楊輝弧矢公式質疑

在科舉大衆1954年5月號上,讀到許蒓舫所著介紹元代数學家郭守敬的文章,文中論及郭氏“弧矢割圓術”是由沈括“會圓公式”和楊輝“弧矢公式”合併變化而成,此說早見於李儼中國算學小史、中國算學史等書中,如此論証固屬正確,但其中“楊輝公式”一語,似頗有疑問之處。许李二先生所稱之“楊輝公式”,當即載於楊氏田畝比類乘除捷法一書中者,為參考之便,錄共題、術於下: [題]:圓田於內截弧矢田一段,弦長十二步、矢闊四步,問圓田元(原)徑幾步? [輝術曰]:半弦自乘為實,以矢除,而併矢,即圓田徑步也。 將此“輝術”譯成公式,就是:     

数理邏辑的簡单介紹

我国的讀者近来已越來越多地对数理邏輯发生兴趣了,这是一个很好的現象。它表明了我国大众已經开始重視这門重要的科学;从而将使这門科学在我們祖国的土地上开出光輝灿烂的花朵来。但是一般讀者每每詢問下列一連串問題:数理邏輯是怎样的一門科学?它研究什么?有什么主要內容?学习它时需要什么预备知識?有什么主要参考书?……这些問題如果得不到很好的回答,对数理邏輯的学习将受到不良的影响。本文的目的想介紹数理邏輯的主要內容,部分地回答上述各問題。由于数理邏輯內容的丰富,任何人想在一篇短文內加以介紹,势必掛一漏万。再由于作者水平不够,本文必然会詳略失宜甚至含有严重的錯誤。因此讀者必須用批判的眼光来閱读它,这样才可以不因本文可能出現的錯誤而受到影响。否則本文原来的目的不但沒有达到反而带來了流弊了。数理邏輯簡史数理邏輯的內容是非常丰富的,要介紹它真是不知从何說起。現在我們先从它的发展过程来說起吧。因为一件东西,无論多么复杂,如果能够从它的发展史来看,每每极易得出它的基本特性的。     

关于中学数学教学里的“近似計算”

关于中学教学里近似計算內容应讲到怎样的深度与广度、怎样安排等問題,是历來研討的問題之一,現将陈定中、徐荣信两同志的文章綜合发表如下,供讀者参考。     

中算史料展覽会簡介

中算史專家李儼光生藏书的展览会,不久以前在北京举行了。李先生共藏了670种中算書籍,共一千五、六百册、另外还有手抄本和照片多种。展出的書籍中,很多是我国的算書名著,如算經十書就是1084年 (宋元丰7年)所有的算晝十种,內容是解决來自实际的天文、地理等方面的问題。在名著中,还有宋代秦九韶的数書九章,是記載“大衍求一術”和数字高次方程解法的古算書;元代朱世傑著的四元平鑑和算学啟蒙,李治著的測图海鏡和益古演政,明代程大位著的算法統宗,徐光启译述的几何原本,編寫的数理精蕴等,其他有很多当时的算書名著,都在会上展了出來,使我們欣賞了祖国数学名著的真蹟。     

關於“數学中的無窮”一文中的幾點說明

本刊1955年1月号發表了苏联科学院阔尔莫果洛夫院士的“數学中的無窮”一文,因該文很简略,其內容較深,有些讀者提出了一些問題。現由該文譁者罗國光先生就某些读者所提的問題作了一些補充說明,現在發表在这里,以供参考。     

綜合大学数学專业基本課程介紹

我們常常接到讀者的来信,問到如何自修数学,並且希望我們介紹一下綜合大学数学專業的课程名称以及所用的教科書。为了统一回答提出这一方面問題的讀者,我們現在参考北京大学数学專業1956—1957学年中課程开設的情况介紹一下各年級的課程。     

九章算術方程術校勘记

十一世紀以前的九章算術經過轉輾傳鈔,錯誤與脫落的字很多,宋元豐中,秘書省刻算經十書時,雖然曾經請李籍等“鉤校”過,誤文奪字還是不能避免,後來的刻本與抄本,非但不能改善,而且因為籌算失傳,九章術文難以瞭解,文字的混亂現象比以前更厲害了,我們研究數學史的,若不通過校勘工作,決不能發掘古代數學的真意,現在通行板本的九章算術都是孔氏微波榭本的翻印本,是經過戴震校勘過的,但是戴震沒有做好他的工作,在有些地方,他自作聰明地硬把原本不錯的文字改掉,後來的讀者很容易給他蒙蔽而引起誤會,在九章算術方程章裏,消去一未知量項是用“直除”法的,劉徽注解釋“直除”法的應用也很清楚,戴震用明朝數學書(例如程大位算法統宗等)中所提倡互乘相消法去改寫劉徽注原文,犯了重大的錯誤,幸虧我們還有楊輝詳解九章演算法、永樂大典本與毛氏汲古閣影宋抄本九章算術作為依據,可以糾正他的錯誤。方程章第一問術文劉徽注,依據楊輝詳解九章演算法引與永樂大典本,都說:“先令右行上禾乘中行為齊同之意,為齊同者,謂中行直減右行也,從簡易,雖不言齊同,以齊同之意觀之,其義     

电子計算机

精密机械和計算技術研究院(?)設計的快速电子計算机“(?)”已經在苏联科学院工作了三年多了,計算机是科学家進行研究工作的有力工具,它使科学家以完全新的方式去接近物理、力学、天文、化学等各領域中的重要問題,使之廣泛的应用近代數学分析的方法。計算机每分鐘平均完成7,000-8,000算術运算,这時不能不記住,有經驗的計算者用手搖計算器(?)每班能完成2,000算術运算,因此在計算机上幾小時可完成有經驗的計算者一生所不能完成的計算,一部这样的計算机代替了由幾万人所組成的龐大的計算大軍,要幾万平方公尺的面積才能容納得了这些人。     

关于在高中平面几何课中的近似計算問題

我們知道,經常遇到的近似計算題,一般可分两类:(一)知道了施行計算的近似值的精确度,要决定計算結果的精确度,(二)恰好与(一)相反,已知計算結果需要有的精确度,而要决定施行計算的近似值应取的精确度——有預先给定精确度的計算。在現行教科书第六章內,有大量的属于第(二)类的近似計算问題,而課本上却沒有必要的讲解与提示:而又不为教师所注意,也有很多学生在解这类問題时产生錯誤。因此,我想就課本內的一些关于圆的周长与面积的近似计算問題加以說明,引起教师对这一段教材的注意,又可供中学生在学习过程中的参考。下面就对这些問題加以探討,希望同志們多加批評指导。一、目前的中学数学課程中还沒有系統地讲近似計算的理論知識,因此,我們尽量使演算过程直观,形象,避免过多的理論叙述,由于在課本內的問題均是有     

数学各科是如何联系的

我想就这个問題談淡我自己的看法,但是必須声明一點,我所指的數学並不是全部現代數学,而是指的中等学校的數学課程,同時我也只準备就中等学校數学课的教材与教法兩方面進行分析。 (一)算術是其他各科的基礎 我們在小学校裹已经讀了六年的算術,升到中学以後还要再讀上一年,这个問題从我作学生的時候起就經常在我腦子裹盤旋着,我不理解为什么要左反右覆地学習那枯燥無味的算術。中学數学教学大綱中寫道:“算術教学的目的在於教会学生自觉地、迅速地、確信地和最合理地進行整數和分數的演算,教会学生应用所獲得的知識去解应用題並完成具有实际性的簡單計算,”“初中一年級系統地講授算術課程,能使学生切实地、深入地学習系統的理論材料,並     

介紹新編初中算術課本

人民教育出版社根据中学數学教学大綱(修訂草案)的指示、苏联中学算術課本和習題本的內容所編寫的初中算術課本,在1955年秋季開始在全國各地試用、筆者有机会参加了这个課本的編寫工作、在編寫过程中更進一步地体会到了教学大綱与苏联教材的优越性、現僅对於課本的編排系統和其他的幾个問題談談我个人的看法,做为学習教学大綱和苏联教材的初步体会,願和全國數学教師共同作進一步研究。一.課本的編排系統 進入初中一年級的学生,他們已經在小学中学了六年算術,从小学算術教学大綱的要求和实际程度來看,他們对於整數和度量衡的知識是已經有了鞏固的基礎的。因此,初中算術的教学就应当在簡單扼要地復習完这些內容之後,着重地來教分數(包括小數),以及屬於算術应用方面的百分法和比例等材料,当然为了学習分数,又必須事先很好地学習有關數的整除的一些知識     

希尔伯脫的“幾何学基礎”及其在问題的歷史發展中的地位(續)

第一章包含我們會敍述過的公理法,而且它也包含著最直接地從公理得出的一系列定理,讀者有必要注意到掌握這些定理的證明的會部重要性,檢查甚至記憶希爾伯脫的系統的全部公理,是頗不困難的,可是如果不學會實際上運用這些公理,就是在這些公理的基礎上嚴密邏輯地來證明這些定理,那麼對於數學的發展是毫無用處的。希爾伯脫的敍述每次重版都是向著更容易理解與更完備這一面改變的,雖然,在其中到現在還有不少的在證明上的空白,讓讀者來補充它們,究其實,這樣的情況有力地減低了該書的教育價值,問題不僅在於若干省略了的證明是相當困難的地方,還更重要是別的,初學者甚至在已經作出證明之後,未必能夠有把握地了解他的證明在邏輯的方面是否無可責難,或者在其中某些地方難入從直觀所假借來的假設:所以編者和譯者抱定目標,用附在該書後面(原書403-488頁)的附錄來補足敍述的空白。     

大家談

本刊在最近連續發表了几篇介紹高等数学基本概念的文章,以后还將繼續登載这样的文章,編委会在四月号上写了一封“致讀者”的信,来說明我們所以这样做的原因,三个月来,我們接到了一些讀者的来信,提出了一些意見,其中有一个共同的問題:在讀者的进修中,本刊应該起什么样的作用? 同时,在“向科学进軍”的号召下,有更多的讀者写信来,要求帮助解决:拟訂进修計划、进行进修和克服自修中所遇到的困难等問題。     

圓周率3927/1250的作者究竟是誰?它是怎樣得來的?

在九章算術方田章的劉徽注中,我們看到他的周率157:50,和另外一個更精密的周率3927:1250,注中說明第一個周率是從計算圓內接正192邊形的面積得來的,第二個周率是用計算圓內接正5072邊形的面積來證實的,文氣連貫,不像是兩個人的手筆,在他敍述第一個周率的後面,注者援引“晉武庫中漢朝王莽(所)作銅斛”的銘文,而劉徽注九章算術又明明有魏景元四年的自序,在時間上似乎有些矛盾。又,本節李淳風等注釋的最後幾句話是:“今者修撰,(?)摭諸家,考其是非,沖之為密,故顯之於徽術之下,冀學者之所裁焉,”清代李潢(?—1811)撰九章算術細草圖說,因為懷疑從“晉武庫”以後一段注文是祖沖之的話,就是李淳風等所謂“顯之於徽術之下”的,這樣把這第二個周率的創設歸功於二百年後的祖沖之了,事實上,九章算術,方田,少廣,商功,三章中有關圓面積的問題,原有的答案都依照“徑一週三”計算,劉徽注用他的第一個周率157:50來修正,李淳風等注釋又補用祖沖之的約率,π=22/7的演算法,李淳風等以為π=22/7比π=157/50尤為精密,所謂“顯之於徽術之下”的是在“徽術”之後添上“密     

π≒3927/1250的作者和祖沖之的圓周率算法

一.引言中國數学史上现有很多懸案和爭論,例如勾股普遍定理最早的發現者为誰?“九章算術”的成書時代等等。但在1956年5月“數学通報”上又提了这样一个問題,即:圓周率3927/1250为誰所首創?其中錢宝琮教授認为是刘徽;而孫熾甫同志則主張是祖沖之,这兩种看法是不同的,在此以前也曾有过爭論,現在筆者也想就这問題發表一點管見,另外一个問題就是祖沖之的各种圓周率值是怎样求得的,尤其其中对於355/113一值的求得有兩种不同的主張:一是得自“調日法;一是得自連分數法,而筆者尚有第三种不成熟的看法,也在这裏介糾出來,請大家指教, 二.π≒3927/1250的作者 關於3927/1250的最早記載是在“九章算術”注中,而其注者最早的是刘徽,其後有祖沖之、甄鷟     

致讀者信

亲爱的讀者: 本刊今年已經出版五期了,在这五期中您认为哪些内容对您的帮助较大;哪些內容可以不必刊登;还有哪些內容是您或您周围的同志所需要的而本刊没有刊登;您认为本刊所采用的分数学分析、代数、几何三科系統提高的方式是否合适;新学科介绍的文章是否通俗易懂,今后該怎样做更合适;您认为不定期的刊登問題解答栏是否必要,该如何改进;还有     

三角形与四边形面积的分割

在1961—1962年北京出版社出版的平面几何課本(北京市初級中学試用課本)內,有关多边形的面积的教材,已不立专章讲授,而将其中最基本的部分(計算的与作图的),分編于各有关章节內。虽然如此,笔者认为如果把同一类型的問題整理在一起,作为学生的課外短篇讀物,对于学生还是有益的。     

我是这样教算術应用题的

在初中算術教材中应用題佔的分量此較多;而一般学生对学这類題材大都感觉困难,因此要怎样教好算術应用題,確是數学教師当前最重要的任务,我在教应用題的時候,除了注意逐步分析和运用圖解外,还經常重視分散教材难點,和不断啓發学生積極思考,据个人体驗,这兩方面如能正確地恰当地加以运用,不但教師講課時輕鬆愉快,学生听課也会發生兴趣,現在我把这兩方面的一點初步認識和运用情况分别介紹於下: 一.分散难點把關鍵性的問題联系舊教材提出来 數学教材的思想性科学性及系統性都是很嚴密而完整的,它的內容的安排,那是由簡到繁,思想的發展都是由具体到抽象,數理的分析都是由已知到未知。所以教材中凡是較繁的問題,都是由幾个簡單的問題結合起來的。凡是抽象的問題,都是由一些具     

我對於代數學教程中關於近似计算法的一點意見

最近教師們在使用中等技術學校代數學教程時,發現下面幾個問題: (1) 在第二章“近似算法”中,存疑數字的定義不够確印嚴密; (2) 準確有效數字和存疑數字的兩個定義不相啣接; (3) 在第四章開平方的近似算法中違反前面自己所立的法則(乘法); (4) 還違反了自己所立的四捨五入法 這樣就使教師們和同學們發生疑難,為了更好的學習蘇聯,讓我把該書的主要精神指出,並對錯誤部分提出一些補充和修正意見;還希望大家提供意見,來解决在使用教材中所發生的疑難問題。 (一) 該書關於“近似算法”的主要精神,在結合四捨五入法提出準確有效數字的定義 (1) 該書首先介紹數的四捨五入法(§19)這是最好的近似數的記法,測量值的記法是和四捨五入法一致的,也以誤差不超過最精細單位的     

“不等式”的練习題

下面介紹的练习題是我們的工作經驗的結果,其中一部分是果尔坚科在莫斯科市教师进修学院听課时作的学年作业的內容。 絕大部分练习题作者們在十年級复习八、九年級代数課时运用过。如果讀者认为在自己的工作中这些綜习題可用,他們还可以毫不費事地自編若干类似的练习题。方括弧里的是答案。 1.算术根第一組练习題是用来巩固算术根的概念的。这里研究的是从根号內提出因式和根式乘除的练习題。下面举的例子可以作为証明題用,证明时必須回答:当字母取哪些值时:給定的恆等式才能成立。这些练习題还可以作为根式运算題用,在进行根式运算时要指出,字母取哪些值时才能进行变換。