正多边形的自生和衍生

<正>如果有正n边形,我们对正n边形进行一定的操作可以得到另一个正n边形.这样的操作可以有两种:一种是对一个正n边形操作;我们把这一种叫做正多边形的自生;另一种是对两个正n边形进行操作,我们把这一种叫做正多边形的衍生.下面从两方面分别阐述.一、正多边形的自生在此给出n=3,4,5,6时的图形,其它以此类推.命题的结论用全等三角形即可简单证出.     

等周多边形面积最大问题

<正>设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线,周长是2L.求证:当封闭曲线是n边形时,正n边形面积最大.(简称"等周多边形问题")分析与证明(1)当多边形为凹多边形时,通过轴对称,可以使其在周长不变的情况下面积变大,所以以下只需要证明凸多边形的情况.     

例谈“磨光”法在不等式证明中的应用

<正>"磨光"就是消灭问题状态间的差异,使之逐步到达平衡和均匀的状态.它一般的做法是:根据磨光目标,构造差异较小的目标函数,从而逐次逼近目标.下面,我们结合实例来说明磨光法.例1证明:在圆的内接n边形中,以正n边形的面积为最大.证设圆的半径为R,其内接n边形各边所对的圆心角分别为θ_1,θ_2,…,θ_n,显然θ_1,θ_2,     

探求“m阶n角星”的角度和

<正>从n边形(n≥5的整数)的某一个顶点起,顺时针方向每隔m个点顺次连接,所形成的图形称为"m阶n角星"(0≤m≤(n-3)/2的整数).当m=0时,0阶n角星即为n边形.这里规定0≤m≤(n-3)/2的整数是为了"去重".例如,n=5时,由于从某点起顺时针方向每隔2个点顺次连接,所成的图形和从这点起逆时针方向每隔1个点顺次连接所成的图形一样,即2阶五角星与1阶五角星一样.下面我们探求n为奇数的情况.     

圆锥曲线的一个优美性质

本文约定:若凸n边形的n边(或延长线)均与圆锥曲线相切,则称此凸n边形为圆锥曲线的外切凸n边形.笔者最近探究发现圆锥曲线外切凸n边形的一个优美性质,现将结果陈述如下,供大家参考.命题1若三角形△A1A2A3的三边A1A2、A2A3、A3A1(或其延长线),与圆锥曲线Γ分别相切于点T1、     

一道课外练习的启示

贵刊在2010年1月下的初一课外练习第3题是:如果一个四边形中有一个内角大于180°,那么我们就称之为"镖形"(如图1,以下简称凹四边形),现有一个凸n边形,被分成p个四边形(任意四边形不重叠也无空隙),其中有q个"镖形",试判断p-q+1与n的大小.图1     

从一道复数题所想到的

高中代数甲种本第二册P.239,19题是“已知复平面内一个正方形的两个相邻顶点分别表示复数1 2i,3-5i,求与另外两个顶点对应的复数”。教参中用正方形各边相等的条件转化为二元二次方程组求解。本文再给一种解法,并导出求正n边形顶点对应复数的通项公式,由通项公式推出正n边形的一个充要条     

也谈椭圆外切n边形面积的最小值

文 [1]通过引理 1、引理 2虽然给出了椭圆外切n边形面积的最小值 ,但没有给出取到最小值时 ,外切n边形的几何性质及作图方法 .本文通过对圆外切n边形面积最小值的探讨 ,回答了上述问题 .引理　外切于圆的所有n边形中 ,正n边形的面积最小 ,且最小值为rntan πn(n≥ 3) .图 1　圆外切n边形证　如图 1,设n边形P1P2 …Pn 为半径为r的外切n边形 ,A1,A2 ,… ,An 为切点 ,则由圆的切线性质可知 ,n边形P1P2 …Pn 的面积为S =2S△A1OP1+ 2S△A2 OP2+… + 2S△AnOPn=r·tan∠A1OP1+r·tan∠A2 OP2 +… +r·tan∠AnOPn.因为n≥ 3,所以∠Ai…     

一个结论的商榷

本刊2007年第23期刊载了纪保存老师的《正三角形向量特征的推广》一文,其结论3是：在n边形A1A2……An（n≥3）中,设A1A2=a1,A2A3=a2,……AnA1=an,则n边形A1A2…An是正n边形的充要条件是所有首尾相连的两个向量的数量积都相等,     

水管的截面为什么是圆的

生活中水管的截面都是圆形的,为什么 水管的截面都是圆形而不是正方形或正六边 形等正n边形呢?我们可以从数学的角度来 回答这个问题. 要证明水管的截面为什么是圆形,只要 证明在水流速度相同的情况下,若水管截面 的周长相等,那么截面是圆形的水管比截面 是正n边形的水管流量大,而流量的大小是 与截面面积成正比的.     

探求椭圆内接n边形面积的最大值

众所周知：圆内接n边形中以正n边形的面积为最大，那么，椭圆内接n边形面积的最大值是什么呢？是否也有一般规律呢？以下我们从简单情形着手探求．     

关于椭圆及椭球面的两个最值问题

一、椭圆内接n边形面积的最大值引理1 单位圆内接n边形的面积以正n边形的面积为最大,最大值为Smax=n/2sinnπ/2(其中n≥3)     

关于椭圆内接n边形面积最大值问题的解答

文[1]数学疑难专栏提出:圆x~2+y~2=r~2的内接n边形中,具最大面积的是圆内接正n边形.那么,设a>b>0,椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1的内接三角形的最大面积是多少?内接四边形呢?内接n边形呢?,对于前两问,文[2]通过下面两个定理已给出解答.     

平面多边形内角和的统一计算公式

大家知道,凸n边形内角和为(n—2)·180°.那么凹n边形内角和为什么?除凸、凹n边形外,其余的平面n边形内角和又为什么?这些平面n边形(以下简称n边形)内角和有统一计算公式吗?下面我们就来探讨这些问题. 如图1,要把转到与平行,可转过∠α,也可转过∠β.这里我们约定:本文     

星形成为正星形的充要条件

设中A1,A2，…，An是凸n边形的n个顶点，顺次连接每隔r（0≤r<-1）个点的两点，所组成的封闭折线，称为r阶n边星形．记作A（n，r）．其中厂称为这个星形的阶数或生成数．这个凸n边形A1A2…An称为该星形的外接n边形．若A（n，r）是由一条封闭折线组成，则A（n，r）称为素星形；若A（n，r）是由几条封闭折线组成,则称为合星形．其中每一条封闭折线称为合星形的一支．若A（n，r）的外接n边形是正n边垦形，则A（n，r）是正r阶n边星形，简称为亚星形．正”边形的中心，就称为正星形的中心．正星形可分为正素星形与正合星形两类．定理1若A（…     

圆内接多边形的一个性质

笔者研究发现,圆内接多边形有如下一个美妙性质. 设A_1 A_2 """A_n为圆内接n边形(n≥4),画n-3条对角线将这个n边形分割成n-2个三角形(这些对角线在多边形内部没有交点),则无论如何分割,所得到的n-2个三角形的内切圆半径之和是一个定值.     

关于正三角形和正方形吻接数的一个简单证明

设 pn是任意一个正 n边形 ,最大整数 k(pn)称为 pn的吻接数 ,其中 ,在同一平面内有 k(pn)个与 pn全等的正 n边形均与 pn有非空的交集 ,但没有重叠 ,而且 k(pn)个正 n边形两两没有重叠 . Youngs (Amer.Monthly46(1 93 9) 2 0 ) ,Klamkin(Math.Mag. 68(1 995 ) 1 2 8)先后证明了 k(p3) =1 2 ,k(p4 ) =8,作者(Discrete Math.68(1 998) 2 93 )证明了当 n >6时 k(pn) =6.然而 ,Youngs、Klamkin等人关于 k(p3) =1 2 ,k(p4 ) =8的证明非常复杂 .本文将就 k(p3) =1 2 ,k(p4 ) =8给出非常简单的证明 .     

談談农、林生产上“三角形法”的种植問題

我們知道,在农业播种和林业造林中,很多地方已經用“三角形法”代替“四角形法”进行点(穴)播种(如学校里种油菜王、新开果园等按正三角形的三个角頂种植)。这样种法不但提高密植程度,还可以为植物創造更适宜生长的营养面和空間位置。我在数学教学中向同学們介紹了这种方法并作初步的分析,引起了大家对这問題的注意和研究,并企图用正五角形、正六角形、…、任意凸的正n角形来种植。下面談談我对这問題的认识。定理有一公共頂点,以該頂点为角頂的所有頂角之和等于一周角的全等凸正n边形,有且只有正三边形、正四边形、正六边形。 証.设符合定理条件的正n边形用m个頂角可以围成一周角(m≥3),因为正n边形的一个內角等于     

对"两个有趣的几何发现"一文的修正及改进

文[1]给出了两个几何结论及一个猜想,具体如下: 定理1:若凸m边形内有互不相同且任意三点都不共线的n(n∈N*)个点,把这n个点再加上m边形的m个顶点共有m+n个点作为顶点,连线组成互不重叠的小三角形,则一共可以组成的小三角形的个数为f(m,n)=m+2n-2.     

正素数边形任何三条对角线形内不共点

whc57是杨之先生在1986年提出的一个猜想：当n为奇数时,正n边形的任何三条或三条以上对角线在形内不共点(参见[1])．本文证明n为素数时猜想成立．