Darwin模型外问题 献给林群教授80华诞

本文综述有关Darwin模型的分析结果和数值方法,其中包括模型的引进以及它的近似程度、适定性和数值方法,着重讨论有关外问题的工作.     

不确定性量化的高精度数值方法和理论 献给林群教授80华诞

不确定性量化(uncertainty quantification,UQ)是近年来国际上热门的研究课题,其应用领域包括水文学、流体力学、数据同化和天气预测等.由于UQ问题中的大量随机参数引起的超大计算量,如何设计高效的高精度数值方法变得非常重要,与其相关的计算技术和数学理论也引起人们的高度重视.本文将综述不确定性量化研究中的高精度数值方法和最新进展,主要讨论基于正交多项式的逼近方法,其中包括正交多项式Galerkin投影方法和随机配置方法.本文将侧重基于样本(数据)信息的随机配置方法,包括随机抽样、确定性抽样和结构随机样本,重点介绍离散投影算法和压缩感知算法,并介绍相关数值分析进展,即如何确定样本的使用数量M与逼近空间基函数的自由度N的对应关系,以保证算法的稳定性和最优收敛性质.本文还将介绍高维空间中基于任意数量和任意位置节点的插值算法,以及一个相关的研究课题,即正倒向随机微分方程数值方法.最后尝试探讨不确定性量化研究面临的挑战和亟待解决的研究问题.     

椭圆型偏微分方程的弱有限元方法 献给林群教授80华诞

弱有限元方法 (weak Galerkin finite element methods),简称WG方法,是求解偏微分方程的一种全新且高效的数值方法.WG有限元方法的主要思想是,对间断函数引入广义弱微分算子,并将其应用于通常的变分形式中以对相应的偏微分方程进行数值求解,数值解的连续性则通过稳定子以弱形式来实现.本文以二阶椭圆问题为例,详细介绍弱有限元方法的原理和基础,并给出相关的理论分析.此外,本文简单介绍其他椭圆问题的弱有限元方法的离散格式.弱有限元方法的最大特点是,(1)有限元剖分允许任意多边形或多面体;(2)总体刚度矩阵可通过单元刚度矩阵叠加而得;(3)逼近函数构造简单,且极易满足相应的稳定性条件;(4)格式可做杂交处理以并行消去单元内部自由度.     

纳米材料力学性质定量分析中的反问题 献给林群教授80华诞

本文对纳米材料力学性质定量分析中出现的反问题理论、计算和应用进行了探讨.这类问题在纳米材料科学以及功能器件开发等方面中有着重要的应用,对纳米尺度下的测量、优化设计、研发及应用有着重大的指导意义.根据工程测量方法的不同,纳米材料力学性质的定量分析方法一般可以分为两类,静态法和动态法.本文针对两种方法,率先研究Euler-Bernoull方程的反演随机源项、反演系数和反谱问题,得到了对于一般非均匀纳米材料性质测定的方法,其中对于反演随机源项,本文得到在依概率意义下的收敛性;对于反谱问题,本文将其转化为优化问题求解,并给出数值算例验证.最后提出这些反问题新的应用和数学上新的研究方向.     

最优控制问题的有限元高精度分析及其应用 献给林群教授80华诞

本文简要回顾偏微分方程最优控制问题的有限元高精度分析和基于高精度分析的高效有限元算法的若干研究工作,包括椭圆型方程、抛物型方程最优控制问题的有限元超收敛,椭圆型方程、Stokes方程最优控制问题的混合有限元超收敛,以及基于高精度分析的后验误差估计和自适应有限元方法及有限元外推和校正.本文对近年来上述研究进展进行综述,并展望拟开展的研究工作.     

边界元方法中超奇异积分的计算方法 献给林群教授80华诞

超奇异积分的近似计算是边界元方法,特别是自然边界元理论中必须面对的难题之一.经典的数值方法,如Gauss求积公式和Newton-Cotes积分公式等数值方法,都不能直接用于超奇异积分的近似计算.本文将介绍超奇异积分基于不同定义的Gauss积分公式、S型变换公式、Newton-Cotes积分公式和外推法近似计算超奇异积分的思路,重点阐述Newton-Cotes积分公式和基于有限部分积分定义的外推法近似计算超奇异积分的主要结论.     

超材料电磁波有限元模拟中的相关问题 献给林群教授80华诞

超材料是指一种人工合成的纳米电磁材料,它的介电常数和磁导率对某些波频段会同时为负,从而导致其折射率为负.超材料硏究的兴起始于2000年,在过去的十多年一直是多个学科的研究热点.本文侧重介绍电磁波在超材料中传播所涉及的模型方程以及如何用有限元方法求解.本文是对过去十年来计算数学在此领域工作的一个总结.最后提出一些值得继续探讨的问题.     

电子结构模型与计算的若干数学问题 献给林群教授80华诞

又快又好地计算大规模的电子结构是极具挑战性的课题,而电子结构模型及其数学基础与数学性质在理解、分析与设计第一原理电子结构计算方法中发挥着重要作用.本文介绍作者所在小组在电子结构模型的数学基础和电子结构计算的方法与理论的研究中关注的若干数学问题.     

发展型偏微分方程间断有限元方法的超收敛性 献给林群教授80华诞

本文简要回顾发展型偏微分方程间断有限元方法超收敛性的若干研究工作,包括林群先生在有限元方法超收敛性质研究方向取得的部分研究成果,并对近年来相关的研究进展进行综述,展望拟开展的研究工作.     

分解法在声波反散射问题中的最新进展 献给林群教授80华诞

本文旨在总结分解法在声波反散射问题中的最新进展,其中包括经典的分解法如何应用于可穿透散射体和具有广义阻尼边界条件的复杂散射体情形,以及分解法在处理混合型散射体、近场数据反演和避免内部特征值等情形的修正方法.     

交界面椭圆、抛物和Maxwell方程的有限元分析和进展 献给林群教授80华诞

本文综述交界面问题的有限元离散数值方法近十几年来的最新进展,重点讨论椭圆型、抛物型和Maxwell型交界面问题的有限元方法,总结已有的相关研究结果,如正则性、变分形式、有限元离散策略、数值积分策略、交界面逼近及其对离散解的影响和离散解的收敛性分析等.伴随历史发展,本文还梳理了交界面问题的发展脉络.最后列举一个交界面模型的实际应用,即不可测热交换界面上热通量重构问题,着重分析自适应有限元方法的后验误差估计.     

Iwasawa理论和BSD猜想 献给杨乐教授80华诞

本综述介绍七大千禧年问题之一的BSD (Birch and Swinnerton-Dyer)猜想,以及它的重要研究工具之一Iwasawa理论的相关背景.之后分情形讨论人们对这个问题的研究方法和结果,着重介绍最近取得的进展.     

同余数问题与椭圆曲线 献给杨乐教授80华诞

设n为一个模8余5的正整数,使得n的所有素因子均模4余1且Q((-n)~(1/2))没有阶为4的理想类.本文引入对n的素因子个数的归纳方法,给出椭圆曲线E(n):ny~2=x~3-x上Heegner点的非平凡性,从而给出n为同余数的证明(定理6.1).本文还综述对同余椭圆曲线的Goldfeld猜想及BSD猜想(Birch和Swinnerton-Dyer猜想)方面的结果.一方面,基于这种归纳方法, Tian等(2017)推广这一结果得到了更多的同余数,再结合Smith (2015)及Heath-Brown (1994),本文证明同余数问题的弱Goldfeld猜想(主定理A).另一方面,基于定理6.1以及Li、Liu和本人(2019)的工作,本文证明完整BSD猜想对椭圆曲线E~((n))成立(主定理B).这样得到了完整BSD猜想对无穷多条秩为1的椭圆曲线成立.     

关于Thurston障碍的判定 献给杨乐教授80华诞

本文利用不变图给出临界有限分歧覆盖没有Thurston障碍的一个判定条件.     

涉及微分多项式的正规定则 献给杨乐教授80华诞

本文研究一类微分多项式的正规定则,得到下面的结果.设F为区域D内的一族亚纯函数,k≥4为正整数, a(z)(■0)、a1(z)和b(z)为区域D内的全纯函数.若a(z)=0时, f (z)≠∞且对于F中的每一个函数f,有f′(z)+a_1(z)f(z)-a(z)f~k(z)≠b(z),则F在D内正规.     

捕获分支是拟圆:具有临界不动点的三次多项式 献给杨乐教授80华诞

按Milnor分类,具有有限临界不动点的三次多项式的参数平面中,有界双曲分支可以分为三类:主双曲分支、捕获分支、非捕获分支. Roesch证明了主双曲分支边界具有稠密尖点,本文证明捕获分支的边界是拟圆周,从而没有尖点.同时,非捕获分支的边界是一条解析曲线(至多有一个例外的尖点).     

从毗域动力学到随机跳跃过程:非局部平衡范例及非局部微积分框架 献给林群教授80华诞

非局部效应在自然界随处可见,对它的系统描述和认识需要突破传统模式的局限来发展新的数学思想和计算方法.本文从非局部毗域动力学模型和有关随机跳跃过程的非局部扩散模型出发,探讨非局部的平衡关系及其系统的数学表述,并用简例来介绍最近发展的非局部向量微积分框架和非局部变分原理中的一些基本概念,从而说明非局部模型与传统局部模型的关联和不同.本文还进一步提出渐近兼容(AC)的数值离散格式,为多尺度问题的非局部模型提供稳健的计算模拟方法.     

纯断鞅的指数型集中不等式 献给林正炎教授80华诞

本文研究与纯断局部鞅相关的指数型集中不等式;通过构造一个新颖的指数鞅并利用停止定理,建立关于纯断局部鞅的一般化集中不等式.作为推论,本文在不同条件下得到了一系列指数型不等式,包括纯断局部鞅的Bernstein型不等式和de la Pena不等式等.此外,本文考虑连续时间矩阵值局部鞅,通过构造迹指数上鞅,建立矩阵值纯断局部鞅算子范数的集中不等式,改进了Bacry等(2018)的结果.     

齐性空间自映射的同伦分类 献给杨乐教授80华诞

齐性空间是几何学中一类重要流形,而连续映射的同伦分类是代数拓扑学中一个基本问题.本文是一篇关于齐性空间自映射的同伦分类的综述文章.本文回顾这个课题的前期工作,介绍最新的进展,以及林贤祖的一些新结果.     

有理齐性空间切面的一些几何性质 献给杨乐教授80华诞

有理齐性空间是最简单的射影代数簇,而对它的研究与刻画一直是代数几何的热点问题与灵感来源.有理齐性空间的切面则提供了大量有趣的代数簇的例子,而对它的系统研究才刚刚起步.本文拟从以下几个方面概述最近在此方向上的进展:自同构群与拟齐性、向量群的等变紧化和形变刚性.