dopo aver fornito alcuni complementi ai risultati trovati nella parte I, si danno esempi di applicazione a problemi ai limiti per equazioni a derivate parziali del tipo di Schroedinger. Infine, si studia l’equazione di evoluzione di Schroedinger contenente un termine non lineare. Entrata in Redazione il 20 maggio 1968. Lavoro eseguito nell’ambito delle attività dei gruppi di ricerca del comitato per la matematica del C.N.R.     

On the Boltzmann system for a mixture of reacting gases

Exact analytical solutions to the nonlinear spatially homogeneous integro-partiaS differential Boltzmann system, governing the distribution functions of the rarefied gases of a given mixture in the presence of scattering, removal and chemical reaction effects, are derived upon the hypothesis of constant collision frequencies, BGK-type scattering and creation laws, and particles possessing only translational energy. Four classes of second-order chemical reactions are investigated together with the relevant continuity system for the number densities of the participating species.

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Sommario In questo lavoro vengono riportate soluzioni analitiche esatte del sistema integro-differenziale non lineare di Boltzmann, che definisce le funzioni di distribuzione di una miscela di gas rarefatti in presenza di effetti di scattering, di rimozione e di reazioni chimiche. Tre sono le ipotesi invocate, a precisamente: i) la costanza delle frequenze di collisione; ii) il modello di BGK per le leggi di scattering e di creazione, e iii) le particelle costituenti i gas considerati sono dotate di sola energia di traslazione. Vengono cosí studiate quattro classi di reazioni chimiche del secondo ordine insieme al corrispondente sistema di continuità per le densità delle specie partecipanti.

     

Global regularity estimates for multidimensional equations of compressible non-newtonian fluids

The present paper is devoted to the problem of global existence of sufficiently regular solutions to two- and three-dimensional equations of compressible nonnewtonian fluids. In the case of potential stress tensor, we develop the technique of derivation of energy identities that do not include the density derivatives. Basing on these identities, in the case of sufficiently fast-increasing potentials, we obtain an extended system of a priori estimates for the named equations. We also study the related problem of estimates for the solutions to non-linear elliptic system generated by stress tensor.

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Sunto Il presente lavoro è dedicato al problema dell’esistenza globale di soluzioni sufficientemente regolari delle equazioni del moto di fluidi comprimibili non-Newtoniani in due e tre dimensioni. Nel caso di tensore degli sforzi potenziale, viene sviluppata una tecnica per la derivazione di identità dell’energia che non includono derivate della densità. Basandosi su tali identità, nel caso di potenziali che crescono abbastanza rapidamente viene ottenuto un sistema esteso di stime a priori per le equazioni del moto. Viene inoltre studiato il problema correlato delle stime di soluzioni di sistemi ellittici non lineari generati dal tensore degli sforzi.

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This work is supported by Russian Foundation for Basic Research (Grant 99-01-10817), Cariplo Foundation and Volta Center of Landau Society.     

OnT-accretive operators

Sunto Sono date condizioni su alcuni operatori differenziali che assicurano la T-accretivita negli spazi L^v.

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Entrata in Redazione il 3 settembre 1971.

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Durante lo svolgimento di questo lavoro, l’autore ha usufruito di una borsa di studio presso l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del C.N.R., Roma.     

Le coordinate intrinseche e l’integrazione delle equazioni della meccanica dei continui

Sunto Dopo aver definito le coordinate intrinseche in una generica varietà riemanniana viene costruita una variazione del tensore fondamentale che lascia invariate le coordinate stesse. Viene quindi dimostrato che la conoscenza di questa deformazione rende possibile la costruzione di un tensore doppio simmetrico avente data divergenza: cioè fornisce un integrale particolare delle equazioni della statica dei continui comunque curvi a due e tre dimensioni, in presenza di forze di campo. Viene inoltre mostrato che tale integrale particolare serve per costruire l’integrale generale delle equazioni stesse, e delle analoghe in assenza di forze di campo. Si può ottenere così anche l’integrale generale delle equazioni della dinamica dei continui negli spazi-tempo della Relatività generale. Entrata in Redazione il 19 aprile 1971.     

Global in time solutions for the Poiseuille flow of Oldroyd type in 3D domains

A Poiseuille flow in a 3D cylindrical domain is considered for a non-newtonian fluid of Oldroyd type. We prove existence (and uniqueness) of a global (in time) weak solution. Moreover, this weak solution is a strong solution when data are more regular. These results have already been obtained in the case of two concentrical cylinders ([3]). Now, we consider an extension to an unique cylinder. Then, a mixed parabolic-hyperbolic PDE's system appears but the parabolic equation is of degenerate type. The key of the proofs is to estimate in appropriate Sobolev weighted spaces (and to obtain strong convergence in weak norms by means of a Cauchy argument).

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Sunto In questo lavoro viene considerato il moto di Poiseuille in un dominio cilindrico tridimensionale per un fluido non-Newtoniano tipo Oldroyd. Viene dimostrata l'esistenza e l'unicità di una soluzione debole, globale nel tempo. Inoltre, questa soluzione debole diviene forte quando i dati diventano più regolari. Questi risultati sono già noti nel caso del dominio tra due cilindri concentrici ([3]). Qui consideriamo l'estensione ad un unico cilindro. Si ottiene, in questo caso, un sistema di equazioni alle derivate parziali misto parabolico-iperbolico, dove l'equazione parabolica è però di tipo degenere. Il punto chiave delle dimostrazioni consiste nel fornire delle stime in un appropriato spazio di Sobolev pesato ed ottenere convergenza forte nelle norme deboli mediante un argomento alla Cauchy.

     

Su una particolare classe di funzioni tensoriali di un tetravettore e sulla conseguente interpretazione dell'elettromagnetismo diMaxwell-Lorentz

Sunto Si estende dapprima allo spazio euclideo a quattro dimensioni e poi allo spazio-tempo pseudoeuclideo la particolare classe di funzioni tensoriali di un vettore che, in una memoria precedente dello stesso autore, era stata considerata limitatamente allo spazio euclideo tridimensionale. Tali tensori godono della proprietà che al mutare del sistema di riferimento le espressioni analitiche delle nuove componenti del tensore, scritte rispetto alle nuove componenti del vettore, conservano l'invarianza formale. L'analisi di tali funzioni tensoriali mette in evidenza che le espressioni analitiche delle loro componenti risultano indeterminate a meno di un piccolo numero di funzioni del solo modulo del vettore, chiamate funzioni di distanza (f. d. d.). Dall' attuale analisi risulta che il numero delle f. d. d. atte ad individuare un tensore dello stesso ordine diminuisce con l aumentare del numero delle dimensioni dello spazio. Così per il tenore del 2⁰ ordine si hanno tre funzioni di distanza nell' S₃ e due nell' S₄. Per il tensore del 3⁰ ordine si hanno 7 f. d. d. nell' S₃ e 5 nell' S₄. Il tensore q_{l, m, n} emisimmetrico negli indici l ed n è individuato nello spazio-tempo da una sola f. d. d. Nell' ultima parte della memoria si cerca un' interpretazione dell' elettromagnetismo di Maxwell-Lorentz mediante le dette funzioni tensoriali nello spazio-tempo. Si compone il detto tensore emisimmetríco q_{l, m, n} con il tetraelemento di linea oraria percorsa da una carica puntiforme in moto e si integra lungo la linea oraria. Il detto tensore q_{l, m, n} è funzione, appartenente alla classe in considerazione, del tetrasegmento che unisce il punto-evento in cui si trova la carica con il punto-evento in cui si vuole calcolare il campo elettromagnetico da essa generato. Scegliendo opportunamente l' unica f. d. d. che individua q_{l, m, n} è possibile ottenere il tensore elettromagnetico generato dalla carica. Si riesce così ad isolare l' aspetto geometrico dell' elettromagnetismo di Maxwell-Lorentz dall'aspetto analitico, che consiste nella particolare f. d. d. del tensore elettromagnetico q_{l, m, n}.     

Sopra una classe di equazioni ellittiche a coefficienti misurabili

Sunto Si considera una equazione lineare a derivate parziali di tipo ellittico del secondo ordine, a coefficienti reali misurabili. Con una ipotesi conveniente sugli autovalori della forma quadratica associata, si dimostrano una limitazione a priori per soluzioni dotate di derivate seconde di quadrato sommabile, e un teorema di esistenza-unicità per il problema di Dirichlet. Questo lavoro fa parte dell'attività del gruppo di ricerca n. 23 del C. N. R., a. a. 1964–1965.