Evaluation of the elastic and plastic theories as components of a general doctrine of analysis and design of metal structures

Summary A general method is developed to evaluate the nonstationary response of a linear damped system subjected to a random excitation which is represented as the product of a modulating deterministic function and a white noise process. An approximate solution method is presented first by means of a step-by-step procedure; then this method is shown to be able to generate a differential equation for the time variation of the mean square response. Stability and accuracy of the step-by-step procedure are discussed in detail, and compared with other methods. Extension to multidegree of freedom and nonlinear systems are discussed.

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Sommario Viene sviluppato un metodo per il calcolo del valore quadratico medio di un sistema lineare eccitato da forzanti aleatorie localmente stazionarie con densità spettrale di potenza uniforme. Viene dapprima presentata una procedura di tipo passo-passo; con passaggio al limite si ottiene un'equazione differenziale che definisce il modo con cui varia il valore quadratico medio al variare del tempo. Viene discussa in dettaglio altresi l'accuratezza e la stabilità della procedura al passo. Infine si estende il metodo ai sistemi a più gradi di libertà e a quelli non lineari.

     

Breakup régimes and self-sustained pulsations in coaxial jets

We report on a new flow pattern transition observed in a coaxial jet configuration. Above a critical momentum ratio between the outer and the inner stream, it is found experimentally that the inner potential core breaks down into an unsteady recirculation bubble. The origin of the transition is explained and an expression for the critical velocity ratio is derived. The nature and the features of the pulsation of the bubble are discussed using an original evolution equation which relies on the interplay between the linear growth rate of the jet mixing layer disturbances and the recirculating flow induced delay of the non-linear saturation.

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Sommario In questo articolo si discute di un nuovo tipo di transizione di flusso osservata in una configurazione di getto coassiale. Si stabilisce sperimentalmente che il potenziale interno disgrega la parte interna del flusso in una ricircolazione instabile a bolla oltre un valore critico nel rapporto tra la corrente interna e quella esterna. Viene spiegata l'origine della transizione e viene derivata l'espressione della velocità critica. Sono discusse, inoltre, la natura e le caratteristiche della pulsazione della bolla, avendo a disposizione una equazione di evoluzione originale che evidenzia l'influenza reciproca tra la crescita lineare dei disturbi dello strato di mescolamento del getto ed il flusso ricircolante, che induce il ritardo della saturazione non-lineare.

     

Evolution law of a weak discontinuity crossing a non characteristic shock in a non-linear dielectric medium

Summary Transmission and reflection of an electromagnetic discontinuity wave colliding with a non characteristic shock in a dielectric medium with non-linear constitutive equation is analyzed in the case of polarized fields depending on one space variable and time. The transmitted and reflected amplitudes are obtained; the evolution law of the transmitted discontinuity is integrated for propagation through a constant state and the appearing of a new value of the critical time is discussed.

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Sommario Viene analizzata la collisione di un'onda elettromagnetica di discontinuità con un urto non caratteristico in un mezzo dielettrico avente equazione costitutiva non lineare, per campi polarizzati e dipendenti da una sola variabile spaziale e dal tempo. Vengono ricavate le ampiezze trasmessa e riflessa. Si integra poi la legge di evoluzione della discontinuità trasmessa nel caso della propagazione in uno stato costante e si discute la comparsa di un nuovo valore per il tempo critico.

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Lavoro eseguito durante il godimento di una borsa di studio nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

Self-Excited Wind-Induced Vibrations and Limit Cycles in Bundled Conductors

Abstract. Wake-induced oscillations on bundled conductors of overhead transmission lines are investigated. These oscillations are due to the leeward conductor lying in the wake of the windward one. We consider a twin horizontal bundle of overhead lines. First of all, the critical wind velocity (bifurcation point) of incipient flutter is identified [3, 4]. A nonlinear analysis is adopted to investigate the post-bifurcational behaviour of the oscillations. Using, if necessary a reduction to the center manifold, and an additional normal form transformation we obtain amplitude equations which can be analyzed qualitatively with regard to the unfolding parameters.Sommario: Vengono studiate le oscillazioni indotte dal distacco di scia in fasci di conduttori di linee di trasmissione sospese. Queste oscillazioni sono presenti nel conduttore sottovento che giace nella scia del conduttore sopravvento. In particolare viene considerato il caso di una coppia di conduttori disposti orizzontalmente. Prima di tutto, viene identificata la velocità critica del vento (punto di biforcazione) dovuta al flutter incipiente [3, 4]. Viene utilizzata un'analisi non lineare al fine di valutare il comportamento post-biforcativo delle oscillazioni. Usando, se necessario, una riduzione alla varietà centrale e un'addizionale applicazione del metodo della forma normale, si ottengono equazioni nelle ampiezze che possono essere analizzate in modo qualitativo con riferimento ai parametri essenziali.     

Solution to the boltzmann equation for monoenergetic neutrons in a slab

Summary This paper presents a physical solution to the linear integro-differential Boltzmann equation, which governs the stationary distribution of the flux of monoenergetic neutrons in the interior and at the boundary of an infinite slab of finite thickness. Results for both the angular and the total fluxes are obtained by properly accounting for the boundary conditions of the problem and by a Fourier transform of the original Boltzmann equation. An integral linear Fredholm equation for the Fourier transform of the total flux is thus derived. The solution of such an equation is given two different representations according to the two decompositions devised for the given Fredholm kernel. The solution obtained in each case is finally inverted termwise to yield the sought total flux in the original space. The result for the angular flux follows, then, directly from the result for the total flux.

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Sommario In questa nota viene costruita una soluzione fisica dell'equazione integro-differenziale lineare di Boltzmann, che, in regime stazionario, regola la distribuzione del flusso di neutroni monoenergetici all'interno di una lastra piana di spessore finito. Risultati per la distribuzione sia del flusso angolare che totale vengono ottenuti tramite una trasformazione di Fourier dell'equazione integro-differenziale di partenza, in cui le condizioni al contorno del problema vengono opportunamente incorporate. Si perviene in tal modo ad una equazione integrale lineare di Fredholm per la trasformata di Fourier del flusso totale. Della soluzione di questa equazione vengono date due diverse rappresentazioni, che corrispondono a due possibili decomposizioni del nucleo dell'equazione stessa. In ciascuno dei due casi la soluzione ottenuta viene quindi antitrasformata termine a termine per riprodurre il flusso totale nello spazio originale. Dal risultato per il flusso totale segue poi direttamente quello del flusso angolare.

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Work performed under contract C.N.R.     

Vibrations,stability and general solution for the duffing and other non linear equations

Summary A general procedure is developed in order to calculate the vibratory motions of non linear systems with one degree of freedom. The vibration is considered as an infinite sequence of increasing and decreasing half-waves, for each of wich time and deplacement are considered as initial data, with initial velocity zero. Recurrent formulae giving the initial data for each half-wave as a function of those relative to the preceeding half-wave are calculated. This procedure is applied to the Duffing equation and leads to study of the powers of a matrix, whose behaviour, when the exponent goes to infinity, determines the character of stability or instability or asymptotic periodicity of the solution.

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Sommario Viene impostata una metodologia generale atta a calcolare i moti vibratori dei sistemi non lineari con un grado di libertà. Il moto vibratorio viene considerato come una successione infinita di semionde crescenti e decrescenti, per ciascuna delle quali il tempo e lo spostamento vengono considerati come dati iniziali, con velocità iniziale nulla. Vengono poi ricavate le formule ricorrenti che forniscono i dati iniziali di ogni semionda in funzione di quelli relativi alla precedente. Il procedimento viene applicato alla equazione di Duffing e porta allo studio delle potenze di una matrice, il cui comportamento quando l'esponente tende ad infinito determina il carattere di stabilità, o instabilità, o periodicità asintotica della soluzione.

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This research was conductes as an activity of the Italian Research Council, C.N.R., G.N.F.M.     

Absence of turbulence in a unidimensional model of fluid motion (Burgers model)

Summary We study a quasilinear partial differential equation which is a classical unidimensional model of fluid motion (Burgers equation). We consider the problem in a finite interval with stationary boundary conditions. The aim is to see whether the model shows transitions in the asymptotic behaviour as viscosity varies. We show that there is always a unique stationary solution, which is explicitely exhibited, and, by using the Hopf-Cole transformation, that it is globally attractive for any value of the viscosity, both in the homogeneous and inhomogeneous case.

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Sommario In questo lavoro si considera un classico modello unidimensionale della fluidodinamica, consistente in un'equazione alle derivate parziali parabolica quasilineare (equazione di Burgers). Si considera il problema in un intervallo con condizioni al contorno stazionarie. L'intento è quello di indagare se il modello presenta transizioni nel comportamento asintotico al variare della viscosità. Facendo uso della trasformazione di Hopf-Cole si trova che la soluzione stazionaria (che viene calcolata esplicitamente) è globalmente attrattiva per ogni valore della viscosità, sia nel caso omogeneo che in presenza di una forza.

     

Stress and strain fields produced by a heat source in a plane with an elliptic hole

Summary A report on the steady-state stress and displacement fields arising in an indefinite, elliptically-holed cilindrical body containing a line heat source. The case of an adiabatically-walled hole is examined and some numerical results are given for this as well as for the case of hole with a constant-temperature surface.

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Sommario Vengono determinate le tensioni e le deformazioni che nascono in un corpo cilindrico indefinito, con un foro ellittico, per effetto di una sorgente lineare di calore di intensità costante. Si esamina il caso del foro con parete termicamente non conduttrice e si danno alcuni risultati numerici sia per tale caso, sia per il caso del foro con parete a temperatura uniforme.

     

Boundary conditions at a liquid-vapor interface

Summary The principles of conservation of mass, momentum, and energy require that certain relationships between the flow fields be satisfied at a liquid-vapor interface. These relationships are derived in a unified way from a generalization of Kotchine's theorem which includes explicitly surface sources for momentum and energy. The case of a multi-component mixture is also considered. Finally, other boundary conditions required to obtain the full solution to a liquid-vapour flow problem are outlined and discussed. Our results are applicable to other fluid-fluid interfaces as well.

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Sommario I principi di conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia richiedono che esistano relazioni ben definite fra i campi di densità, velocità, pressione e temperatura alla superficie di separazione fra un liquido e il suo vapore. In questo studio tali relazioni vengono derivate a partire da una generalizzazione del teorema di Kotchine in cui si tiene conto esplicitamente delle sorgenti superficiali per la quantità di moto e l'energia. Viene anche discusso il caso in cui sia presente più di una specie chimica. Infine, si considerano e si discutono le altre condizioni al contorno necessarie per ottenere la soluzione completa di un problema coinvolgente simultaneamenta la fase liquida e quella di vapore.

     

Derivation of a non-linear model equation for wave propagation in bubbly liquids

Summary Though the use of an asymptotic approach, it is deduced a fourth order partial differential equation governing the evolution of nonlinear (sound) wave propagation in bubbly liquids. Remarkably it involves also higher order nonlinear terms. Some results concerning the steady-state solution as well as the dispersion relation are obtained.

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Sommario Mediante l'usa di uno schema asintotico viene dedotta una equazione differenziale alle derivate parziali del quarto ordine, atta a descrivere l'evoluzione di un'onda non lineare propagantesi con la velocità del suono in un liquido con bolle. Tale equazione in particolare presenta delle non linearità anche nette derivate di ordine più elevato. Infine vengono discussi alcuni risultati numerici connessi con la ricerca di soluzioni del tipo onda stazionaria e con la relazione di dispersione.

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This work was supported by M.P.I. through Fondi per la ricerca scientifica 40% e 60%.     

On the motion of conductive,homogeneous and isotropic elastic bodies in the presence of a magnetic field

Summary This paper deals first with the equations of motion of a conductive, homogeneous and isotropic elastic body subjected not only to externally applied mass forces and surface forces, but also to a uniform magnetic field, in which an induced magnetic field is generated.On the assumption that the electrical conductivity is infinite, the problem of motion is reduced to the consideration of a single differential vector equation in which the displacement of a point in the elastic body is the only unknown. The conditions that must be satisfied at the surface are then considered.Using the generalised formula of Kirchhoff, formulas expressing the Cartesian components of the displacement, the cubic dilatation and the rotation components are established by means of the so-called fundamental elements.

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Sommario In questo lavoro si considerano innanzitutto le equazioni del moto di un corpo elastico omogeneo isotropo, elettricamente conduttore, soggetto, oltre che a forze di massa e superficiali generiche, anche a un campo magnetico uniforme, e nel quale si genera un campo magnetico indotto.Nell'ipotesi di conducibilità elettrica infinita il problema di moto si riduce alla considerazione di una sola equazione differenziale vettoriale indefinita in cui è incognito il solo spostamento di un punto del corpo elastico. Vengono stabilite successivamente le condizioni che devono essere verificate in superficie.Utilizzando poi la formula generalizzata di Kirchhoff, si stabiliscono delle formule di rappresentazione delle componenti cartesiane dello spostamento, della dilatazione cubica e delle componenti della rotazione, per mezzo dei cosidetti elementi fondamentali.

     

Generalized wavefront expansion properties and limitations

Summary The properties of an asymptotic method for the study of the propagation of weak shock waves in hyperbolic systems are examined in detail in the simple case of the single nonlinear wave equation in one space dimension. The general features of the method are briefly recalled and a comparison between the results obtained by this method and the exact solutions obtained by the shockfitting technique is made. Under appropriate regularity assumptions the method provides an approximation of the exact solution of the desired order for short times.

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Sommario Le proprietà di un metodo asintotico per lo studio della propagazione di onde d'urto deboli in sistemi iperbolici sono esaminate in dettaglio nel semplice caso della singola equazione d'onda non lineare in una dimensione spaziale. Sono richiamate brevemente le caratteristiche generali del metodo e viene fatto un confronto fra i risultati ottenuti con questo metodo e le soluzioni esatte ottenute con la tecnica dello shock-fitting, Sotto opportune ipotesi di regolarità il metodo fomisce una approssimazione della soluzione esatta, all'ordine desiderato per piccoli tempi.

     

Analysis and design of circular plates using the workhardening adaptation criterion

Summary A unified approach to both analysis (maximum load multiplier) and optimal design problems for workhardening adaptation of axialsimmetric plates is presented, via a continuous approach. The loads are assumed to arbitrarily vary but in a quasi-static manner and remaining inside a given convex loading domain. In such a framework, the assessment of the plastic deformations developed during the actual (a priori unknown) loading history is crucial, since these deformations may result to be excessive with respect to some given ductility criteria, eventhough workhardening adaptation has occured. The bounds on plastic deformations are formulated by means of a quadratic but convex function depending on some fictitious plastic strain. The nonlinear mathematical programming problem so obtained is linearized by a suitable decomposition of the nonlinear constraint into two equivalent constraints. The analysis problem is identified as a linear constrained maximization problem. The optimal design problem in the presence of limited ductility constraints, is identified as a nonlinear constrained minimization problem, the nonlinearity being due to both the objective function and to one only of the constraints: the latter however are herein shown to be suitably linearized. The optimality conditions of the mathematical programming problem are also studied and discussed, and the theory is applied to a case-study structure.

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Sommario Si studiano l'analisi (determinazione del moltiplicatore al collasso) ed il progetto ottimale di piastre radialsimmetriche di materiale rigido-plastico, assumendo come criterio base l'adattamento per incrudimento ed utilizzando un modello continuo. I carichi sono variabili in modo quasistatico all'interno di un dato dominio. In tale studio si riconosce il ruolo cruciale giocato dalla valutazione dell'entità delle deformazioni plastiche, sviluppate durante la (incognita) storia di carico reale, deformazioni che possono risultare eccessive rispetto a certi requisiti, anche in presenza di adattamento. Viene quindi ricercata una maggiorazione a priori delle deformazioni e si perviene ad una forma di tipo non lineare; il vincolo non lineare che ne scaturisce viene sdoppiato in due vincoli più semplici ad esso equivalenti. La formulazione del problema di analisi si identifica in un problema lineare di massimo vincolato. La formulazione del problema di progetto si identifica in un problema di minimo vincolato, con funzione obiettivo e vincoli non lineari, ma facilmente linearizzabili. Si studiano anche le condizioni di ottimalità del problema di progetto. Una applicazione conclude il lavoro.

     

Strange nonlinear behaviour governed by a set of four averaged amplitude equations

Oscillations of a string-type generator with a time-delay amplifier are studied. Nonlinear dynamics of this system is governed by a set of partial, ordinary and integral equations with a time delay. First, an analytical perturbation method (supported by symbolic computation) which yields the averaged amplitude equations (AVE) is presented and then the amplitude equations are analysed numerically, showing some surprising phenomena.

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Sommario Si studiano le oscillazioni di un modello elettromeccanico monodimensionale con amplificatore. La dinamica non lineare del sistema è retta da un sistema di equazioni misto (alle derivate parziali, ordinaria e integrale) con un ritardo temporale. Viene presentata dapprima una procedura analitica perturbativa (supportata dalla manipolazione simbolica) che fornisce le equazioni di modulazione dell' ampiezza con il metodo della media; successivamente, si analizzano numericamente tali equazioni evidenziando alcuni interessanti fenomeni dinamici.

     

Biaxial stress effects on the elastic-plastic crack-tip displacement fields

Summary A plane stress, finite element analysis of the monotonic loading of a Mode I stationary crack under small scale yielding using a boundary layer approach is presented. A small-strain,J ₂ plasticity theory is used in conjunction with a linear hardening material model. The effects due to the inclusion of the non-singular elastic T-stress in the asymptotic boundary conditions on the elastic-plastic fields near the tip are investigated. This parameter, which accounts for the inherent biaxial stress state at a crack tip, is found to control extension and state of deformation of the plastic zone. The full-field numerical solutions are also used to simulate moirè interferometric fringe patterns in order to assess earlier detailed experimental observations.

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Sommario Viene presentato uno studio agli elementi finiti con un approccio allo strato limite del caricamento monotono seconda il Modo I di una fessura stazionaria in condizioni di stato di tensione piana e plasticità contenuta. Viene esaminata in particolare l'influenza che la componente tensionale elastica trasversale nonsingolare (i.e. T-stress) delle condizioni al contorno ha sullo stato di sollecitazione elasto-plastica all'apice della fessura. Si osserva che questo parametro dello stato di biassialità all'apice di fessure controlla sia l'estensione della zona plastica che lo stato deformativo al suo interno. Le soluzioni numeriche vengono inoltre impiegate per simulare sistemi di frange moirè interferometriche fornendo così un utile strumento di confronto con precedenti risultati sperimentali.

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Portions of this paper are included in the Proceedings of 9.th Congress of AIMETA, Bari, 1988.     

Some examples of nonuniqueness of solutions to the equation of linear elastodynamics

Sunto Si mostra, tramite esempi, come l'equazione che governa il moto di un corpo linearmente elastico unidimensionale possa ammettere, nell'ipotesi che il rapporto tra i campi di elasticità e densità diverga in un punto del corpo, infinite soluzioni corrispondenti ad una stessa assegnazione dei dati iniziali ed al contorno e delle forze.     

Kinematics of single-loop mechanisms and serial robot arms: A systematic approach

This paper presents a systematic approach, based on displacement group properties, to the kinematic analysis of spatial linkages with one closed loop and to the solution of the inverse kinematic problem for robot manipulators. By using the proposed approach, a set of kinematic chains can be determined such that a first closure equation with one unknown can be derived directly and explicitly. Then the remaining closure equations are obtained: it is proved that they can be expressed in triangular form. The basic algorithms used to solve these equations in closed form are also presented. For each algorithm, the conditions of applicability, the initial information required, the results, the type and form of equations, and the maximum number of solutions are given. The proposed approach is well suited to the symbolic explicit solution of the inverse kinematic problem of a wide range of robut mechanisms. An example of its application is given.

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Sommario Il lavoro presenta un appreceio sistematico, basato sulle proprietà dei gruppi di spostamento, all'analisi cinematica di posizione di meccanismi spaziali ad una maglia e alla cinematica inversa di robot manipolatori seriali. L'approccio consente di determinare un insieme di catene cinematiche per le quali può essere scritta e risolta direttamente una prima equazione di chiusura in una sola incognita. Viene successivamente dimostrato esaustivamente che, per tali catene, le successive equazioni di chiusura possono essere espresse e risolte in forma triangolare. Inoltre sono presentati gli algoritmi di base utilizzabili per la soluzione del problema posto. Per ciascuno di essi sono dati: le condizioni di applicabilità, l'informazione iniziale richiesta, i risultati ottenuti, il tipo e la forma delle equazioni e il massimo numero di soluzioni possibili. L'approccio presentato è utilizzabile per la soluzione simbolica esplicita, manuale o automatica, di un esteso insieme di meccanismi per robot. Viene dato un esempio di uso del metodo.

     

Creep and relaxation in thick-walled shrink-fitted cylinders

Summary We deal with the problem of time dependent stresses and, particularly, of the contact pressure in two thick-walled coaxial shrink-fitted cylinders, when neither of the two elements is rigid.We apply Rabotnov's phenomenological theory of creep in such a way that the integral equation, which gives the time dependent ratio between the contact pressure at a given moment and the starting pressure, is linear. We assume no volume deformation and a plane state of strain.We give the explicit solution in three examples both for an elastic inner cylinder and for a viscoelastic one, solving the integral equations of the problem both by quadratures and by the Laplace transformation inverting the transforms by a numerical method[21].

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Sommario Si affronta il problema della ricerca dell'andamento nel tempo delle tensioni e, in particolar modo, della pressione di contatto in un accoppiamento forzato tra due cilindri cavi coassiali nel caso che nessuno dei due elementi sia rigido.Si applica la teoria fenomenologica per lo scorrimento viscoso del Rabotnov in un modo tale per cui l'equazione integrale, che dà l'andamento nel tempo del rapporto tra la pressione di contatto in un dato istante e la pressione iniziale, è lineare. Si considera nulla la variazione di volume e piano lo stato di deformazione.Si dà la soluzione esplicita in tre esempi per cilindro interno sia elastico sia viscoelastico, risolvendo le equazioni integrali del problema sia per quadrature sia con l'uso della trasformata di Laplace trovando l'antitrasformata con un particolare metodo numerico di inversione[21].

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The shakedown load boundary of an elastic-perfectly plastic structure

In the hypothesis of small displacements and combined time-variable/steady loads, the geometrical-mechanical properties of the shakedown load boundary are investigated. It is shown that, in the load space, the shakedown load boundary plays the role of yield surface, and that a certain plastic strain accumulation vector—characterizing some impending inadaptation collapse mechanism—obeys the normality rule, whereas a specific form of the maximum plastic work theorem constitutes an effective tool for the evaluation of the shakedown limit load corresponding to a specified inadaptation collapse mode. The equations governing the state of the structure at the shakedown limit are provided and the related collapse mechanism is shown to specify the shape of the steady-state response of the structure to a periodic load enveloping the load domain with an intensity slightly above the shakedown limit.

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Sommario Nell'ipotesi di piccoli spostamenti e di plasticità perfetta, si studiano le proprietà geometrico-meccaniche della frontiera del dominio dei carichi di adattamento. Si mostra come, nello spazio dei carichi, la suddetta frontiera giuoca il ruolo di superficie di plasticizzazione ed un particolare vettore di deformazione plastica accumulata—che caratterizza il meccanismo di non adattamento—segue la legge della normalità, mentre una forma specifica del teorema del massimo lavoro plastico costituisce un valido strumento per la valutazione del carico limite corrispondente ad un dato meccanismo di non adattamento. Si forniscono altresì le equazioni che governano lo stato della struttura al limite di adattamento, mostrando la capacità del relativo meccanismo di collasso a rappresentare la risposta a lungo termine della struttura a dei carichi periodici inviluppanti il dominio dei carichi con una intensità un poco al di sopra del limite di adattamento.

     

Finite element incremental analysis of elastoplastic plate bending

Summary The paper discusses the numerical solution of the elastoplastic bending of plates with any polygonal boundary subject to a generic load and to distributed dislocations.For the discretization of the plate Herrmann's and Hellan's constant moment triangular equilibrium model has been chosen. Compatibility is imposed through a minimum principle, proposed by Capurso and Maier, which can be considered a generalization of the minimum complementary energy principle for elastoplastic workhardening continua allowing for distributed dislocations.By means of a completely automatic computation program, the cases of simply supported and clamped square plate under uniformly distributed load and under central concentrated load are solved. Present results are partly compared with existing solutions.

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Sommario Viene studiato il problema della flessione di una piastra a contorno poligonale qualsiasi costituita da materiale elastico-incrudente e sottoposta ad un carico generico e a distorsioni diffuse. Per la discretizzazione della piastra viene scelto il modello triangolare equilibrato a momento costante di Herrmann e Hellan. La congruenza viene imposta attraverso un principio di minimo proposto da Capurso e Maier che può essere riguardato come la generalizzazione del principio della minima energia complementare per materiali elastico-incrudenti in presenza di distorsioni diffuse.Viene sviluppato un programma di calcolo automatico, che stende sulla piastra un reticolo di densità prefissata, numera e collega fra di loro nodi, lati e triangoli. In tal modo il programma genera le condizioni di equilibrio nodale e costruisce la funzione dell'energia da minimizzare. Vengono risolti, per il confronto con le soluzioni esistenti i casi di piastra quadrata semplicemente appoggiata e incastrata al contorno sottoposte a carico uniforme e ad una forza concentrata nel centro.

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This study forms part of a research program supported by the National (Italian) Research Council (C.N.R. Gruppo Problemi avanzati di ingegneria strutturale).