Über dasGrammelsche Verfahren bei Eigenschwingungsaufgaben

Zusammenfassung Zu denGrammelschen Gleichungen für die näherungsweise Bestimmung von Eigenwerten gelangt man auf zwei Wegen, entweder über die quellenmäßige Darstellung des Problems, d.h. über eine Integralgleichung oder über ein System von endlich vielen linearen Gleichungen, die man in bestimmter Weise umformt, — oder über die Differentialgleichung und ein besonderes Variationsprinzip, das an eine Eigenschaft derSchwarzschen Quotienten anknüpft. In der vorliegenden Arbeit ist ein dritter Zugang zu denGrammelschen Gleichungen angegeben, wenigstens für einläufige eindimensionale Schwinger: Man führt das zum Schwinger widerstandsreziproke Gebilde ein und wendet darauf dasHamiltonsche Prinzip an. Damit ist gegenüber den ersten beiden Verfahrensweisen einerseits der Anwendungsbereich derGrammelschen Gleichungen erweitert, da dasHamiltonsche Prinzip als Grundgesetz der Mechanik auf wesentlich weniger Voraussetzungen aufbaut als die mathematische Eigenwerttheorie (die dafür allerdings dann auch genauere Aussagen über den Näherungscharakter der Lösung machen kann); andererseits wird die Betrachtung auf einläufige, eindimensionale Schwinger eingeschränkt. Bei der Durchführung der Überlegungen zeigt es sich, daß durch die Art der Randbedingungen entschieden wird, welches Verfahren bei der Lösung des Eigenwertproblems im Rahmen der technischen Genauigkeitsansprüche den Vorzug verdient. Es ist dies in den meisten Fällen dasGrammelsche: Verfahren. Soweit aber Erschwerungen auftreten, kann man stets mit mehrgliedrigenRitz-Ansätzen zum Ziele kommen, da Koordinatenfunktionen, wie sie vomHamiltonschen Prinzip gefordert werden, stets angegeben werden können.     

The plane frictionless contact of two elastic bodies — the inclusion problem

Summary The mixed boundary value problem of the contact of two plane elastic bodies of arbitrary shape is solved for zero friction in their contact zone. It is reduced to a system of four singular integral equations referred to the contact zone and the remaining parts of the boundaries of the two bodies. The system is complemented by two more equations derived from the single-valuedness of the displacements along the contact boundaries. The solution of these equations yields the distribution of the contact stresses and the contact length. The method is applied to the symmetric case of an infinite elastic plate containing an oversized elastic inclusion, with and without axial forces applied to the plate at infinity. The evolution of contact relaxation and the progress of the gap between the inclusion and the plate is also given.

---

Der ebene reibungslose Kontakt von zwei elastischen Körpern — Das Problem der Einlagerung

Übersicht Das gemischte Randwertproblem der Berührung zweier ebener elastischer Körper von beliebiger Form wird im Falle verschwindender Reibung in der Kontaktzone gelöst. Das Problem wird reduziert auf ein System von vier singulären Integralgleichungen, welche sich auf die Kontaktzone und die übrigen Ränder der zwei Körper beziehen. Das System wird mit zwei weiteren Gleichungen vervollständigt, welche von der Eindeutigkeit der Verschiebungen längs der berührenden Ränder hergeleitet werden. Die Lösung dieser Gleichungen gibt die Verteilung der Kontaktspannungen und die Kontaktlänge. Die Methode wird auf den symmetrischen Fall einer unendlichen elastischen Platte (mit und ohne axiale Kräfte auf den unendlich fernen Rändern), welche eine elastische Einlagerung mit Übermaß enthält, angewandt. Die Entwicklung der Kontaktauflösung und der Vorschrift der Lücke zwischen Einlagerung und Platte werden mit Hilfe der Lösung obiger Gleichungen angegeben.

     

A dynamic model for a Timoshenko beam in an elastic-plastic state

Summary In this paper, equations which describe the propagation of elastic-plastic waves of combined stress resultants in a Timoshenko beam under symmetrical bending and tension or compression are derived. It is assumed that the beam material exhibits a weak work-hardening and strain-rate independent behaviour. The normality rule is postulate for the plastic strain rates of an infinitesimal volume element. The wave propagation is described by a hyperbolic system of differential equations, the state variables of which are the stress resultants and the strain rates of an infinitesimal beam element. It is shown that the actual distribution of shear stress in the plastic range need not be taken into account by means of a plastic shear correction factor.

---

Ein dynamisches Modell für einen Timoshenko-Balken im elastisch-plastischen Zustand

Übersicht Diese Arbeit stellt ein Modell vor, das die Ausbreitung von elastischen und plastischen Wellen kombinierter Schnittgrößen in dynamisch hochbeanspruchten Balken unter gerader Biegung und Normalkraft beschreibt. Das Werkstoff-verhalten wird als schwach verfestigend und zeitunabhängig angenommen. Die Normalitätsregel wird für die plastischen Verzerrungsgeschwindigkeiten eines Volumenelements postuliert. Die Ausbreitung der Wellen wird durch ein hyperbolisches System von Differentialgleichungen beschrieben, dessen Zustandsvariablen die Schnittgrößen und die Formänderungs-geschwindigkeiten eines Balkenelements sind. Schließlich wird gezeigt, daß die Einführung eines plastischen Schubkorrekturfaktors nicht erforderlich ist.

     

Über die Berücksichtigung der Schubverzerrung in ebenen Platten

Zusammenfassung Ausgehend von einem kinematischen Schema wird eine Methode entwickelt, welche es möglich macht, den Anschluß der technischen Festigkeitslehre an die mathematische Elastizitätstheorie zu bewerkstelligen. Ganz wie in der Methode von Lagrange nur mit Kinematik und Energiebegriff gearbeitet wird, werden die Gleichungen aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen hergeleitet.Die Randbedingungen brauchen dabei nicht von vornherein im kinematischen Ansatz schon befriedigt zu sein; das Verfahren ist so geartet, daß man das Optimum der Näherung, das sich mit dem gewählten Ansatz überhaupt erreichen läßt, auch wirklich erhält. Von großer praktischer Bedeutung wird die Schubkorrektion dann, wenn es sich um I-Profile handelt. Der Einfluß kann bei handelsüblichen Formen 10 bis 30 % betragen.     

A simplified perturbation solution to the large deflection Karman equations of orthotropic composite plates in axial compression and lateral pressure

Summary The buckling and postbuckling behavior of simply supported orthotropic composite rectangular plates in uniaxial compression and lateral pressure is studied by a deflection-type perturbation technique applied to the generalized Karman equations. Comparisons of the predictions by the approach with experiments and other analytical results are made and show that agreement between the present theory and experiments is reasonably better.

---

Eine Lösung der v.-Karman-Gleichungen für große Durchbiegungen von orthotropen Verbundplatten unter Axialdruck und Flächenlast durch Störungsrechnung

Übersicht Das Beul-und Nachbeulverhalten orthotroper Verbund-Rechteckplatten unter Querbelastung und Axialdruck wird mit der Methode der Störungsrechnung die auf die generalisierten von Karmanschen Gleichungen angewandt wird, untersucht. Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit werden mit Versuchsergebnissen und anderen analytischen Lösungen verglichen, wodurch gezeigt wird, daß unter Verwendung der genannten Methode eine bessere Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen erzielt wird.

     

Discrete and continuum modelling of delamination processes

Summary The chaotic distributions of delaminated surface elements in laminates are described by a macrodelamination density function. Using this concept a phenomenological discrete mathematical model of the interlaminar debonding processes is proposed. For multilayered periodic composites the discrete model is approximated by a certain continuum model of delamination processes.

---

Diskrete und kontinuierliche modelle der schichtentrennungsvorgänge

Übersicht Eine chaotische Verteilung von gelockerten Bereichen von den Trennflächen von Schichtwerkstoffen wird durch eine Dichtefunktion der Schichtentrennung modelliert. Diese Darstellung ermöglicht die Formulierung eines phänomenologischen diskreten Modells von Schichtentrennungsvorgängen. Für vielschichtige, periodische Verbundwerkstoffe wird das diskrete Modell durch ein kontinuierliches Modell approximiert.

     

Chaotic sources of noise machine acoustics

Summary In this paper a model is posited for deterministic, random-like noise in machines with sliding rigid parts impacting linear continuous machine structures. Such problems occur in gear transmission systems. A mathematical model is proposed to explain the random-like structure-borne and air-borne noise from such systems when the input is a periodic deterministic excitation of the quasi-rigid impacting parts. An experimental study is presented which supports the model. A thin circular plate is impacted by a chaotically vibrating mass excited by a sinusoidal moving base. The results suggest that the plate vibrations might be predicted by replacing the chaotic vibrating mass with a probabilistic forcing function. Prechaotic vibrations of the impacting mass show classical period doubling phenomena.

---

Maschinengeräusche chaotischen Ursprungs

Übersicht In dieser Arbeit wird ein Modell für deterministische, aber stochastisch erscheinendes Rauschen von Maschinen vorgestellt, bei denen gleitende Bauteile, die als Starrkörper modelliert werden, auf lineare, kontinuierliche Strukturen aufschlagen. Derartige Probleme treten bei Getrieben auf. Vorgeschlagen wird ein mathematisches Modell, um diese zufällig erscheinenden Geräusche zu erklären, die durch das Auftreffen der Masse von der Struktur sowohl direkt als auch indirekt erzeugt werden. Die als starr angenommenen Stoßmassen werden jedoch von keinem stochastischen, sondern von einem deterministischen, periodischen Signal angeregt. Eine das Modell unterstützende, experimentelle Untersuchung wird vorgestellt: Eine dünne, kreisförmige Scheibe wird von einer sich chaotisch bewegenden Masse angestoßen, die selbst von einer sinusförmig schwingenden Basis erregt wird. Die Ergebnisse legen nahe, die von der chaotisch schwingenden Masse ausgelöste Bewegung der Scheibe mit Hilfe einer gleichwertigen stochastischen Anregung vorherzusagen. Die Bauteile, die die Scheibe anstoßen, zeigen klassische Periodenverdopplung vor dem übergang in eine chaotische Bewegung.

     

Characteristic roots of cylindrical shells based on an improved theory

Summary This paper is concerned with the roots of the characteristic equation in the theory of circular cylindrical shells which contains the effect of shear deformation. An analytical method for finding the characteristic roots is first presented for the Mirsky-Herrmann type theory with five variables. A simplified improved theory with three variables similar to the classical theory is then derived by introducing approximations in the constitutive equations of the Mirsky-Herrmann theory. It is easily understood that the neglect of shear effect in the simplified theory leads to the well known classical Flügge theory. The roots of characteristic equations for the simplified and Flügge theory are compared with those of the Mirsky-Herrmann theory for the eigenfunctions in the longitudinal and circumferential directions.

---

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung von Kreiszylinderschalen bei Berücksichtigung von Schubsteifigkeit

Übersicht Eine analytische Methode, mit der die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der Kreiszylinderschale unter Berücksichtigung des Einflusses von Schubverformung berechnet werden können, wird vorgeschlagen. Die Theorie von Mirsky-Herrmann mit fünf Unbekannten wird zuerst dargestellt, und ein System in einer reduzierten Form von Gleichungen mit drei Unbekannten, das die Schubverformung enthält und das der klassischen Flüggeschen Gleichung durch Vernachlässigung dieses Einflusses entspricht, wird dann eingeführt. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichungen der reduzierten und der klassischen Flüggeschen Theorien werden mit den Ergebnissen der Mirsky-Herrmannsehen Gleichung für die Eigenfunktionen in Längsrichtung und Umfangsrichtung verglichen.

     

Rheological models containing fractional derivatives

Summary In this contribution some aspects of rheological models containing fractional derivatives are shown. After a short historical review of the application of fractional derivatives in rheology, a mathematical formulation of these derivatives is given.The possibility of using fractional derivatives in the construction of rheological models is demonstrated. The behaviour of a simple fractional derivative model is calculated in a number of experiments, often performed on fibres.The model is checked against the results of some measurements on nylon 6 and PETP fibres, which leads to the addition of an elastic term.Finally, in broad outline, the relation between fractional derivative models and the principal expressions of the theory of linear viscoelasticity is indicated.

---

Zusammenfassung In diesem Beitrag wird auf einige Aspekte rheologischer Modelle, die partielle Differentialquotienten enthalten, eingegangen.Nach einem kurzen historischen Überblick über die Anwendungen dieser Differentialquotienten in der Rheologie wird eine mathematische Formulierung gegeben. Auch wird gezeigt, wie diese Differentialquotienten in rheologische Modelle eingeführt werden können; das dynamische Verhalten eines einfachen Modells wird mit Hilfe verschiedener Experimente, wie sie oft an viskoelastischen Stoffen durchgeführt werden, berechnet.Das Modell wird anhand der Ergebnisse einiger Messungen an Nylon 6- und PETP-Fasern geprüft; dies veranlaßte die Einführung eines elastischen Terms.Schließlich wird die Beziehung zwischen partielle Differentialquotienten enthaltenden Modellen und den wichtigsten Gleichungen der Theorie der linearen Viskoelastizität in großen Zügen angegeben.

     

Turbulente Grenzschichten mit Druckabfall

Übersicht Die Arbeit enthält ein neues Konzept für die Berechnung inkompressibler turbulenter Grenzschichten, das sich auf eine Hypothese über den turbulenten Austausch und die Anwendung einer neuartigen mathematischen Methode gründet. Die formal einfache Hypothese wird im Rahmen einer dimensionsanalytischen Betrachtung auf phänomenologischer Basis unter approximativer Berücksichtigung der Intermittenz formuliert. Die mathematische Methode macht entscheidenden Gebrauch von der phänomenologischen Feststellung, daß — hier bei Grenzschichten mit Druckabfall — bereits das logarithmische Wandgesetz eine Approximation der Geschwindigkeitsprofile liefert. Bei Anwendung auf Äquilibrium-Grenzschichten erhält man einfache explizite Formeln, die mit Messungen sehr befriedigend übereinstimmen.

---

Summary A new concept for the calculation of incompressible two-dimensional turbulent boundary layers is presented, based on a hypothesis for the turbulent eddy viscosity and a new mathematical method. The formally simple hypothesis is phenomenological in the context of dimensional analysis under an approximate consideration of the influence of intermittency. The mathematical method utilizes the phenomenological observation that in boundary layers with favourable pressure gradient the velocity profiles are approximated by the logarithmic law. Application to equilibrium layers yields simple explicit formulae which are in a very satisfactory agreement with experimental results.

     

Numerical method for elastic-plastic waves in cracked solids,Part 1: anti-plane shear problem

Summary The paper deals with a numerical method combining a characteristic-based scheme and Zwas' method in order to solve the hyperbolic PDE's of elastic and elastic-plastic anti-plane shear waves in two space dimensions. First, the need of new physically reasonable numerical methods for stress waves in solids is demonstrated by numerical applications to problems with impulsive loading, where defects of some standard methods are shown. Then, the new secon-dorder accurate method is derived. A suitable procedure to model the elastic-plastic behaviour of materials by simple waves is included. The capability of the methods is demonstrated by application to several examples. Additionally, for comparison with numerical results, a similarity solution for the semi-infinite crack undergoing an elastic-plastic shock loading is derived in the appendix.

---

Numerisches Verfahren für elastisch-plastische Wellen in gerissenen Festkörpern, Teil 1: Das dynamische Querschubproblem

Übersicht In der Arbeit wird eine numerische Methode vorgestellt, in der das Charakteristiken erfahren mit der Methode von Zwas kombiniert wurde, um die hyperbolischen, partiellen Differentialgleichungen der elastisch-plastischen Wellenausbreitung für das dynamische Querschubproblem zu lösen. Um die Notwendigkeit neuer, physikalisch brauchbarer Methoden für Spannungswellenprobleme zu begründen, werden zunächst an Beispielen typische Schwächen einiger Standardmethoden gezeigt. Danach wird die neue Methode dargestellt. Dabei wird auch ein geeigneter Weg im Spannungsraum angegeben, um elastisch-plastische Wellen durch sog. einfache Wellen zu beschreiben. Die Fähigkeiten der Methode werden an einigen Beispielen überprüft. Ferner wird im Anhang, um mit numerischen Ergebnissen zu vergleichen, eine Ähnlichkeitslösung hergeleitet, die für den halbunendlichen Riß bei stoßartig aufgebrachter Belastung und Beanspruchung bis in den elastisch-plastischen Bereich gilt.

     

Erweiterte Gleichungen für die örtlichen Sherwood- und Nußeltzahlen im laminar durchströmten ebenen Spalt und im Rohr mit Berücksichtigung wandnormaler Strömungen

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird ein neues Rechenverfahren für den Wärme- und Stoffaustausch in einer sich entwickelnden laminaren Strömung in einem ebenen Saplt und in einem Rohr vorgestellt. Dieses Rechenverfahren basiert auf neuen erweiterten Gleichungen für die örtlichen Sherwood- und Nußeltzahlen, die den Einfluß positiver Normalströmungen an den Wänden direkt berücksichtigen. Die Ergebnisse dieses neuen Rechenverfahrens für den Wärme- und Stoffaustausch mit der Randbedingung einer halbdurchlässigen Wand zeigen eine vorzügliche Übereinstimmung mit den Ergebnissen des beschreibenden Differentialgleichungssystems, während das bekannte auf der Filmtheorie basierende Rechenverfahren erhebliche Abweichungen aufweist. Zur Berücksichtigung variabler Stoffwerte im System wird eine einfache Methode zur Bestimmung von Referenzstoffwerten für das neue Rechenverfahren angegeben. Die Anwendung des neuen Rechenverfahrens auf Mehrstoffsysteme wird ebenfalls dargestellt. Auch hier ergibt sich eine vorzügliche Übereinstimmung mit den Ergebnissen des Differentialgleichungssystems.

---

Extended equations for the local Sherwood and Nusselt number in a laminar even split and tube including a consideration of a wall current

This work presents a new method to calculate the heat and mass transfer in a developing laminar flow in an even split or tube. The new method bases on extended Sherwood and Nusselt numbers including a consideration of positive wall currents which occur with mass transfer. For the heat and mass transfer in systems with a non-transferring gas the results of the new method are in very good agreement to the numerical results of the full set of differential equations while the well known film theory gives considerable deviations. Variable fluid properties can be accounted by easily calculable reference properties for the new method. The extension of the new method to the heat and mass transfer in multicomponent systems is presented, too. Even for these multicomponent systems the method reproduces the results of the differential equations excellently.

     

Berechnung von Wärmespannungen in Scheiben infolge stationärer Temperaturfelder mit Hilfe der Integralgleichungsmethode

Übersicht Mit Hilfe der Integralgleichungsmethode (BEM) werden in dieser Arbeit Wärmespannungen, die in Scheiben infolge stationärer Temperaturfelder entstehen, berechnet. Neben den statischen oder geometrischen Randbedingungen wird die Temperatur oder der Temperaturgradient als zusätzliche Randbedingung vorgegeben. Unter Verwendung von Wärmequellen oder Wärmedipolen wird das Problem auf ein System Fredholmscher Integralgleichungen zurückgeführt, das numerisch gelöst wird. Numerische Untersuchungen schließen die Arbeit ab.

---

Determination of thermal stresses in disks with the boundary element method

Summary The Boundary Element Method (BEM) is used to calculate thermal stresses in discs, caused by stationary temperature fields. Beside the statical or geometrical boundary conditions the temperature or the temperature gradient can be formulated as an additional boundary condition. By use of thermal sources or thermal dipols the problem is reduced to a system of Fredholm integral equations, which is solved numerically. Finally examples are presented including numerical results.

     

Modalsynthese — Viskoelastische Kopplung von nichtproportional gedämpften Substrukturen

Übersicht Es wird eine Methode für die viskoelastische Kopplung von Substrukturen mit nichtproportionaler Dämpfung vorgestellt, bei der die Modalparameter der Substrukturen im Zustandsraum berechnet und das Kopplungsverfahren direkt im Zustandsraum durchgeführt wird. Das Verfahren beinhaltet im wesentlichen zwei Transformationen. Durch die erste werden mit einer reellen Modalmatrix die Bewegungsgleichungen in Modalkoordinaten in reeller Form transformiert. Durch die zweite Transformation mit einer komplexen Modalmatrix werden die Gleichungen des gekoppelten Systems vollständig entkoppelt. Die Modalparameter des Gesamtsystems sind dann komplex, können aber so direkt für die Berechnung der Übertragungsfunktion und von erzwungenen Schwingungen verwendet werden. Anhand eines Beispieles wird die relativ hohe Genauigkeit der vorgestellten Methode gezeigt.

---

Modal synthesis — Viscoelastic coupling procedure for non-proportionally damped substructures

Summary A method for the viscoelastic coupling of non-proportionally damped substructures is introduced in which the modal parameters of the substructures are determined in the state space and the coupling process is directly made in the state space. The approach consists of two transformations. The first is made with a real modal matrix and transform the equations into modal coordinates in a real form. The second is with a complex modal matrix and discouples the equations of coupled systems. Then the modal parameters are complex, but they can be directly used for the calculation of the frequency response function and forced response function. An example demonstrates that this method give a relativ good approximation.

     

Die Optimierung des Relaxationswiderstandes schlanker Profile in stationärer,ebener Überschallströmung

Übersicht Es werden die Bedeutung und die Anwendbarkeit zweier Gleichungen für den Relaxationswiderstand eines schlanken Profils in stationärer, ebener Strömung diskutiert. Für den Überschallbereich wird dieser Widerstand anschließend berechnet und die Frage beantwortet, welches Aussehen ein optimales Profil haben muß, also ein solches, das den Relaxationswiderstand minimiert. Schließlich wird der optimale Relaxations-widerstand mit dem Widerstand eines festen Parabelzweiecks verglichen.

---

Summary The importance und the applicability of two formulas for the relaxation drag of a slender profile in steady, plane flow are discussed. For the supersonic case this drag is calculated, and the question is answered, which are the shapes of the optimum profiles, i.e. the profiles that minimize the relaxation drag. Finally, the optimum relaxation drag is compared with the drag of a fixed biconvex airfoil.

     

Torsion of a sectorially composite hollow circular cylindrical beam

Summary In the first part solution of torsion problem of a sectorially composite hollow circular cylindrical beam has been obtained by a potential method involving use of a Green's identity and Green's function. At first a composition of two isotropic media is considered, then it is shown that the procedure can be successfully applied to the case of a composition of any finite number of isotropic media. A special feature of this St.- Venant-type problem is the multiplicity of the cross-sectional region. In later part the problem of torsion of a sectorially cut out beam is dealt with and solved.

---

Übersicht Im ersten Teil wird eine Lösung für die Torsion eines aus Sektoren zusammengesetzten kreiszylindrischen Balkens angegeben. Dabei wird eine Potentialmethode verwendet, zu der von der Greenschen Identität und der Greenschen Funktion Gebrauch gemacht wird. Zunächst wird ein Balken untersucht, der aus zwei isotropen Materialien zusammengesetzt ist; danach wird gezeigt, daß das Verfahren auch auf den Fall einer endlichen Zahl isotroper Materialien angewendet werden kann. Als Besonderheit dieses Problems vom Saint-Venant-Type ist ein Multiplikationsgesetz für die Spannungen in den Querschnittsbereichen zu erwähnen. Im letzten Teil wird das Problem der Torsion eines sektionsweise ausgeschnittenen Balkens behandelt und gelöst.

     

Übertragungsmatrizen bei Schwingungen dünnwandiger Stäbe mit offenen Profilen bei Kopplung von Biegung und Drillung

Zusammenfassung Das Verfahren der Übertragungsmatrizen wird auf die Berechnung der erzwungenen, gekoppelten Biege- und Drillschwingungen von Stäben mit dünnwandigen, schwach stetig veränderlichen Querschnitten angewandt. Hierbei ist es nicht notwendig, die Übertragungsmatrizen explizit zu berechnen, vielmehr dient der Begriff der Übertragungsmatrix nur zur formelmäßigen Darstellung des Rechnungsganges (Gl. (14)). Die Zahlenrechnung selbst erfolgt durch zyklische Anwendung des Goussschen Algorithmus und eines Matrixproduktes. Abweichend von der sonst üblichen Betrachtungsweise wird nicht ein mechanisches Modell mit stückweise konstanten Querschnitten zugrundegelegt, sondern es wird der wirkliche Stab mit einer mathematischen Ersatzlösung behandelt, wobei die bekannten Lösungen des Problems für prismatische Stäbe als Näherungslösungen dienen. Dieses Verfahren hat gegenüber einer Behandlung als abgesetzter Stab den Vorteil, daß auch die Spannungen, die nach Gl. (16) und (18) direkt aus den Verschiebungsableitungen und den Querschnittskoordinaten berechnet werden, an den Intervallgrenzen stetig sind. Inwieweit zusätzliche Einflüsse, die hier nicht berücksichtigt werden konnten, bei stark verjüngten Stäben eine Rolle spielen, muß noch festgestellt werden. Über im Zusammenhang hiermit geplante experimentelle Untersuchungen soll später berichtet werden.Aus dem Institut für Mechanik (Prof. Dr.-Ing. K.-A. Reckling) der TU Berlin.     

Die Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke mit einseitigen Bindungen

Übersicht Im vorliegenden Aufsatz werden die statisch unbestimmten linearen Tragwerke behandelt, welche eine gewisse Anzahl von einseitigen Bindungen aufweisen. Diese Bindungen können nur in einer Richtung wirken und somit nur positive Spannungen aufnehmen. Die Berechnung erfolgt auf Grund des Satzes vom Minimum der Formänderungsarbeit, dessen Gültigkeit auch für den vorliegenden Fall bewiesen wird. Im Gegensatz zum normalen Fall der zweiseitigen Bindungen, in welchem das Minimum nur in Verbindung mit den in Form von Gleichungen geltenden Gleichgewichtsbedingungen bestimmt wird, treten hier zusätzlich nicht-Negativi-tätsbedingungen auf. Somit verwandelt sich die Minimumaufgabe in ein Problem der quadratischen Programmierung. Zur Lösung dieser Aufgabe wird das Theorem von Kühn und Tucker angewendet, welches zu den Lösungsbedingungen der statischen Aufgabe führt. Im weiteren werden dieselben Bedingungen auch direkt, wie die Grundgleichungen der klassischen Baustatik, auf Grund von reinen statischen Überlegungen hergeleitet. Aus diesen Überlegungen folgt der Äquivalenzsatz, welcher erlaubt, ohne Bezugnahme auf die Theorie der Programmierung, das Aufschreiben der Lösungsbedingungen, wie im normalen Fall des Tragwerkes mit ausschließlich zweiseitigen Bindungen.

---

Summary This investigation deals with statically indeterminate linear structures incorporating a number of unilateral constraints i.e. constraints reacting only in a given unilateral sense. The analysis is based on the minimum strain energy theorem, the validity of which will be proved for the present problem. It is known that the minimum strain energy for structures incorporating bilateral constraints only, is determined with reference to the equilibrium conditions expressed in the form of equations. In the case of structures with, a certain number of lion-negative constraints the problem becomes one of quadratic programming. To proceed, we use the Kuhu-Tucker theorem which gives the conditions leading to the solution of the structural analysis problem. We then derive once again these conditions from a purely statical point of view. This leads to our theorem of equivalence by which we can determine the solution conditions without the use of quadratic programming for structures with unilateral constraints in the same way as with structures involving exclusively bilateral constraints.

     

The refined approximate criterion for chaos in a two-state mechanical oscillator

Summary In the two-state mechanical oscillator, a mathematical model of a buckled beam, the refined criterion for the system parameter critical values where chaotic motion can be expected is derived. The derivation is based on the assumption of the second approximate solution for the small orbit. It is shown that a simple approximate analysis of the Hill's type variational equation gives the sought stability loss of the resonant solution as the period doubling bifurcation. The stability limits of the resonant and non-resonant solutions are proposed as the boundary of the region where strange phenomena can appear and the refined criterion thus derived is compared to computer simulation results and to other approximate criteria.

---

Verfeinertes Kriterium für chaotische Bewegung in einem Schwingungssystem mit zwei stabilen Gleichgewichtslagen

Übersicht Für ein mechanisches Schwingungssystem mit zwei stabilen Gleichgewichtslagen, das ein mathematisches Modell eines Knickstabes darstellt, wird ein verfeinertes Kriterium für die kritischen Systemparameterwerte, bei denen chaotische Bewegung zu erwarten ist, hergeleitet. Die Herleitung geht von der Näherungslösung zweiter Ordnung für kleine Bahnen um das Gleichgewicht aus. Es wird gezeigt, daß eine einfache Näherungsbehandlung der Variationsgleichung vom Hill-Typ den gesuchten Stabilitätsverlust der Resonanzlösung als Verzweigung der Periodenverdopplung liefert. Die Stabilitätsgrenzen der resonanten und nichtresonanten Lösungen werden als Bereichsgrenze, wo chaotische Bewegungen auftreten können, vorgeschlagen. Das derart hergeleitete verfeinerte Kriterium wird mit Computer-Simulationen und anderen Näherungskriterien verglichen.

     

Parametric vibrations of beam with crack

Summary The paper presents a mathematical model of transverse vibrations of a Bernoulli-Euler beam with a closing crack. In damaged cross-sections of the beam there were applied elastic elements of flexibility calculated on the basis of the laws of fracture mechanics. Making use of the elaborated model, an analysis of the effect of magnitude and position of the crack upon the basic instability area of the beam was carried out.

---

Parametrische Schwingungen eines Balkens mit Riß

Übersicht Es wird ein mathematisches Modell für die Biegeschwingungen eines Euler-Bernoulli-Balkens mit schließendem Riß vorgestellt. Geschädigte Balkenteile werden ersetzt durch elastische Elemente mit einer Nachgiebigkeit, die nach den Gesetzen der Bruchmechanik berechnet wird. Mit diesem Modell wird der Einfluß von Rißposition und-größe auf den wesentlichen Instabilitätsbereich der Balkenschwingungen untersucht.