把四边形向三角形转化的若干技巧

把四边形的有关问题向三角形转化,是处理四边形问题的一种常见策略.一方面是源于二者同属多边形,故可割可补;另一方面,通过转化,集中条件,往往能形成特殊三角形,曲径通幽.本文结合例子说明几种常见转化途径及方法(割、补、移、转、折、借),供读者参考.     

任意三角形和等边三角形的联系

三角形是最简单的多边形,等边三角形又是三角形中特殊的一种,至于任意三角形和等边三角形的联系,除了莫利(Morley)已注意到三等分任意三角形的各个内角的射线两两相交于三个顶点成为一个等边三角形的著名定理.这里另外介绍几个新颖的和等边三角形有联系的定理,它们的证明是简单的,而结果是有趣的.     

三角形与四边形面积的分割

在1961—1962年北京出版社出版的平面几何課本(北京市初級中学試用課本)內,有关多边形的面积的教材,已不立专章讲授,而将其中最基本的部分(計算的与作图的),分編于各有关章节內。虽然如此,笔者认为如果把同一类型的問題整理在一起,作为学生的課外短篇讀物,对于学生还是有益的。     

微言要义之三角形与四边形

边和角是平面几何图形以及立体几何图形中的两个基本要素,也是分析几何图形性质时经常考虑的两个维度.三角形和四边形同属于多边形,但是一个名称里面有"角",但另一个却是"边",三角形为什么不叫三边形?四边形为什么不叫四角形?本文对这个问题进行了深入思考和分析,并对三角形与四边形的教学提出了改进建议.     

三角形和相伴三角形之间的几个结论

本文给出一个与三角形相伴的新三角形,得到新三角形与原三角形的半周长、面积、外接圆半径及内切圆半径间的大小关系,以及内角间的一个恒等式.     

关于椭圆内接四边形和三角形的最大面积

(一) 椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(n>b>0)内接四边形的最大面积为2ab。 (一) 内接平行四边形的最大面积为2ab [证明一] 设ABGD是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接平行四边形(图1).由于对角线AC、BD互相平分,即有共同的中点.则以椭圆内定点(非中心)为中点的弦(简称中点弦)是唯一的。(设定点为M(x_0,y_0),则中点弦方程为x_0x/a~2 y_0y/b~2=x_0~2/a~2 y_0~2/b~2).因而,AC,BD相交于椭圆的中心(即为椭圆的两     

四边形的内接三角形的一个性质

图1我们先了解关于圆内接三角形的一个性质.如图1,△x1y1z1为⊙O的内接三角形,P为圆内一点,x1P、y1P、z1P与圆分别交于x2、y2、z2.则△x1y1z1△x2y2z2=Px1·Py1·Pz1Px2·Py2·Pz2.注本文等式中的“△xyz”均表示△xyz的面积.简证设⊙O的半径为R,连z1O并延长交圆于y1′,连x1y1′,则∠x1y1z1=∠x1y1′z1.于是△x1y1z1=12x1y1·y1z1·sin∠x1y1z1=12x1y1·y1z1·sin∠x1y1′z1=12x1y1·y1z1·x1z12R=14Rx1y1·y1z1·x1z1.同理△x2y2z2=14Rx2y2·y2z2·x2z2.故△x1y1z1△x2y2z2=x1y1·y1z1·x1z1x2y2·y2z2·x2z2=     

转化——学好四边形的关键

在几何“四边形”这一章中 ,主要内容是有关四边形、多边形的概念和性质 .要学好这些内容 ,关键是抓好两个转化 .一、将四边形 (多边形 )转化为三角形来研究利用对角线往往可以把多边形问题转化为三角形问题来解决 ,如四边形内角和定理的证明就是从四边形的一个顶点引一条对角线 ,将它转化为两个三角形的内角和问题来进行证明的 .图 1例 1　如图 1 ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =ＡＤ =8,∠Ａ =6 0°,∠Ｄ =1 5 0° ,四边形周长为 3 2 ,求ＢＣ和ＣＤ的长 .分析　要设法使ＢＣ、ＣＤ在同一个三角形中 ,再利用此三角形的特性计算 .解　连结ＢＤ …     

三角形、四边形面积公式的一种统一形式

坐标法是解析几何中最基本的方法,为我们研究几何图形的性质提供了方便。同时是实现“形”“数”转换的有力工具,它在解析几何中起到了极其重要的作用。最近笔者在研究高考真题时,发现了两道与面积有关的试题,而且从坐标人手探讨了三角形、四边形的面积公式,并最终得到二者的一种统一形式。下面笔者就结合两道高考客观题探讨之。     

采用三角形面积坐标的四边形17节点样条单元

利用二元4次样条插值基和三角形面积坐标构造17节点四边形单元．这个新单元具有4次完备阶,通过一些算例测试表明了该单元有较高精度并对网格畸变不敏感．     

三角形的折心及其与各心的联系

将△ABC中x边上的中点记为Gx,x∈{a,b,c}(a≥b≥c,下同),记Fx为a、b、c三边中除x边的另两边所成折线长的中点,称Fx为相对于x边的折中点,线段FxGx称为x边的折中线,连同其长度合记为fx(图1)．     

Lipschitz函数与凸函数之间的一些联系

通过讨论Banach空间上Lipschitz函数与凸函数之间的一些联系, 给出了 Hilbert空间上Lipschitz函数的Fréchet可微点集是剩余集的一个充分条件.     

关于平面与空间联系和转化的几个问题

处于同构体系中的二维平面与三维空间,不言而喻,相互之间有着密切的联系.例如,在探讨立体几何问题时,我们常常与平面几何进行类比,寻求启迪.不仅如此,平面上的问题与空间中的问题在许多情况下还可以相互沟通、相互转化.这就是说,二维的问题,可以考虑一个适当的空间模型,从而在更为广阔的领域里寻求解决的方法;反之,三维的问题,可以考虑适当的途径,转化到平面上来,变成平面上的问题. 1.投影方法欧拉定理 V+F-E=2 的证明就是几何体通过投影变换转化为一个平面图形来处理的一个实例,它使问题变得更直观,也更容易     

巧用联系 合理转化

<正>数学知识内部或多或少地存在着一些联系,基于这种联系,把此问题合理转化到彼问题上,使问题向简解的方向进行,往往会产生出乎意料的妙解,现举例说明,供同学们参考,以提高解题能力.例1已知a、b为异面直线,点A、B在直线a上,点C、D在直线b上,且AC=AD,BC     

三角形中位线定理在证明四边形问题中的应用

应用三角形中位线定理证明四边形的有关问题 ,经常要用“取中点 ,连中位线”的方法 ,但到底在什么地方取中点 ,怎样利用中位线呢 ?这就是我们要研究解决的问题 .例 1　如图 ( 1 ) ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ为ＡＢ上一点 ,△ＡＤＥ和△ＢＣＥ都是等边三角形 ,ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ的中点分别为Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ .求证 :四边形ＰＱＭＮ是菱形 .分析 :欲证ＰＱＭＮ为菱形 ,即证明ＰＱ =ＱＭ =ＭＮ =ＮＰ .由已知Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ分别是四边形的中点 ,想到它们可能分别是三角形的中位线 .为此 ,先构造三角形 ,因而连结ＡＣ ,ＢＤ ,可推出ＰＱ =ＭＮ…     

曲边三角形及曲边四边形上的混合函数插值格式

一、引言 二元函数在标准三角形上的混合函数插值格式在许多文献,例如,Birkhofft,Barnhill,Gordon及Gregory等的文章中都有讨论。在三角形周边上对高阶偏导数进行插值,而且计算比较简单的是J.A.Gregory的文章中所给出的一种混合函数插值格式。这种格式是由简单函数的线性组合所构成的,而且格式是对称的,因此计算比较简便。但是J.A.Gregory只是对直边三角形给出了格式。本文企图推广Gregory的格式,给出曲边三角形上对高阶偏导数进行插值的插值格式。我们还进一步给出了曲边四边形上     

在把握联系和寻求转化中提高思辨能力——二次函数、方程和不等式之间的相互转换

在解题过程中,若能依据知识间的内在联系将所求问题进行等价转换,就会体验到解决问题的一种巧妙,乃至乐趣,久之,联想和转化问题的能力自然会逐步得以提高.现以二次函数、方程和不等式三者间的相互转换解题为例,就如何提高学生的思辨能力做一尝试.     

任意三角形(或四边形)网格的格子中流体方法

一、引言 著名的FLIC方法是计算流体力学中有效的并广为使用的数值方法之一.以往人们经常使用矩形网格,但对于比较复杂的边界,矩形网格引起边界处理的困难.本文提出的方法,是使用不均匀任意三角形(或四边形)网格.它能顺利地克服这一困难.     

从统一方程看椭圆 抛物线和双曲线之间的联系

从统一方程看椭圆抛物线和双曲线之间的联系田蓉（北京职工医学院１０００３６）众所周知，椭圆、抛物线和双曲线可以统一地定义为到定点距离与到定直线距离之比是常数的动点轨迹，在通常的解析几何教材中，只是在极坐标下按这个定义给出统一方程，却没有再从方程出发而作...