Basic singular solutions for a cracked circular hole in an infinite medium

Summary This article provides basic elastic solutions for an infinite medium containing a cracked circular hole, subject to singular external loads in form of a dilatation center, a concentrated force and a point couple. The complex function method in conjunction with a rational mapping function is used to solve the problem. Analytic expressions for stress functions, stresses and stress intensity factors are obtained. Numerical values of stress intensity factors are presented in graphic and tabular forms.

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Grundlegende singuläre Lösungen eines angerissenen kreisförmigen Loches in einem unbegrenzten Medium

Übersicht In diesem Artikel werden die grundlegenden elastischen Lösungen für einen unendlichen Körper hergeleitet, der ein angerissenes kreisförmiges Loch enthält und mit singulären äußeren Lasten in Form einer punktförmigen Aufweitung, einer Einzelkraft und eines Einzelmoments beaufschlagt wird. Zur Problemlösung werden komplexe Funktionen und rationale Abbildungsfunktionen verwendet. Man erhält analytische Ausdrücke für die Spannungsfunktionen, die Spannungen und die Spannungsintensitätsfaktoren. Numerische Werte für die Spannungsintensistätsfaktoren werden in graphischer und tabellarischer Form angegeben.

     

Thermal stresses around two parallel cracks in two bonded dissimilar elastic half-planes

Summary Thermal stresses around two parallel cracks in two bonded dissimilar elastic half-planes are determined. One of the cracks lies in the upper half-plane, while the other is in the lower half-plane. Uniform heat flow is assumed to be at right angles to the interface. Application of the Fourier transform technique reduces the problem to that of solving dual integral equations. To solve the equations, the difference of the crack surface temperature and those of the crack surface displacements are expanded in a series of functions which are automatically zero outside the cracks. The unknown coefficients in the series are solved by the Schmidt method. The stress intensity factors are calculated numerially for composite materials featuring a ceramic upper half-plane and a steel lower half-plane.

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Wärmespannungen um zwei parallele Risse in zwei verbundenen, verschiedenen, elastischen Halbunendlichplatten

Übersicht Es werden die Wärmespannungen um zwei parallele Risse in zwei verbundenen, verschiedenen, elastischen Halbunendlichplatten bestimmt. Einer der beiden Risse liegt in der oberen Halbunendlichplatte, der andere in der unteren. Es wird angenommen, daß ein gleichmäßiger Wärmefluß senkrecht zur Grenzfläche erfolgt. Die Anwendung der Fourier-Transformation reduziert das Problem auf die Lösung dualer Integralgleichungen. Zur Lösung der Gleichungen werden die Temperatur-sowie die Verschiebungsdifferenzen an der Rißoberfläche in eine Reihe von Funktionen entwickelt, die außerhalb der Risse automatisch zu Null werden. Die unbekannten Koeffizienten dieser Reihe werden dann über das Schmidt-Verfahren bestimmt. Anschließend werden für Verbundmaterialien, bei denen die obere Halbunendlichplatte aus Keramik und die untere aus Stahl besteht, die Spannungsintensitätsfaktoren numerisch berechnet.

     

Reinforcement of a cracked plate by a loaded strip-inclusion

Summary In the present paper the interaction between a reinforced plate by a loaded strip inclusion and an internal crack existing in the plate was studied. It was assumed that the reinforcing strip is subjected to axial forces, thus relieving considerably the stress-concentration in the plate and especially in the singular field around the crack tip.The problem was solved by applying the singular integral equation method, which describes the stress field at any point of the plate. The variation of the stress intensity factors at the tips of the internal crack in terms of its relative position with the strip-reinforcement was studied and interesting results have been derived concerning the loading of the reinforced plate.

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VerstÄrkung einer Platte mit Ri\ durch eine streifenförmige Einlagerung

übersicht Im vorliegenden Artikel wird die Wechselwirkung zwischen einer durch eine streifenförmige Einlagerung verstÄrkten Platte und einem Ri\ in der Platte untersucht. Durch die Annahme, da\ der verstÄrkend wirkende Streifen einer axialen Kraft ausgesetzt sei, werden die Spannungen in der Platte und besonders diejenigen im SingularitÄtsfeld um die Ri\spitze weitgehend gemindert.Das Problem wurde gelöst mit Hilfe der Integralgleichungsmethode, die das Spannungsfeld an jedem Punkt der Platte beschreibt. Die Änderung der SpannungsintensitÄtsfaktoren, ausgedrückt durch ihre relative Lage, mit der Streifen-VerstÄrkung wurde untersucht und somit interessante Ergebnisse bezüglich der Belastung der verstÄrkten Platte erhalten.

     

Transient thermoelastic contact problem of a transversely isotropic cylinder

Summary This paper concerns a transient thermoelastic contact problem in a transversely isotropic infinite cylinder inserted into a heated rigid ring. It is assumed that the heat transfer coefficient at the bonded surface is different from the coefficient at the traction-free boundary surface. A finite difference formulation with respect only to time is used to solve the three-dimensional transient heat conduction equation for the temperature field. The thermal stress field is analyzed by means of the transversely isotropic potential function method. The radial, hoop and axial stresses have singularities at the end of the contact surface. The concentration factors that may be used to evaluate the strength of the stress singularities are introduced.

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Ein transientes thermoelastisches Kontaktproblem eines transversal-isotropen Zylinders

Übersicht Behandelt wird ein transientes thermoelastisches Kontaktproblem eines transversal-isotropen unendlichen Zylinders, der in einen geheizten starren Ring eingesetzt wird. Der Wärmeübergang in der Kontaktfläche und der freien Oberfläche seien verschieden. Bei der Lösung der instationären dreidimensionalen Wärmeleitungsgleichung wird bezüglich der Zeit eine Finite-Differenzen-Formulierung benutzt. Die Wärmespannungen werden nach der Potentialfunktionen-Methode im transversalisotropen Fall ermittelt. Radial-, Umfangs- und Axialspannung weisen am Ende der Kontaktzone Singularitäten auf, die durch eingeführte Spannungskonzentrationsfaktoren beschrieben werden.

     

Pulsierende Druckströmung hochpolymerer Schmelzen im kreisförmigen Kanal

Zusammenfassung Es werden theoretische und experimentelle Untersuchungen pulsierender Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten in einem kreisförmigen Kanal durchgeführt. Unter Voraussetzung einer eindimensionalen, isothermen und vollentwickelten Strömung in Anwesenheit sinusförmiger Druckgradientenschwankungen wird für die rheologische Zustandsgleichung von Bird-Carreau eine asymptotische Lösung erzielt. Die Ergebnisse weisen darauf hin, daß sowohl die relative Amplitude der Ausstoßschwankungen als auch die relative Änderung des mittleren Ausstoßes sich in einer allgemeinen Form darstellen läßt, die bezüglich der Temperatur und der relativen Amplitude der Druckgradientenschwankungen invariant ist. Die theoretischen Ergebnisse werden mit experimentellen Daten für ein Polyethylen niederer Dichte verglichen. Dabei wird eine gute Übereinstimmung der Theorie mit dem Experiment festgestellt.

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Theoretical and experimental studies were carried out on the pulsating flow of viscoelastic liquids through a circular channel. By assuming the flow to be one-dimensional, isothermal, and fully developed and the Bird-Carreau constitutive equation to be applicable, an asymptotic solution was found. The results obtained indicate that both the relative amplitude of pulsation of the output and the relative change in the average output may be presented in a generalized form that is independent of the relative amplitude of the pressure pulsations and temperature. The theoretical results were verified experimentally for a low-density polyethylene. Good agreement was found between the theory and the experimental data.

     

Axially symmetric thermal stress of a penny-shaped crack subjected to general surface temperature

Summary Axially symmetric stress distribution in the neighbourhood of a penny-shaped crack stituated in an infinite isotropic elastic solid under general surface loadings and general surface temperature is considered. Surface loadings and surface temperature applied on the crack surfaces are axisymmetric but they are unsymmetrical about the crack planez=0. The equations of equilibrium of an elastic solid conducting heat have been solved using Hankel transforms and Abel integral operator of the second kind. The stresses, displacements, temperature and flux functions at a general point in the solid are derived in terms of stress, displacement, temperature and heat flux discontinuities at the plane of the crack. Using the boundary conditions and the continuity conditions problem is reduced to that of solving Abel integral equations of the first and the second kind. Explicit expressions are obtained for stress components, crack opening displacement and stress intensity factors in terms of the prescribed surface temperature functions. For some special cases of thermal loading these quantities are compared with those available in the literature. Stress at a general point of the medium is obtained in the special case, when the one face of the crack is subjected to constant temperature while the other face is kept at the reference temperature.

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Axilsymmetrische Wärmespannungen eines münzförmigen Risses unter beliebiger Oberflächentemperaturverteilung

Übersicht Eine axialsymmetrische Spannungsverteilung in der Umgebung eines münzförmigen Risses im unbegrenzten isotropen elastischen Raum wird für allgemeine Randbedingungen bezüglich der Last- und Temperaturverteilung untersucht. Die Randwerte sind axialsymmetrisch verteilt, aber nicht-symmetrisch gegenüber der Rißebenez=0. Die Gleichgewichtsgleichungen werden unter Einbeziehung der Hankelschen Transformationen und des Abelschen Integralope-rators zweiter Art gelöst. Es werden die Feldvariablen der Spannungen, Verschiebungen, der Temperatur und der Wärmeströme als Funktionen ihrer Sprünge in der Rißebene hergeleitet. Die Stetigkeits- und Randbedingungen reduzieren die Aufgabe auf die Lösung der Abelschen Integralgleichungen erster und zweiter Art. In einigen Spezialfällen der Wärmebeanspruchung werden die Lösungen mit den in der Literatur veröffentlichten Angaben verglichen.

     

An expression for transient thermal stress in a nonhomogeneous plate with temperature variation through thickness

Summary An expression for nonzero thermal stress in a nonhomogeneous flat plate with arbitrary variation in mechanical properties is presented under a transient temperature distribution. Especially an equation for nonzero thermal stress and its numerical calculation showing the effect of nonhomogeneous thermal and mechanical properties on temperature and thermal stress distribution, is given for the case of an exponentially varying thermal conductivity and Young's modulus, but for a homogeneous Poisson's ratio and coefficient of linear thermal expansion.

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Formeln für transiente Wärmespannungen in einer nichthomogenen Platte mit einer über die Dicke veränderlichen Temperatur

Übersicht Es werden Ausdrücke für nichtverschwindende Wärmespannungen in einer inhomogenen ebenen Platte bei beliebiger Ortsabhängigkeit der mechanischen Eigenschaften entwickelt, und zwar für eine transiente Temperaturverteilung. Insbesondere wird eine Gleichung für nichtverschwindende Wärmespannungen angegeben und numerisch ausgewertet, die den Einfluß nichthomogener thermischer und mechanischer Eigenschaften auf die Verteilung von Temperatur und Wärmespannung bei exponentieller Ortsabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit und des E-Moduls darstellt, wobei jedoch die Poissonzahl und der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient konstant sind.

     

On free-space Green's functions of a transversely isotropic elastic medium subjected to torsionless ring-like loading

Summary In this paper we deal with the one of the ways to obtain a free-space Green's function of a transversely isotropic infinite elastic medium which is subjected to a ring-like axisymmetric loading. We assume that the loading is torsionless. To solve the problem, we introduce two potential functions and apply the Hankel and the Fourier transforms. As a special case we solve the same problem of the isotropic medium.

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Greensche Funktionen für den unendlichen, elastisch transversal-isotropen Körper unter einer ringförmigen torsionsfreien Last

Übersicht Die Greenschen Funktionen für den unendlichen, elastisch transversal-isotropen Körper unter einer ringförmigen, axialsymmetrischen Belastung, die torsionsfrei sei, werden hergeleitet. Dazu werden zwei Potentialfunktionen eingeführt und die Hankel- und Fouriertransformation angewandt. Der isotrope Sonderfall wird ebenfalls angegeben.

     

Die Ausbreitung einer elastischen Kugelwelle in einem unendlichen Körper mit transversaler Isotropie

Übersicht In einem unendlichen elastischen Körper mit sphärisch transversaler Isotropie wird die Oberfläche einer um den Ursprung geschlagenen Hohlkugel mit konstantem Druck belastet. Die die Wellenausbreitung beschreibende Differentialgleichung wird der Laplace-Transformation unterworfen. Die Bildlösung baut sich aus modifizierten Besselfunktionen zweiter Art auf, deren Zeiger von den elastischen Konstanten abhängt. Ist die Formänderungsenergie des Körpers eine positiv definite quadratische Form, so gelten für die elastischen Konstanten einschränkende Ungleichungen. Sind diese erfüllt, so ist die Bildlösung in der positiven Halbebene und auf der imaginären Achse mit Ausnahme des Ursprungs regulär. Mit Hilfe des Umkehrintegrals der Laplace-Transformation kann die Lösung im Oberraum berechnet werden. Diese Lösung wird numerisch ausgewertet für spezielle Werte der elastischen Konstanten.

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Summary In an infinite elastic body possessing spherical transversal isotropy the surface of a sphere around the origin is subjected to constant pressure. Laplace's transformation is applied to the equation for the radial displacements. The solution in the subdomain is constructed with aid of modified Bessel functions of the second kind, the order of which depends on the elastic stiffnesses. If the strain energy is positive definite, the elastic stiffnesses are submitted to certain inequalities. Therefore the solution in the subdomain possesses no singularities in the positive half of the complex domain and on the imaginary axis with exception of the origin. By use of the inversion theorem of Laplace's transformation the solution in the time domain is derived. For a special choice of the elastic stiffnesses numerial results are given.

     

Nonlinear transient temperature field in a hexagon

Summary An approximate direct method for solving nonlinear transient heat conduction problem in the hexagon, based on Gauss' principle of least constraint is presented. The problem is reduced to the algebraic minimization of a quadratic form with respect to the physical components of the temporal and spatial changes of temperature field. For various values of specific heat and thermal conductivity temperature coefficients the comparison of approximate solutions with the numerical ones is performed and an agreement is found.

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Übersicht Es wird eine auf dem Gaußschen Prinzip des kleinsten Zwanges gegründete direkte Näherungsmethode für die Lösung nichtlinearer instationärer Wärmeleitungsprobleme dargestellt. Das Problem wird auf die algebraische Minimisation einer quadratischen Form bezüglich der physikalischen Parameter der Zeit- und Raumvariablen des Temperaturfeldes zurückgeführt. Die Lösung wird für verschiedene Werte der Temperaturkoeffizienten, der spezifischen Wärmekapazität und der Wärmeleitfähigkeit mit der numerischen Lösung verglichen, wobei eine gute Übereinstimmung erreicht wird.

     

Antiplane shear problems of perfect and partially damaged matrix-inclusion systems

Summary Antiplane shear problem of an infinite medium containing a circular inclusion of different material is investigated in this article. Perfectly bonding between the matrix and the inclusion, as well as partial debonding in the form of a circumferential crack occurring at the interface of these two constituents, are considered. Using the complex variable method in conjunction with a semi-inversed technique, exact expressions for the stress, displacement and stress intensity factor in the problem are obtained for various external loading conditions, including that brought about by stress singularities. A number of numerical results of stress intensity factors for a partially damaged matrix-inclusion system are given, and a discussion is made on the general features of the antiplane shear problem of inhomogeneous matrix-inclusion systems.

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Scherung von perfekten und teilweise beschädigten Matrix-Einschluß-Systemen außerhalb der Ebene

Übersicht In dieser Abhandlung wird das Problem der Scherung au\erhalb der Ebene für einen unendlichen Körper mit einem kreisförmigen Einschluß aus unterschiedlichem Material untersucht. Es wird die perfekte Verbindung zwischen der Matrix und dem Einschluß ebenso wie teilweise Ablösung in der Form eines Umkreisrisses an der Schnittfläche zwischen den beiden Bestandteilen betrachtet. Unter Verwendung der komplexen Variablenmethode in Verbindung mit einem Halbinversionsverfahren werden exakte Ausdrücke für Spannung, Verschiebung und Spannungsintensitätsfaktor für verschiedene äußere Belastungszustände, einschließlich dem Einfluß von Spannungssingularitäten, erhalten. Es werden numerische Ergebnisse für den Spannungsintensitätsfaktor für ein teilweise beschädigtes Matrix-Einschluß-System gegeben, und die allgemeine Form des Problems der Scherung außerhalb der Ebene für ein nicht homogenes Matrix-Einschluß-System wird diskutiert.

     

Frictionless contact between an elastic stamp and an elastic foundation

Summary Starting from the statical and kinematical basic equations and inequalities resp. we derive a (material independent) mixed principle of virtual work which includes the rigid body displacements of the stamp, the contact pressure and the surface displacements of the contacting bodies. For an elastic material a saddle functional of the Hellinger-Reißner type occurs from which complementary extremum principles are generated. Especially the force principle is well suited for the discretization of the originally continuous contact problem and is therefore used as a basis for the numerical realization as a mathematical optimization problem. As examples we consider rigid stamps (rectangle, sphere, cone) on a layered halfspace and a rectangular plate on an elastic halfspace. The modification for a beam on a nonlinear Winkler foundation is also discussed.

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Reibungsfreier Kontakt zwischen einem elastischen Körper und einer elastischen Unterlage

Übersicht Ausgehend von den statischen und kinematischen Grundgleichungen und Ungleichungen wird ein (materialunabhängiges) gemischtes Prinzip der virtuellen Arbeiten hergeleitet, das die Starrkörperverschiebungen des Stempels, den Kontaktdruck und die Oberflächenverschiebungen der sich beröhrenden Körper enthält. Für elastisches Material läßt sich ein Sattelfunktional vom Hellinger-Reißner-Typ angeben, aus dem komplementäre Extremumsprinzipien erzeugt werden. Insbesondere ist das Kraftprinzip für eine Diskretisierung gut geeignet und wird daher für die numerische Lösung als mathematisches Optimierungsproblem verwendet. Als Beispiele dienen starre Stempel (Würfel, Kugel, Kegel) auf einem geschichteten Halbraum, eine Rechteckplatte auf einem elastischen Halbraum sowie ein Balken auf einer nichtlinearen Winkler-Bettung.

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Dedicated to Prof. Dr. phil. Dr.-Ing. E. h. U. Wegner on the occasion of his 80th birthday     

Three dimensional thermoelastic analysis of a semi infinite solid with arbitrary heat supply

Summary This paper is devoted to the determination of the three dimensional steady state temperature, strains and stresses in a semi infinite elastic medium bounded by a plane, exposed to an arbitrary heat supply. The problem is treated within the classical theory, based on the Fourier equation and Hooke's law. A general analytical solution is obtained in the form of double integrals (by means of Fourier transform method) and it is shown that the stress field is plane and parallel to the boundary. The particular solution corresponding to axisymmetrical surface heat flux is deduced; results are found for different situations and briefly discussed with the aid of some graphs.

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Dreidimensionale thermoelastische Untersuchung eines elastischen Halbraums mit beliebiger Wärmezufuhr

Übersicht Es werden stationäre Temperatur, Verzerrungen und Spannungen in einem elastischen Halbraum ermittelt, der einer beliebigen Wärmezufuhr unterworfen ist. Der Untersuchung liegt die klassische Theorie (Fourier Gleichung, Hookesches Gesetz) zugrunde. Eine allgemeine analytische Lösung wird mit Hilfe der Fourier-Transformation in Form von Doppelintegralen erhalten. Dabei wird gezeigt, daß das Spannungsfeld eben und parallel zum Rand ist. Die Lösung für den Sonderfall eines axialsymmetrischen Wärmestroms an der Oberfläche wird hergeleitet und diskutiert.

     

Der Spannungstensor des visko-elastischen Körpers

Zusammenfassung Nach einer Zusammenstellung und Diskussion der grundlegenden Sätze der phänomenologischen Rheologie wird ein weiterer sehr allgemeiner Satz ausgesprochen und begründet. Dieser Satz postuliert für den visko-elastischen Körper die Existenz einer Zustandsfunktion, d. h. einer Funktion der Mikro-Konfiguration des Körpers derart, daß die Differentiation derselben nach ihren Koordinaten die Spannungskräfte liefert. Aufgrund dieses Satzes kann bewiesen werden, daß der Spannungstensor sich im mitgeführten (konvektierten) Koordinatensystem wie eine kontravariante Tensordichte transformiert. Daraus werden einige Folgerungen bezüglich einer sachgemäßen Formulierung der rheologischen Zustandsgleichung und insbesondere bezüglich der zweckmäßigen Wahl der kinematischen Tensoren abgeleitet.     

Die Messung der Stautemperatur

Zusammenfassung In vorliegender Arbeit wurde ein Me\körper entwickelt, der es ermöglicht, die Stautemperatur in kompressiblen Medien bei turbulenter Strömung bis auf einen Fehler von 1 bis 2 % der adiabatischen Temperatursteigerung im Staupunkt (Aw ₀ ² g c _p) je nach der Geschwindigkeit zu messen.Dies wurde erreicht durch Anbringen der Lötstelle eines Thermoelementes nahe am Staupunkt eines strömungsgünstigen Körpers, wobei besonders darauf geachtet wurde, da\ an die Lötstelle dauernd neue verdichtete Luft herangeführt wird, und durch Verwendung von Elementenmetallen mit kleiner Wärmeleitzahl, wodurch die Wärmeableitungs- und Wärmeübertragungsverluste so niedrig wie möglich gehalten werden. Die praktische Verwendungsmöglichkeit wird unterstrichen durch den gcringen Einflu\ der Anströmrichtung.In einer Betrachtung über die ähnlichkeitsbedingungen wird die Wärmebilanz aufgestellt und eine Wärmeleitzahl für das Me\gerät eingeführt, die es ermöglicht, über die Anzeigegenauigkeit bei einem ähnlichen Körper ungefähre Voraussagen zu machen.In weiteren Versuchen wurde gezeigt, da\ das Plattenthermometer infolge seiner starken Abhängigkeit in der Anzeige von der Reynoldsschen Zahl und von der Anströmrichtung für praktische Messungen nicht geeignet ist.     

Zur praktischen Berechnung linear-viskoelastischer Probleme

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß bei Verwendung integraler Materialgesetze für das linear-viskoelastische Material Strukturen auftreten, die für eine direkte Angabe der viskoelastischen Lösung aus der elastischen Lösung genutzt werden können. Bei einfachen Problemen können die Kombinationen von Materialkonstanten in der elastischen Lösung durch Kombinationen von Kriech- oder Relaxationsfunktionen ersetzt werden. Im allgemeinen müssen sehr einfache Integralgleichungen vom Typ eines Faltungsintegrals gelöst werden. Damit ist ein Weg angegeben, der auch bei beliebiger Form der Kriechfunktion gangbar ist und als eine Verallgemeinerung des ersten Korrespondenzprinzips angesehen werden kann.

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Summary It is shown that using integral type constitutive laws of linear-viscoelastic materials there are structures to be seen which allow the direct solution of viscoelastic problems from elastic solutions. For simple problems the combinations of material constants in the elastic solution can be replaced by creep or relaxation functions, but in general very simply integral equations of convolution type have to be solved. The described method gives an elastic-viscoelastic analogy applicable also to creep functions which can not be described by rheological methods.

Mit 2 Abbildungen und 3 Tabellen     

Finite plane strain problems for compressible elastic solids: General solution and volume changes

Summary We are concerned with the analytic solution of finite plane-strain boundary-value problems for compressible isotropic elastic solids. A new formulation of the governing equations is presented which leads to an explicit representation for their general solution in respect of a particular class of strain-energy functions. In order to study the effects of the non-linearity of the constitutive law in more detail a specific boundaryvalue problem is solved in closed form. The nature of the volume changes predicted by the theory is then examined.

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Zusammenfassung Behandelt werden analytische Lösungen für Randwertprobleme endlicher ebener Verzerrungszustände in kompressiblen isotropen elastischen Festkörpern. Es wird eine neue Formulierung der Grundgleichungen gegeben, die zu einer expliziten Darstellung ihrer allgemeinen Lösung in bezug auf eine besondere Klasse von elastischen Potentialen führt. Um die Effekte der Nichtlinearität der Materialgleichung genauer zu studieren, wird ein geeignetes Randwertproblem in geschlossener Form gelöst. Sodann werden die von der Theorie vorausgesagten Volumenänderungen untersucht.

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Presented under the titleVolume changes associated with finite elastic deformations.     

Dynamic thermal stresses in a circular cylinder subjected to asymmetric heating

Summary This paper is concerned with the two-dimensional dynamic thermal stress problems in an infinitely long circular cylinder subjected to two kinds of asymmetric heatings at the lateral surface, assuming that the cylinder is initially undeformed and at zero temperature. The equations of motion including the inertia terms are expressed in terms of the dilatation and rotation and solved by applying the Fourier-cosine, Fouriersine transforms and the Laplace transform to the resulting differential equations. The solutions to the dynamic thermal displacements and stresses in the cylinder valid for the short period after the asymmetric heatings are obtained and the numerical calculations are carried out for the thermal boundary condition of the prescribed temperature distribution.

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Dynamische Wärmespannungen in Kreiszylindern bei asymmetrischer Erwärmung

übersicht Es werden dynamische WÄrmespannungsprobleme für einen unendlich langen Kreiszylinder untersucht, der zwei verschiedenen Arten von ErwÄrmung der OberflÄche unterworfen ist. Die Bewegungsgleichungen schlie\en die TrÄgheitsterme ein; sie werden in der Dilatation und der Rotation geschrieben und mit Hilfe von Fourier- und Laplace-Transformationen gelöst. Asymptotische Lösungen für kurze Zeiten werden ebenfalls hergeleitet, und numerische Ergebnisse werden grafisch dargestellt.

     

Zur Theorie von Auskühlungs- und Anheizungsvorgängen

Zusammenfassung Nach der Methode der Quellpunkte werden zunächst an Hand einfacher Beispiele neuartige Lösungen für Temperaturausgleichsvorgänge in ebenen, gleichförmigen Platten von endlicher Dicke in Form von unendlichen Reihen entwickelt. Diese weisen im Gegensatz zu der bisher üblichen Darstellung, der Entwicklung nach Fourierreihen, zu Beginn des Ausgleichsvorganges sehr gute Konvergenz auf; dafür wird diese aber mit fortschreitender Zeit immer ungünstiger. Beide Lösungsformen ergänzen sich also gegenseitig und können daher zweckmä\ig nebeneinander verwendet werden. Um aber auch die hier gefundenen Lösungen für beliebig späte Zeitpunkte verwendbar zu machen, wurde ein einfaches Verfahren zur Entwicklung von praktischen Näherungslösungen für schlecht konvergente, unendliche Reihen abgeleitet. Dieses liefert dabei am Anfang des Vorganges sowie für genügend gro\e Werte der Zeit sehr genaue Ergebnisse und ergibt für mittlere Zeitpunkte einen beliebig klein zu haltenden Grö\twert des Fehlers. Weiterhin werden dann exakte Lösungen für Körper entwickelt, die aus planparallelen Schichten bestehen. Für ebene Grundfelder erweist sich hierbei die Auffassung als vorteilhaft, da\ diese an der ebenen Grenzfläche zweier Stoffe teilweise reflektiert werden. Die Reflexionszahl ergibt sich dabei nach den gleichen Gesetzen wie für periodisch veränderliche Vorgänge. Die Ergebnisse dieser Betrachtungen werden auch auf den Wärmeübergang angewendet. Dabei zeigt sich, da\ für die vorliegenden nichtstationären Vorgänge auch das anfängliche Temperaturfeld in der Grenzschicht von Bedeutung sein kann. Schlie\lich werden noch die Gleichungen der Grundfelder für eine Reihe von Wärmequellen der verschiedensten Formen entwickelt, so z. B. für die Kugel- und Zylinderflächenquelle (diese dabei für endliche und unendliche Zylinderlänge), die Raumquelle in Form eines Quaders und die Kreis-Linienquelle.     

On a new integration rule with the Gegenbauer polynomials for singular integral equations used in the theory of elasticity

Summary A new technique is proposed for the numerical solution of the Cauchy-type singular integral equations, by using the well known Gegenbauer polynomials. A large class of problems of mathematical physics, and especially several plane and antiplane elasticity problems, not possessing closed-form solutions, can be reduced to the solution of certain systems of such a type of singular integral equations. Also by using a certain method the new formula which is used for the numerical solution of the Cauchy-type integral equations can be extended for the general type of the finite-part singular integrals, too.

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über eine neue, in der Elastizitätstheorie anwendbare Integrationsregel mit Benutzung der Gegenbauer-Polynome zur Lösung singulärer Integralgleichungen

übersicht Es wird eine neue Technik zur numerischen Lösung von Cauchyschen singulÄren Integralgleichungen unter Benutzung der bekannten Gegenbauer-Polynome vorgeschlagen. Eine gro\e Klasse von Problemen der mathematischen Physik und besonders verschiedene ebene und antiplanare Probleme der ElastizitÄtstheorie, welche keine geschlossenen Lösungen besitzen, können zur Lösung auf solche singulÄren Integralgleichungen zurückgeführt werden. Die für die numerische Lösung von Cauchyschen Integralgleichungen hergeleitete Methode kann für den allgemeinen Fall singulÄrer Integrale mit endlichem Anteil erweitert werden.