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Zupei Shen 《Applicable analysis》2020,99(12):2137-2149
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The following kind of Klein–Gordon–Maxwell system is investigated − Δ u + V ( x ) u − ( 2 ω + ϕ ) ϕ u = K ( x ) f ( u ) , in R 3 , Δ ϕ = ( ω + ϕ ) u 2 , in R 3 , $$\begin{equation*} \hspace*{4pc}{\left\lbrace \begin{aligned} &{-\Delta u+ V(x) u-(2\omega +\phi ) \phi u=K(x)f(u)}, & & {\quad \text{ in } \mathbb {R}^{3}}, \\ &{\Delta \phi =(\omega +\phi ) u^{2}}, & & {\quad \text{ in } \mathbb {R}^{3}}, \end{aligned}\right.} \end{equation*}$$ where ω > 0 $\omega >0$ is a parameter, and V is vanishing potential. By using some suitable conditions on K and f, we obtain a Palais–Smale sequence by using Pohožaev equality and prove the ground-state solution for this system by employing variational methods. Our result improves the related one in the literature.  相似文献   

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Lu Xiao 《Applicable analysis》2020,99(11):1827-1864
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We prove continuity and Harnack's inequality for bounded solutions to elliptic equations of the type div | ∇ u | p − 2 ∇ u + a ( x ) | ∇ u | q − 2 ∇ u = 0 , a ( x ) ≥ 0 , | a ( x ) − a ( y ) | ≤ A | x − y | α μ ( | x − y | ) , x ≠ y , div | ∇ u | p − 2 ∇ u 1 + ln ( 1 + b ( x ) | ∇ u | ) = 0 , b ( x ) ≥ 0 , | b ( x ) − b ( y ) | ≤ B | x − y | μ ( | x − y | ) , x ≠ y , div | ∇ u | p − 2 ∇ u + c ( x ) | ∇ u | q − 2 ∇ u 1 + ln ( 1 + | ∇ u | ) β = 0 , c ( x ) ≥ 0 , β ≥ 0 , | c ( x ) − c ( y ) | ≤ C | x − y | q − p μ ( | x − y | ) , x ≠ y , $$\begin{eqnarray*} \hspace*{13pc}&&{\rm div}{\left(|\nabla u|^{p-2}\,\nabla u+a(x)|\nabla u|^{q-2}\,\nabla u\right)}=0, \quad a(x)\ge 0,\\ &&\quad |a(x)-a(y)|\le A|x-y|^{\alpha }\mu (|x-y|), \quad x\ne y, \\ &&{\rm div}{\left(|\nabla u|^{p-2}\,\nabla u {\left[1+\ln (1+b(x)\, |\nabla u|) \right]} \right)}=0, \quad b(x)\ge 0, \\ &&\quad |b(x)-b(y)|\le B|x-y|\,\mu (|x-y|),\quad x\ne y,\\ &&{\rm div}{\left(|\nabla u|^{p-2}\,\nabla u+ c(x)|\nabla u|^{q-2}\,\nabla u {\left[1+\ln (1+|\nabla u|) \right]}^{\beta } \right)}=0,\\ &&c(x)\ge 0, \, \beta \ge 0, |c(x)-c(y)|\le C|x-y|^{q-p}\,\mu (|x-y|), \quad x\ne y, \end{eqnarray*}$$ under the precise choice of μ.   相似文献   

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