Converging spherical and cylindrical shocks with zero temperature gradient in the rear flow field

Résumé Nous avons étudié les ondes de choc sphériques et cylindriques convergentes près du centre (ou de l'axe) de l'implosion, lorsque celles-ci sont devenues intenses et que l'écoulement qui les suit est devenu «semblable à lui-même», ayant «oublié» les conditions initiales. Un tel écoulement devient probablement isotherme à cause de l'échange thermique intense par conduction ou par rayonnement. Nous avons donc étudié un écoulement isotherme à un moment donné, plutôt que l'écoulement adiabatique habituellement supposé (Guderley, 1942). Les deux genres d'écoulement sont comparés. Nous avons calculé l'exposant de la loi de la propagation des ondes de choc par la règle caractéristique de Whitham (1958) pour des valeurs différentes de =c _p/c _v; nous l'avons comparé avec l'exposant exact obtenu par l'intégration numérique des équations de similarité. Les deux valeurs ne concordent pas aussi bien que lorsque l'on admet que l'écoulement qui suit l'onde de choc est adiabatique.     

Wave propagation and breaking in multidimensional magnetogasdynamic flows

Summary The theory of shocks evolving from weak discontinuities is applied to magnetogasdynamics and worked out in detail for two situations: a spherical disturbance propagating into a uniform magnetic field, and a planar disturbance propagating in the field of a current-carrying wire. For both cases, shock formation is delayed as the magnetoacoustic speed of propagation approaches the Alfvén speed. This agrees with the fact that Alfvén waves do not steepen to form shocks.

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Résumé On applique à la magnétogasdynamique la théorie des ondes de choc produites par l'évolution des discontinuités faibles. On présente des résultats sur la formation de chocs par des ondes magnétoacoustiques. Lorsque la vitesse de propagation de ces ondes se rapproche de la vitesse d'Alfvén, l'apparition des chocs est retardée, en accord avec le résultat bien connu que les ondes d'Alfvén ne se transforment pas pour former des chocs.

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Research supported in part by Grant No. AFOSR-73-2561.     

Some magnetohydrodynamics of a thin body in perpendicular fields

Résumé Dans cet article, on considère le mouvement d'un fluide compressible non visqueux dans un champ magnétique perpendiculaire, en présence d'un corps cylindrique dont la section dans le planx 0y forme un profil mince. La conductivité électrique est infinie. Les forces qui agissent sur le corps ont été calculées.Les équations magnéto-hydrodynamiques sont du type hyperbolique pourB ²<0 et du type hyperliptique pourB ²>0, avecB ² étant défini parB ²A ²+M ²–A ² M ² tandis queA etM représentant respectivement les nombres Alfvén et Mach. On démontre qu'il y a une discontinuité infinie dans les forces qui agissent sur le corps pour quelques valeurs deA etM, à moins qu'on ne transfère la condition Kutta du bord de fuite au bord d'attaque du corps.On démontre également que siB ² est négatif et tend vers zéro, les forces développent une discontinuité infinie, mais que siB ² est positif et tend vers zéro, les forces sont finies pour toutes les valeurs finies deA.     

On the structure of Alfvén shocks

Résumé Nous avons montré que les chocs d'Alfvén en une dimension ne possèdent pas de structure constante dans un fluide incompressible qui est un conducteur d'électricité finie. La structure des chocs d'Alfvén est calculée pour le problème d'un piston uni-dimensionel. En outre, une structure approximative est obtenue pour le choc d'Alfvén oblique.     

Periodic fluid transients in rectangular ducts with transverse magnetic fields,II

Summary This paper treats periodic fluid transients in liquid metals contained in constant-area rectangular ducts with uniform, transverse, applied magnetic fields and with insulating walls parallel to the magnetic field and perfectly conducting walls perpendicular to it. The magnetic Reynolds and Mach numbers are assumed to be small, and the Reynolds number is assumed to be large. First, asymptotic solutions are obtained for small values of the interaction parameter and then approximate solutions are obtained for arbitrary values of the interaction parameter using a Galerkin method with modified Fourier series.

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Résumé Cet article traite des ondes de compression périodiques dans un métal liquide contenu dans une conduite rectangulaire à section rectangulaire constante, à laquelle un champ magnétique transverse et uniforme est appliqué et dont deux parois sont isolantes et parallèles au champ magnétique, les deux autres étant parfaitement conductrices. On admet que le nombre magnétique de Reynolds et le nombre de Mach sont petits et que le nombre de Reynolds est grand. Quand le nombre d'intéraction est petit, les solutions seront asymptotiques et quand le nombre d'intéraction est arbitrarire, on trouvera les solutions approximatives par la méthode de Galerkin avec les series modifiées de Fourier.

     

Sur un théorème de Choquet

Résumé Le but de ce travail est de caractériser les éspaces topologiques qui possèdent la propriété suivant: pour toute famille(f _t ) _{t I} de fonctions numériques définies dansX il existe une partie dénombrableI ₀ de l'ensemble d'indicesI telle que les fonctions inf _tI f _i et inf _tI0 f _i ont la meme régularisation inférieurement semi-continue.On démontre que l'espace topologiqueX possède cette propriété si et seulement si pour tout sous-ensembleA deX il existe une sous-ensemble dénombrableA ₀,A ₀ A tel queA ₀.On généralise un résultat topologique de G. Choquet.

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Sur la caractéristique d'Euler des feuilletages mesurés

On prouve que la caractéristique d'Euler d'un feuilletage mesuré est nulle si et seulement si celui-ci admet un champ tangent transversalement mesurable dont l'ensemble de singularités est de mesure arbitrairement petite. Si le feuilletage est moyennable, alors on peut construire un tel champ sans singularités. Si les feuilles sont de dimension deux, l'annulation de la caractéristique d'Euler implique la moyennabilité ; plus encore, elle équivaut à l'existence d'une action mesurable de R² sur la variété ambiant qui est continue et localement libre sur chaque feuille.     

A uniqueness proof for a class of fluid motions through inhomogeneous porous media

Résumé Le mouvement plan d'un fluide incompressible est considéré dans un milieu poreux nonhomogène. Une courbe ferméeC divise le plan en deux domaines. Les coefficients de filtration du milieu poreux de ces domaines respectifs ont les valeurs constantesk ₁ etk ₂. On trouve queC est un cercle ou une ellipse quand le courant est uniforme à grande distance et que le fluide a une vitesse constante à l'intérieur deC.     

On wave propagation in elastic tubes conducting rotational flows

The propagation of perturbations in liquid filled elastic tubes depends on the stream velocity of the basic flow. This phenomenon is currently analyzed with the method of the characteristics which relies upon a basic flow with a rectangular velocity profile. It seems that this one-dimensional flow approximation has not been convincingly validated, which justifies to consider other, more general velocity profiles.In the present analytical study the velocity profile is a quadratic function of the radial coordinate. Small amplitude perturbations are superposed on this inviscid, basic state in which the mean velocity is arbitrarily large. A normal mode analysis shows that the velocity profile and therefore the vorticity of the basic flow influence the more the phenomenon the larger is. For example, a parabolic profile allows countercurrent wave propagation regardless of.This questions the one-dimensional wave propagation theory in compliant tubes and, consequently, the interpretation of several physiological and medical problems mainly in the respiratory and cardio-vascular systems.

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Resumé La propagation de perturbations dans un tube élastique conduisant un écoulement fluide dépend de la vitesse de l'écoulement de base. Ce phénomène est habituellement étudié avec la méthode des caractéristiques, où l'on suppose que le profil de vitesse de l'écoulement est rectangulaire. Comme cette simplification ne semble pas avoir été bien validée, il paraît indiqué d'étudier l'impact d'autres profils.Dans la présente étude analytique, ce profil de vitesse est une fonction quadratique de la coordonée radiale. A cet écoulement non visqueux, dont la vitesse moyenne est arbitraire, l'on superpose des perturbations de faible amplitude. Une analyse linéarisée montre que le profil de vitesse et donc le rotationel de l'écoulement de base influencent d'autant plus ce phénomène d'ondes que est élévée.Ceci met en question la théorie uni-dimensionelle de la propagation d'ondes dans des tubes compliants et, par là-même, l'interpretation de divers problèmes physiologiques et médicaux, avant tout des systèmes respiratoires et cardio-vasculaires.

     

A stationary criticality problem in generalL p -space for energy dependent neutron transport in cylindrical geometry

The energy-dependent neutron transport integral equation in a homogeneous cylinder of radiusR and infinite height with isotropic scattering is studied as an abstract equationf=K f in the spaceL ₁((0, 1)×(E _m ,E _M )). By means of techniques based on the theory of positive operators in Banach spaces, we prove that the eigenvalue problem for the integral operatorK admits as a solution a unique a. e. positive eigenfunction to which the leading eigenvalue _o corresponds.After establishing continuity and strictly increasing monotonicity of _o inR we discuss and solve the criticality problem under the assumption of subcriticality for a non-multiplying medium.The formulation of the eigenvalue problem forK is finally extended to anyL _p space, 1p< . Recalling thatK is a Riesz operator inL _p , we prove, as a general result, that the spectrum ofK, acting onL _p , is independent ofp.

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Résumé On étudie un faisceau de neutrons d'une énergieE (comprise entre deux bornesM _e ), dans un cylindre de rayon 0rR de hauteur infinie; on considère la diffraction comme isotrope. L'èquation intègrale du transport de neutrons est formuleeé abstraitement parf=K f, oùK est un opèrateur dans l'espaceL ₁ (r,E) des fonctions intégrables. La théorie des opérateurs positifs dans les espaces de Banach nous permet de démontrer que l'opérateur intégralK possède une fonction propre unique, positive presque partout, correspondant à la valeur propre dominante _o.Après avoir démontré que _o est continue et strictement croissante par rapport àR, on discute et résout le problème critique sous une hypothèse bien motivée physiquement.La formulation du problème aux valeurs propres est généralisée dans un espaceL _p ,p quelconque,K étant un opérateur de Riesz; on obtient comme résultat que le spectre deK dansL _p est indépendant dep.

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Work performed under the auspices of C. N. R. (Gruppo Nazionale per la Fisica-Matematica) and partially supported by M. P. I.

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The research leading to this article was completed while the third author was visiting the University of Florence in the summer of 1983.     

Periodic fluid transients in cylindrical ducts with transverse magnetic fields

Summary This paper treats periodic fluid transients in liquid metals contained in constant-area circular ducts with uniform, transverse, applied magnetic fields. The magnetic Reynolds and Mach numbers are assumed to be small, and the Reynolds number is assumed to be large. By the use of a complex coordinate transformation, closed-form solutions are obtained for the perfectly conducting duct. By the same technique, solutions in series of Mathieu functions are obtained for the fully insultating duct. A method for solving the dispersion relation for each case is outlined, and sample numerical results are presented.

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Résumé Cet article traite des ondes de compression périodiques dans un métal liquide contenu dans une conduite circulaire avec une section droite qui est constante et avec un champ magnétique transversal et uniforme que l'on applique. Ici on suppose que le nombre magnétique de Reynolds et le nombre de Mach sont petits et que le nombre de Reynolds est grand. A l'aide d'une transformation complexe des corrdonnées on obtient des solutions éxactes pour une conduite qui est parfaitement conductrice. Par le même technique on trouve les solutions pour la conduite parfaitement isolante dans une série de fonctions de Mathieu. Une méthode pour la solution de l'équation de dispersion est esquissée et des exemples de résultats numériques sont présentés.

     

The vorticity jump across a stationary magnetogasdynamic discontinuity

Résumé La condition du saut de vorticité est obtenue à travers une discontinuité magnéto-dynamique dans un gaz. On montre que la conclusion de Hayes pour la dérivation du saut de vorticité à travers une discontinuité dynamique dans un gaz n'est pas valable à travers une discontinuité magnéto-dynamique dans un gaz. On montre aussi que les résultats obtenus ne sont pas limités aux ondes de choc, mais valent également pour les ondes de la détonation et de la condensation. Les résultats concernant quelques cas particuliers intéressants ont aussi été déduits et discutés.     

Exact envelope-soliton solutions of a two-dimensional nonlinear wave equation

ExactN-envelope-soliton solutions are obtained, by extending Hirota's procedure, for the twodimensional nonlinear wave Eqn. (1) withq>0, which describes the evolution of the envelope of a train of surface gravity waves on deep water. They are shown to propagate in directions making an angle greater than tan^–1/2 with the propagation direction of the underlying carrier waves. We also point out and discuss the limitations of Hirota's procedure for generating solitonsolutions to problems of more than one spatial dimensions. Envelope-soliton solutions to Eqn. (1) withq<0 are also discussed.

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Sommaire On généralise la méthode de Hirota pour obtenir des solutions exactes àN-solitons et on l'applique à l'équation des ondes nonlinéaires à deux dimensions (1) avecq>0, qui décrit l'évolution de l'enveloppe d'un train d'ondes de gravitation dans un fluide de grande profondeur. Ces solutions se propagent en directions formant un angle plus grand que tan^–1/2 avec la direction de propagation des ondes porteuses fondamentales. On montre aussi que la méthode de Hirota n'est pas capable de produire, en deux dimensions, des solutions exactes aussi générales que dans le cas d'une seule dimension. Enfin on étudie les solutions de l'équation (1) avecq<0.

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Research supported by the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada. The author thanks Dr. G. Tenti for valuable discussions.     

Un critère de Darboux d'existence d'intégrale première pour les 1-formes différentielles analytiques

Resumé On considère une 1-forme analytique définie sur un ouvert borné de ⁿ et qui s'étend au voisinage de l'adhérence de cet ouvert. On montre que si elle possède une infinité de feuilles contenues dans des hypersurfaces algébriques différentes et de degrés bornés alors elle admet une intégrale première méromorphe. Si de plus l'origine est dans l'adhérence de chacune de ces feuilles alors la 1-forme admet une intégrale première méromorphe de graphe algébrique. Des exemples illustrent l'optimalité de ces résultats.

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Consider a germ of analytic differential one form and suppose there exists infinitely separatrix in algebraic surfaces of bounded degree. The conclusion is that there exists an algebraic first integral. We give a list of examples wich explain the necessity of the hypotheses.

Financements: CNRS et réseau européen TMR Sing. Eq. Diff. et Feuilletages     

Generalized couette flow of a dipolar fluid between two parallel plates

Résumé Dans ce travail, on présente une solution du problème de l'écoulement d'un fluide dipolaire entre deux plaques parallèles, dont l'une est en mouvement et l'autre fixe, en présence d'un gradient de pression. On trouve qu'il n'y a pas d'effet dipolaire sur l'écoulement si le gradient de pression n'est pas appliqué, et que pour un fluide dipolaire avec =0, étant le rapport entre l'espace des deux plaques et la constante dipolaire du fluide, le profil de vitesse n'est pas affecté par le gradient de pression.     

The motion of incompressible fluids with electrical resistivity past thin airfoils in oblique fields

Résumé Le problème de l'écoulement des fluides à résistivité électrique en présence d'un profil mince, dans le cas des champs obliques, est réduit à la résolution d'une équation intégrale du type Fredholm. L'équation peut être résolue à l'aide de la méthode des approximations successives. Dans le cas des champs alignés et dans celui des champs perpendiculaires, lorsque pourR (nombre magnétique de Reynolds) nous considérons des valeurs petites, les équations se résolvent de façon explicite et exacte. On détermine la portance dans le cas d'une plaque et on montre la manière dont la portance décroit à mesure queR augmente. On montre également que dans le cas des champs orthogonaux, la portance est plus petite que dans celui des champs alignés. De la solution générale on obtient, comme cas particulier, la solution de l'aérodynamique classique ainsi que la solution du cas du fluide à résistivité négligeable.     

The existence and stability of quasi-steady periodic voidage waves in a fluidized bed

Using the Hopf bifurcation theorem we are able to show the existence of a one-parameter family of quasi-steady periodic solutions to the nonlinear equations of motion governing the one-dimensional flow in a fluidized bed at flow rates for which the uniformly fluidized state is unstable. We are then able to obtain uniformly valid expansions for these periodic solutions close to the bifurcation point using the method of multiple scales, and extend these results by numerical integrations for certain values of the parameters. The bifurcation theorem also identifies a flow rateE ^*such that for flow rates less thanE ^*the bifurcation is supercritical while for flow rates greater thanE ^*it is subcritical.Having established that periodic solutions can exist, we then discuss the temporal stability of these periodic voidage waves by considering the weakly nonlinear evolution of a slowly varying wave train at flow rates close to critical stability. For flow rates close to the lower critical stability point we find that the periodic solutions are stable only for flow rates such that the uniform state is unstable and then provided their wavelength <^*. For flow rates close to the upper critical stability point we find, as well as there being a wavelength such that the periodic solutions are stable only if , that there is a further parameter _u with the condition _u 1 needed for stability.

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Résumé En utilisant le théorème de bifurcation de Hopf nous démontrons l'existence d'une famille à un paramètre de solutions périodiques quasi-stationnaires aux équations non-linéaires qui gouvernent l'écoulement uni-dimensionnel dans un lit fluidisé à des vitesses pour lesquelles l'état uniformément fluidisé est instable. En utilisant la méthode des échelles multiples, nous présentons des expansions uniformément valables pour ces solutions périodiques au voisinage du point de bifurcation, et l'extension de ces résultats par des intégrations numériques pour quelques valeurs de paramètres. Le théorème de bifurcation permet d'identifier une vitesseE ^*telle que, pour des vitesses inférieures àE ^* la bifurcation est surcritique, tandis que pour des vitesses supérieures àE ^* elle est souscritique.Une fois établi que des solutions périodiques peuvent exister, nous sommes à même de discuter la stabilité temporelle de ces ondes de vide périodiques en considérant l'évolution faiblement non-linéaire d'un train d'ondes avec variation lente près de la stabilité critique. Pour des vitesses proches du point inférieur de stabilité critique, nous établissons que les solutions périodiques sont stables seulement à des vitesses telles que l'état uniforme est instable, et à condition que leur longueur d'onde <^*. Pour des vitesses proches du point supérieur de stabilité critique, nous découvrons que, en plus d'une longueur d'onde telle que les solutions périodiques sont stables seulement si , il existe un autre paramètre _u avec la condition _u 1 nécessaire pour qu'il y ait stabilité.

     

Caractérisation par l'uniformité des fibrés universels sur la Grassmanienne

Conclusion SoitE un fibré uniforme surG(d,n). Nous avons étudié exhaustivement les cas où rangEd. montrant queE est soit somme directe de fibrés ou droites, soit, sir=d, indécomposable et isomorphe àH _d O _G () où àH _d ^* O _G ().Si rangE=(n-d), nous avons étudié les cas oùE est décomposable en fibrés en droites ou indécomposable et isomorphe àQ _{n d} O _G () où àQ _n ^* _d O _G (). L'étude des fibrés indécomposables de rangd, et (n-d) nous a montré que les quatre fibrés universels surG(d,n), sont caractérisés par leur rang, leur polynôme de Chern et al propriété d'uniformité.     

On estimating a density using Hellinger distance and some other strange facts

Résumé On s'intéresse ici aux possibles vitesses d'estimation d'une densité à support compact dans ^m sous des hypothèses de régularité, lorsque la perte est mesurée par le carré de la distance de Hellinger (on regardera aussi le cas connu des normes pour 1q2) et le risque est le risque minimax sur la famille. On donne une méthode générale permettant de traiter les problèmes dans le cadre de la théorie de l'approximation sous des conditions concernant l'entropie métrique et l' -capacité des familles à estimer. Les rapports entre régularité et entropie métrique étant bien connus, nous pourrons aussi traiter les cas classiques et d'autres qui le sont moins. Sous des conditions de bornes inférieures les vitesses sont celles observées pour la norme mais elles diffèrent dans le cas général. On montre aussi que les restrictions sur la compacité du support ou la régularité sont indispensables et que leur absence mène à l'impossibilité d'obtenir une estimation raisonnable en ce sens que n'importe quelle suite d'estimateurs sera arbitrairement mauvaise en un point au moins. Un résultat analogue est vrai sous des conditions de régularité.

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This work was carried out during a visit of the author at the Mathematical Sciences Research Institute at Berkeley     

A systematic formula for the asymptotic expansion of singular integrals

Asymptotic theories like the lifting-line, the slender body or the slender ship lead to lineintegrals with singular kernels. Sometimes these integrals are improper, that is to say that they are defined only by their Finite Part. To find asymptotic expansions of these integrals, the Matched Asymptotic Expansion Method is widely used along with other more specific methods depending on the kernel type. The first method is laborious and not systematic, and the other methods are sometimes too much specific to treat general cases. Moreover, all of them are not well adapted to deal with Finite Part integrals.Here, a new method is proposed to avoid the previous difficulties. This method is systematic for homogeneous kernels and gives approximations up to any order, as long as the derivative of the weight function exists at this given order. Moreover the occurrence of logarithmic terms in the expansion is explained and easily predictable. An elliptic integral and the classical lifting-line theory are treated to illustrate the ease of this method.

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Résumé Les théories asymptotiques telles que la ligne portante, le corps élancé ou le navire de grand allongement conduisent à des intégrales curvilignes à noyaux singuliers. Parfois, ces intégrales sont impropres c'est à dire qu'elles sont définies en Parties Finies. Différentes méthodes ont été mises au point pour trouver les développements asymptotiques de ces intégrales. Généralement elles dépendent fortement de la nature du noyau, et c'est finalement la méthode des développements raccordés qui est utilisées quand le noyau est trop compliqué. Cependant, cette méthode est laborieuse et comme les précèdentes non adaptée aux intégrales défines par leur Partie Finie.Une nouvelle méthode est proposée pour surmonter ces difficultés. Cette méthode est systématique pour les noyaux homogènes et donne les approximations à tout ordre pourvu que les dérivées de la fonction poids existent jusqu'à cet ordre. De plus la présence de termes logarithmiques dans le développement est expliquée et aisément prédictible.Une intégrale elliptique, ainsi que la fameuse théorie de la ligne portante sont traités pour illustrer les possibilités de la méthode.

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Nomenclature D domain of integration - f(x) weight function - FP Finite Part - h(x) weight function - I ,I _o bounded intervals - j, J integers - K(x, ) singular kernel - L, L integers - M integer defining the approximation order - P _k (x) Legendre polynomial - R set of real numbers - R(ß) equals 1 if is an integer and 0 if not - R _{f, J} ,R _{K, L} remainders of Taylor developments - S () equals either 1 or the sign function:sgn() - t, u, v, x variable of integration - , real numbers - homogeneity order of the kernel - F () Euler's integral (gamma function) - small parameter - [.] integer part of