T 0-группа и ее место в теории групп

Охарактеризовано класT ₀-груп, тісно пов'язаний із вільними бернсайдівськими групами непарного періоду не менш ніж 665. Наведено приклади, що грунтуються на відомих конструкціях С. І. Адяна та О. Ю. Ольшанцького. Крім цього, вказано місце скінченної групи у класі всіх груп.

---

A class ofT ₀-groups is characterized which is closely associated with free Burnside groups with odd period not less than 665. Examples based on the well-known Adyan and Ol'shanskii constructions are given. In addition, the place of a finite group in the class of all groups is indicated.

---

---

Выполнена при поддержке Красноярского краевого фонда науки (грант № 7F0008) и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 96-01-00400).     

On groups factorized by finitely many subgroups

We prove that every group factorizable into a product of finitely many pairwise permutable central-by-finite minimax subgroups is a soluble-by-finite group.

---

Про групи, факторизовані скінченним числом шдгруп

Розвивається спектральна теорія та теорія розсіяння для одпого класу самоспряжених матричних диференціальних операторів змішаного порядку.

---

---

This work was done while the author was visiting the Ukrainian Academy of Sciences in Kiev. He is grateful to the Institute of Mathematics for its warm hospitality.     

Об одной задаче лузина

Резюме В работе предлагается решение одной задачи, принадлежащей н. н. Лузину, о выделении максимальных коэффициентов в ряде Фурье. Ключевое соображение состоит в использовании итерированных сверток, в который максимальные коэффициенты Фурье играют ведущую роль. Результат доведен до формул, содержащих предельный переход по номеру свертки. Предельные значения оказываются априори целыми числами, так что приближенные вычисления с последующим обычным округлением дают абсолютно точный результат.Поступило 12 августа 1997 г, переработанные варианты 12 января 1999, 15 сентября 2000 и 21 мая 2001 гг.     

A regularity result for singular nonlinear elliptic systems in inverse-power weighted Sobolev spaces

The compactness method to weighted spaces is extended to prove the following theorem:Let H_2,s¹(B₁) be the weighted Sobolev space on the unit ball in Rⁿ with norm

$\text{6ν6}{}^1{}_{\mathrm{2,s}}\text{=}\text{∫}{}_{\mathrm{B1}}\text{(}\text{1}\text{r}{}^{\mathrm{s}}\text{)|ν|}{}^2\text{dx + ∫}{}_{\mathrm{B1}}\text{(}\text{1}\text{r}{}^{\mathrm{s}}\text{)|Dν|}{}^2\text{dx.}$

Let n ? 2 ? s < n. Let u? [H_2,s¹(B₁) ∩ L^∞(B₁)]^N be a solution of the nonlinear elliptic system

$\text{∫}{}_{\mathrm{B1}}\text{1}\text{r}{}^{\mathrm{s}}\text{,}\text{∑}\text{i,j=1}\text{n}\text{,}\text{∑}\text{h,K=1}\text{N}\text{A}{}^{\mathrm{hK}}{}_{\mathrm{ij}}\text{(x,u) D}{}^{\mathrm{i}}\text{u}{}_{\mathrm{h}}\text{D}{}^{\mathrm{j\psi }}{}_{\mathrm{K}}\text{dx=0}$

, $\text{∨}\text{ψ}\text{?}\text{¦C}{}_0{}^1\text{(B}{}_1\text{)¦}{}^{\mathrm{N}}\text{,}\text{where}\text{¦A}{}_{\mathrm{ij}}{}^{\mathrm{hk}}\text{¦ ? L, A}{}_{\mathrm{ij}}{}^{\mathrm{hk}}$ are uniformly continuous functions of their arguments and satisfy:

$\text{|η|}{}^2\text{=}\text{∑}\text{i=1}\text{n}\text{,}\text{∑}\text{j=1}\text{N}\text{|η}{}^{\mathrm{i}}{}_{\mathrm{j}}\text{|}{}^2\text{?}\text{∑}\text{i,j=1}\text{n}\text{,}\text{1}\text{r}{}^{\mathrm{s}}\text{,}\text{∑}\text{h,K=1}\text{N}\text{A}{}^{\mathrm{hK}}{}_{\mathrm{ij}}\text{η}{}^{\mathrm{i}}{}_{\mathrm{h}}\text{η}{}^{\mathrm{i}}{}_{\mathrm{k}}\text{,}\text{?η?R}{}^{\mathrm{Nn}}$

. Then there exists an R₁, 0 < R₁ < 1, and an α, 0 < α < 1, along with a set $\text{Ω ? B}{}_1$ such that (1) $\text{H}{}_{\mathrm{n\; ?\; 2}}\text{(Ω) = 0}$, (2) Ω does not contain the origin; Ω does not contain B_R1, (3) $\text{B}{}_1\text{? Ω}$ is open, (4) u is $\text{Lip}{}_{\mathrm{\alpha }}\text{(B}{}_1\text{? Ω)}$; u is Lip_αB_R1.     

Corresponding residue systems in nonnormal extensions of prime degree

Let K₁ and K₂ be number fields and $\text{F = K}{}_1\text{? K}{}_2$. Suppose $\text{K}{}_1\text{F}$ and $\text{K}{}_2\text{F}$ are of prime degree p but are not necessarily normal. Let N₁ and N₂ be the normal closures of K₁ and K₂ over F, respectively, L = K₁K₂, N = N₁N₂, and $\text{B}$ be a prime divisor of N which divides p and is totally ramified in $\text{K}{}_1\text{F}$ and $\text{K}{}_2\text{F}$. Let ${}_{\mathrm{<mtext>N</mtext><mtext>L</mtext>}}$ be the ramification index of $\text{B}$ in $\text{N}\text{L}$, $\text{t}{}_{\mathrm{<mtext>L</mtext><mtext>F</mtext>}}$ be the total ramification number of $\text{B}$ in $\text{L}\text{F}$, and . Then $\text{M}$(K₁, K₂) is exactly divisible by $\text{B}$^M, where .     

Uniqueness in Harper’s vertex-isoperimetric theorem

For a set $A\subseteq Q_n={\left\{0,1\right\}}^n$ the $t$-neighbourhood of $A$ is $N^t\left(A\right)=\left\{x:d\left(x,A\right)\le t\right\}$, where $d$ denotes the usual graph distance on $Q_n$. Harper’s vertex-isoperimetric theorem states that among the subsets $A\subseteq Q_n$ of given size, the size of the $t$-neighbourhood is minimised when $A$ is taken to be an initial segment of the simplicial order. Aubrun and Szarek asked the following question: if $A\subseteq Q_n$ is a subset of given size for which the sizes of both $N^t\left(A\right)$ and $N^t\left(A^c\right)$ are minimal for all $t>0$, does it follow that $A$ is isomorphic to an initial segment of the simplicial order?Our aim is to give a counterexample. Surprisingly it turns out that there is no counterexample that is a Hamming ball, meaning a set that lies between two consecutive exact Hamming balls, i.e. a set $A$ with $B\left(x,r\right)\subseteq A\subseteq B\left(x,r+1\right)$ for some $x\in Q_n$. We go further to classify all the sets $A\subseteq Q_n$ for which the sizes of both $N^t\left(A\right)$ and $N^t\left(A^c\right)$ are minimal for all $t>0$ among the subsets of $Q_n$ of given size. We also prove that, perhaps surprisingly, if $A\subseteq Q_n$ for which the sizes of $N\left(A\right)$ and $N\left(A^c\right)$ are minimal among the subsets of $Q_n$ of given size, then the sizes of both $N^t\left(A\right)$ and $N^t\left(A^c\right)$ are also minimal for all $t>0$ among the subsets of $Q_n$ of given size. Hence the same classification also holds when we only require $N\left(A\right)$ and $N\left(A^c\right)$ to have minimal size among the subsets $A\subseteq Q_n$ of given size.