Zur Theorie der Verzweigungen nicht-isothermer elastoplastischer Deformationen

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird eine allgemeine Theorie nicht-isothermer Verzweigungen für kompressible elasto-plastische Körper entwickelt. Im Bereich plastischer Deformationen wird dabei ausgegangen von einer gekoppelten Plastizitätstheorie mit Normalenregel und einer Fließbedingung nach von Mises. Zur Bestimmung der Verzweigungslast wird ein inkrementelles Randwertproblem formuliert, dessen Lösungen auf Eindeutigkeit untersucht werden. Zur Veranschaulichung wird diese Theorie angewendet auf die Lösung des Einschnürproblems für zylindrische Zugproben.

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Summary The paper presents a theory of non-isothermal bifurcation of deformations for compressible elasticplastic bodies. The constitutive relations introduced are based on a coupled thermoplasticity with J ₂-flow theory and von Mises yield criterion in the plastic range. To determine the critical load a rate boundary value problem is formulated and tested for nonunique modes of deformation. The general analysis is applied to the necking process in cylindrical specimens.

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Die vorliegende Arbeit entstand während eines Studienaufenthaltes des zweitgenannten Autors am Institut für Mechanik der Ruhr-Universität Bochum. Herrn Prof. Dr.-Ing. Th. Lehmann sowie der Alexander von Humboldt-Stiftung, die diesen Aufenthalt ermöglichten, sei dafür an dieser Stelle gedankt.     

Zur Bestimmung der Verwölbungen und Profilverformungen von elastischen Stäben mit beliebigen und dünnwandigen Querschnitten

Übersicht Eine bereits vorgestellte Theorie, die eine schrittweise Bestimmung der Verwölbungen und Profilverformungen von Stäben mit beliebiger Querschnittsform ermöglicht, wird zusammengefaßt und hinsichtlich des Problems gekoppelter Biegung und Torsion erweitert. Dabei wird auf einer allgemeinen Approximationsstufe die Lage des Schub und Drillruhepunkts für das zugehörige Verwölbungsproblem angegeben und die Einführung von Hilfskräften zur Erzeugung von Gleichgewichtszuständen für das zugehörige Profilverformungsproblem erörtert. Die Theorie wird anschließend auf Stäbe mit dünnwandigen Querschnitten spezialisiert, Beispiele aus der Ingenieurpraxis sollen die Anwendbarkeit des Verfahrens zeigen.

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On the determination of cross-sectional warpings and distortions of bars with arbitrary and thin-walled cross-sections

Summary An already presented theory which allows for a stepwise determination of cross-sectional warpings and distortions of bars with arbitrary cross-sections is summarized and extended with respect to the problem of coupled bending and torsion. On a general approximation level the locations of the shear centers due to bending and torsion are given for the corresponding warping problem and the introduction of auxiliary forces in order to get equilibrated states of stress is discussed for the corresponding distortional problem. The theory is then specialized to bars with thin-walled cross-sections. Examples from the engineering practice shall demonstrate the applicability of the method.

     

Zur zyklischen elasto-plastischen Torsion des Kreiszylinders bei endlichen Verzerrungen

Übersicht Es werden die Grundgleichungen für die elasto-plastische Torsion kreiszylindrischer Körper bei endlichen Verzerrungen aufgestellt und für die zyklische Torsion eines Vollzylinders konstanter Länge näherungsweise gelöst. Für die Spannungsverteilung über den Querschnitt in Abhängigkeit von der Zyklenzahl werden geschlossene Formeln angegeben. Als Stoffgesetz für die plastischen Deformationen wird die Theorie des plastischen Potentials mit der Fließbedingung nach Huber-Mises-Hencky bei isotroper, linearer Werkstoffverfestigung zu Grunde gelegt. Bei der Berücksichtigung des elastischen Anteils der Deformationsgeschwindigkeiten ergibt sich ein Poynting-Effekt, der sich durch Druckspannungen in Achsrichtung äußert.

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Summary The basic equations for the elastic-plastic torsion of cylindrical bodies in the case of finite deformations are stated and are approximately solved for the cyclic torsion of a cylinder of constant length. Formulae are given for the stress distribution of the section depending on the number of cycles. Taking into account the elastic part of the rate of deformation a Poynting effect is obtained which causes axial pressure.

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Die vorliegende Arbeit entstand während eines Studienaufenthaltes des erstgenannten Verfassers am Institut für Mechanik der Ruhr-Universität Bochum. Herrn Professor Dr.-Ing. Th. Lehmann sowie dem Deutschen Akademischen Austauschdienst sei für die Ermöglichung dieses Aufenthaltes herzlich gedankt.     

Zur Stabilität von Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Das Zustandekommen von Instabilitäten des Zellularströmungstyps in der ebenen und kreisförmigen Couette-Strömung aufgrund von Trägheit und Viskoelastizität wird anschaulich gemacht, und es werden die Störungsgleichungen für eine sog. Theorie 2. Ordnung aufgestellt und diskutiert. Diese Gleichungen werden für die ebene Couette-Strömung in vollständiger Form und anschließend für die nicht-ebene Couette-Strömung unter Vernachlässigung der Trägheit gelöst. Man findet, daß in beiden Fällen die sog. zweite Normalspannungs-differenz eine entscheidende Rolle spielt. Weiter wird gezeigt, daß die gefundenen Kriterien auch über den Anwendungsbereich der Theorie 2. Ordnung hinaus als Näherung gültig bleiben, wenn man die darin vorkommenden Materialkonstanten durch die entsprechenden Materialfunktionen ersetzt. Zum Abschluß werden orientierende Versuche mit einer Couette-Apparatur an viskoelastischen Flüssigkeiten beschrieben. In einer Polyisobutylenlösung treten Instabilitäten des diskutierten Typs bereits unter Bedingungen auf, bei denen die Drehzahl etwa 600 mal kleiner ist, als sie für die Erzeugung derartiger Störungen in einer vergleichbaren Newtonschen Flüssigkeit benötigt würde. In einer Al-Naphthenat-Lösung wird außerdem das Einsetzen elastischer Turbulenz beobachtet, wobei die Drehzahl ca. 30 mal kleiner ist, als sie zur Erzeugung von Trägheitsturbulenz sein müßte.

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Summary Instabilities of the cellular type in straight and circular Couette flow as generated by inertia and visco-elasticity are elucidated, and perturbation equations are derived and discussed for a second-order theory. For straight Couette flow these equations are solved in full generality, but for circular Couette flow with neglect of inertia only. It is found that in both cases the so-called second normal-stress difference is of decisive importance. It is shown further, that stability criteria may also be used as a good approximation outside the range of applicability of the second-order theory, if the material constants are substituted by the respective material functions. Finally, some makeshift experiments with viscoelastic fluids in a Couette apparatus are briefly described. A solution of polyisobutylene shows instabilities of the discussed type under conditions in which the rotational speed is about 600 times lower than it should be for generating such disturbances in comparable Newtonian fluids. In a solution of Al-naphthenate, in addition the transition to elastic turbulent flow was observed. Here, the speed was about 30 times lower than it should be to generate inertial turbulence.

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Herrn Dr. phil. W. Meskat zum 60. Geburtstag gewidmet

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Über die Ergebnisse dieser Untersuchung wurde auf der Jahrestagung der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik in Darmstadt am 13. April 1966 berichtet, vgl. (12).

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Herrn Dr.G. Kaufhold und Herrn Stud.-ReferendarH. Schmittmann sei für die Vorbereitung und Durchführung der numerischen Rechnungen, sowie Herrn Dr.J. Pawlowski für die Bestimmung der Fließkurven herzlich gedankt. Den Herren cand. phys.E. Schultes undH. Pickelin gebührt Dank für die sorgfältige Durchführung der Experimente.     

Duale Quaternionen in der Kinematik räumlicher Getriebe. Eine anschauliche Darstellung

Übersicht Euler, Hamilton, Clifford und Study haben die mathematischen Grundlagen für die kinematische Analyse räumlicher Bewegungen geschaffen. Keler und Yang haben auf dieser Basis Verfahren für technische Zwecke formuliert und angewendet. Die vorliegende Arbeit hat das Ziel, die wesentlichen Elemente der Theorie möglichst anschaulich und mathematisch möglichst einfach darzustellen. Als Beispiel dient ein schon von Yang gewähltes Getriebe. Abschließend wird gezeigt, welche Bedeutung Ergebnisse der Anwendung der Theorie für Untersuchungen über das dynamische Verhalten von Getrieben haben.

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Summary The mathematical foundation for analytical methods in the kinematics of spatial linkages was laid by Euler, Hamilton, Clifford and Study. Keler and Yang were the first to formulate on this basis a systematic analytical procedure for engineering applications. The purpose of the present paper is to give with as little mathematics as possible simple geometrical interpretations for the essential elements of the theory. As an illustrative example a linkage is chosen which was analyzed by Yang already. It is demonstrated how the theory can be used in investigations of the dynamics of spatial linkages.

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Dedicated to Prof. Sigurd Falk on the occasion of his sixtieth birthday     

Die Knickung verwundener Stäbe als technisches Beispiel zur Schaeferschen Theorie zweiparametriger Eigenwertprobleme

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird die Schaefersche Theorie zweiparametriger Eigenwertaufgaben auf die Knickung verwundener Stäbe angewendet. Es wird gezeigt, daß die Schaefersche Theorie die schnelle Abschätzung der kritischen Lasten für die verwundenen Knickstäbe ermöglicht und daß der dabei begangene Fehler für alle technischen Zwecke zu vernachlässigen ist.

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Summary This paper deals with an application of Schaefer's theory of two-parametric eigenvalue problems to the stability of twisted columns. It is shown that Schaefer's theory allows a quick estimate of the critical loads of the twisted columns and that the error involved in such an estimate may be neglected for all technical purposes.

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Herrn Prof. Dr.-Ing. Hermann Schaefer zum 60. Geburtstag gewidmet. Die Verfasser danken der Deutschen Forschungsgemeinschaft für die Unterstützung dieser Arbeit.     

Some new applications of Weinstein-Aronszajn's determinants-Part 2

Summary Originally these determinants (or matrices) had an important role in the theory of finite dimensionally perturbated linear operators describing for example oscillations of a system with distributed parameters only. Part 1 of this paper — published in the same journal — tried to focus attention to the fact that eigenvalue problems of coupled continuous and discrete systems can be elucidated from a new point of view if the title's determinants and elementary distributional calculus are applied for these tasks. In this area, this Part 2 develops the following subjects: Some new possibilities of the solution on inverse eigenvalue problems, eigenvalue counting formulas and a new variant of it, perturbation of a continuum with a mass point having rotational inertia, and derivation of the equation of coupled systems.

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Einige neue Anwendungen der Weinstein-Aronszajnschen Determinanten-Teil 2

Übersicht Diese Determinanten (oder Matrizen) spielten ursprünglich nur eine wichtige Rolle in der Theorie der endlich-dimensional gestörten linearen Operatoren, die z. B. Schwingungen von Systemen mit verteilten Parameter beschreiben können. Teil 1 dieser Arbeit — erschienen in dieser Zeitschrift — richtete die Aufmerksamkeit auf die Tatsache, daß Eigenwertprobleme von gekoppelten kontinuierlichen und diskreten Systemen von einem neuen Gesichtspunkt aus beleuchtet werden können, wenn diese Determinanten und elementare Regeln des Distributionskalküls für diese Aufgaben angewendet werden. Dieser zweite Teil behandelt aus diesem Gebiet die folgenden Themen: Einige neue Möglichkeiten für die Lösung von inversen Eigenwertaufgaben, Eigenwertabzähl-Formeln und eine neue Version davon, die Störung eines Kontinuums durch eine Masse mit Rotationsträgheit und die Herleitung der Eigenfrequenz-Gleichung von gekoppelten Systemen.

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Dedicated to Professor W. H. Wittrick, pioneer of frequency counting formulas     

Eine numerische Methode zur Lösung der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale,inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte

Übersicht Es wird eine Differenzenmethode zur numerischen Integration der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale, inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte beschrieben. Zur Verringerung des Rechenaufwandes wird angenommen, daß die Platte Symmetrieebene der Strömung ist. Die Ergebnisse einiger Testrechnungen für die Strömung längs einer endlich langen sowie einer unendlich langen Platte werden mit den Näherungslösungen von Blasius für die Plattengrenzschicht und von Goldstein für die Nachlaufströmung verglichen. Dabei zeigt sich deutlich die Stromaufwärtswirkung der Plattenvorderkante auf die ankommende Strömung und der Plattenhinterkante auf die Grenzschicht kurz vor dem Plattenende.

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Summary A difference method will be described for the numerical integration of the Navier-Stokes equations for the two-dimensional, incompressible, steady flow along a flat thin plate. To reduce the computation time the plate is assumed to be the symmetry plane of the flow. The results of some computation tests for the flow along a plate of finite and infinite length, are compared with the approximate solutions of Blasius for the boundary-layer flow and of Goldstein for the wake behind the plate. The upstream effect of the leading edge on the incoming flow and of the trailing edge on the boundary layer shortly before the end of the plate becomes visible.

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Auszug aus dem Bericht UW 62/70-ö der Messerschmitt-Bölkow-Blohm GmbH, Ottobrunn. Die Arbeit ist Teil des Forschungsauftrages T 01-830-I-205 des Bundesministeriums der Verteidigung.     

Untersuchungen zur Dynamik von Magnetschwebefahrzeugen auf elastischen Fahrwegen

Übersicht Es werden Methoden entwickelt, mit deren Hilfe man das dynamische Verhalten von Magnetschwebefahrzeugen auf elastischen Fahrwegen untersuchen kann. Ausgehend von einer Analyse des Fahrzeugs, der Magnetstellglieder und des Fahrwegs wird in systematischer Weise das mathematische Modell des Gesamtsystems aufgebaut. Es ergeben sich lineare Zustandsgleichungen mit periodisch zeitvariablen Koeffizienten und springenden Zustandsgrößen. Sie bilden die Grundlage für die Berechnung der Stabilitätsbedingungen und der stationären Lösung sowie für eine numerische Simulation. Die Leistungsfähigkeit der Methoden wird anhand eines Beispiels demonstriert.

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Summary Methods are developed to investigate the dynamical behaviour of magnetically levitated vehicles on flexible guideways. Starting with the analysis of vehicle, suspension and guideway the mathematical model of the closed-loop system is obtained in a systematic way. The results are linear state equations with periodically time-varying coefficients and jumping states. They underlie the evaluation of stability conditions and steady-state responses as well as numerical simulation procedures. The efficiency of the methods is demonstrated by an example.

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Die Untersuchungen wurden mit Mitteln des Bundesministeriums für Forschung und Technologie gefördert.     

Das Kriechverhalten von gefrorenem Lockergestein im Zusammenhang mit der bautechnischen Anwendung des Gefrierverfahrens

Zusammenfassung Im Rahmen der vorliegenden Untersuchungen, die durch die Ausarbeitung eines Gutachtens über die Anwendbarkeit des Gefrierverfahrens bei einem konkreten Bauvorhaben veranlaßt waren, konnte kurz auf die mechanischen und hydromechanischen Vorgänge bei der Frostkörperbildung eingegangen und der Einfluß des Gefrier-Tau-Wechsels auf die Bodeneigenschaften besprochen werden. Es wurde weiterhin dargelegt, daß als Voraussetzung für die richtige Beurteilung der Standsicherheit eines belasteten Frostkörpers einmal die Kenntnis der zeitabhängigen Bruchfestigkeit des gefrorenen Lockergesteins anzusehen ist und zum anderen der Zusammenhang zwischen Beanspruchung und Verformung im Frostkörper bekannt sein muß. Daraus ergibt sich die Notwendigkeit der Durchführung von Kriechversuchen, für die zur Erfassung des Spannungszustandes eine triaxiale Versuchseinrichtung gewählt werden sollte.

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Summary The mechanical and hydromechanical reactions in application of the artificial soil freezing and the influences of the change from freezing to thawing in view to the soil properties were discussed. Then it was shown, that for determination of the stability of any loaded frozen soil sphere in construction, it is necessary to know the time-depended strength of the frozen soil and the relation between stress and strain of the frozen soil. Therefore the creep of frozen soil has to be studied by triaxial tests.

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Erweiterte Fassung eines auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft am 8. April 1965 in Bad Nauheim gehaltenen Vortrages.

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Der Verfasser ist seinen Kollegen in der Abteilung Geotechnik des Bayerischen Geologischen Landesamtes für wertvolle Diskussionen zu Dank verpflichtet.     

On the propagation of flexural waves in anisotropic bars

Summary Propagation of flexural waves in circularly cylindrical bars of anisotropic material on the basis of the exact three-dimensional theory of elasticity of small deformations is considered, the rigor of the analysis being the same as the one of the Pochhammer-Chree theory. A system of the governing equations of motion for the cylindrical orthotropy (its axis coinciding with the axis of the bar) is derived and expressed in terms of radial, tangential and axial displacement components. For a steady-state sinusoidal flexural wave the system reduces to coupled ordinary second order differential equations with a regular singular point. Solution for a transversely isotropic is obtained by means of Frobenius series method. Upon using two or three terms of the series approximate dispersion relations for isotropic material as well as for the pyrolytic graphite type material and two other types of anisotropic materials are obtained and illustrated by graphs. Higher order modes than those already known are found.

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Übersicht Die Fortpflanzung von Biegewellen in kreiszylindrischen Balken aus anisotropem Material wird auf der Grundlage der exakten dreidimensionalen Elastizitätstheorie kleiner Verformungen betrachtet. Die Strenge der hier gegebenen Untersuchungen entspricht der in der Theorie von Pochhammer-Chree. Das System der Bewegungsgleichungen wird für zylindrische Orthotropie, deren Achse mit der Balkenachse zusammenfällt, abgeleitet und durch die radialen, atngentialen und axialen Verschiebungskomponenten ausgedrückt. Das System reduziert sich im Fall einer stationären sinusförmigen Biegewelle auf gekoppelte, gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung mit einem singulären Punkt. Lösungen für transversale Isotropie werden mit Hilfe der Reihenmethode von Frobenius abgeleitet. Unter Verwendung von zwei oder drei Gliedern dieser Reihen werden angenäherte Dispersionsbeziehungen sowohl für isotropes Material als auch für Material vom Typ pyrolytischen Graphits und für zwei andere Typen anisotropischer Materialien erhalten und graphisch dargestellt. Es werden Schwingungsformen gefunden, die von höherer Ordnung als die bisher bekannten sind.

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Research supported by a grant of the National Science Foundation.     

Finite plane strain problems for compressible elastic solids: General solution and volume changes

Summary We are concerned with the analytic solution of finite plane-strain boundary-value problems for compressible isotropic elastic solids. A new formulation of the governing equations is presented which leads to an explicit representation for their general solution in respect of a particular class of strain-energy functions. In order to study the effects of the non-linearity of the constitutive law in more detail a specific boundaryvalue problem is solved in closed form. The nature of the volume changes predicted by the theory is then examined.

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Zusammenfassung Behandelt werden analytische Lösungen für Randwertprobleme endlicher ebener Verzerrungszustände in kompressiblen isotropen elastischen Festkörpern. Es wird eine neue Formulierung der Grundgleichungen gegeben, die zu einer expliziten Darstellung ihrer allgemeinen Lösung in bezug auf eine besondere Klasse von elastischen Potentialen führt. Um die Effekte der Nichtlinearität der Materialgleichung genauer zu studieren, wird ein geeignetes Randwertproblem in geschlossener Form gelöst. Sodann werden die von der Theorie vorausgesagten Volumenänderungen untersucht.

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Presented under the titleVolume changes associated with finite elastic deformations.     

A potential theory for the steady separated flow about an aerofoil section

Summary An incompressible potential flow theory is used to determine the steady separated flow about an aerofoil. The theory permits a continuous variation from fully-attached (Joukowski) flow to fully-separated (Helmholtz) flow, with the Kutta condition always satisfied at the trailing edge, and with the position of the separation point as an assignable parameter to determine the flow configuration. The method is also applicable to other flows such as that about a flat plate with a rear free-stream flap.

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Eine Potentialtheorie für stationäre abgelöste Strömung um ein Tragflügelprofil

Übersicht Zur Bestimmung der stationären abgelösten Strömung um einen Tragflügel wird eine Potentialtheorie für inkompressible Strömung benutzt. Die Theorie erlaubt eine stetige Variation von vollständig anliegender Strömung (Joukowski) bis zu vollständig abgelöster Strömung (Helmholtz), wobei stets die Kutta-Bedingung an der Flügelhinterkante erfüllt ist und die Lage des Ablösepunktes ein Parameter ist, der das Strömungsbild festlegt. Die Theorie läßt sich auch auf andere Strömungen, etwa um eine ebene Platte mit rückseitiger Freistrahlklappe, anwenden.

     

Second order viscosity approximation for a relaxing gas

Summary If in a moving gas a thermodynamic relaxation process takes place the thermodynamic equilibrium pressure differs from the negative normal stress. To a first approximation the difference is determined by the bulk viscosity of the gas. An already known expression for the bulk viscosity is derived under rather general assumptions about the gas. Furthermore, the difference between thermodynamic equilibrium pressure and normal stress is calculated to a second order approximation. Application of the result to the calculation of shock structure in a relaxing gas shows oscillatory behavior of the upstream flow variables for higher shock strengths. This corresponds to the same behavior of solutions obtained by applying the Burnett-approximation in the kinetic theory of gases to the shock structure problem.

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Übersicht Wenn in einem strömenden Gas thermodynamische Relaxationsprozesse ablaufen, weicht der thermodynamische Gleichgewichtsdruck von der negativen Normalspannung im Gas ab. In erster Näherung wird diese Abweichung durch die Druckzähigkeit des Gases bestimmt. Im folgenden wird ein schon bekannter Ausdruck für die Druckzähigkeit unter allgemeinen Voraussetzungen für das Gas hergeleitet. Außerdem wird die Abweichung zwischen Druck und Normalspannung in nächsthöherer Näherung berechnet. Die Anwendung des Ergebnisses auf die Berechnung der Stoßstruktur in einem relaxierenden Gas zeigt, daß ebenso wie bei Anwendung der Burnett-Näherung der kinetischen Gastheorie auf dieses Problem Oszillationen in den Anströmgrößen für stärkere Stöße auftreten.

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Herrn Professor Dr. H. Görtier aus Anlaß der Vollendung des 60. Lebensjahres gewidmet.

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Diese Arbeit wurde während eines Gastaufenthaltes des Verfassers am Department of Engineering and Applied Science der Yale-University, New-Haven (Conn.) geschrieben.     

Steifigkeitsmatrizen dünnwandiger Stäbe und Stabsysteme

Übersicht Die Steifigkeitsmatrizen dünnwandiger Stäbe werden nach der vereinfachten Theorie im Hauptsystem abgeleitet und auf exzentrische Knotenpunkte transformiert. Die Schubdeformation der Stabmittelfläche wird näherungsweise erfaßt. Neben der wölbfreien und wölbstarren Aussteifung wird die wölbelastische Aussteifung berücksichtigt.

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Summary The stiffness matrices of thin-walled bars are determined and transformed to excentric nodal points starting from the simplified theory. The shear strain of the middle plane of the bar is approximately included. The warping elasticity of the stiffener is considered including free warping and completely suppressed warping.

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Bericht des Instituts für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen der Universität Stuttgart (ISD), Direktor: Professor Dr. Dr. h. c. J. H. Argyris.     

Über die Stabilität der Strömung einer elektrisch leitfähigen,reibungsfreien Flüssigkeit im zylindrischen Ringraum unter dem Einfluß eines axialen Magnetfeldes

Übersicht Es wird die Theorie der Stabilität spiraliger Strömungen im schmalen zylindrischen Ringraum auf den hydromagnetischen Fall erweitert. D. h. die reibungsfreie Flüssigkeit wird zusätzlich als elektrisch unendlich leitfähig vorausgesetzt und steht unter der Wirkung eines axialen Magnetfeldes. Die Stabilitätsuntersuchung führt auf ein Eigenwertproblem einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Dieses Problem kann nur für spezielle Störungen analytisch gelöst werden. Für allgemeine Störungen müssen die Eigenwerte numerisch bestimmt werden. Die Rechnung ergibt, daß in Anwesenheit eines Magnetfeldes immer schwach angefachte Störungen auftreten.

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Summary The stability-theory of helical flows in the narrow gap between coaxial cylinders is extented to the hydromagnetic case. The inviscid fluid is supposed to be ideally conducting and is influenced by an axial magnetic field. The investigation of the stability leads to an eigenvalue-problem of a linear differential-equation of second order, which can be solved analytically only for special disturbances. For arbitrary disturbances numerical methods are required. The results show that in the presence of a magnetic field weak instabilities always exist.

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Gekürzte Fassung der von der Fakultät für Maschinenbau und Elektrotechnik der Technischen Universität Braunschweig genehmigten gleichnamigen Dissertation 1968. (Berichter: Professor Dr. phil. Dr.-Ing. E. h. H. Schlichting und Professor Dr. rer. nat. H. Ludwieg (Göttingen)). Die ausführliche Fassung der Dissertation liegt als Bericht [14] vor.

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Aerodynamische Versuchsanstalt Göttingen.     

Das Fließen ebener Schichten inkompressibler viskoelastischer Flüssigkeiten mit einer in Ablaufrichtung infinitesimal gestörten freien Oberfläche

Zusammenfassung Die rheostatische Aufgabe des isothermen Ablaufens und Verlaufens von nicht flüchtigen, chemisch beständigen und physikalisch homogenen dünnen Schichten (beispielsweise Anstrichschichten) aus inkompressiblen viskoelastischen (Rivlin-Ericksen-) Flüssigkeiten mit einer freien, in Ablaufrichtung infinitesimal gestörten Oberfläche und einer an einem beliebig geneigten, ebenen, nicht saugfähigen Festkörper haftenden Sohle unter dem Einfluß von Schwere und Kapillarität, aber unter Ausschluß von Massenträgheit wird in einer linearen Theorie behandelt.Beim ungestörten Ablaufen werden rheologische Effekte bis zum dritten Grad betrachtet. Effekte geraden Grades treten dann nicht auf. Für die Störströmung wird die Näherung nur bis zum zweiten Grad durchgeführt.Schon beim ersten Grad (Fall der linearen Viskosität) erscheinen wichtige Effekte mit statischen Wanderwellen besonderer Art, die näher erörtert werden.Die viskoelastischen Effekte zweiten Grades werden beim zweidimensionalen Fließen durch genau eine Zeitkonstante vollständig erfaßt. Sie wirken sich nur beim Verlaufen aus, und zwar stets im Sinn einer Verzögerung.Es werden Formeln und Schaubilder über die Abhängigkeit des idealen Fließverhaltens von Schichtdicke und Wellenlänge und schließlich Hinweise auf mögliche Anwendungen für die Materialprüfung, besonders für die Rheometrie bei sehr langsamem Fließen, gegeben. Die vorgestellte Theorie hilft, über die Kenntnis des idealen Fließverhaltens das reale zu deuten und Rückschlüsse auf die Gültigkeit der theoretischen, insbesondere der konstitutiven Annahmen zu ziehen.

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Summary The rheostatic problem of the isothermal sagging and levelling of non-volatile, chemically stable, and physically homogeneous films (exemplified by paint films) of incompressible viscoelastic (Rivlin-Ericksen) fluids with a free surface infinitesimally disturbed in sagging direction, and a bottom interface adhering to an arbitrarily inclined, plane, non-absorbent solid, under the influences of gravity and capillarity, but under exclusion of mass inertia, is treated in a linear theory.In the undisturbed sagging, rheological effects up to the third grade are considered. Effects of even grade, then, do not occur. For the disturbance flow, the approximation is carried through only up to the second grade.Already by the first grade (case of linear viscosity), there appear important effects with static travelling waves of a peculiar kind, which are discussed in detail.The second-grade viscoelastic effects are, in the two-dimensional flow, completely comprehended by one timeconstant. They act only on the levelling, and that always in the sense of a retardation.Formulæs and diagrams representing the dependency of the ideal flow behaviour on film thickness and wavelength, and finally hints on possible applications for testing of materials, especially for rheometry with very slow flow, are given. The presented theory helps, through the knowledge of the ideal flow behaviour, to interpret the real one, and to infer back upon the validity of the theoretical, particularly the constitutive, assumptions.

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Herrn Prof. Dr.-Ing. M.Pfender zum 60. Geburtstag gewidmet

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Die Ergebnisse dieser Untersuchung wurden auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen am 8. Juni 1966 in Berlin-Dahlem vorgetragen; vgl. (65).     

Conservation laws in plate theories

Summary Three conservation laws, expressed in terms of line and surface integrals, are derived for Reissner's transverse shear theory of plates. Mindlin's and Kirchhoff's (or classical) theories are included as particular cases. A physical interpretation of three plate transformations used to obtain the conservation laws is proposed. The path-domain independence property of the integrals, their connection to energy release rates due to cavity motions and their relationships with stress intensity factors are also discussed.

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Erhaltungssätze für Plattentheorien

Übersicht Für Reissner's Theorie von Platten mit Querschub werden drei Erhaltungssätze, die durch Linien- und Flächenintegrale dargestellt werden, hergeleitet. Mindlins und Kirchhoffs Theorie sind als Sonderfälle enthalten. Vorgeschlagen wird eine physikalische Deutung von drei Variablentransformationen der Platte, die zur Herleitung der Erhaltungssätze benutzt werden. Weiterhin wird die Weg-Bereichsunabhängigkeit der Integrale, ihre Verknüpfung mit Energiefreisetzungsraten bei bewegten Löchern und der Zusammenhang mit Spannungsintensitätsfaktoren erörtert.

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on leave from Inst. of Nuclear Research, Swierk, Poland     

Beitrag zum Singularitätenverfahren der Tragflächentheorie bei inkompressibler Strömung

Übersicht Das Singularitätenverfahren der Tragflächentheorie bei inkompressibler Strömung erfährt durch Erweiterung des Gültigkeitsbereiches insbesondere auf die Umgebung der Flügelvorderkante eine bis jetzt noch fehlende Ergänzung. Verfeinerungen und Verbesserungen sowohl des physikalischen als auch des mathematischen Inhalts der Tragflächentheorie werden vorgenommen. Die neuen Erkenntnisse werden an Hand von Rechnungen an vier Flügeln mit verschiedener Grundrißform aufgezeigt.

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Summary The range of validity of the singularity method of the lifting surface theory for incompressible flow is extended to include the leading edge of wings, an area of study till now not fully completed. Some refinements and improvements of the physical and mathematical content of the lifting-surface theory are proposed. Computed results for wings with four different plan-forms are given.

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Gekürzte Fassung der von der Fakultät für Maschinenwesen und Elektrotechnik der TH München genehmigten Dissertation [34]. Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. E. Truckenbrodt und Prof. Dr.-Ing. N. Scholz. Der Verfasser dankt Herrn Prof. Dr.-Ing. E. Truckenbrodt für die Anregung zu dieser Untersuchung und seine wertvollen Hinweise während der Bearbeitung.     

Turbulente Vermischung eines ebenen Strahles in gleichgerichteter Außenströmung

Übersicht Es wird die inkompressible turbulente Vermischung eines ebenen Strahles in gleichgerichteter Außenströmung theoretisch untersucht. Die bisherigen Theorien über dieses Problem sind auf den Fall beschränkt, daß das Verhältnis der Außenstromgeschwindigkeit zur maximalen Übergeschwindigkeit des Strahles kleiner als eins ist. Demgegenüber wird hier eine Näherungstheorie für beliebige Werte dieses Geschwindigkeitsverhältnisses entwickelt. Dabei ergibt sich für die Entwicklung der Strahlvermischung in Strömungsrichtung keine Ähnlichkeit wie bei den beiden bekannten Grenzfällen des Freistrahls und der Windschattenströmung. Der ermittelte Verlauf für die Breitenzunahme der Vermischungszone und für die Abnahme der maximalen Übergeschwindigkeit stimmt gut mit Meßergebnissen überein.

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Summary The turbulent mixing of a plane jet discharging into an external parallel flow is studied theoretically. The known theories on this problem are limited to cases where the ratio of the external stream velocity to the maximum surplus velocity in the jet is smaller than one. In the following an approximate theory for arbitrary values of this ratio is proposed. In general, the development of the jet in the streamwise direction is not governed by a similarity law known to be valid in the two limiting cases, i. e. the free jet and the wake. The increase in jet width and the decrease of the maximum surplus velocity obtained here are seen to be in good agreement with experimental results.

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Professor an der Nagoya Universität, Japan. Diese Arbeit entstand während eines Gastaufenthaltes des Verfassers am Institut für Strömungsmechanik der Technischen Hochschule Braunschweig (Leitung: Prof. Dr. H. Schlichting) in der Zeit von Dezember 1964 bis Oktober 1965. Die Mittel für den Gastaufenthalt wurden dem Verfasser in dankenswerter Weise von der Alexander von Humboldt-Stiftung zur Verfügung gestellt.