直角三角形直角边卷成半圆时斜边所成的曲线

文[1]提出了一种椭圆周长的推导“方法”,认为圆柱面上的半椭圆的展开图为直线段而得到椭圆周长公式为C_椭=2(4a~2 (π~2-4)b~2～(1/2)(a,b分别为椭圆的长、短半轴长),文[2]指出该公式不成立,并得出半椭圆的展开图为三角曲线.事实上,我们知道椭圆周长涉及到第二类椭圆积分,故椭圆周长是不能用初等函数来表示的,然而,文[2]提出了一个没有解决却又耐人寻味的问题如下.问题1既然半椭圆的展开图不是直线,那么将直角三角形(ABC)的一直角边(AC)卷成半圆(如图1,图2),它的斜边(AB)将会是怎样的曲线呢?也就是,如果一只蚂蚁从点A绕圆柱侧面爬行到…     

这个几何体的侧面展开图是等腰三角形吗？

问题 如图1所示，用与圆柱底面不平行且垂直于轴截面的平面截圆柱得一个几何体，将这个几何体按点M将侧面展开，请问其侧面展开图是什么形状？     

棱锥的侧面展开图为三角形的充要条件

在一堂活动课中 ,讲到正棱锥的侧面展开图时 ,有学生回答为三角形 ,通过讨论后学生有了正确的认识 .在课外又有学生提出更一般的问题 :棱锥的侧面展开图会是三角形吗 ?通过折纸实验学生得出了肯定的答案 .进一步地有问题 :什么样的棱锥的侧面展开图才是三角形 ?这是一个有趣的问题 ,在组织学生研究讨论后 ,得到以下结论 :结论 1　正棱锥的侧面展开图不是 (等腰 )三角形 .证　如图 1 ,正ｎ棱锥的侧面展开图中图 1　结论 1图ＳＡ =ＳＢ =… =ＳＡ1,若Ａ ,Ｂ ,… ,Ａ1在一条直线上 ,则以Ｓ为圆心 ,ＳＡ为半径的圆与直线ＡＡ1有ｎ 1个交点 .这…     

椭圆可“展开”成余弦曲线吗?

先看以下一个问题: 题目高为2m,底面半径为r的圆柱,被一个平面截成形状相同的两个几何体(如图1所示),现将实体部分(下半部分)的侧面沿母线AB剪开,则这侧面展开图是( ).     

三种解决方案,哪种对——利用电教手段对一道立体几何问题的探究学习过程实录

1问题及学生的解决方案题目:“要在矩形的纸上画一个底面半径为10cm,高为202cm的圆锥的侧面展开图.这个矩形的长和宽最少要多少?”这是山东省五年制师范学校统编教材《数学》第二册第165页的习题.本题出现在圆锥一节的课后习题中.从知识上讲,它涉及圆锥的高线、母线、侧面展开图等基础知识;从方法上讲,在它的解决过程中,要使用“转化”的思想———化立体为平面这一立体几何最为常用的方法;从解决方案上讲,“长和宽最少要多少”需要我们获得用料最省这一最优方案.本题作为一道探究、实践问题以课后作业的形式布置给学生.不难求出:圆锥的母线…     

直角三角形直角边卷成半圆时斜边所成的曲线

文[1]提出了一种椭圆周长的推导“方法”，认为圆柱面上的半椭圆的展开图为直线段而得到椭圆周长公式为C椭=2√4a^2＋（π^2-4）b^2（a，b分别为椭圆的长、短半轴长），文[2]指出该公式不成立，并得出半椭圆的展开图为三角曲线．事实上，我们知道椭圆周长涉及到第二类椭圆积分，故椭圆周长是不能用初等函数来表示的，然而，文[2]提出了一个没有解决却又耐人寻味的问题如下．     

争鸣

问题问题115对于椭圆的周长,我们给出如下推导方法．把一个长半轴长为a,短半轴长为b的椭圆(图1)放入底面半径为b的圆柱中(足够深),会出现椭圆边缘与圆柱内壁完全闭合(图2)的情形．设此时椭圆在圆柱     

例析立体几何与解析几何的交汇

立体几何与解析几何交汇的学科内综合题 ,以它的新颖性、综合性而“闪亮登场” ,正顺应当前高考命题改革的一个方向———在知识网络交汇点处设计试题 ,在诸多竞赛中也倍受青睐 .这类题目涵盖的知识点多 ,数学思想和方法考查充分 ,解答这类问题 ,要善于在立体几何与解析几何之间转化 ,实现立体几何与解析几何的双过度 .下面分类说明这类题型的解法 .1　立体几何图形截为解析几何图形图 1　例 1图例 1　用一个与圆柱母线成 60°角的平面截圆柱 ,截口是一个椭圆 ,求此椭圆的离心率 .分析　如图 1 ,OA的长度即为椭圆的长半轴长a ,OB的长度为…     

第八届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题参考解答

1．(满分16分)三视图是从主视、左视、俯视三个方向观察物体，得到的平面图形．如图1所示的物体是由一个六棱柱和圆柱组合而成的，主视图显示出正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图显示出正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图显示出一个正六边形和一个圆(中心重合)，图1还给出了三个视图的位置关系．     

一剪刀剪出一条正弦曲线

把一张纸卷到圆柱形的纸筒侧面上 ,卷上几圈 .用剪刀斜着将纸筒剪断 ,再把卷着的纸展开 .你就会看到 :纸的边缘线是一条波浪形的曲线 .你知道吗 ?这条曲线就是正弦曲线 !下面就来证明这一事实 .如图 1,设纸筒底面半径为 1单位长 ,截面 (椭圆面 )与底面所成的二面角为θ(定值 ) ,截口的中心为Ｏ′ .过Ｏ′作圆柱的直截面 ,交截口曲线于两点 .取其中一点为Ｏ ,在过点Ｏ且与圆柱侧面相切的平面内 ,以点Ｏ为坐标原点建立直角坐标系 ,使得ＯＹ轴是圆柱的一条母线 .设点Ｐ是截口曲线上任意一点 ,点Ｑ是点Ｐ在⊙Ｏ′所在平面内的射影 .过Ｑ作ＱＨ⊥…     

从直观感知到度量计算

新课程立体几何教学将培养学生的空间想象能力放在十分重要的位置,不仅重视学生获得知识,更强调获得知识的过程.教学怎样引导学生有效地参与到知识发生、发展的过程中来呢?下面以斜棱柱侧面展开图的探究为例,谈一点认识体会,供大家参考.     

第八届北京高中数学知识应用竞赛决赛

试题 1.(满分16分)三视图是从主视、左视、俯视 三个方向观察物体,得到的平面图形.如图1所示 的物体是由一个六棱柱和圆柱组合而成的,主视 图显示出正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,左视 图显示出正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视 图显示出一个正六边形和一个圆(中心重合),图1 还给出了三个视图的位置关系.     

为什么球面不能展成平面图形

现行人民教育出版社出版高中教本《主体几何》一书中提到:圆柱、圆锥、圆台的表面积公式,都是利用它们的展开图求出的。由于球面不能展成平面图形,所以球的表面积公式无法用展开图求出。为什么球面不能展成平面图形呢?我们可以用以下两个方法来说明。法一:为什么圆柱、圆锥、圆台能够展成平面图形呢?因为在圆柱、圆锥、圆台的表面存在直线,或     

研究性学习的一个案例

任务　对如下问题 1图 1　问题 1图问题 1　已知 :(如图1所示 )正三角形ＡＢＣ的边长为 1 0 ,点Ａ在平面α内 ,点Ｂ ,Ｃ与平面α的距离分别是 4 ,2 ;点Ｂ ,Ｃ在平面α的同侧 ,且Ｂ1,Ｃ1分别是Ｂ ,Ｃ在平面α的射影 ,求 :平面ＡＢＣ与平面α所成的角θ .1 .能用几种方法解决这道问题 ?并请你书写解答过程 .2 .请在查阅数学资料的基础上添加或删减原题中的条件 ,改变问题的结论 ,形成新的数学命题 .3.把你所改编的数学问题给出其尽可能多的不同解答 .4 .在你所改编的或解答的数学问题中 ,可以用到哪些基础知识 ?能列出吗 ?(以上作业必须用书面…     

"长作业"引发探究性学习的一个案例

在传统教学中,学生完成老师布置的作业,只需模仿课堂上学过的方法就能解决.这种布置作业的方式,对巩固基础知识、基本技能、基本方法所起的作用不可低估,但长此以往也会带来弊端:学生沉湎于题海,提出问题能力逐渐减弱,呈现的学习方式是被动地接受.为了改变这种状况,笔者坚持在周末布置长作业,下面是一个案例.在学完圆锥曲线后的一个周末,我布置了如下的长作业:1提供原问题(2004年全国高考天津卷压轴题最后一问)如图1,椭圆x62 y22=1的右准线l与x轴交于点A,右焦点为F,过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点,作P关于x轴的对称点M,AP=λAQ(λ>1),…     

用祖暅原理求椭球体积

文 [1 ]给出了证明球体积公式的又一参照体 ,读后很受启发 .笔者尝试构造椭球的两个参照体 ,分别利用祖日恒原理求椭球的体积 .预备知识1　若椭圆的长、短半轴长分别为a ,b ,则有 :S椭圆 =πab .下面利用面积射影公式S =S射影cosθ作简要证明 :图 1　圆柱如图 1 ,在底面半径为b的圆柱体中 ,作一倾斜角为arccos ba 的截面 ,那么 ,该截面是分别以a ,b为长、短半轴长的椭圆面 .它在圆柱底面上的射影恰好是底面 .由面积射影公式 ,可得 :S椭圆 =S底面cosθ=πb2ba=πab .2　从椭圆上任一点 (非短轴顶点 )引短轴的垂线段 .若垂足到中心的距离为l…     

篮球阴影问题——研究性学习课例示范

1问题1的引入经常打篮球的学生提出一个问题:篮球停止在地面上的时候,太阳光斜照下来,篮球的阴影部分是否是一个椭圆呢?对此可用立体几何、解析几何的原理进行探讨.解法1画图分析,如图1,假设球的半径为R,地面为平面γ,光线与地面所成的角为α,过球心且垂直于光线的平面为φ,它和地面γ的交线为l,平面φ截球面所得的大圆的直径为A′B′,并记二面角γ-l-φ的大小为θ,θ=2π-α.图1点P是阴影曲线上的任一点,它从圆O′上的点P′处射过来的.则PP′⊥φ.因为PP′、PH都是球的切线,所以PP′=PH.作PQ⊥l于Q,则有PPPQ′=sinθ=cosα,PHPQ…     

利用圆锥曲线定义求解一类最值问题

在解析几何中,常会遇到这样的问题,即在圆锥曲线上探寻一点,使之到某一定点及到焦点(或可转化为到准线)的距离之和(或差)具有最大值(或最小值).解决这类问题,若是通过设立动点的坐标,建立目标函数来处理,则会因运算量大而最终无功而返.若能紧扣曲线定义,结合曲线的几何性质来解决,则解法会简捷而优美.让同学理解、活用定义,能培养学生思维的灵活性和变通性.1利用椭圆的第一定义处理图1例1图例1已知点M是椭圆x29 2y5=1上的任意一点,F1是椭圆的左焦点,定点A(1,1),求|MF1| |MA|的最大值及最小值.解析将问题直接思考,则很难利用平面几何知识…     

义务教育七年级数学研究性学习的一个案例

本案例依照北师大版义务教育课程标准实验教科书及其教学参考书 (七年级上册 )的指导思想进行设计和教学 ,文中的问题是以该教科书第 1 1 1页复习题C组第 3题为背景进行加工拓展而成的 ,特此说明 .1　学生作业单之一1 1　动手实践 :操作 1　用棋子摆出图 ( 1 )、( 2 )、( 3) ,数一数 :摆图 ( 1 )用个棋子 ,摆图 ( 2 )用个棋子 ,摆图 ( 3)用个棋子 .操作 2　按照上述方式摆出第 ( 4 )个图形和第 ( 5 )个图形 ,数一数 :摆图 ( 4 )用个棋子 ,摆图 ( 5 )用个棋子 .提示 :摆出第 ( 4 )、( 5 )个图形的方式是否唯一呢 ?1 2　自主探索 :问题 1　…     

一道课本习题的研究性学习——探究椭圆中的两类张角问题

课本例、习题是为学生巩固所学知识,引起认知结构的同化而设计的.在平时的教学中,若对课本例、习题进行适当发散研究,有助于培养学生发现问题、提出问题和解决数学问题的能力,有助于发展学生的创新意识和探究精神.下面仅以一道课本习题为例进行阐述.题目(高中数学新教材第二册(上)P132·T6)在椭圆x245 y220=1上求一点P,使它与两个焦点的连线互相垂直.分析这是道几何背景深刻,耐人寻味的好题,它直接道出了圆与椭圆的内在联系,就是这道小题多次成为高考关键题目的起源地.笔者在教学中引导学生开展了一次数学探究活动.探究1椭圆上动点对两焦…