數学問題及解答欄

205.一點P与△ABC各頂相連,在連綫PA、PB、PC上各取一點A′、B′、C′,使■过A′、B′、C′依次作PA、PB、PC的垂綫,設分别交BC、CA、AB於X、Y、Z,試証X、Y、Z三點共綫。 206.設△ABC与△A′B′C′關於⊙O共軛(即A、B、C分別为B′C′、C′A′、A′B′的極點),求証△ABC与△A′B′C′互相透視,並且透視心是透視軸的極點。 207.證明多項式 f(x)=(1/7)x~7+(1/5)x~5+(1/3)x~3+(34/105)x当x取任何整數時,總是得整數。 208.有13颗珍珠,其中一顆是假的,已     

數学問题及解答欄

1955年12月號問题本期問題的解答請讀者在1956年1月20日以前寄至北京德勝門外北京師範大学數学采轉“數学通報數学問題及解答欄工作組”收。所作解答,务請一題一紙,並一一註明姓名。問題的答案及正確解答者的姓名將在本刊1956年3月号的本欄內公佈。本欄欢迎讀者提出適合大家解答德問題,如已有解法,並希把題解作好一併寄來。本欄稿件,概不退还,請勿附邮票。 210.設兩平行綫l与l′交△ABC的BC、CA、AB边(或延长綫)於X、Y、Z与X′、Y′、Z′,自这些交點各作所在边的垂綫,前三垂綫構成△αβγ,後三垂綫構成△α′β′γ′,求証这兩个三角形的外接圆相切。     

西摩松线的一个性质

大家知道 :三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线 ,这条直线称做该点对于三角形的西摩松线 (Simson) .本文将给出关于三角形西摩松线的一个新性质 .定理　三角形的三个外角平分线与其外接圆交点的西摩松线共点 .已知　如图 1,在△ ABC(AB≥ AC)中 ,X、Y、Z分别是△ ABC三个外角∠ DAB、∠ ABE、∠ BCF的平分线 AX、BY、CZ与△ ABC外接圆的交点 ,且点 Xi、Yi、Zi(i =1,2 ,3)分别是点 X、Y、Z在直线 AB、BC、CA上的射影 .求证　直线 X1 X2 X3 、Y1 Y2 Y3 、Z1 Z2 Z3 三线共点 .先给出一个引理 :引理 [1 ]　…     

三角形的密克点相关的两个结论

<正>密克定理如图1,设△ABC中,如果在BC,CA,AB的所在直线上分别取任意的一点X,Y,Z,那么☉AYZ,☉BXZ,☉CXY共点.证明因为☉BXZ和☉CXY相交一点X,所以它们一定相交于另一点,设为O.连结OX,OY,OZ,则∠AYO=∠CXO=∠BZO,这就说明A,Z,O,Y四点共圆.由此可知☉AYZ,☉BXZ,☉CXY都经过点O,即这三个圆共点.     

三角形等心的寶藏(續)

五§10.三角形中有所謂類似中綫,這是我們所熟知的,類似中綫被三角形的外接圓所截的部分,我們特别稱它為類似弦。設作△ABC的類似弦AD,則ABDC稱為調和四邊形,因為用外接圓上任一點為反演中心而施行反演法,可以把這四邊形的頂點反演為調和點列的原故。這些知識,下面將要用及,希望讀者在前面所舉的書籍中參考一下。定理 I、I_1、I_2、I_3為△ABC的四等心,設將(?)倍增為(?)又各作(?)IBC、ICA、IAB的一類似弦IK_1、IK_2、IK_3,則A′、B′、C′、I_1、I_2、I_3、K_1、K_2、K_3九點共圓。餘類推。 (證) 因為I是△I_1I_2I_3的垂心,所以(?)     

一個作圖題的另外解法

本通報1953年1-2月號發表的“東北敬部編譯「平面幾何」中的三個作圖題”一文中第一題“求作一圓,切於已知角的一邊上的已知點,而於另一邊上截取一弦等於已知綫段”,現有文成宜和王麗庭兩位同志提出另外的解法,但兩位同志的解法賞大致相類,為省篇幅,我們經過改寫合併發表於下。 設P是已知角XOY的OX邊上的一個已知點,l為已知綫段,假定所求圓已經作出,它切OX於P點,截OY得AB弦,有AB=l(這裹AB與OY同向)。今將P點依OY的方向平移至Q點,使PQ=l,於是PQBA為平行四邊形;再以直綫OY為軸將Q點反射得Q′點,則有     

三角形正则点的一个性质

本文给出三角形正则点一个基本性质 :定理　设点 Z在△ ABC三边上的射影分别为D、E、F,则△ DEF为正三角形的充要条件是 Z为△ ABC的正则点 .证明　如图 6,设 Z关于 BC、CA、AB对称点分别是 Z1、Z2 、Z3,则 D、E、F分别是 ZZ1、ZZ2 、ZZ3中点 ,∴　 DE =12 Z1Z2 ,图 6EF =12 Z2     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z,BC、CA、AB边上高的中点分别为X1,Y1,Z1,(如图1).则三直线XX1、YY1、ZZ1共点,且该点恰为△ABC的内心.     

趣谈拿破仑三角形

<正>拿破仑将军是法国赫赫有名的皇帝,他不仅是著名的政治家,军事家,而且是一名有相当造诣的数学爱好者,他曾经提出这样一个问题.若在任意三角形BC的外侧作三个等边三角形△CAB′、△CAB′△ABC′,(如图所示),则它们的中心能构成一个正三角形.(此三角形被称为拿破仑三角形)你能证明这个问题吗?     

三角形内(旁)切圆的一个性质

本文给出关于三角形内(旁)切圆的一个新性质. 定理设△ABC的内(旁)切圆⊙I分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z.过AX和BC的中点D1和D作一直线DD1及类似的直线EE1、FF1(如图1、2),则DD1、EE1、FF1三线共点,且该点恰为△ABC的内(旁)心.     

锐角三角函数在计算圆的半径中的应用

<正>已知三角形一边和对角可以计算三角形外接圆半径,附加三角形为等腰三角形条件,可以确定三角形内切圆的半径.例1(2012年湖北武汉中考第22题)在锐角△ABC中,BC=5,sinA=4/5,(1)如图1,求△ABC的外接圆的直径;(2)如图2,点I为△ABC的内心,若BA=BC,求AI的长.     

相似三角形开放型题解析

相似三角形开放型问题在全国各地的中考试卷中都能见到,本文选析几例供读者参考.例1 (2006年安徽省)如图1,已知△ABC、△DEF均为正三角形,D、E分别在AB、BC上,请找出一个与△DBE相似的三角形并证明.     

拟柱体积与中国堤积公式

§1.拟柱公式 1.拟柱是平面图形梯形概念在三維空間的推广。在平行两直綫上各任取一綫段(图1 AB,CD),又用綫段連結同側端点(如AC,BD)。此四綫段围成的多边形是梯形,三角形、平行四边形是梯形的特殊情况。平行两平面上各任取一多边形(图2“上底”五边     

(一)用高线的位置判定三角形的形状

锐角三角形的三条高线都在三角形的内部,反之亦然。对于后者,可作为判定锐三角形的一条定理。用它来解决下面的出自《立几》教材的一道习题,比其他方法要简捷得多。题:三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°。求证△ABC是锐角三角形。证:作rt△BVC的斜边BC上的高VD,显然VD在△BVC的内部,从而D在BC上。连AD,则AD在△ABC内,由三垂线定理得AD⊥bC,即AD为△ABC的BC上的高,因此∠ABC,∠ACB都为锐角,同理∠BAC也为锐角故△ABC为锐角三角形。     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

一个猜想的否定──莫莱三角形的两个性质

将任意△ABC各内角三等分，每两个角的相邻三等分相交得△PQR（内莫莱三角形），AX、BY、CZ分别为角A、B、C的平分线，且它们与QR、RP、PQ的交点分别为X、Y、Z（阅图1）．季平龙猜想「”：A、X、尸；BJ、Q；C、Z、R分别荣线．本文否定这一猜想．H结出寞京三角形两个三线并点在质。性质ig凸ABC为非着腰三角形，则在上述记自下，人、X、P；B、Y、Q；C、Z、R＄ffi三点不某城．任回纽图1，在西BPC中，由正孩定理而在西ABP5凸ACP中，用正弦定理可得由①、②可得面ABC为非等腰三角形，＆ZBAPfZCAP．又AX为Z人的平分线…     

拿破仑定理背后的故事

1 前言 拿破仑定理是平面几何中一个有名的定理.简述如下([5][6]):任取一平面三角形△ABC,以三条边为底线分别向外作等边三角形△XBC,△YAC,△ZAB,这三个等边三角形的中心(即内切圆心)L,M,N构成一个新的等边三角形△LMN,称作拿破仑外三角形.     

内接三角形的面积公式及其推广

若D,E,F各是△ABC三边BC,CA,AB上的点,则称△DEF为△ABC的内接三角形.如图1. 给定三角形的一个内接三角形,它的面积如何确定.笔者就此作了较为深入的探讨,得出了如下结论.     

中等學校中的非歐幾何(再續)

附录1,第五公设可以用許多其他的命題來代替。在現代的教科書中,通常是以英国數學家普賴依費爾所提出形式,來給出平行線公理。 過直綫外之一點只能引一條直線平行於已給的直綫。換句話說:过直綫外之一點,不可能引兩條直錢平行於已給的直线,