新题征展(127)

A题组新编 1.如图1,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A-BCDE. (1)求证:平面ABC⊥平面ACD; (2)过CD的中点M的平面α与平面ABC平行,试求平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC的面积之比. 2.一个四棱锥的直观图和三视图分别如图2,图3所示,E为PD中点.     

“蚂蚁”冲关

<正>2013年3月厦门市高三质量检查理科数学试卷第13题:一个几何体的三视图如图1所示,其中正视图是等边三角形,俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点,则蚂蚁所经过路程的最小值为     

几何体表面最短程问题常见错误例析

几何体表面最短程问题的计算在生产实际中应用广泛 .储油罐由下而上环绕罐面建扶梯 ,从山下往山上建筑环形公路 ,确定卫星的运行轨道等都包含着几何体表面最短程问题 .求解空间几何体表面上两点的最短程问题 ,其一般思路是 :展开几何体的表面成平面 ,归结为求平面上两点间最短距离问题 .本文旨在剖析几何体表面最短程问题中的常见错误 .例 1　正三棱柱ABC -A1B1C1的各条棱长都等于 2 ,M为棱AA1的中点 ,N为底边BC的中点 ,问点M沿柱体表面到点N的最短路程是多少 ?错解 1　如图 1,将正三棱柱ABC -A1B1C1沿B1B剪开 ,把侧面展平 ,连MN …     

对一道立体几何填空题的探究及思考

<正>1试题呈现与考情分析(2021年济南高三数学模拟考试第16题)在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD,并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案:第一步,过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E,F,G,     

第四章 多面体和旋转体

1 棱柱、棱锥、棱台一、选择题 1.下列命题中正确的有( )。 (1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥 (2)侧棱与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥 (3)侧棱都相等,底面是正多边形的棱锥是正棱锥 (4)侧棱都相等,侧面与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥 (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个 2.设M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体}则这些集合     

一道立体表面最短路径问题解答的缺陷

<正>北师大版八年级教材上有这样一个问题:如图1,长方体长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少?本题不少同学的解答如下:沿长方体的侧棱HI剪开、展开,即蚂蚁走右面ADCE和前面CDHI,得到其侧面展开图,如图2,因为"两点之间,线段     

走展开路线就一定“最短”吗?——对一道中考题的再思考

笔者最近对2008年中考青岛卷中的关于圆锥上两点之间“最短距离”的问题进行探究,并得到一些心得,与广大同仁们进行交流.1题目图1(2008青岛)如图1是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF长为10cm,母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且AF=2cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到点A,则此蚂蚁爬行的最短距离为cm.解析把图1中侧面展开后如图2,可知A′E为蚂蚁爬行的最短距离.∵l=n1π80R(R为扇形半径),∴n=18010×π10π=180,∴∠A′OE=90°,∴A′E=OA′2+OE2=82+102=241.评析此题是无盖问题,把圆锥展开成平面图形,再由平面上“两点之间,线段最短”的原理,达到求解目的.图22提出问题假如本题中此圆锥是一个有盖的圆锥形的纸杯,那么蚂蚁爬行的最短距离是否仍为图2中A′E的长呢?我们从以下两条路线来考虑:走路线1:底面圆的直径EF+AF,(如图1).设这条路线的长为l1,则l1=10+2=12,路线2:侧面展开图的线段A′E,(如图2).设此路线的长度为l2,则l2=OA′2+OE2=241,∵l12-l22=122...     

正四棱锥的概念中几个易误判的命题

1　四个侧面是全等的三角形 ,且各侧面和底面所成的角都相等的四棱锥是正四棱锥图 1　问题 1图错　反例 :作菱形ＡＢＣＤ ,过对角线ＡＣ ,ＢＤ的交点Ｏ作平面ＡＢＣＤ的垂线 ,在垂线上任意取一点Ｐ ,连结ＰＡ ,ＰＢ ,ＰＣ ,ＰＤ .则四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ满足题设条件 ,但它却不一定是正四棱锥 .2　各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥错　反例 :在上题中 ,适当地选取Ｐ点的位置 ,使ＯＰ =ＯＢ .一般地 ,当菱形的锐角为θ边长为ａ时 ,取ＯＰ =ａｓｉｎ θ2 ,则可得ＡＰ =ＡＢ ,ＡＰ =ＡＤ ,ＣＰ =ＣＢ ,ＣＰ =ＣＤ ,因而四棱锥Ｐ ＡＢＣ…     

立体几何中最值问题荟萃

立体几何中最值问题是近年来高考的热点 .它涉及的知识面广 ,属灵活性大、综合性强的问题 .为了能使学生全面地、系统地掌握此类问题 ,现将其分为四类进行探究 .以飨大家 .1　最短线长问题1.1　多面体表面上最短线长图 1　例 1图例 1　一只蚂蚁从正三棱锥Ｓ ＡＢＣ形物体的Ａ点出发沿侧面爬行 ,经过棱ＳＢ上一点Ｍ、ＳＣ上一点Ｎ、再爬回到Ａ处 .已知∠ＡＳＢ =4 0° ,ＳＡ =3ｃｍ .求蚂蚁爬行的最短路线长为多少 ?解　沿侧棱ＳＡ剪开 ,将正三棱锥Ｓ ＡＢＣ的侧图 2　例 1解答用图面展开成平面图形ＳＡＢＣＡ′ .如图 2 .由平面几何知识知 ,…     

智慧窗

路程趣题如图,设有黑、黄两只蚂蚁,黑蚁沿正六边形的边,黄蚁沿等边三角形的边,以同时、同速、同方向从A点开始A——向前爬行.试问:它们各爬行几周,恰好又一次在A点相会. 安擞淮南三中（232007）王秉春历 判 断 请判断的匝阿丙7丽扼是有理数吗?吉林扶余县四马架一中（131226）刘孔范o8s④? 如图,计算/1 LZ Z3 Z4 ZS 上6的度数.湖南省剃阳市淮川二中（410300）袁拥军@③@@ 右图,圆的直径是10厘米,A、B、C、D分别为正方形各边的中点,求阴影部分的面积是多少平方厘米.山西省太谷县东盛小区（030800）要二海 已知:四边形/旧CD是正方…     

中考动点运动路径问题探究

<正>动点运动路径长问题,主要涉及"运动的图形"中"运动的点"的轨迹,难度较大,解决要点:一是确定动点运动轨迹是本题的核心;二是求出动点运动路径的长度.1.路径是线段例1(2010年南京)如图1,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止.连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF     

移动问题及其推广

<正>在学习排列组合一章时,我们常会遇到移动问题,有这样一个例子.【例1】一只蚂蚁在平面直角坐标系内,从原点出发沿x轴移动,每次可向正方向或负方向移动一个单位,经过5次移动,蚂蚁移动到(3,0)点处,蚂蚁不同的移动方法共有几种?     

数学问题解答

2010年3月号问题解答(解答由问题提供人给出) 1841正棱锥FABC的外接球的球心在底面ABC上,点M在棱AB上,且AM:MB=1:3.     

2005年高考数学全国卷Ⅲ

一、选择题 ZsinZa eosZa 1+eosZa eosZa 1.已知a为第三象限角 则答所在的象限是 乙 A.tana B.tanZa () 9.已知双曲线XZ一誓一1 A.第一或第二象限B.第二或第三象限 c.第一或第三象限D.第二或第四象限 2.已知过点A(一2,m)和B(m,4)的直线与直 线Zx+y一1二o平行,则m的值为() A.0 B.一8 C.2 D.10 3.(x一1)(x+1)s的展开式中护的系数是 () A.一14 B.14 C.一28 D.28 4.设三棱柱ABC一Al BICI的体积为V,尸、Q 分别是侧棱AAI、CCI上的点,且尸A~Qc、, 则四棱锥B一A尸OC的体积为() M在双曲线上且五歹歹t· x轴的距离为() c.1 D.音 …     

棱锥的三视图还原

<正>棱锥的正视图、侧视图的高是棱锥的高,而非侧面斜高,俯视图是一个多边形,各侧棱的投影在俯视图上交于一点.所以利用逆向思维可以得到将棱锥的三视图还原成几何体的简洁方法:从棱锥的俯视图入手,在图中找较多线段的交点,就是顶点的投影点,将顶点垂直拉起(想象与顶点连接的线段可伸长),高度等于正视图的高,这样就将棱锥的三视图还原成棱锥体了,用此法可以快速破解近年相关的高考题及模拟题,下面举例说明.例1(2009年宁夏海南理)一个棱锥的三视图如图1,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为     

常见锥体的投影面积问题

<正>在必修2立体几何知识的学习过程中,涉及有关几何体的动态投影问题一直是学习难点.主要问题在于不知从哪里下手,下面的题目也许会对你有所启发.例1(2015年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题第29题)如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱长均为5(1/2),若侧面PAB放在水平面α上,则四棱锥     

一个趣题的实践与证明

题:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个侧面粘起来,所得几何体可能是什么?如图(一),将正四棱锥S-ABCD的侧面SCD与正三棱锥V-EFG的侧面VEF粘合在一起,为了验证平面SBC与平面GVE是否叠合成一个平面,用硬纸片制作这样的正三棱锥和正四棱锥,实践验证平面SBC与平面GVE,平面SAD与平面GVF恰好分别叠合成一个平面,这样所得的几何体应该是斜三棱柱,问题即为求证二面角B-SC-G=180°.(图一)记所有棱长均为1,探讨如下:(图二)设顶点G、B在平面SCD上的射影分别为M、N,则M为△SCD的中心(如图二)易求得MG=36,SM=…     

考点32 翻折与展开

1.(浙江卷,12)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如图).现将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N的连线与AE所成角的大小等于.第1题图第2题图2.(江西卷,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2,BB1=2,∠ABC=90°,E、F分别为AA1、C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.3.(湖南卷,17)如图1,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为3的等腰梯形.将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图2.()证明AC⊥BO1;()求二面角O-AC-O1的大小.第3题图1第3题图2考点3…     

一个无棱二面角问题的多角度思考

题目(2001年全国高考数学理科第17题)如图1,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2. (Ⅰ)求四棱锥S-ABCD的体积; (Ⅱ)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值. 第(Ⅰ)题容易用体积公式直接求解.而第     

利用等积变换求三棱锥体积的几种技巧

在求三棱锥的体积时 ,当棱锥的底面面积或高较难直接求 ,甚至不能求时 ,这就要求我们将三棱锥的底面或高进行变换 ,利用等积变换来求其体积 .利用等积变换求三棱锥的体积时 ,常有如下几种技巧 :图 1(1)1　换顶点 ,换底面例 1　如图 1 (1 )所示 ,正方形ABCD的边长为 1 ,点E ,F是BC ,CD的中点 ,现沿AE ,EF ,AF折成一个三棱锥 ,使B ,C ,D三点重合 ,记作S如图 1 (2 ) ,求所得三棱锥S -AEF的体积 .分析　此三棱锥体积直接求解难点在于选择AEF为底面 ,较难求出其锥体的高 ,这时 ,我们若将此锥体的底面与顶点换一下 ,换成以点A为顶点 ,…