《几何画板》优化圆锥曲线统一定义教学浅见

圆锥曲线的统一定义是“平面内与定点和定直线 (定点不在定直线上 )距离的比是常数ｅ的点的轨迹 ,当 0 <ｅ<1时 ,是椭圆 ;当ｅ =1时 ,是抛物线 ;当ｅ>1时 ,是双曲线” .传统的教学方法 ,仅是教师把结论告诉给学生 ,让学生记忆 ,学生不能看到点的轨迹的动态形成过程 ,更不能观察到随常数ｅ的变化时 ,点的轨迹由椭圆到抛物线 ,再到双曲线的量变、质变的过程 ,对这一概念的形成过程只能靠想象 ,常常理解不深刻 ,记忆不佳 ,运用不灵活 .为了解决对这一概念用传统的教法“教师不易讲请 ,学生不易理解和接受”的问题 ,我们试着运用计算机软件《几…     

圆锥曲线统一定义与统一方程中若干问题释疑

关于圆锥曲线统一定义与统一方程的教学设计,有些书刊已提出了较好的参考意见。但就教材以及一些数学资料中对此问题的理解却仍有必要探究与商榷,部分教师和很多学生出现的一些模糊看法也有必要澄清。 1.圆锥曲线统一定义的严密性高中数学教材重点中学甲种本《平面解析几何》第174页给出了椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的统一定义,即平面上“与一个定点(焦点(F))的距离和一条定直线(准线(l))的距离的比等于常数e的点的轨迹,当01是双曲线;e=1是抛物线。 (1)对抛物线来说,仅仅强调e=1是不够的,还应强调定点F一定不在定直线L上,     

圆锥曲线统一定义课件的制作

《数学通讯》2 0 0 1年第 2 3期、2 0 0 2年第7期先后刊登了张爱明老师和杨德兵、余咏梅老师用《几何画板》辅助圆锥曲线统一定义教学的文章 .《几何画板》和《平面解析几何教师版》都是人民教育电子音像出版社推出的制作数学课件的软件 .而在制作平面解析几何的课件时 ,《平面解析几何教师版》具有更强大的功能和优势 .本人在此介绍自己用此软件制作圆锥曲线统一定义课件的方法 ,与同行共同探讨 .如图 1,设M (x ,y)为圆锥曲线上任意一点 ,圆锥曲线统一定义用数学式子可表示为 :|MF|d =e ,0 1,曲…     

关于圆锥曲线统一定义的教学

用点的集合(或轨迹)的观点去统一定义除圆以外的圆锥曲线,既可以使学生掌握“圆锥曲线是与定点和定直线距离之比为常数e的点的集合”这一本质属性,进而深入理解几种圆锥曲线的区別与联系以及各自的几何性质,又可以利用统一定义去简便地解决一部分有关圆锥曲线的问题。因此搞好圆锥曲线统一定义的教学,是非常重要的。但教材中这部分的内容     

“有意差错”微型教学设计一例——兼谈对一道课本练习解答的修正

对于圆锥曲线的统一定义,人教社教材<高中数学>第二册(上)是分散在8.2、8.4、8.5三节给出的: (1)当点M与一个定点F的距离和它到一条定直线ι的距离的比是常数e(0相似文献   

在圆锥曲线定义的学习中使用CAI

《几何画板》是一个比较适用于研究解析几何的软件,它具备“能够动态地保持给定的几何关系”的强大功能.在圆锥曲线定义的学习中,若使用《几何画板》辅助设计,可形象生动地表达出圆锥曲线的定义,从而达到事半功倍的效果. 一、设计实例 1.椭圆 (1)定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.     

圆锥曲线的几个统一性质

椭圆、双曲线、抛物线有统一定义：到一定点的距离与到一定直线的距离之比为常数e的点的轨迹是圆锥曲线．当0〈e〈1时,圆锥曲线是椭圆;当e=1时,圆锥曲线是抛物线;当e〉1时,圆锥曲线是双曲线．     

圆锥曲线的三种伴随曲线

本文探讨了圆锥曲线的三种伴随曲线 ,从而揭示了圆锥曲线的几个有趣的性质 .引理 1 [1 ] 　关于ｘ、ｙ的二元一次方程(1 -ｅ2 )ｘ2 ｙ2 - 2ｐｘ ｐ2 =0(ｐ>0 ,ｅ >0 ) ①当ｅ=1时表示抛物线 ,当 0 <ｅ<1时和ｅ >1时分别表示以 ｐ1 -ｅ2 ,0为中心的椭圆和双曲线 .引理 2　过圆锥曲线①外一定点Ｑ(ｘ0 ,ｙ0 )引曲线①的两切线ＱＭ和ＱＮ ,则两切点Ｍ、Ｎ所在的直线方程为1 -ｅ2 ｘ0 -ｐ ｘ ｙ0 ｙ ｐ2 -ｐｘ0 =0 ②证明　设Ｍ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｎ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则得两切线方程 :ＱＭ :(1 -ｅ2 )ｘ1 ｘ ｙ1 ｙ -ｐ(ｘ1 ｘ) ｐ2 =0 ,ＱＮ :(1 -…     

对高二数学新教材及教师教学用书的几点质疑

人教版高二数学新教材 (上册 ) (以下简称《新教材》)是一本好教材 ,有许多优点 ,它凝聚了许多专家、学者的智慧和匠心 .与之配套《教师教学用书》(以下简称《教参》)也是这样的 .在教学过程中我们也发现了其中的一些不足和有待改进的地方 ,现提出与编者及广大中学教师商榷、研讨 ,以期达到共同提高之目的 .1　《新教材》Ｐ72第 7题 :求与点Ｏ( 0 ,0 )与Ａ(ｃ,0 )的距离的平方差为常数ｃ的点的轨迹方程 .《教参》上解答是不考虑顺序的 :当ｃ≠ 0时 ,轨迹方程为ｘ =ｃ± 12 ,有两解 ;当ｃ =0时 ,轨迹是整个坐标平面 .《新教材》Ｐ78例 5:已知…     

由圆生成三种圆锥曲线

众所周知 ,三种圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹 :当 0 1时为双曲线 ,有趣的是 ,在圆中 ,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线 ,有如下一个结论 .定理　给定圆O :x2 +y2 =r2 (r >0 ) ,A (a ,0 ) ,B (b ,0 ) (b≠0 ,b≠a)是x轴上的两个定点 ,P是圆O上的一个动点 ,Q是P在y轴上的射影 ,直线AP与BQ的交点为M ,则点M的轨迹 :( 1 )当 |a-b| =r时为抛物线 ;( 2 )当 |a -b| >r且b≠a2 -r22a 时为椭圆 ,当b =a…     

由圆生成圆锥曲线

众所周知,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹:当01时为双曲线.有趣的是,在圆中,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线,有如     

重建有心圆锥曲线的统一定义——兼谈有心圆锥曲线间的轨迹相关性

几年后重读《数学通报》2000年第2期李恒德老师《圆锥曲线间的一种轨迹相关性及其几何特征》一文时,对圆锥曲线间的相关性的讨论方法又有了新的想法——重建有心圆锥曲线的统一定义,然后依据定义来讨论圆锥曲线间的相关性,现草就成文供大家批评指正.     

谈极坐标方程ρ=■p/(■eCOS

圆锥曲线统一的极坐标方程(1)р=cp/1-ecosθ分母中第二项的符号是正的时,方程即为(2)р=ep/1+ecosθ°显然它已不是圆锥曲线统一的极坐标方程,但它仍然表示圆锥曲线,e仍然是离心率,р仍然是焦点到准线的距离,且01时表示双曲线。e、p取确定值时,方程(2)与(1)表示的曲线形状完全相同,只是在极坐标系中位置不同。现以椭圆为例列表比较如下。     

圆锥曲线统一定义的应用

椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.它们表示到定点F和定直线l的距离的比是一个常数e的点M的轨迹.当01时,点M的轨迹是双曲线;当e=1时,点M的轨迹是抛物线.其中定点F叫做焦点;定直线l叫做准线;定比e叫做离心率.这样的     

圆锥曲线中一组漂亮的统一性质

借助《几何画板》,笔者近日在学习和教学中发现了圆锥曲线中一组漂亮的统一性质,现与大家分享.性质1若抛物线y2=2px(p>0)上某点P的法线与x轴交于点G,过点G作焦半径PF的垂线l,垂足为L,则|PL|=p.     

圆锥曲线统一定义及其统一极坐标方程

圆锥曲线统一定义及其统一极坐标方程戴书铭，陈炆（吉林前郭五中）唐吾【基本概念】１．椭圆、双曲线、抛物线可统一定义为：与一个定点（焦点Ｆ）的距离和一条定直线（准线ｌ）的距离之比等于常数ｅ的点的轨迹．（１）当０＜ｅ＜１时是椭圆；（２）当ｅ＞１时是双曲线；...     

明修栈道暗渡陈仓

教师们在用《几何画板》制作课件时 ,是否感到 :由于《几何画板》不能作曲线 (圆除外 )与其它曲线的交点 ,因此很难实现长度为定值的线段的两端点在曲线上的运动 .这里介绍一种方法 ,使《几何画板》能演示这一运动 .下面以长度为ｌ的线段ＡＢ的两端点在抛物线 ｙ =ｘ2 上的移动为例 ,说明制作过程 ,供参考 .根据Ａ、Ｂ的移动求线段ＡＢ的中点Ｍ的轨迹 ,这是一个常见的数学问题 (1 987年高考题中有求ＡＢ的中点Ｍ到ｘ轴距离的最小值 ) ,我们可以先求出点Ｍ的轨迹方程 .解法如下 :设点Ｍ的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ＡＢ的倾斜角为θ,由于｜Ａ…     

能这样求椭圆方程吗?

教材《平面解析几何》有这样一道习题: 点p与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2,求P点的轨迹方程。不少资料,以至不少的学生有这么一种解法:由圆锥曲线的统一定义可知点p的轨迹是一椭圆,由椭圆的性质得:于是点P的轨迹是椭圆x~2/16+y~2/12=1。这种解法靠得住吗?不妨再看一例。已知椭圆的离心率为1/3~(1/2)右焦点为(1,0),右准线为x=5,求其方程。解法1 由椭圆的性质得     

一个刻画圆锥曲线特征的角

椭圆、双曲线和抛物线这三种圆锥曲线具有不同的数量特征 ,同时这些特征又是有机的统一 .例如 :以离心率 e为特征 ,我们知道( )椭圆 :0 1 .又如 :若记圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比为 m,则[1]( )椭圆 :0 2实际上圆锥曲线中还有一个尚未引起人们注意的角 ,它也可以展现出圆锥曲线间的差异及统一性 .定理　过圆锥曲线的焦点 F作弦 AB,过端点 A、B分别作对应准线的垂线 ,垂足为A′、B′,记∠ A′FB′=θ,则　　 ( )椭圆 :0 <θ <…     

浅析双曲线的极坐标方程

在学习圆锥曲线的统一的极坐标方程时,课本中指出当e>1时方程ρ=ep/(1-ecosθ)只表示双曲线的右支;如果允许ρ<0方程就表示整个双曲线。对此学生往往感到困惑不解。为了帮助同学们能正确理解双曲线的极坐标方程,本文仍按教材从直线θ=π/4(允许ρ<0)的方程入手,对双曲线的极坐标方程加以简析。 1.限定ρ>0,双曲线极坐标方程有两个。