Nonlinear sway-buckling of geometrically imperfect rectangular frames

Summary By using as model an unbraced rectangular frame, the effect of geometric imperfections due to right angle deviations is thoroughly discussed. It is found that the value of the angle between the center lines of the two members is of decisive importance for the response of the frame. There is a critical angle for which the response of the frame changes from buckling to unbuckled states exhibiting a monotonically rising equilibrium path. It is shown that this critical angle depends on the column slenderness ratio as well as on the length and moment of inertia ratio of the two members. Moreover, formulas for direct evaluation of the critical angle as well as of the load-carrying capacity of the frame are established.

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Nichtlineares Knicken geometrisch imperfekter rechtwinkliger Rahmen

Übersicht Mit Hilfe eines aus zwei Balken bestehenden, rechtwinkligen Rahmens wird der Einfluß geometrischer Imperfektionen untersucht. Es zeigt sich, daß die Größe des Winkels zwischen den beiden Rahmenteilen entscheidenden Einfluß auf das Verhalten des Rahmens hat. Es gibt einen kritischen Wert des Winkels, für den aus dem Knickproblem ein Spannungsproblem wird. Es wird gezeigt, daß dieser kritische Wert von den Verhältnissen der Schlankheitsgrade, der Längen und der Trägheitsmomente der beiden Balken abhängt. Außerdem werden Formeln zur direkten Ermittlung des kritischen Winkels und der Traglast des Rahmens gegeben.

     

Turbulente Strömungen in divergenten Kanälen

Zusammenfassung Die theoretische Behandlung turbulenter Grenzschichtströmungen mit mittlerem und starkem Druckanstieg erfordert die Berücksichtigung des Einflusses des Druckgradienten bis zur Wand hin. Unter Zugrundelegung des Prandtlschen Schubspannungsansatzes wird als Verallgemeinerung des logarithmischen Geschwindigkeitsgesetzes ein Wandgesetz abgeleitet, das diesem Einfluß in Wandnähe Rechnung trägt. Die empirischen Koeffizienten des Wandgesetzes sind die beiden empirischen Koeffizienten des logarithmischen Gesetzes und vom Druckgradienten der Strömung unabhängig. Das Wandgesetz kann unter Umständen dazu dienen, die Wandschubspannung aus der experimentellen Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe zu bestimmen.Der theoretischen Untersuchung turbulenter Strömungen in ebenen Diffusoren werden die bekannten Messungen Nikuradses zugrunde gelegt. Es zeigt sich, daß bereits mittels des Wandgesetzes Druckgradient, Wandschubspannung und Geschwindigkeitsverteilung für mittleren Druckanstieg in brauchbarer Näherung berechnet werden können. Methodisch wird dabei so vorgegangen, daß die Geschwindigkeitsverteilung über der gesamten Breite der Kanalströmung durch das Wandgesetz approximiert wird. Wandschubspannung und Druckgradient werden dann mittels des Impulssatzes und einer äußeren Randbedingung bestimmt.Eine brauchbare Wiedergabe der experimentellen Werte auch für starken Druckanstieg erzielt man, wenn man als approximierende Funktion eine analytische Weiterentwicklung des Wandgesetzes ins Innere der Grenzschichtströmung hinein benutzt. Diese analytische Weiterentwicklung ist charakterisiert durch Berücksichtigung der Trägheitskräfte in erster Näherung und Berücksichtigung des Vorganges der turbulenten Mischung in zweiter Näherung, d. h. Einbeziehung des zweiten Gliedes der Taylorentwicklung der Mischungswegfunktion in die Rechnung. Der dabei auftretende dritte empirische Koeffizient erweist sich als vom Druckgradienten unabhängig und ist darüber hinaus als universelle Konstante anzusehen.     

The frequency criterion for thermally induced vibrations in elastic beams

Summary Thermally induced vibration in elastic beams, also known as thermal flutter, has not yet found a satisfactory treatment. The sheer weight of complications has so far rendered, and may indeed permanently render, a unified treatment impossible. In the present paper a frequency criterion is established which essentially defines the strength of the thermal excitation. Since damping is inevitably present, the thermal excitation must be large enough to overcome damping. After introducing a thermal time constant it is shown that at a critical frequency, the thermal excitation reaches a maximum. For practical cases, this critical frequency is very small, as typical structural frequencies go. Thus only systems with very low eigenfrequencies can be expected to tend to flutter thermally.

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Übersicht Durch Wärmeeinstrahlung verursachtes Schwingungsverhalten von Tubularbalken, sogenanntes Wärmeflattern, hat bisher noch keine zufriedenstellende allgemeingültige Beschreibung gefunden. Die Zahl der verschiedenen Einflüsse, die berücksichtigt werden müßten, ist in der Tat so groß, das es bisher noch nicht gelungen ist, den Problemkreis in seiner Gesamtheit zu erfassen und es sieht ganz so aus, als ob dies vielleicht nie gelingen wird. In der vorliegenden Arbeit wird ein Frequenzkriterium erstellt, das auf der Stärke der Schwingungserregung durch die Wärmeeinstrahlung beruht. Da Dämpfung bestimmt existiert, muß die Schwingungserregung durch die Wärmeeinstrahlung nicht nur vorhanden, sondern auch größer als die Dämpfung sein. Nach Einführung einer Wärmezeitkonstanten wird gezeigt, daß die Schwingungserregung ihren Höchstwert erreicht, wenn die Eigenfrequenz des Tubularbalkens einen gewissen kritischen Wert annimmt. In allen Fällen von praktischem Interesse ist diese kritische Frequenz übrigens so gering, daß nur bei Balken mit extrem niedriger Eigenfrequenz mit Wärmeflattern gerechnet werden kann.

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Dedicated to Prof. Dr.-Ing. Th. Lehmann on the occasion of his sixtieth birthday     

Neuere Vorstellungen über den Einfluß der Geschwindigkeit auf die Schmierung beim Kaltwalzen

Zusammenfassung Ausgehend von einigen neueren Angaben im Schrifttum wird gezeigt, daß beim Kaltwalzen von Bändern der Reibungsbeiwert im Walzspalt mit wachsender Walzgeschwindigkeit abnimmt. Zur Erklärung dieses Verhaltens müssen rheologische Vorgänge im Walzspalt angenommen werden. Die besondere Kinematik des Walzens läßt vermuten, daß sich der Schmierstoff dabei nicht reinviskos, sondern viskoelastisch verhält. An Hand eines Kraft-Weg-Schaubildes für die Federkraft des Walzgerüstes und die zur plastischen Umformung des Bandes nötige Walzkraft werden die Rückwirkungen der mit der Geschwindigkeit veränderten Schmierung auf die Walzkraft und die Enddicke des Bandes erläutert. Neben der Walzspaltschmierung ist dabei auch die Lagerschmierung zu berücksichtigen, wenn die Walzen in Ölflutlagern laufen. Ihr Zusammenspiel wird für das Anfahren und Abbremsen einer Kaltwalzstraße veranschaulicht.Vorgetragen auf der Rheologen-Tagung vom 15. bis 17. Mai 1962 in Berlin-Dahlem.     

Die Wechselwirkung zwischen Schwinger und Antrieb bei erzwungenen Schwingungen

de]Zusammenfassung Die bei erzwungenen Schwingungen mit Rückwirkung des Schwingers auf den Antrieb auftretenden Erscheinungen wurden untersucht. Dabei ergaben sich als wichtigste Eigenschaften:Bei einer mit der Drehzahl fallenden Momentenkennlinie, wie sie z. B. im Arbeitsbereich von Elektromotoren meist vorliegt, können unter den hier angegebenen Bedingungen beim Durchfahren der kritischen Drehzahl Amplituden- und Frequenzsprünge auftreten.Im Gebiet der Resonanz ergeben sich neuartige Bedingungen für die Stabilität von stationären Schwingungszuständen. Es wurde gezeigt, daß die Stabilität von der Neigung der Momentenkurve und vom Größenverhältnis von Motor und Schwinger abhängt. Die normierte Darstellung ermöglicht es, die Stabilitätsbedingungen für beliebige Schwinger des behandelten Typs rasch quantitativ zu berechnen.Die erhaltenen Ergebnisse haben unmittelbare praktische Bedeutung für Systeme, die im Resonanzgebiet arbeiten. Das ist z. B. bei Schwingsieben und Schwingförderrinnen der Fall. Auch beim Hochfahren und Anlaufen von überkritisch laufenden Maschinen können die hier beschriebenen Erscheinungen vorkommen und müssen gegebenenfalls berücksichtigt werden.     

The mass-centre motion of a continuously variable system of particles

Summary The vector differential equation of the mass-centre motion of a variable system of particles is found, provided that the mass variation is extended continuously on the whole (or on a part of the) surface bounding the system. Also an application is given.

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Die Bewegung des Massenmittelpunktes eines stetig veränderlichen Systems von MassenpunktenTeil 2

Übersicht Die vektorielle Differentialgleichung für die Bewegung des Massenmittelpunktes eines variablen Systems von Partikeln wird hergeleitet unter der Voraussetzung, daß der Massenstrom kontinuierlich verteilt ist über die Oberfläche des Systems (oder einen Teil von ihr). Ein Anwendungsbeispiel wird vorgestellt.

     

Die 84-Minuten-Abstimmung beim Kreisel- und beim Raumkompaß

Zusammenfassung Bekanntlich muß bei allen Kreiselkompaßtypen zur Vermeidung von Beschleunigungseinflüssen auf die Kompaßanzeige bei Fahrt- und Kursänderungen die Meridianschwingungsdauer des Kreiselsystems auf 84 Minuten abgestimmt werden. Die diesbezügliche Bedingungsgleichung wird in Strenge für den schnellen Kreisel abgeleitet. Der Kreiseldrehimpuls ist danach durch das Schwererichtmoment vorgeschrieben, aber auch noch durch die geographische Breite, die Fahrtgeschwindigkeit und den Kurs. Wenn es gelingt, die Bedingungsgleichung exakt zu erfüllen, gelangt man zum sogenannten Raumkompaß, welcher nicht nur unter Beachtung des Fahrtfehlers die Nordrichtung, sondern auch den wahren Horizont bei beliebigen Fahrtbewegungen des Fahrzeuges auf der Erdoberfläche exakt anzeigt. Die Diskussion der Bedingungsgleichung führt über den bekannten Raumkompaß von Anschütz hinaus zu weiteren Verfahren, den Raumkonipaß zu verwirklichen. Es wird darauf hingewiesen, daß bei den handelsüblichen Kreiselkompassen die Fahrtgeschwindigkeitsabhängigkeit in der Bedingungsgleichung stets vernachlässigt wird und die Abhängigkeit von der geographischen Breite meistens nur für eine Breite erfüllt ist, und daß infolgedessen mit kleineren Fehlern für Azimut und Horizontlage bei den Fahrzeugmanövern zu rechnen ist. Schließlich wird darauf hingewiesen, daß mit der. Schaffung des Raumkompasses auch die Aufgabe der Inertial-Navigation, die Messung der Fahrt über Grund, im Prinzip zu lösen ist.     

A theoretical study on fiber spinnability

Summary A theoretical investigation on fiber spinnability is undertaken, by formulating the force balance equation for a steady liquid thread under axial tension. In order to investigate the effect of the elastic properties of a spin dope, a simple model of a three-constantOldroyd fluid is chosen to solve the force balance equation. In the present study the effect of a hardening process (coagulation in wet spinning and cooling in melt spinning) is not considered, which confines our investigation to a very short distance from the face of the spinnerette. However, the approach taken in the present investigation is justifiable because in practice the breakdown of a thread in fiber spinning is believed to occur at a very short distance from the spinnerette. Prom the solution of the force balance equation a relation between the pullaway tension and jet stretch is obtained, with the elasticity of the spin dope as parameter. A criterion for spinnability is introduced in terms of the critical tensile stress which is the characteristic of a given spin dope. Some of the results are presented and discussed.

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Zusammenfassung Durch Formulierung einer Gleichung für das Kräftegleichgewicht einer stationären Flüssigkeit unter axialer Spannung wird die Spinnfähigkeit von Fasern theoretisch untersucht. Um den Einfluß der elastischen Eigenschaften auf eine Spinnflüssigkeit zu bestimmen, wird ein einfaches Modell einer dreikonstantigen Oldroyd-Flüssigkeit zur Lösung der Gleichung benutzt. In der vorliegenden Arbeit wird der Einfluß des Erstarrungsprozesses (Koagulation beim Naßspinnen und Abkühlung beim Schmelzspinnen) nicht betrachtet, so daß sich die Untersuchungen auf einen kurzen Bereich nach Austritt aus der Spinndüse beschränken. Dennoch erscheint die bei diesen Untersuchungen vorgenommene Näherung gerechtfertigt, weil man in der Praxis annimmt, daß ein Fadenbruch beim Spinnen in einem kurzen Abstand von der Spinndüse auftritt. Aus der Lösung dieser Gleichung wird eine Beziehung zwischen der Abzugsspannung und Strahldehnung abgeleitet mit der Elastizität der Spinnflüssigkeit als Parameter. Ein Kriterium für die Spinnbarkeit wird in Abhängigkeit von der kritischen Dehnspannung, die charakteristisch ist für eine gegebene Spinnflüssigkeit, eingeführt. Einige Ergebnisse werden mitgeteilt und diskutiert.

     

Geometrically nonlinear elastic toroidal shells with open profiles—stability analysis and a design concept

Summary The paper deals with the stability and some aspects of optimal design with respect to stability of geometrically nonlinear, elastic toroidal shells with open profiles. Shells rotationally symmetric in the narrower sense (toroidal segments) as well as in the broader sense (toroidal shell-arches), subjected to external pressure or to a combined loading (pressure and overall bending), are considered. The influence of the pressure distribution on its critical value as well as the post-buckling behaviour are discussed for the toroidal segments with various boundary conditions. The instability modes of the shell-arches for linear trajectories of the combined loading are also analysed. A double step parametrical optimization consisting of a midsurface design (1st step) and a design with respect to the thickness of the wall (2nd step) is performed for a toroidal segment. Constant distance between the supports and constant area of the meridional cross-section are applied as the constraints, respectively

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Geometrisch nichtlineare, elastische toroidale Schalen mit offenem Profil—Stabilitätsanalyse und ein Konzept der Gestaltung

Übersicht Die Stabilität und einige Aspekte der Optimierung in Hinblick auf die kritische Belastung, von geometrisch nichtlinearen, elastischen Toroidalschalen mit offenem Profil werden untersucht. Sowohl die rotationssymmetrischen Schalen im engeren Sinn (Toroidalsegmente) als auch im weiteren Sinn (toroidale Schalenbogen), unter Außendruck oder Außendruck und globaler biegung werden analysiert. Der Zusammenhang zwischen der Außendruck verteilung und dem kritischen Wert des Druckes, aber auch das nachkritische Verhalten werden für die Toroidalsegmente untersucht. Für lineare Trajektorien der komplexen Belastung lassen sich die Formen der Instabilität der toroidalen Schalenbogen ermitteln. Das Konzept der einfachen., zweistufigen, parametrischen Optimierung, derer Bestandteile die Mittelflächengestaltung (erste Stufe) und die optimale Wanddickeauslegung (zweite Stufe) bilden, wird entwickelt, Konstanter Abstand zwischen den Stützen und konstante Fläche des meridionalen Querschnitts bilden die entsprechenden geometrischen Beschränkungen.

     

Determination of stability in nonlinear analysis of structures

Summary This paper present a systematic study of the problems of structural nonlinear instability. Emphasis is on the treatment of coincident critical points and the development of available theory making it possible to explore all postbuckling paths. To achieve such an aim, the paper first studies the asymptotic forms of general postbuckling equlibrium equations in the neighbourhood of a critical point. It is found that the asymptotic equations are different from each other for types of different critical points. These different asymptotic equations are derived and the stability is determined numerically.

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Stabilitätsbestimmung in der nichtlinearen Strukturanalyse

Übersicht Der Beitrag zeigt eine systematische Studie zu Problemen der Instabilität nichtlinearer Strukturen. Der Schwerpunkt liegt auf der Behandlung von koinzidenten kritischen Punkten und der Entwicklung einer Theory zur Auffindung aller Nachbeulzweige. Hierzu werden zunächst die asymptotischen Formen der allgemeinen Nachbeul-Gleichgewichtsgleichungen in der Umgebung eines kritischen Punktes untersucht. Es zeigt sich, daß sich die asymptotischen Gleichungen für Typen verschiedener kritischer Punkte voneinander unterscheiden. Diese unterschiedlichen asymptotischen Gleichungen werden hergeleitet und die Stabilität wird numerisch bestimmt.

     

Dynamic coefficient of an elastically supported,pre-stressed beam

Summary An analysis is made of the problem of vibrations of a beam with an axial force resting on eltstic foundation, when the beam is uniform and of finite length and is subjected to an impulsive load. The solution is presented within the framework of a beam theory which includes the effects of shear deformation and rotary inertia. An example is provided where the dynamic coefficient for the bending moment is calculated. From the results of theoretical analysis, it becomes evident that the axial force in the beam and the stiffness of the foundation have considerable effect upon the dynamical behaviour of the system.

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Übersicht Die Schwingungen eines auf elastischer Grundlage liegenden Balkens, der durch eine Axialkraft beansprucht ist, werden für den Fall analysiert, daß der Balken gleichförmig und von endlicher Länge ist, und daß eine Schlagbelastung an dem Balken angreift. Die Lösung wird innerhalb der Balkentheorie gegeben, die die Wirkung der Schubverformung und die Drehträgheit berücksichtigt. In einem Beispiel wird der Schwing-beiwert für das Biegemoment ermittelt. Die Ergebnisse zeigen, da\ die Axialkraft und die Steifigkeit der elastischen Grundlage auf das dynamische Verhalten des Systems erheblichen Einfluß haben.

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The author wishes to acknowledge the consistent guidance and encouragent of Professor H, Saito of Tohoku University.     

On the large postbuckling response of nonconservative continuous systems

Summary The large postbuckling response of a uniform cantilever beam subjected to a partial follower compressive load of constant magnitude is presented. The range of values of the nonconservativeness loading parameter for which a divergence instability occurs is theoretically established. The boundary between divergence and flutter instability corresponds to a double critical point where the first and second buckling loads (eigenvalues) coincide. It was also theoretically established that the critical points corresponding to these loads are stable symmetric. Except of the double critical point, the buckling loads of the first and second eigenmodes are distinct for the entire region of the nonconservativeness loading parameter. However, this is not true for the corresponding postbuckling paths. Indeed using an elastica analysis suitable for rotations up to 360°, it was found that at a certain critical tip rotation depending on the value of the nonconservativeness parameter the first and second postbuckling modes meet each other asymptotically. Numerical results have been obtained using various approximate analytic techniques which are checked by the method of elliptic integrals as well as the numerical schemes of Adams and Runge-Kutta.

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Groß Nachbeulantworten nichtkonservativer kontinuierlicher Systeme

Übersicht Vorgestellt wird das große Nachbeulverhalten eines gleichförmigen Auslegers unter einer teilweise folgenden Drucklast konstanter Größe. Der Bereich des Lastparameters der Nichtkonservativität, für den Verzweigungsinstabilität auftritt, wird theoretisch ermittelt. Die Grenze zwischen Verzweigung und Flattern entspricht einem zweifachen kritischen Punkt, in dem die erste und zweite Beullast zusammenfallen. Ebenfalls theoretisch wird gezeigt, daß die kritischen Punkte zu diesen Lasten stabil symmetrisch sind. Mit Ausnahme des zweifachen kritischen Punktes sind die Beullasten der ersten und zweiten Eigenform im ganzen Bereich des Parameters der Nichtkonservativität verschieden. Dies gilt nicht für die zugehörigen Nachbeulpfade. Vielmehr zeigt eine für große Drehungen bis 360° gültige Analyse der Biegelinie, daß bei einer bestimmten kritischen Stabenddrehung, die vom Parameter der Nichtkonservativität abhängt, erste und zweite Eigenform sich asymptotisch angleichen. Numerische Ergebnisse werden nach verschiedenen analytischen Näherungsmethoden gewonnen und mit der Methode der elliptischen Integrale sowie den numerischen Methoden nach Runge-Kutta bzw. Adams verglichen.

     

Lösung von Verzweigungsproblemen und Traglastproblemen bei einer Klasse nichtlinearer Randwertprobleme der Kontinuumsmechanik

Übersicht Eine einparametrige Klasse von Randwertproblemen wird vorgegeben. Es werden die Grundlagen für die Berechnung von kritischen Werten des Parameters dargestellt. Es zeigt sich, daß man dazu i. a. ein nichtlineares Eigenwertproblem zu lösen hat. Insbesondere wird eine Klasse nichtlinearer Stoffgesetze diskutiert, bei der man zur Ermittlung von kritischen Werten des Parameters ein lineares Eigenwertproblem zu lösen hat. Die sich hieraus ergebenden Möglichkeiten werden anhand der Lösung von zwei unterschiedlich scheinenden Problemstellungen verdeutlicht: Zunächst wird das Problem der Imperfektions-sensitivität einer radial gedrückten Kreisplatte behandelt. Anschließend wird in derselben Verfahrensweise die Traglast eines über einen glatten, flachen Stempel belasteten Halbraums ermittelt.

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Solution of bifurcation problems and limit load problems in certain non-linear boundary-value problems of continuum mechanics

Summary A one parameter class of boundary-value problems is considered. The theoretical foundation for the calculation of critical values of the parameter is summarised. It turns out that in general the calculation of critical values of the parameter leads to a nonlinear Eigenvalue problem. In detail a class of nonlinear material laws is discussed where the calculation of critical values of the parameter leads to a linear Eigenvalue problem. As applications of the method derived in this paper first the problem of the imperfection sensitivity of a circular plate is studied. Second, the limit load problem of a plane semi-infinite medium indented by a smooth flat die is solved.

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Diese Arbeit ist im Rahmen der Tätigkeit des Verfassers in der von der Deutschen Forschungsgemeinschaft geförderten Forschergruppe Felsmechanische Elemente und Systeme entstanden     

Finite element stability analysis of pre-twisted Beck's column

Summary This paper presents a stability and vibration analysis of a pre-twisted cantilever column subjected to vertical and follower loads at its free end. The investigation is carried out using finite element modelling where the effects of transverse shear deformation and rotatory inertia are taken into account in deriving the element matrices. By using the assembly procedure and imposing the boundary conditions, a relationship between the load and vibration frequency is obtained. The critical, divergence and flutter, loads are calculated by evaluating the relationship and shown in figures for various values of non-conservativeness parameter, of twist angle, and those of rigidity ratio.

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Untersuchung der Stabilität des verwundenen Beck-Stabes mit Finiten Elementen

Übersicht Dieser Aufsatz stellt eine Stabilitäts- und Schwingungsuntersuchung des vorverwundenen, einseitig eingespannten Stabes dar, der an seinem freien Ende vertikalen und mitgehenden Lasten ausgesetzt ist. In der Untersuchung wird die Methode der finiten Elemente angewendet, und in der Herleitung der Elementmatrizen werden die Einflüsse der Schubspannungen infolge der Querkraft und der Rotationsträgheit berücksichtigt. Eine Beziehung zwischen der Last und der Schwingungsfrequenz wird dadurch ermittelt, daß man die Gesamtssystemmatrix bildet und die Randbedingungen anwendet. Durch die Auswertung der Beziehung werden die kritischen Divergenz- und Flatterlasten für verschiedene Werte des Nichtkonservativitätsparameters, des Verwindungswinkels und des Steifigkeitsverhältnisses ermittelt und in Bildern dargestellt.

     

Räumliche Verzweigungsprobleme des dünnen elastischen Stabes mit endlichen Verformungen

Übersicht Mit Hilfe der Kreiselanalogie von Kirchhoff werden räumliche Knickprobleme von dünnen elastischen Stäben mit endlicher Verformung exakt behandelt. Es wird gezeigt, daß der beidseitig eingespannte gerade Stab neben der Euler-Last noch eine weitere kritische Kraft besitzt, bei der die stabile, ebene Biegelinie in eine unstabile Raumkurve übergeht. Die strenge Untersuchung des Kippens eines Balkens unter einem Moment führt — bei Verzicht auf jegliche Linearisierung — auf eine Kippformel, welche die Prandtlsche Lösung als Spezialfall zwar enthält, aber nicht mit den Ergebnissen einer verbesserten linearisierteri Theorie übereinstimmt. Als Schlußfolgerung wird die Tatsache bestätigt, daß bei Problemen mit endlichen Verformungen des Ausgangssystems, die Annahme des indifferenten Gleichgewichtes für den kritischen Zustand nicht zulässig ist.

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Summary The paper deals with stability problems of slender rods characterised by large deflections in three dimensions. Kirchhoff's analogy between the motion of a gyroscope and the equilibrium of a slender rod is used. In addition to the critical Euler-load a rod with both ends rigidly supported is shown to have a further critical load beyond which the deflection curve is no longer a plane one. Two additional problems of a similar nature are treated without linearization of the basic differential equations.

     

Über die dynamische Stabilität des Hubschraubers mit angelenkten Flügeln

Zusammenfassung Für den Hubschrauber mit angelenkten Flügeln wird die dynamische Stabilität bei kleinen Störbewegungen aus der Fluglage des Schwebens am Ort untersucht. Bei einem solchen Hubschrauber ist Stabilität praktisch kaum erreichbar, doch lassen sich Maßnahmen angeben, durch welche die Schwingungszeit der selbsterregten Schwingungen des Flugzeuges verlängert und ihre Anfachung verringert wird, so daß dann annähernd Indifferenz vorliegt. Im Gegensatz zu Schrauben mit starr an die Rotorwelle angeschlossenen Flügeln addieren sich die Wirkungen der Kreiselkräfte zweier Schrauben auch bei Gegenläufigkeit der Schrauben und erzeugen bei Drehbewegungen des Flugzeuges eine lineare Dämpfung, die ausschlaggebend für die Stabilitäts- und Steuereigenschaften des Hubschraubers ist. Daß auch bei fehlender Stabilität eine gesteuerte Stabilisierung eines Hubschraubers mit angelenkten Blättern möglich ist, zeigen die erfolgreichen Flüge verschiedener Hubschrauber, vor allem die bekannten Flüge des Fockeschen Hubschraubermusters FW 61.Die vorstehende Arbeit ist eine Mitteilung der Anton Flettner G. m. b. H. Flugzeugbau in Berlin-Johannisthal.     

Active control of elastic plates

Summary Structural control involves frequently the control of continuous structural components leading to problems described by partial differential equations. Since in addition the control operator makes the problems in many cases non-selfadjoint, one is faced with a non-trivial situation. Due to non-selfadjointness, design based on a modal technique may exhibit spillover: That is instability of the controlled system due to the detrimental effect of higher modes which have been neglected in the design. Therefore, the design should be based on closed form solutions. In this paper, it is shown that for a plate such closed form solutions can be found. It is also shown that the controlled plates behave satisfactorily, and it is indicated that the structural parameter associated with the non-selfadjoint control operator should be positive, yet limited from above, in order to ensure an adequate and stable response of the controlled plate.

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Aktive Regelung elastischer Platten

Übersicht Die Regelung von Baukonstruktionen schließt häufig die Regelung von kontinuierlichen Bauelementen ein, was zu partiellen Differentialgleichungen führt. Da der Regelungs-Operator die Probleme noch dazu nichtselbstadjungiert macht, steht man einer nichttrivialen Situation gegenüber. Wegen der Nichtselbstadjungiertheit kann ein Entwurf des Regelungssystems mittels Eigenfunktionentwicklung zu spillover führen: Das ist Instabilität des Regelungsystems auf Grund des destabilisierenden Effekts von höheren Eigenfunktionen, die beim Entwurf vernachlässigt worden sind. Deshalb sollte ein Entwurf unter Benutzung geschlossener Lösungen erfolgen. In dieser Arbeit wird gezeigt, daß für eine Platte solche geschlossenen Lösungen gefunden werden können. Es wird auch gezeigt, daß sich die Platte unter der Regelung zufriedenstellend verhält, und es wird angedeutet, daß der strukturelle Parameter, welcher mit dem nichtselbstadjungierten Regelungs-Operator verknüpft ist, positiv sein soll, jedoch von oben her begrenzt, wenn angemessenes und stabiles Verhalten der geregelten Platte gewährleistet sein soll.

     

Das nicht-klassische Verhalten fluider Stoffe im kritischen Zustand

Zusammenfassung Bei der Aufstellung von technischen Zustandsgleichungen benutzt man meist Reihenentwicklungen, die am kritischen Punkt, wie auch die klassische van der Waals'sche Zustandsgleichung, analytisch sind. Dabei wird vielfach die analytische Formulierung als physikalisch not-wendiges Prinzip vertreten. In den letzten Jahren aber wurde durch eingehende experimentelle und theoretische Forschung deutlich, daß Phasenübergänge an kritischen Punkten einen asymptotischen nicht-analytischen Charakter haben und die Annahme einer am kritischen Punkt analytischen Zustandsgleichung sehr unrealistisch ist. Es wird eine Zustandsgleichung vorgeschlagen, die am kritischen Punkt nicht analytisch ist, die Meßwerte gut wiedergibt und nach der Gas- und Flüssigkeitsseite hin leicht zu erweitern ist.

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The non-classical behaviour of fluids at the critical state

In formulating technical equations of state, series expressions are used which are analytic at the critical point as the classical van der Waals equation of state is. In many cases the analytical formulation is considered to be the physically necessary principle. In recent years, however, detailed experimental and theoretical research has shown that changes of phase at critical points have an asymptotic nonanalytic character and assumption of an analytic equation of state at the critical point appears unrealistic. An equation of state is suggested, non-analytic at the critical point, which provides good representation of experimental data and possible expansion into the gas- and liquid region.

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Prof. Dr.-Ing. U. Grigull zum 60. Geburtstag.     

The effect of shear and rotary inertia of a rotor at its critical speeds

Summary This paper deals with the eigenfrequencies of flexural vibration of a homogeneous rotor model which includes shear, rotary inertia and the gyroscopic effect. A formula for the critical speeds of this rotor has also been found. It appears that the effect of these factors is smaller when the critical speed increases and the ratio of slenderness of a rotor decreases.

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Der Einfluß von Querschub und Drehträgheit eines Rotors bei seinen kritischen Drehzahlen

Übersicht Betrachtet wird das Problem der Eigenfrequenz bei Biegeschwingungen eines homogenen Rotor-modells, das den Einfluß der Querkraft, der Drehträgheit und des Kreiseleffekts berücksichtigt. Es zeigt sich, daß der Effekt dieser Einflußgrößen mit anwachsender kritischer Drehzahl und abnehmendem Schlankheitsgrad des Rotors kleiner wird.

     

The free motion of a sphere in a rotating fluid

Summary The free motion of a sphere in a fluid with solid body rotation is considered. The equations of motion of the sphere are formulated and a theoretical model for the surface force is introduced. From theory it follows that after commencement of the motion the horizontal part of the trajectory of the sphere is a logarithmic spiral. This result is verified by experiment. It was also found experimentally that the drag of the sphere is considerably higher than that of a sphere moving in a non-rotating fluid. The flow around the sphere is asymmetrical thus producing a dynamic lift during the motion. This points to the existence of a Taylor-column moving with the sphere. The results make it possible to compute not only the forces acting on the surface but also the trajectory of the sphere.

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Übersicht Es wird die freie Bewegung einer Kugel in einem starr rotierenden Fluid behandelt. Die Bewegungsgleichungen für die Kugel werden aufgestellt, ein Ansatz für die auf die Kugel wirkende Oberflächenkraft wird eingeführt. Aus der Theorie ergibt sich, daß nach einem Anlaufvorgang der horizontale Anteil der Kugelbahnkurve einer logarithmischen Spirale entspricht. Das wird experimentell bestätigt. Außerdem ergeben die Experimente, daß der Widerstand der Kugel beträchtlich höher ist als er von Kugelbewegungen in nichtrotierenden Fluiden her bekannt ist und daß die Kugel unsymmetrisch umströmt wird und so einen dynamischen Auftrieb erfährt. Dieses deutet darauf hin, daß Taylor-Säulen die Kugelbewegung beeinflussen. Die gemessenen Ergebnisse ermöglichen es, sowohl die Oberflächenkräfte als auch die horizontale Bahnkurve der Kugel zu berechnen.