北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题 三角函数 适用年级 初中三年级 学期 2004-2005学年度第二学期 训练目的 利用三角函数的定义和同角三角函 数的关系式,解决一些求值、化简及等 式证明的相关问题。 典型范例 例 不查表,求15°的四种三角函数值. 分析 30°,45°,60°这些特殊角的三角函数值, 我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何 性质及勾股定理直接给出.同样,15°角的三角函数 值,也可以通过构造适当的三角形,将它转化为30° 角的三角函数问题,这种将新的未知问题通过一定途     

三角函数与解直角三角形的几种解法

在解直角三角形这一章中 ,锐角三角函数和解直角三角形是本章的重点之一 ,而锐角三角函数是解直角三角形的基础 .解直角三角形是解任意三角形的最基本的方法 ,有着广泛应用 .同学们应切实学好 .下面谈运用本章的知识进行解题的几种方法 .一、用锐角α的三角函数值都是正值和变化规律( 0 0 <α <90 0 ,则sinα,tanα随着α的增大而增大 ;cosα ,cotα随着α的增大而减小 )进行解题 .例 1　化简 :( 1 -cot3 0°) 2 +|1 -tan3 5°|+tan2 3 5° -cot45°.解 :原式 =|1 -cot3 0°|+|tan45°-tan3 5°|+|tan3 5°|-1=cot3 0°-1 +tan45°-tan3 5°…     

巧构直角三角形

直角三角形是三角形家族中的“骄子” ,是解题的“利器” ,特别是在解三角形函数时 ,若能适时改变视角 ,恰当地构造直角三角形 ,则不仅可以使解答过程简捷直观 ,而且有助于学生创新思维能力的培养 .一形象记忆特殊角的三角函数值0°、3 0°、45°、6 0°、90°的三角函数值在解题时常常要用到 ,可是我们却苦于记忆 .为减轻同学们的记忆负担 ,可借助于图形的直观、形象 .如 :可构造直角三角形如图 1 ,图 2所示 ,然后根据三角函数定义直接得出 .图 1图 2二巧求某些特殊角的三角函数值图 3例 1　求 1 5°的四个三角函数值 .解作Ｒｔ△ＡＣＢ如…     

2012年中考专题复习(12)——“解直角三角形”

一、中考内容要求1.了解锐角的三角函数,知道30°,45°,60°的三角函数值;2.会用计算器求锐角的三角函数,已知三角函数求锐角;3.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.二、考法分析     

利用网格线巧求锐角三角函数

<正>在解题中经常碰到求网格线中锐角三角函数的问题,我们知道借助于网格线可以构造直角三角形,利用勾股定理求出任意两个格点连线的长度,也可以利用对角线的特征构造垂直线、平行线.那么如何利用网格线求锐角三角函数值呢?一、构造直角三角形锐角三角函数反映了直角三角形中锐角和边与边的比值之间的对应关系,所以要求三角函数值,必须将这个角放到直角三角形中.(2015·山西)如图1,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,求∠ABC的正     

直角三角形的几种解法

解直角三角形是三角学内容的重要部分,这一部分的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法.特殊锐角与其三角函数之间的对应关系也很重要,应当牢记.三角函数定义是本章的第一个重点,因为它是全章乃至全部三角学的预备知识.有了锐角三角函数的概念,解直角三角形,引入任意角三角函数便有了基础.运用直角三角形中边与角的关系解直角三角形是本章的第二个重点,因为它是学习本章概念与理论的应用.解直角三角形还有利于数形结合,通过解直角三角形,才能对直角三角形的概念有较为完整的认识,才能把直角三角形的判断、性质、作图与直角三角形中边…     

第九部分 解直角三角形复习研究

【复习目标】 了解锐角三角函数的概念,熟记0°、30°、45°、60°、90°角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数值,会由一个特殊角的三角函数值,求出它的对应角度,会熟练使用三角函数表,由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角,会     

构造三角形求15°,18°,36°的三角函数值

在计算中,不少命题都要涉及及到三角函数与三角函数值问题,对于一般锐角三角函数值可以借助三角函数表来完成,而对于特殊角的函数值则凭记忆可直接应用.为了计算的准确,提高精度,有时还需要应用一类非特殊角如18°、18°和36°等角的三角函数值.对于这类角的函数值,我们可以通过构造特殊的三角形并利用相关知识,把它们含有根号的无理数的准确值推导出来,以便应用.     

紧扣概念求锐角三角函数值

<正>锐角三角函数问题,都要将问题"定格"在直角三角形中,利用勾股定理求出(或表示出)未知的边,再利用三角函数的概念求出某个锐角的三角函数值,但一定要注意:1弄清楚这个锐角的对边与邻边;2三角函数值要化简.一、直接求:已知直角三角形任意两边时.例1在△ABC中,∠C=90°,AB=221/2,AC=61/2,求cosB的值.分析要求cosB的值,需要已知∠B的邻边和斜边,根据勾股定理可求出∠B的邻边BC的长.     

构造法解决一类求三角函数值问题

<正>数学学习离不开解题.好的解题是循自然而动,由着蔓藤(条件和规则)攀援(思考和探究)向前,优雅、流畅且意蕴绵长.解题过程中无不领略着遇见灵感和顿悟的美好,同时又不乏智慧与挑战.在初中数学学习中,三角函数的定义与直角三角形"息息相关",因此,在求解某些角的三角函数值时,往往先构造直角三角形,然后根据定义求解.比如,我们可以利用直角三角形求得30°,45°,60°等角的三角函数值.下举例说明利用构造法求几个特殊角的三角函数值,从中感悟构造法解题的创造性之美.     

巧用锐角三角函数解几何题

锐角三角函数直接把一个直角三角形中的边与角联系起来,特别是同角a的四个关系式:sin2a cos2a=1.它们为三角演算提供了方便,因此我们可直接利用锐角三角函数的定义解题.尤其是在图形中具有相当多的直角三角形     

60°角思维体操

60°角是图形中的特殊角 ,含 60°角的三角形往往有许多美妙的性质 .怎样利用 60°角的条件呢 ?好 !下面让我们一起来做 60°角思维体操 .一利用 60°角构造直角三角形图 1例 1　如图 1,圆内接四边形ＡＢＣＤ中 ,∠Ａ =60° ,∠Ｂ =90° ,ＡＤ =3 ,ＣＤ =2 .(1)求ＢＣ的长 ;(2 )求四边形ＡＢＣＤ的面积 .(第十四届江苏省竞赛题 )解　延长ＡＢ、ＤＣ交于点Ｅ .∵　∠Ｄ =180° -∠ＡＢＣ =180° -90° =90°,∠Ａ = 60° ,∴　∠Ｅ =3 0°,ＡＥ =2ＡＤ =6,ＤＥ =3 3 .∴　ＥＣ =3 3 -2 .∴　ＢＣ =12 ＥＣ =32 3 -1.(2 )在Ｒｔ△ＢＣＥ中 ,Ｂ…     

学会发现,让我们富有探索精神

在三角函数的学习过程中,我发现除了一些特殊角的三角函数值可直接计算之外,还有一些非特殊角组成的三角函数式,可通过三角变换"整体"地求出它们的值.如cos20°cos40°cos80°,就可以巧妙地应用二倍角公式转化为1/8sin20°·8sin20°cos20°cos40°cos80°=1/8sin20°·sin160=1/8.实际上,与之形式相同的,如cos40°cos80°cos160°也同样可求得. 在做完这道题后,出于爱好研究一个系列问题的习惯,我又思考:cos40°+cos80°+cos160°的值易求吗?我先用计算器算,发现其值为0.再用理论进行推导.考虑到这些角与特殊角60°的差异,不难转化为cos(60°-20°)+cos(60°+20°)-cos20°,展开得其值为0.做完这道题后,又使我联想到求cos20°+cos40°+cos80°的值的问题.     

含有60°内角的三角形的性质及应用

含有 90°角的三角形是一类特殊的三角形—直角三角形 .含有 6 0°内角的三角形 ,也是一类特殊的三角形 .例如 ,对含有 6 0°内角的三角形进行割或补 ,很快便可作出正三角形 ,除此之外 ,这类三角形还有如下有趣的性质 :性质 1　三角形的三内角的量度成等差数列的充分必要条件是其含有 6 0°的内角 .性质 2　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 6 0°.证明　当三角形为直角三角形时结论显然成立 .下面设 H为非直角△ ABC的垂心 ,如图 1 .充分性　设∠ A =6 0°,△ ABC的外接圆半径为 R,直线 AH…     

锐角三角函数值的求解

<正>锐角三角函数值的求解一般需将锐角放到直角三角形中根据定义进行求解,具体求解时需要具体情况具体分析,下面举例加以说明.一、直接求解法当角已在直角三角形中时,可直接应用锐角三角函数定义求解.例1(2011年江苏苏州)如图1,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于().     

网格背景下求锐角三角函数值三例

<正>锐角三角函数知识是建立在直角三角形上的,然而在许多求锐角三角函数的试题中,不见直角三角形,它需要我们见机行事,巧妙的构造出相应的直角三角形,才能迅速解决这类三角函数题。对于以正方形网格为背景的这类问题,则要注意利用格点连线的特殊位置     

圆与三角函数结合

<正>在圆中求一个三角函数时,通常通过圆的基本性质构造直角三角形或把要求的三角函数转化为等角的直角三角形求解.同样通过三角函数转化直角三角形求得圆中的相关值.类型一利用圆转化角求三角函数值例1已知,如图1(1)所示,M、N、P为     

2013年中考专题复习(13)——解直解三角形

解直角三角形是《数学课程标准》中"图形与几何"领域的重要内容。主要研究锐角三角函数和解直角三角形。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具,解直角三形在实际中有着广泛的应用。解直角三角形主要研究三角形中边、角之间的比例关系,它与"相似三角形"、"勾股定理"有着密切的联系,同时也是高中数学学习三角函数的衔接点。纵观近几年来各省中考题,     

求解锐角三角函数值

<正>锐角三角函数的求解具有较强的灵活性,只要掌握了求解的规律,求解将不会再困难.首先,锐角三角函数的求解一般要用定义,也就是说要在直角三角形中解决问题.其次,锐角三角函数值是直角三角形边的比值,也就是说最好知道边的长度.因此,勾股定理经常会用到.1.紧紧抓住相应的直角三角形的边长的比     

当题设条件中有特殊角时……

在某些平面几何题中,已知条件常常包括一些度数为30°,45°,60°或15°,22.5°,75°等的角.我们称这些角为特殊角.那么如何利用这些特殊的角来解题呢?下面举例说明.例1 四边形ABCD中,AD=2,BC=1,∠A60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.