有趣的平角、直角与角平分线

学了角平分线之后,你是否注意到平角,因为角平分线而与直角有了许多有趣的联系。让我们一起往下看. 例一如图1,已知A、O、B三点在同一条直线上,OC是一条射线,OD、OE分别平分∠AOC与∠BOC,你猜猜∠DOE的度数是多少?     

下结论要理由充分

我们先来看看下面两道题的证明,有无"漏洞".题1求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.已知:■ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.图1求证:OE=OF.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠AEO=∠CFO.又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等),∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.图2题2已知:正方形ABCD中,O是对角线AC的中点.连接OB、OD.求证:OB=OD.证明1∵四边形ABCD是正方形,OA=OC,∴OB=OD(正方形的对角线互相平分).     

对一道几何竞赛题解题思路的探求

“时代杯”2008年江苏省中学(初中组)数学应用与创新邀请赛复赛试题中有这样一道几何试题:题目如图1,在△ABC中,D为BC的中点,点E、F分别在边AC、AB上,并且∠ABE=∠ACF,BE、CF交于点O.过点O作OP⊥AC,OQ⊥AB,P、Q为垂足.求证:DP=DQ.图1图2这是一道源于课本,超越课本的几何竞赛题.说它来源于课本是基于当OQ与CF,OP与BE重合时,即BE、CF是△ABC两边上的高时(如图2),比较容易证得DF(Q)=DE(P).有了这样的实际数学背景,在保证图形本质不变(即∠ABE=∠ACF,OP⊥AC,OQ⊥AB)的前提下,对原图形进行变换,这样既可以考查学生对图形与变换本质的理解,也能考查学生对数学解题方法、策略的体悟与运用.作为教师,在素质教育和创新教育的今天,对作为数学教育任务之一的解题教学而言:我们不能仅把“题”作为研究的对象,把“解”作为目标,而要把“解题活动”作为研究对象,把“学会数学地思维”、“促进人的全面发展”作为目标.基于上面的认识,笔者认为有必要对解题活动进行更深入的探求,并且在日常的教学活动中自觉地引导学生对其“解题活动”进行反思,这样的反思不仅是一个全面“回头看”...     

诡辩一则--任意三角形均为等腰三角形

命题　如图 1 ,已知△ ABC是任意三角形 ,∠ A的平分线与 BC的垂直平分线交于点 O,则△ ABC是等腰三角形 .证明　如图 1 ,过 O作 OE⊥ AB,OF⊥ AC.∵　 AO为∠ A的平分线 ,∴　 OE =OF,又　 OA =OA,∴　 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF.∴　 AE =AF.连结 OB、OC.∵　 O在 BC的垂直平分线上 .∴　 OB =OC.　又　 OE =OF,∴　 Rt△ BOE≌ Rt△ COF.∴　 BE =FC.又　 AE =AF,∴　 AB =AC.故△ ABC为等腰三角形 .诡辩揭密 :我们知道 ,准确作图是欧氏几何的特点之一 ,忽视规范作图是多数人常犯的通病 ,由此而得到错误结论…     

一道几何题的引申

命题　PQ是以AB为直径的⊙O中的一条非直径弦 ,连接PA ,BQ的直线相交于点M ,连结BP ,AQ相交于点N .则MN ⊥AB .(图 1 )图 1证明　设直线MN交AB于点K .由AB是⊙O的直径 ,由P ,Q在⊙O上知∠MPN=∠MQN =90° .所以P ,M ,Q ,N是四点共圆 .从而∠QMN =∠QPN ,即∠BMK =∠QPB .又因为∠QPB =∠QAB ,所以∠BMK =∠QAB .由∠AQB =90°知∠QAB +∠QBK =90°.所以∠BMK+∠QBK =90°,即∠BMK +∠MBK =90°.　　所以∠MKB =90°,故MN ⊥AB .经笔者探讨 ,发现圆的这一性质 ,在圆锥曲线中仍然成立 .如果将椭圆的长轴…     

二倍角正弦、余弦、正切公式的几何证明

如图：△ABC是圆O的内接三角形,连结OC,CD⊥AB,设∠A=θ,则∠BOC=2θ．     

关于一道2007年高考数学试题答案的商榷

2007年高考浙江卷理科第16题(文科第17题)是:已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于O的任一点Q,都有∠POQ≥45°.则二面角α-AB-β的大小是——.命题组提供的答案是:90°;文[1]至[8]给出的答案也是90°.笔者研究发现,这个答案是错误的,值得商榷,现提出来以求教于命题者和读者.这个答案仅给出了正确答案的一个特例,是片面的,剖析如下:设二面角α-AB-β的大小为θ.1.若θ=0°,如图1所示,易知不满足题意.2.若0°<θ<90°,如图2所示,易知不满足题意.图1图2图33.若θ=90°,如图3所示,则∠POB是直线PO与…     

对学生的错误应注意发掘

布置一次课堂练习，批改一次作业或进行一次考试测验，我们总会遇到学生的作业或试卷中出现各种各样的错误．有时对学生的错误感到不解，由此引起了思考，它使我认识了不曾注意的东西．在初三几何复习测验时，我给学生出了这样一道题：在△ABC和△A’B’C’中，若AB＝A’B’，BC＝B’C’，（1）∠C＝∠C＝80°，（2）∠C＝∠C＝120°，则△ABC≌△A’B’C’吗？为什么？结果有85见的学生（1）（2）两题都判断为错误．都写上由“边边角”条件不能判定三角形金等．在试卷分析中，我问答案正确的那些学生，为什么（2）“边边角”的条…     

纠正一个错误

中师数学人教社教材《几何 (一 )》第 1 2 0页第 1题是这样的 :有两个面平行 ,其余各面都是平行四边形的多面体是不是棱柱 ,为什么 ?有些学生的解答 :“是 .因为平行四边形的对边互相平行 ,所以这个多面体有两个面互相平行 ,其余每相邻两个面的公共边互相平行 .”其实 ,上述答案是错误的 ,其理由中“‘对边平行’就有‘公共边互相平行’”也不是正确的推理 .而且这种错误在有些教师的教学中及某些书上也发生过 .为了纠正这一错误 ,本文构造一类反例图形 .构造步骤如下 :图 1(1 )取一个正六棱柱 ABCDEF -A1B1C1D1E1F1(图 1 ) ;(2 )在平…     

构造辅助线解几何题两例

<正>在解几何题中,有时候恰当地构造辅助线,可以有效地打开思维,化繁为简,起到很好的解题效果.下面以两道题为例来进行说明.例1如图1,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于D、交AC于E,且BD=EC.求证:AB=AC.证法1如图2,连接OD、OE.∵OB=OC,OD=OE且BD=CE,∴△OBD≌△OCE(SSS),∴∠B=∠C,∴AB=AC.证法2如图2,连接OD、OE.∵BD=EC,     

一道常见几何习题的推广

<正>已知:如图1,AB∥CD,MN与AB、CD分别交于点E、F,∠BEF和∠EFD的角平分线相交于点G.求证:∠EGF=90°.这是很多几何习题集中经常见到的一道几何题,也是初中数学杂志中经常应用的几何题(文1).我们想推广这道几何题,达到数学《课程标准》提出的通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识.     

一道几何题的别证与变式

图1文[1][2][3]中都有如下一道几何题:如图1,△ABC中,E、F分别在边AB、AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=12∠A,求证:BE=CF.文[2]中用共角定理给出证明,方法简洁、巧妙,文[3]中利用三角法结合正弦定理证明线段相等.这两种方法难度都较大,本文拟给出两种学生容易接受的常规证法并证明两个变式.图2证法1如图2,过点B作BG∥CE,过点C作CG∥BE,BG、CG相交于点G,连结GF,则∠4=∠2=∠1=12∠A,∠ACG=180°-∠A,四边形BGCE是平行四边形,∴CG=BE,∵∠FBG+∠FCG=∠1+∠4+∠ACG=12∠A+12∠A+180°-∠A=180°,     

答疑解惑 因势利导 培养能力

一、从一道质疑题谈起几个高一学生兴冲冲地边争论边跑来问教师一道题:“a、b是两条异面直线,它们分别和平面M交成20°和65°角,求a、b间所成的角r的最大值。”(原题附有答案95°,没过程。)虽然这道题的答案错误是明显的,但经分析,我们认为这是一道好题,它涉及立几、代数、三角多方面知识,蕴藏着多种培养能力的因素,认真剖析。对学生大有好处。因此,没有停留在仅仅指出答案错误的水平上,而是作了多方面的分析和探讨,目的是充分发挥答疑作用。二、剖析错误,引导学生重视概念我们和学生一道讨论,学生中的答案是多种多样     

数学诡辩一例

求证:任意三角形为等腰三角形.已知:在△ABC中,求证:AB=AC.证明　如图1,作∠A的平分线AN,再作BC的垂直平分线OH交AN于O,作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F,连接OB、OC.∠1=∠2AO=AO∠AEO=∠AFO=90°　△AEO≌△AFO　　AE=AFOE=OFO在BC的垂直平分线上　OB=OC　　　　　1     

探究试卷讲评课的新模式

试卷讲评课是高三数学课中比较多的一种课型,有部分老师认为试卷讲评课很好上,不外乎就是对对答案,纠正一下典型错误而已,分析一下学生的错误原因;个别老师花时间从第一题一直讲到最后一题,没有针对性和目的性,学生听着乏味,课堂气氛沉闷,学习效率低下;大多数老师意识到这些问题,做出了改进,他们在试卷讲评时有选择地处理,错误人数多的题目多讲一点,错误少的则少讲一点,而这样也只是就题讲题.     

一道几何题的两种求解法

<正>题如图1,在矩形ABCD中,AD=3^(1/2),AB=7,点E在边AB上,∠DEC=120°.求AE的长.解法一(构造外接圆法)作△DEC的外接圆⊙O,过点O作OG⊥AB于点G,交DC于点F.连结OC,OD,OE(如图2所示).     

Ⅰ.部分等于整体

如图,ABCD 为一正方形。作线段 AE=AB,并使∠EAB 为一锐角。联接 CE,分别通过 CE 和CB 的中点 K 和 H 作 CE 和 CB 的垂线交于O.联接 OC 和OE,构成两个三角形△ODC和△OAE.     

抓住随机失误,灵活进行数学教学

数学课堂教学是一种极其复杂的活动·尽管教师认真准备,仍会出现一些意想不到的自身失误,如写错或算错了题,读错了字等等·人非圣贤,孰能无误?在漫长的教学生涯中,每一位教师都可能遇到程度不同的自身失误,但如果能及时抓住失误并能合情合理地掌握处理自身失误,那么说不定还有意想不到的收获·本人曾选用了《2009年中原部分省级示范高中第一次联考(文科)》的压轴题作为课后练习题·但第二天在课上与学生一起校对答案时,发现连续几个同学第二小问都是同一个“错误”答案,诧异之余发现原来是自己不小心抄错了题目中的一个数据,赶紧向学生们道歉·原题在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2)为两定点,点C满足OC=(1-4α)OA+αOB,其中α∈R,(1)求点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹与双曲线ax22-by22=1(a,b>0)交于E,F不同两点,且OE·OF=3,求证:1a2-b12为定值·我在抄题过程中将“OE·OF=3”误抄成了“OE·OF=5”,但很多学生都能得到一个定值-21·于是我让一位学生将解题过程在黑板上呈现:解(1)y=-x+1(过程略);(2)设E(x1,y1),F(x2,y2),联立y=-x+...     

用好初中几何中的特殊角

对于几何题,初中学生多半都感到很恐惧：一道题目出来很多学生感觉无从下手,一点思路也没有．其实,在几何的教学中除了主要向学生渗透分析法和几何法,还应该引导学生注意几何题中的“特殊条件”．“特殊条件”往往是解题的金钥匙．在这个所谓的“特殊条件”中,其中有一类是特殊角的运用和解题技巧．     

例谈几何概率在实际中的应用

高中数学新教材以较多的篇幅充实了概率、统计等内容 ,特别强调了离散型随机变量的概型及应用 ,但学生课外教辅用书 ,以及竞赛题中常有几何概型的题目 ,笔者认为这些内容对学有余力的学生是一有益补充 ,可开阔学生视野 ,丰富学生研究性学习 ,现举例说明一些几何概率的典型应用 .在长度为a的线段AB上 ,有一长度为h的线段CD ,现在AB上任取一点P ,假定P取在AB上任何地方都是等可能的 ,则P取在CD上概率为 ha .象这样 ,可以定义关于角或面积的概率 ,叫做几何概率 .图 1　例 1图例 1　甲乙两人相约10天之内在某地会面 ,约定先到的人等候另一…