On the deflection of a thick plate under a sinusoidal load

Summary The equations of deflection of a thick plate presented in a previous paper are solved for an infinite plate under sinusoidally distributed pressure acting at its upper surface.The deflection and stress of the plate are calculated from the solutions of the approximate equations. The results are compared with those calculated from the exact solution and also with those obtained from other approximate methods.

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Über die Durchbiegung einer dicken Platte unter einer sinusförmigen Last

Übersicht Die in einer früheren Arbeit gegebenen Gleichungen für die Durchbiegung einer dicken Platte werden für den Fall einer unendlichen Platte gelöst, deren Deckfläche durch einen sinusförmigen verteilten Druck belastet wird.Aus den Lösungen der Näherungsgleichungen werden die Durchbiegung und die Spannung einer dicken Platte berechnet. Die Ergebnisse werden mit dem aus der exakten Lösung erlangten Resultat sowie mit den aus anderen Näherungsverfahren erhaltenen Ergebnissen verglichen.

     

On the analysis of thick rectangular plates

Summary Thick rectangular plates are investigated using the method of initial functions proposed by Vlasov. The governing equations are derived from the three-dimensional elasticity equations using a MacLaurin series approach. As the governing equations can be obtained in the form of series, approximate theories of any desired order can be constructed easily by proper truncation. An exact solution is obtained for an allround simply supported thick plate using a Navier type solution. A Levy type solution for higher order theories is illustrated for the case of a thick plate with two opposite edges simply supported and other two edges clamped. Numerical results obtained are compared with those of classical, Reissner and Srinivas et al. solutions.

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Übersicht Mit Hilfe der Methode der Initial-Funktionen von Vlasov werden rechteckige Platten untersucht. Die zugehörigen Gleichungen werden aus den Gleichungen für das dreidimensionale Problem durch eine Entwicklung in MacLaurin-Reihen gewonnen. Durch Abbrechen dieser Reihen können Näherungen beliebiger Ordnung erhalten werden. Für den Fall einer allseitig einfach gelagerten dicken Platte wird eine exakte Lösung erhalten, bei der eine Lösung vom Navier-Typ verwendet wird. Eine Lösung vom Levy-Typ höherer Ordnung wird am Beispiel einer dicken Platte abgeleitet, von der zwei gegenüberliegende Ecken einfach gelagert, die anderen fest eingespannt sind. Die numerischen Ergebnisse werden mit den klassischen, von Reissner, Srinivas u. a. erhaltenen Resultaten verglichen.

     

Zur Theorie der Plattenbeulung im plastischen Materialbereich

Zusammenfassung und Ausblick Die vorliegende Arbeit bringt eine Erweiterung der Theorie der Plattenbeulung für den plastischen Materialbereich, die von den einfachsten, in sich widerspruchfreien Spannungs-Deformationsgesetzen der mathematischen Plastizitätstheorie — den differentiellen Prandtl-Reu-Gesetzen — ausgeht. Mit dieser erweiterten Theorie wird es möglich, einer durch den Walzvorgang erzeugten, also von vornherein im Plattenmaterial vorhandenen Anisotropie auch im plastischen Bereich Rechnung zu tragen. Als Instabilitätskriterium wurde dabei die Shanleysche Hypothese zugrundegelegt. Angewendet wurde die Theorie auf die Berechnung der Beulspannungen dünner Rechteckplatten, die einen homogenen Normalspannungszustand an deren Rändern ausgesetzt sind. Damit sollte vor allem zur Beantwortung der bisher noch nicht endgültig geklärten Frage beigetragen werden, woher die beträchtlichen Abweichungen der mit den differentiellen Gesetzen errechneten Beulspannungen von den in Versuchen gemessenen stammen. Zu diesem Zweck wurden die Kollbrunnerschen Beulversuche mit Platten aus der Aluminiumlegierung Avional M-hart nach der erweiterten Theorie nachgerechnet, wobei die für dieses Material nicht bekannten Anisotropiekonstanten aus Versuchen abgeschätzt wurden, die Stüssi an Rohren aus einer ähnlichen Alummiumlegierung (Avional M-weich) vorgenommen hatte. Obwohl die Ergebnisse einer Rechnung, die auf derart abgeschätzten Anisotropiekonstanten basiert, natürlich unsicher sein müssen und daher auch nicht mitgeteilt werden konnten, soll erwähnt werden, daß die Anisotropie im Mittel eine Verringerung der Beulspannung um etwa 20% bewirkte: Die mit Berücksichtigung der Anisotropie errechneten Beulspannungen und Halbwellenzahlen stimmen daher mit den von Kollbrunner gemessenen wesentlich besser überein als die für isotropes Material berechneten. Die endgültige Entscheidung über die Frage, ob es genügt, die Diskrepanz zwischen Theorie und Versuch allein auf den Einfluß der Walzanisotropie zurückzuführen, oder ob es womöglich noch nötig sein wird, von einem komplizierteren, differentiellen Spannungs-Deformationsgesetz (z. B. nach Prager) auszugehen bzw. darüberhinaus den Einfluß einer geringen Abweichung der Plattenmittelfläche im unbelasteten Zustand von der Ebene zu berücksichtigen, muß allerdings weiteren experimentellen Untersuchungen vorbehalten bleiben, die erst nach genauer Bestimmung der Anisotropiekonstanten einen einwandfreien Vergleich zwischen Theorie und Versuch ermöglichen werden. Hierüber soll später noch berichtet werden.     

Eine einfache Ableitung der Gleichgewichtsbedingungen des Schalenproblems

Zusammenfassung Es werden die Grundlagen der Schalentheorie in übersichtlicher Weise abgeleitet, indem zur Darstellung eines beliebigen Vektors eine Identitätsdyade für die Parameterlinien der Mittelfläche aufgestellt wird. Es werden zunächst die Differentialquotienten eines Vektors f nach den Parameternu undv berechnet, woraus die Gleichgewichtsbedingungen sehr einfach in Vektorschrebweise folgen, indem von der Taylor-Entwicklung für Vektoren Gebrauch gemacht wird. Aus den ersten Differentialquotienten des Ortsvektors der verformten Mittelfläche werden mit den daraus folgenden Dehnungen und Winkeländerungen die neuen Fundamentalgröüen erster Ordnung bestimmt. Schlieülich werden die neuen Fundamentalgröüen zweiter Ordnung nach einer begründeten Vernachlässigung aus den zweiten Differentialquotienten des Ortsvektors errechnet.     

Thin plate bending problem of partially bonded bi-material strips

Summary A general solution to the thin plate bending problem of partially bonded bi-material strips is obtained. The two strips are symmetrically bonded along a finite straight interface with debondings at both sides. Complex stress function approach together with the rational mapping function technique are utilized to obtain the general solution. A concentrated bending moment applied at eachtip of the strip is considered. Distributions of bending and torsional moments along the boundaries of the two strips as well as the Stress Intensity of Debonding (SID) at the debonding tips are demonstrated for different states of debonding lengths, material constants and rigidity ratios.

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Das Biegeverhalten dünner Platten bei teilweise verbundenen Bi-Materialstreifen

Übersicht Eine allgemein praktikable Lösung für das Problem der Biegung dünner Platten bei teilweise verbundenen Bi-Materialstreifen konnte gefunden werden. Die beiden Streifen werden dabei auf einer gegebenen Länge einer geraden Berührungsfläche verbunden, wobei symmetrisch zueinander am Ende einer jeden Seite zwei Stellen unverbunden bleiben. Zum Erhalt einer allgemein gültigen Lösung wird hierzu der Weg über komplexe Belastungsfunktionen gemeinsam mit geeigneten Aufzeichnungsfunktionstechniken beschritten. Dabei wird ein konzentriertes Biegemoment, das an beiden Streifenenden ansetzt, angenommen. Die Verteilung der Verbiegungs- und Verdrehungsmomente entlang der Begrenzungslinien beider Streifen, sowie auch die Größe der Anspannung an den unverbundenen Stellen (SID) für die beiden nicht verbundenen Enden, wird für verschiedene Fälle von unverbundenen Längen, Materialkonstanten und Steifigkeitsverhältnissen gezeigt.

     

Laterally loaded elastic shells of revolution

Summary An alternate form of the Chernin type equations for laterally loaded shells of revolution is obtained. Except for terms of order of the inherent error in shell theory, the final two coupled second order ordinary differential equations are remarkably similar to the Reissner-Meissner type equations for problems involving axi-symmetric stress distributions. Unlike all previous versions, our two equations can be further reduced (just as in the case of axi-symmetric stress distributions) to a single second order equation for a complex stress function without any additional approximation for uniform cylindrical, spherical, conical and toroidal shells. The side force and tilting moment problem for a shell frustum is shown to be the static geometric analogue of the problem of asymmetric bending and twisting of a ring shell sector. An efficient method for the evaluation of the overall influence coefficients is discussed. The stress state of a complete uniform spherical shell subject to concentrated side force and tilting moment at the two poles is analyzed.

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Übersicht Es wird eine neue Form der Cherninschen Gleichung für rotationssymmetrische, seitlich belastete Schalen abgeleitet. Abgesehen von Gliedern, deren Größenordnung dem allgemeinen Fehler der Schalentheorie entspricht, haben die zwei gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung eine merkwürdige Ähnlichkeit zu den von Reissner und Meissner abgeleiteten Gleichungen für Probleme mit axialsymmetrischem Spannungszustand. Zum Unterschied zu früheren Fassungen der Cherninschen Gleichungen können die jetzigen zu einer einzigen Gleichung zweiter Ordnung auf eine komplexe Spannungsfunktion zusammengefaßt werden, wie dies im Falle rotationssymmetrischer Spannung auch möglich ist. Dabei sind keine zusätzlichen Näherungen für gleichförmige Zylinder-, Kugel-, Kegel- und Ringflächenschalen notwendig. Es zeigt sich, daß das Problem der Beanspruchung einer Stumpfschale durch Seitenkraft und Momente statisch und geometrisch analog ist zum Problem der Beanspruchung eines Ringschalensektors durch unsymmetrische Biegung und Drillung. Es wird ein Verfahren zur Bestimmung der Einflußkoeffizienten angegeben. Außerdem wird der Spannungszustand in einer gleichförmigen vollständigen Kugelschale analysiert, die durch eine einzelne Seitenkraft und Momente an den zwei Polen beansprucht wird.

     

A film model for free convection over a vertical porous plate with blowing or suction

A film model is described for free convective heat transfer and friction in the presence of wall suction or injection. The analysis yields a thermal correction factor, which appears to be the classical (Ackermann) expression, and a novel friction correction factor, derived here for the first time. Both correction factors are applied to free convection along a vertical flat porous plate for values of the Prandtl number of 0.73, 1 and 7. Subsequently, the film theory predictions are compared with the numerical and asymptotic results of a boundary layer analysis, performed by previous investigators. On the basis of this comparison, a modified correction factor is proposed which correlates excellently with the results of the boundary layer analyses.

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Ein Filmmodell für freie Konvektion an einer senkrechten porösen Platte mit Ausblasung und Absaugung

Zusammenfassung Es wird ein Filmmodell beschrieben, das für freie Konvektion den Wärmeübergang und den Reibungsbeiwert bei Wandaus- oder -einblasung zu bestimmen gestattet. Die Untersuchung liefert einen thermischen Korrekturfaktor, der mit der klassischen Ackermann-Korrektur übereinstimmt und einen neuen, hier erstmalig abgeleiteten Korrekturfaktor für den Reibungsbeiwert. Beide Korrekturfaktoren werden zur Ermittlung der freien Konvektionsströmung entlang einer senkrechten, ebenen, porösen Platte herangezogen (für Prandtl-Zahlen: 0,73-1-7). Anschließend erfolgt ein Vergleich der Voraussagen nach der Filmtheorie mit den numerisch aus einer asymptotischen Grenzschichtanalyse erhaltenen Ergebnissen früherer Autoren. Aus diesem Vergleich resultiert ein modifizierter Korrekturfaktor für den Reibungsbeiwert, der eine ausgezeichnete Korrelation mit den Ergebnissen nach der Grenzschichttheorie liefert.

     

Eine direkt formulierte lineare Theorie für viskoelastische Platten und Schalen

Übersicht Eine Möglichkeit der Entwicklung einer allgemeinen Theorie für Platten und Schalen besteht in der Modellierung des Flächentragwerks durch ein zweidimensionales deformierbares Kontimmm und der direkten Ableitung der kinematischen Beziehungen, der Bewegungsgleichungen und der konstitutiveu Gleichungen. Eine so erhaltene Theorie ist mathematisch und physikalisch widerspruchsfrei, jedoch ist es für ihre Anwendung notwendig, die sogenannten Ersatzeigenschaften zu ermitteln. Im Beitrag wird eine geometrisch und physikalisch lineare Theorie behandelt. Jeder Punkt des Kontinuums ist ein infinitesimal kleiner Starrkörper mit nur 5 Freiheitsgraden (3 Translationen, 2 Rotationen). Bei Annahme dieser Einschränkungen gelingt es, eine Theorie direkt abzuleiten, wobei alle Ersatzeigenschaften des Flächentragwerks bestimmt werden können. Im Beitrag werden die Möglichkeiten der allgemeinen Theorie am Beispiel isotropen viskoelastischen Materials mit über die Dicke veränderlichen Eigenschaften gezeigt. Die Theorie schließt die Betrachtung mehrschichtiger Flächentragwerke ein.

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A directly formulated linear theory of viscoelastic plates and shells

Summary One kind to develop a general theory for plates and shells is the modelling of the structure as a two-dimensional deformable continuum and the direct approach to the kinematical relations, equations of motion and constitutive equations. Such a theory is physically and mathematically correct. For the application of such directly formulated theories it is nessecery to identify the so-called effective properties. In the paper the theory is formulated for geometrical and physical linearity. Each point of the continuum is an infinitesimal small rigid body with only 5 degrees of freedom (3 translations, 2 rotations). For such a kinematical assumption it is possible to develop a direct theory and to determinate all effective properties of the structure. The paper demonstrates the possibilities of the general theory for an isotropic viscoelastic plate with material properties varying over the thickness. The theory includes also the analysis of multilayered plates and shells.

     

Rotordynamik mit Berücksichtigung von Längskraft und Torsion im achsparallelen Schwerefeld

Übersicht Die gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen der Rotordynamik einer in axialer Richtung homogenen Welle werden mit den Voraussetzungen der Bernoullischen Balkentheorie mit innerer Dämpfung (Kelvin-Material) nach der Theorie zweiter Ordnung für Längskräfte und Torsionsmomente bereitgestellt. Belastungen sind verteilte und diskrete Längskräfte und Torsionsmomente sowie äußere Dämpfung. Die Wirkung von Flüssigkeit, die den Rotor in Achsrichtung durchströmt, wird berücksichtigt. Das Differentialgleichungssystem besitzt nicht-konstante Koeffizienten und ist im Vergleich zu den sonst verwendeten Differentialgleichungen der Rotordynamik erweitert, um die oben aufgeführten Einflüsse zu berücksichtigen. Nach der Linearisierung der Differentialgleichungen und der Abkopplung der Torsion werden Lösungen durch komplexe Potenzreihen in der Achskoordinatex dargestellt. Diese Lösungen sind so genau, wie die zu ihrer Berechnung verwendete Anlage es zuläßt. Eigenwerte und Eigenformen werden in herkömmlicher Weise ermittelt und durch Vergleich mit bekannten Ergebnissen überprüft. Für eine Turbinenwelle und ein Tiefbohrgestänge werden kritische Lastkombinationen aus Drehzahl und Belastungen exemplarisch untersucht.

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Rotor dynamics with regard to longitudinal forces and torsion in a gravity field parallel to the axis

Summary The coupled differential equations of a shaft, homogeneous in axial direction, are derived under the assumption of the Bernoulli beam hypothesis and internal damping (Kelvin material). Second order theory is applied. The loads are distributed and discrete longitudinal forces and torsional moments. External damping and the effect of flow in the rotor along the axis are taken into account. The derived system of differential equations has non-constant coefficients. Compared with the commonly used ones it is extended with regard to the named actions. After linearisation and separation of torsion solutions are described with complex series of the axis coordinatex. The accuracy of the solutions depends on computer and software. Eigenvalues and characteristic functions are calculated and compared with known results. For a turbine shaft and a drill pipe critical combinations of loads and rotational speeds are exemplarily investigated.

     

Eine Anmerkung zur Stabilität linear-viskoelastischer rotierender Wellen

Übersicht Die Stabilität rotierender Wellen wird mit einer Störungsrechnung untersucht und die Ergebnisse für ein Voigt-Kelvin-Material und einen linear-viskoelastischen Werkstoff miteinander verglichen.Zusammenfassung Die Stabilitätsaussagen für Rotoren mit linearer innerer und äußerer Dämpfung hängen vom zugrunde gelegten Werkstoffgesetz ab. In dieser Arbeit werden für Wellen aus linear-viskoelastischem Werkstoff nach Einführung von inneren Variablen mit einer Störungsrechnung Stabilitätskriterien abgeleitet. Sie verhalten sich stabiler als Wellen aus viskos gedämpftem Material. Zwei Beispiele demonstrieren die durch das Werkstoffgesetz bedingten Unterschiede.

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A remark on the stability of linear-viscoelastic rotating shafts

Summary The stability of rotating shafts is investigated by means of a perturbation technique and the results assuming a Voigt-Kelvin-material and a linear-viscoelastic material compared.

     

On forced response of polygonal plates

Summary An approximate solution is presented for the linear isothermal response of viscously damped thin homogeneous polygonal plates subjected to uniform dynamic loading. Normal modes of vibration are determined with the aid of a boundary collocation technique and forced solutions are calculated by employing a numerical integration procedure. The solution is applicable to elastically built-in plates having edge conditions ranging from the simply supported to the clamped case. Numerical solutions are given for the normal modes of vibration of some simply supported and clamped plates and theoretical and experimental transverse displacements and stress couples are compared for a plate subjected to blast loading.

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Übersicht Es wird eine Näherungslösung für die Bewegung von homogenen, polygonalen Platten unter gleichförmiger dynamischer Belastung angegeben. Dabei wird Linearität, viskose Dämpfung und isothermes Verhalten vorausgesetzt. Die Eigenschwingungsformen werden mit einer Kollokationsmethode berechnet, während die erzwungenen Schwingungen durch numerische Integration bestimmt werden. Die Lösungen können für elastisch eingespannte Platten verwendet werden, deren Randbedingungen von der einfachen Auflage bis zur festen Einspannung reichen. Für einige aufgelagerte und eingespannte Platten werden numerische Lösungen für die Eigenschwingungsformen angegeben. Für eine Platte mit Stoßbelastung werden theoretische und experimentelle Werte für Verschiebungen und Momente verglichen.

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This work was carried out at the Defence Research Establishment Suffield, Alberta as well as at the University of Alberta, Edmonton, Alberta and permission to publish the results is gratefully acknowledged.     

Zur Theorie von Auskühlungs- und Anheizungsvorgängen

Zusammenfassung Nach der Methode der Quellpunkte werden zunächst an Hand einfacher Beispiele neuartige Lösungen für Temperaturausgleichsvorgänge in ebenen, gleichförmigen Platten von endlicher Dicke in Form von unendlichen Reihen entwickelt. Diese weisen im Gegensatz zu der bisher üblichen Darstellung, der Entwicklung nach Fourierreihen, zu Beginn des Ausgleichsvorganges sehr gute Konvergenz auf; dafür wird diese aber mit fortschreitender Zeit immer ungünstiger. Beide Lösungsformen ergänzen sich also gegenseitig und können daher zweckmä\ig nebeneinander verwendet werden. Um aber auch die hier gefundenen Lösungen für beliebig späte Zeitpunkte verwendbar zu machen, wurde ein einfaches Verfahren zur Entwicklung von praktischen Näherungslösungen für schlecht konvergente, unendliche Reihen abgeleitet. Dieses liefert dabei am Anfang des Vorganges sowie für genügend gro\e Werte der Zeit sehr genaue Ergebnisse und ergibt für mittlere Zeitpunkte einen beliebig klein zu haltenden Grö\twert des Fehlers. Weiterhin werden dann exakte Lösungen für Körper entwickelt, die aus planparallelen Schichten bestehen. Für ebene Grundfelder erweist sich hierbei die Auffassung als vorteilhaft, da\ diese an der ebenen Grenzfläche zweier Stoffe teilweise reflektiert werden. Die Reflexionszahl ergibt sich dabei nach den gleichen Gesetzen wie für periodisch veränderliche Vorgänge. Die Ergebnisse dieser Betrachtungen werden auch auf den Wärmeübergang angewendet. Dabei zeigt sich, da\ für die vorliegenden nichtstationären Vorgänge auch das anfängliche Temperaturfeld in der Grenzschicht von Bedeutung sein kann. Schlie\lich werden noch die Gleichungen der Grundfelder für eine Reihe von Wärmequellen der verschiedensten Formen entwickelt, so z. B. für die Kugel- und Zylinderflächenquelle (diese dabei für endliche und unendliche Zylinderlänge), die Raumquelle in Form eines Quaders und die Kreis-Linienquelle.     

Unsteady flows of a third-order viscoelastic fluid

Summary Unsteady third-order viscoelastic flow is examined for the purpose of determining a method by which certain material constants in theRivlin-Ericksen theory can be measured. The concept of an intrinsic pressure hole error is used, and an expression for this error is derived for third-order flow. It is also shown that the velocity field for unsteady creeping motion of a third-order fluid is identical at any time to a corresponding steady third-order flow. The pressure field, however, depends upon the rate of change of the flow with time.

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Zusammenfassung Es wird die instationäre Strömung dritter Ordnung einer viskoelastischen Flüssigkeit untersucht zu dem Zweck, eine Methode anzugeben, mit deren Hilfe gewisse Stoffkonstanten in der Theorie vonRivlin undEricksen gemessen werden können. Dazu wird das Konzept des intrinsic pressure hole error verwendet, und es wird für diesen Fehler im Rahmen der Theorie dritter Ordnung ein Ausdruck abgeleitet. Weiter wird gezeigt, daß das Geschwindigkeitsfeld für die instationäre schleichende Strömung einer Flüssigkeit dritter Ordnung zu jeder Zeit mit der zugeordneten stationären Strömung dritter Ordnung identisch ist. Im Gegensatz dazu hängt das Druckfeld jedoch von der zeitlichen Änderung der Strömungsgeschwindigkeit ab.

     

Untersuchungen zur statischen Druckmessung in turbulenter Strömung

Zusammenfassung Statische Drucksonden versagen wegen ihrer Richtungsempfindlichkeit im allgemeinen bei der Messung in stark turbulenten Strömungen. In der vorliegenden Arbeit wurde versucht, die auftretenden Fehler als eine Turbulenzabhängigkeit des Eichfaktors der Sonde aufzufassen, die bei der Auswertung der Messungen in Rechnung zu ziehen ist. Es wurde für die Untersuchungen eine Sonde benutzt, die lediglich auf die turbulenten Schwankungen in einer einzigen Richtung senkrecht zur Hauptströmungsrichtung reagiert. Zur Messung dieser Querschwankungen wurde eine besonders für ebene Strömungen brauchbare Turbulenzsonde entwickelt. Durch Ausmessung der Mischzonen zweier Luftströme von verschiedenem Querschnitt mit der statischen Sonde, der Turbulenzsonde und einem Pitotrohr wurde die Abhängigkeit des Beiwertes der statischen Sonde von den turbulenten Querschwankungen in einer Eichkurve festgelegt. Dabei waren die zugrunde gelegten statischen Drücke nach der Tollmienschen Theorie für das ebene Mischgebiet eines unendlich ausgedehnten Luftstromes mit der angrenzenden ruhenden Luft berechnet. Es war durch Kombination der Messungen mit den drei genannten Sonden auf Grund der Eichkurve möglich, den statischen Druckverlauf in dem durch ein Gitter aus äquidistanten zylindrischen Stäben hervorgerufenen Strömungsfeld zu erhalten. Die Messungen wurden in zwei Versuchsreihen durchgeführt: erstens im Freistrahl, zweitens zur Vermeidung einer dort auftretenden Kontraktion in einem geschlossenen Kanal.Um eine Beurteilung der hinter dem Gitter gemessenen Drücke zu ermöglichen, wurde die hier auftretende Strömung auf Grund des Prandtlschen Mischungswegansatzes in erster und zweiter Näherung aus den hydrodynamischen Bewegungsgleichungen berechnet. Die so erhaltene Theorie gibt die wirklichen Verhältnisse hinter dem Gitter in einer Entfernung von viermal Gitterteilung ab gut wieder.Göttinger Dissertation. Referent: Prof. Dr.L. Prandtl.     

Einige Auswerteverfahren bei spannungsoptischen Plattenuntersuchungen

Zusammenfassung Es sollte gezeigt werden, da\ sich bei der spannungsoptischen Untersuchung elastischer Platten, die innerhalb der Kirchhoffschen Bedingungen auf Biegung beansprucht werden, eine ganze Reihe von Auswertemöglichkeiten ableiten lassen, die es gestatten, die Biegungsmomente einzeln zu bestimmen. Um spannungsoptische Bilder zu bekommen, ist es erforderlich, die Modelplatte aus zwei Schichten verschiedenen Materials zusammenzukleben (Zweischichtenverfahren) oder in der PlattenmittelflÄche eine reflektierende Schicht anzubringen (Reflexionsverfahren). Die Me\grö\en sind die Differenz der Hauptbiegungsmomente und deren Richtungen. So wie man bei Scheibenauswertungen je nach dem vorliegenden Versuchsobjekt das eine oder das andere Auswerteverfahren bevorzugen wird, so hat man auch bei Platten die gleiche Auswahl an Auswerteverfahren. Einige davon wurden hier ausführlich wiedergegeben. Ausgehend von der Integration lÄngs geradliniger Wege wurde die Bestimmung der Momentensumme durch Integration lÄngs beliebiger Wege beschrieben, woraus sich wiederum eine Reihe von speziellen Methoden herleiten lie\. Dazu gehört zunÄchst die Integration lÄngs einer Hauptbiegungsmomentenlinie, die sich im Falle rotationssymmetrisch belasteter Kreisplatten als besonders zweckmÄ\ig erweist, und die Integration lÄngs einer Haupttorsionsmomentenlinie. Weiterhin wurde eine Möglichkeit zur Bestimmung der Momentensumme beschrieben, die sich an ein von Föppl für Scheiben angegebenes Verfahren anlehnt, sowie ein von Neuber für Scheiben entwickeltes graphisches Verfahren zur Konstruktion der Linien konstanter Momentensumme bei Platten erweitert. Zum Schlu\ wurden noch weitere Beziehungen angegeben, mit deren Hilfe sich die Richtungen der Linien konstanter Momentensumme errechnen lassen.Der Verfasser dankt dem Leiter des Spannungsoptischen Laboratoriums, Herrn Dr. H. Schwieger, für fruchtbare Diskussionen.     

Rheologische Eigenschaften von zweiphasigen Mehrstoffsystemen mit Ausscheidung der flüssigen Phase am Beispiel von Feinseife

Zusammenfassung Für den Durchfluß der Seifen durch Rohre wird Blockfließen gefunden, wobei der Axial- und der Radialdruck einander proportional sind. Im Bereich kleiner Normaldrucke ist der Zusammenhang zwischen der Gleitgeschwindigkeit an der Wand und der Wandschubspannung abhängig von der in einer dünnen Gleitschicht erfolgenden Temperaturerhöhung mit einer damit verbundenen Herabsetzung des Gleitwiderstandes. Die Dicke der Schicht konnte berechnet werden. Für höhere Normaldrucke zeigen sich beim Rohrdurchfluß Anomalien in der Form, daß mit kleiner werdender Blendenöffnung, d. h. mit steigendem Anpreßdruck, der Durchflußwiderstand geringer wird. Die Ursache ist die nach Überschreiten des Quellungsdruckes bedingte Ausscheidung der flüssigen Phase aus der Seife, was zur Bildung eines Schmierfilmes mit anderen Reibungseigenschaften führt. Trotzdem konnte ein allgemeines Durchflußwiderstandsgesetz angegeben werden.Eine Formel, die es gestattet, für plastische Stoffe den an einer Blende zu erwartenden Druckverlust im voraus zu berechnen, wurde für Seife ebenfalls bestätigt.     

Finite elastic deformations of an infinite plate perforated by two circular holes under biaxial tension

Summary Based on the theory of finite deformations and by the use of a given reference frame in undeformed body, stresses of an incompressible isotropic infinite plate with two circular holes subjected to biaxial tension at infinity are investigated. The material is assumed to be in the state of finite plane strain. The method of successive approximation is used in connection with the complex variable method of plane elasticity. Numerical results due to the second-order approximation theory are given for stresses, and compared with those predicted by classical theory of elasticity.

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Übersicht Es werden die Spannungen in einer unendlich ausgedehnten Platte mit zwei kreisförmigen Löchern nach der Theorie endlicher Verformungen und unter Verwendung eines im unverformten Körper festgelegten Bezugsgerüstes untersucht. Die Platte besteht aus inkompressiblem isotropen Material und wird einer im Unendlichen zweiachsialen Verzerrung ausgesetzt. Der Verzerrungszustand wird als eben angenommen. Bei den Untersuchungen werden die komplexen Methoden der ebenen Elastizitätstheorie in Verbindung mit schrittweisen Näherungen angewendet. Aufgrund einer Annäherung zweiter Ordnung werden die Spannungen numerisch ausgerechnet und mit den Werten verglichen, die von der klassischen Elastizitätstheorie vorausgesagt werden.

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The author wishes to express his hearty thanks to Osamu Tamate, Professor of Tohoku University, for directing the work.     

Kriechverformung des Betons unter statischer und unter dynamischer Belastung

Zusammenfassung In einer früheren Arbeit wurde gezeigt, daß sich die Kriechverformung einer Betonprobe unter konstanter Last befriedigend mit den Mitteln der Reaktionskinetik beschreiben läßt. Es wird gezeigt, wie diese Überlegungen erweitert werden müssen, um auf den Fall dynamischer Belastung übertragen werden zu können. Eine Gleichung wird abgeleitet, die die Kriechverformung als Funktion der mittleren Spannung und der Spannungsamplitude angibt. Versuchsergebnisse mehrerer Autoren wurden ausgewertet und mit der Theorie verglichen. Die Übereinstimmung ist im Rahmen der Meßgenauigkeit befriedigend.

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Summary In a previous paper the author showed that the creep deformation in a concrete sample under constant load can be satisfactorily described with the means of reaction kinetics. This paper shows how these considerations must be enlarged to allow their transfer to the case of dynamic load. An equation is derived which represents the creep deformation as a function of the mean stress and the stress amplitude. Test results of several authors are evaluated and compared with the theory. Agreement is satisfactory within the scope of measuring accuracy.

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Die Arbeit ist während eines Aufenthaltes des Autors an der Universität Leeds entstanden. Herrn ProfessorA. M. Neville möchte ich an dieser Stelle herzlich dafür danken, daß er mir die Möglichkeit bot, an seinem Institut zu arbeiten. HerrnWhaley möchte ich für zahlreiche interessante Diskussionen danken.     

Method of initial functions for thick transversely isotropic shells

Summary In the present work for circular cylindrical shells, three-dimensional elasticity equations are solved by assuming Taylor series expansions, in the radial direction, for the stresses and displacements. Depending upon the number of terms retained in the expansion, different order shell theories are derived. Classical theories (referred to as eighth-order), the shear deformation-transverse normal stress theories (referred to as tenth-order), and higher order theories (referred to as twelfth-order) are derived. In each case, by carrying out the symbolic algebra using the digital computer, partial differential equations are derived. The procedure was carried out in detail for the case of a circular cylindrical shell with no loading on the interior surface and a given pressure distribution on the exterior surface. Then, numerical comparisons are made between the current theories and various shell theories, as well as the exact (three-dimensional) theory. Thus, using this method with its associated computer programs, one can realize a spectrum of approximate shell theories ranging from the classical thin shell, through all current thick shell theories, and approaching the three-dimensional elastic theories.

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Die Methode der Anfangsfunktionen für dicke transversal-isotrope Schalen

Übersicht Mit Hilfe von radialen Taylor-Reihenentwicklungen für die Spannungen und Verschiebungen werden für kreiszylindrische Schalen die Gleichungen der dreidimensionalen Elastizität gelöst. Je nach Anzahl der mitgenommenen Terme der Entwicklung werden Schalentheorien verschiedener Ordnung hergeleitet, und zwar klassische Theorien 8. Ordnung, Theorien 10. Ordnung für schubweiche Schalen mit Berücksichtigung der transversalen Normalspannung sowie Theorien 12. Ordnung. Für jeden Fall werden mit Hilfe eines Rechnerprogramms für symbolische Algebra partielle Differentialgleichungen bestimmt. Vollständig wird das Verfahren für kreiszylindrische Schalen, die auf der Innenseite unbelastet und außen durch eine vorgegebene Druckverteilung belastet sind, durchgeführt. Danach werden numerische Vergleiche zwischen den verschiedenen Schalentheorien sowie mit der exakten dreidimensionalen Theorie vorgenommen. Somit kann man mit der benutzten Methode und den zugehörigen Rechenprogrammen einen Überblick über die Approximation der dreidimensionalen Elastizität durch die verschiedenen Schalentheorien gewinnen.

     

The free surface on a liquid between cylinders rotating at different speeds. Part III

Summary This paper is a further contribution to our work on the Weissenberg effect. One goal of our work is to show how the free-surface deformations on a viscoelastic fluid which is sheared between two concentric rotating cylinders can be used to determine rheological data about the fluid. In this paper we report the results of an experimental program in which free surface shapes have been measured on three viscoelastic fluids undergoing shearing in an apparatus consisting of a stationary outer cylinder and four interchangeable rotating inner cylinders. Experimentally-measured profiles are compared with profiles predicted from second-order theory, and found to be in excellent agreement for STP and TLA-227 in the range of applicability of the second-order theory, but there is some disagreement in the results for a 2% solution of polyacrylamide in 49% water –49% glycerin.

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Zusammenfassung Diese Arbeit stellt einen weiteren Beitrag zu unseren Untersuchungen über den Weissenberg-Effekt dar. Ein Ziel dieser Untersuchungen ist es zu zeigen, wie die Deformation der freien Oberfläche einer zwischen zwei konzentrischen Zylindern gescherten viskoelastischen Flüssigkeit dazu verwendet werden kann, rheologische Kenngrößen der Flüssigkeit zu gewinnen. In dieser Arbeit wird über die Ergebnisse einer experimentellen Untersuchung berichtet, in der die Gestalt der freien Oberfläche bei drei viskoelastischen Flüssigkeiten gemessen wurde, die in einem Apparat geschert wurden, der aus einem stationären Außenzylinder und vier auswechselbaren rotierenden Innenzylindern bestand. Die experimentell bestimmten Profile werden mit solchen verglichen, die aufgrund einer Theorie zweiter Ordnung vorausgesagt worden sind. Man findet im Bereich der Anwendbarkeit dieser Theorie für STP und TLA-227 eine ausgezeichnete Übereinstimmung, wohingegen die Ergebnisse bei einer 2%igen Polyacrylamid-Lösung in einer 1:1-Wasser-Glycerin-Mischung gewisse Diskrepanzen aufweisen.

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With 12 figures and 1 table