Plane dynamic response of two circular holes to transient elastic waves

Summary Using the methods of integral transforms and eigenfunction expansions, the plane elastodynamic problem of two circular holes in an infinite medium under the action of arbitrary transient loads is investigated in this paper. The problem is first reduced to a group of equations of infinite series in the Laplace transform domain which is then solved by a modified version of the Schmidt orthogonalization method. Via the numerical inversion of the Laplace transform the dynamic stress concentration factors which vary with time are obtained and presented in graphical form for various geometry parameters and types of transient loads. The effect of the distance between the two holes on the dynamic stress concentration factor is also discussed.

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Das ebene elastodynamische Problem mit zwei Kreislöchern bei transienten Belastungen

Übersicht Mit Hilfe von Integraltransformationen und Entwicklungen nach Eigenfunktionen wird das ebene elastodynamische Problem beliebiger transienter Belastung des unendlichen Körpers mit zwei Kreislöchern untersucht. Zunächst wird das Problem auf einen Satz unendlicher Reihen im Laplace-Raum reduziert und mit einer modifizierten Version der Schmidtschen Orthogonalisierungsmethode, gelöst. Durch numerische Rücktransformation erhält man die zeitveränderlichen Spannungskonzentrationsfaktoren, die für verschiedene geometrische Parameter und transiente Belastungen graphisch dargestellt werden. Zusätzlich wird der Einfluß des Lochabstands auf den dynamischen Spannungskonzentrationsfaktor untersucht.

     

Stresses in a transversely isotropic,short hollow cylinder subjected to an outer band load

Summary An axi-symmetric stress analysis of a transversely isotropic, short hollow cylinder subjected to an outer band load is presented in a series form. The generalized Elliott's solution is used for the analysis. The solution consists of five independent potential functions which yield two kinds of elasticity solution. The boundary conditions for the shearing stress on the four surfaces are exactly satisfied. Other boundary conditions are numerically satisfied with the aid of a Fourier series expansion or a Fourier-Bessel series expansion. Numerical results for stresses in magnesium and cadmium crystals, as examples of transversely isotropic materials, and in an isotropic material are illustrated. The effect of anisotropy on the stresses is investigated by comparison with the stresses in the isotropic material.

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Spannungen in einem transversal-isotropen, kurzen Hohlzylinder unter einer äußeren Bandlast

Übersicht Vorgestellt wird eine axialsymmetrische Spannungsanalyse mittels Reihen für einen transversalisotropen, kurzen Hohlzylinder unter einer äußeren Bandlast. Für die Analyse wird die verallgemeinerte Elliottsche Lösung benutzt. Die Lösung besteht aus fünf unabhängigen Potentialen, welche zwei Arten der Elastizitätslösung abgeben. Die Randbedingungen der Schubspannung auf den vier Flächen werden genau erfüllt. Die anderen Randbedingungen werden durch eine Fouriersche Reihenentwicklung oder eine Fourier-Besselsche Reihenentwicklung numerisch erfüllt. Die numerischen Resultate der Spannungen in einem Magnesiumkristall und einem Kadmiumkristall als Beispiele transversal-isotroper Materialien und in einem isotropen Material werden illustriert. Der Einfluß der Anisotropie auf die Spannungen wird durch Vergleich mit den Spannungen im isotropen Material untersucht.

     

Theory of thin-walled curved members with shear deformation

Summary The differential equations and the boundary conditions governing the behavior of structures composed of thin-walled curved members with shear deformation are derived in accordance with the virtual work principle. In the general bending theory or bending-torsion theory, the equilibrium equation of forces acting on an infinitesimal wall element in the axial direction is not sufficiently satisfied, since it is assumed that the normal stress is equal to zero. That is, the effects of the shear stress due to bending or warping are neglected.In the present paper, the method of successive approximations is used to determine a refined displacement field. Hence, the equilibrium condition for the infinitesimal wall element is satisfied at each repeated step in which the normal stress is calculated from the determined displacement in the axial direction, and the effects of shear deformation are considered. Approximate solutions which are believed to have sufficient accuracy are developed and given herein. Numerical examples are shown for several problems. Through the comparison with other author's results, the accuracy and the efficiency of this method may be verified.

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Theorie von gekrümmten dünnwandigen Stäaben unter Berücksichtigung des Schubverformungseinflusses

Übersicht Die Differentialgleichungen und Randbedingungen, die das Verhalten von Stabsystemen aus gekrümmten dünnwandigen Stäben unter Berücksichtigung des Schubverformungseinflusses beschreiben, werden durch das Prinzip der virtuellen Arbeit abgeleitet.In der gewöhnlichen Biege- oder Wölbkrafttorsionstheorie ist das Gleichgewicht der Kräfte in Längsrichtung an einem infinitesimalen dünnwandigen Element des Stabes nicht erfüllt, da die Normalspannung _gq zu Null angenommen wird; d. h., der Verformungseinfluß der Biege- und Wölbschubspannungen wird vernachlässigt.In dieser Arbeit wird die Methode der successiven Approximationen benutzt, um ein genaueres Verschiebungsfeld zu bestimmen. Daraus folgt, daß das vorstehende Gleichgewicht der Kräfte bei jedem Wiederholungsschritt erfüllt ist, in welchem die Normalspannung _gq durch das bestimmte Verschiebungsfeld in Längsrichtung gegeben wird.Für die erhaltene Näherungslösung kann man die Konvergenz zur exakten Lösung nachweisen. Einige numerische Beispiele werden gegeben. Durch den Vergleich mit Ergebnissen anderer Verfasser können die Genauigkeit und die Leistungsfähigkeit dieser Methode bestätigt werden.

     

Der Spannungszustand im Übergangsgebiet einer rechtwinkligen Rohrabzweigung

Zusammenfassung Der Spannungszustand im Übergangsgebiet einer durch Innendruck belasteten, rechtwinkligen Rohrabzweigung — eines im Maschinen- und Apparatebau häufig verwendeten Konstruktionselementes — unterliegt verhältnismäßig komplizierten Randbedingungen, die mit den klassischen Hilfsmitteln der Biegetheorie der Kreiszylinderschale im allgemeinen nur in einzelnen Punkten auf der Schnittkurve der beiden Rohrmittelflächen erfüllt werden können.Unterschreitet das Radienverhältnis a/A (a Halbmesser des abzweigenden, A Halbmesser des durchlaufenden Rohres) den Wert 0,5, so lassen sich die Randbedingungen soweit vereinfachen, daß ihre Erfüllung in allen Punkten der Schnittkurve durch eine geschlossene Lösung des Randwertproblems möglich wird. Dies gelingt hauptsächlich durch Verwendung eines polaren Koordinatensystems auf der Mittelfläche des durchlaufenden Rohres und einer vereinfachten Schalenbiegetheorie von Green und Zerna. Die Lösung hat zunächst die Gestalt unendlicher Reihen; man kann sie jedochHabilitationsarbeit Karlsruhe 1960.     

Das Druckströmungsfeld in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt)

Zusammenfassung Es wird eine Näherungsrechnung behandelt, die es in vielen Fällen ermöglicht, die zweidimensionale stationäre Strömung Newtonscher Flüssigkeiten in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt zu berechnen. Für die gesuchte Funktion der Geschwindigkeitsverteilung wird ein Lösungsansatz gewählt, der eine Anzahl unbestimmter Parameter enthält. Dieser Ansatz wird in die die Bewegung beschreibenden Differentialgleichungen eingesetzt. Die freien Parameter im Lösungsansatz werden nun so bestimmt, daß die Differentialgleichung und ggf. die vorliegenden Randbedingungen möglichst gut erfüllt werden. Dies geschieht mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate, die die Summe der Fehler bzw. Fehlerquadrate zum Minimum macht. Die Geschwindigkeitsverteilung liegt damit in Form einer Funktion der Ortskoordinaten vor, mit der ggf. in einfacher Weise weitergerechnet werden kann. Das Verfahren wird an einigen Beispielen erläutert.Vortrag auf dem Darmstädter Kunststoff-Kolloquium am 21. März 1969.Alle numerischen Rechnungen wurden an der elektronischen Datenverarbeitungsanlage TR4 des Rechenzentrums der Universitgt Stuttgart durchgefiihrt.Für die Erm6glichung und Diskussion dieser Arbeit danke ieh Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Sehenkel.Herrn Dr.-Ing.E. Steck sei an dieser Stelle für wertvolle Hinweise und Diskussionen gedankt.     

Die Prandtlschen Grenzschichtdifferentialgleichungen als asymptotischer grenzfall der Navier-Stokesschen und der eulerschen differentialgleichungen

Zusammenfassung Wegen der gro\en mathematischen schwierigkeiten, die einer Lösung der vollen Navier-Stokesschen differentialgleichungen entgegenstehen, vereinfachte L.Prandtl 1904 [8] diese Gleichungen zu den Prandtlschen Grenzschichtdifferentialgleichungen, indem er gewisse grö\en als klein vernachlässigte. Die Begründung für diese reduktion geschah auf anschaulichem Wége; Dabe spielte insbesondere die annahme eine gro\e Rolle, die Wirkung der Zähigkeitskräfte erstrecke sich nur auf eine wandnahe schicht, die sog. Prandtlsche Grenzschicht. In der vorliegenden Note wird nun ohne anschauliche Überlegungen und unter genau festgelegten Voraussetzungen streng bewiesen werden, daß die Lösungen der Prandtlschen Grenzschichtdifferentialgleichungen für verschwindende Zähigkeit asymptotische Lösungen sowohl der Navier-Stokesschen als auch der Eulerschen Differentialgleichungen sind. Es gilt nämlich, daß für hinreichend kleine Zähigkeit die Geschwindigkeitskomponenten in Hauptströmungsrichtung im Innern der Strömung bei allen drei Lösungen beliebig wenig differieren. Wegen der unterschiedlichen Randbedingungen der Eulerschen und der Prandtlschen Gleichungen an einer festen Wand folgt daraus, daß der Reibungseinfluß nur in unmittelbarer Wandnähe wirksam sein kann. Damit ist die Existenz der Prandtlschen Grenzschicht ohne jede physikalische Zusatzannahme beweisbar geworden.Dieser Nachweis wird hier geführt für die stationäre (also laminare) zweidimensionale Strömung eines inkompressiblen Mediums. Um diejenigen Komplikationen auszuschalten, die durch das verwendete Koordinatensystem verursacht werden können (vgl. etwa S.Kaplun [1]), wird allein die Strömung durch einen rechteckigen Kanal betrachtet. Die verwendeten mathematischen Voraussetzungen sind sehr gering und dürften wohl stets erfüllt sein; als einzige physikalische Bedingung wird verlangt, daß keine Rückströmung auftritt.Zu den Beweisen der nachfolgenden Sätze wird das grundlegende Lemma vonNagumo-Westphal über parabolische Differentialungleichungen benutzt, mit dessen Hilfe in den letzten Jahren einige grundlegende Einsichten über die Lösungen der Grenzschichtdifferentialgleichungen gewonnen werden konnten (vgl. [2, 4, 5, 6, 7]). Als Nebenergebnis dieser Methode ergibt sich noch, daß die Lösungen und Näherungslösungen der Prandtlschen Grenzschichtdifferentialgleichungen stetig von ihren Randwerten und vom Defekt der Gleichungen abhängen.     

Decaying states of plane strain in a semi-infinite strip and boundary conditions for plate theory

Friedrichs and Dressler and Gol'denveiser and Kolos have independently shown that the classical plate theory of Kirchhoff is the leading term of the outer expansion solution (in a small thickness parameter) for the linear elasto-statics of thin, flat, isotropic bodies. As expected, neither this leading term nor the full outer solution alone is able to satisfy arbitrarily prescribed edge conditions. On the other hand, the inner solution, which is significant only near the edge, is determined by a sequence of boundary value problems which are very difficult to solve, nearly as difficult as the original problem. For stress edge-data, St. Venant's principle may be invoked to generate a set of stress boundary conditions for the classical plate theory as well as for some higher order terms in the outer expansion without any reference to the inner solution. Attempts in the literature to derive the corresponding boundary conditions for displacement edge-data have not been successful.With the help of the Betti-Rayleigh reciprocity theorem, we have derived the correct set of boundary conditions for classical and higher order plate theories with arbitrary edge-data. In this paper, we work out these conditions for an infinite plate strip with edgewise uniform data. We show that the conditions for individual terms in the outer expansion may be summed to give a simple set of appropriate boundary conditions for the full outer solution at the mid-plane. The boundary conditions obtained for the semi-infinite plate case are rigorously correct and the result for the stress data case rigorously justifies the application of St. Venant's principle. Applications of the displacement boundary conditions obtained are illustrated by two simple problems: (i) The shearing of an infinitely long rectangular block, and (ii) A clamped infinite plate strip under uniform face pressure.

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Abklingende ebene Dehnungszustände in einem halb-unendlichen Streifen und Randbedingungen fur die Plattentheorie

Zusammenfassung Friedrichs und Dressler sowie Gol'denveiser und Kolos haben unabhängig voneinander gezeigt, dass das erste Glied der durch äussere Entwicklung (nach einem kleinen Dickeparamter) gewonnenen Lösung für die lineare Elastostatik dünner, ebener, isotroper Körper zur klassischen Kirchhoffschen Plattentheorie führt. Wie erwartet kann weder dieses erste Glied noch die vollständige äussere Lösung allein willkürlich vorgegebene Randwerte erfüllen. Andererseits ist die innere Lösung, die nur in Randnähe von Bedeutung ist, durch eine Folge von Randwertproblemen bestimmt, die sehr schwer zu lösen sind, nahezu ebenso schwer wie das ursprüngliche Problem. Im Fall von Randbedingungen für die Spannungen kann man das St. Venantsche Prinzip sowohl zur Erzeugung eines Systems von Spannungsrandbedingungen für die klassische Plattentheorie als auch für einige Glieder höherer Ordnung in der äusseren Entwicklung ohne jeden Bezug zur inneren Lösung heranziehen. In der Literatur dargestellte Versuche, die entsprechenden Bedingungen für das Verschiebungsrandwertproblem herzuleiten, waren nicht erfolgreich.Mit Hilfe des Betti-Rayleighschen Reziprozitätssatzes haben wir das korrekte System von Randbedingungen für die klassische Plattentheorie und auch für Plattentheorien höherer Ordnung mit willkürlichen Randwerten hergeleitet. In der vorliegenden Arbeit stellen wir diese Bedingungen für einen unendlichen Plattenstreifen mit gleichmässigen Randwerten auf. Wir zeigen, dass man durch Aufsummieren der Bedingungen für die einzelnen Glieder der äusseren entwicklung ein einfaches System angemessener Randbedingungen für die vollständige äussere Lösung an der Mittelebene erhalten kann. Die Randbedingungen, die man für den Fall einer half-unendlichen Platte erhält, sind streng gültig, und das Ergebnis für den Fall von vorgegebenen Spannungen rechtfertigt die Anwendung des St. Venantschen Prinzips vollkommen. Zwei einfache Probleme illustrieren die Anwendung der für das Verschiebungsproblem erhaltenen Randbedingungen: (i) Die Scherung eines unendlich langen rechteckigen Blocks und (ii) Ein eingespannter unendlicher Plattenstreifen unter gleichmässiger Belastung.

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The research is partly supported by NSERC Operating Grant No. A9259 and, in the case of the second author, also by a UBC Killam Senior Fellowship.     

Ein Beitrag zur Lösung der partiellen Differentialgleichungen ebener Flächentragwerke nach der Differenzenmethode

Übersicht Im vorliegenden Beitrag wird die biharmonische Differentialgleichung mit vorgegebenen Randbedingungen au zwei gegenüberliegenden Rändern unter Anwendung von Differenzenausdrücken durch fünfgliedrige Matrizengleichungen dargestellt. Die vollständige Lösung dieser speziellen Klasse von Matrizengleichungen setzt sich aus einem inhomogenen Lösungsanteil und einem homogenen Lösungsanteil zusammen, der aus einer Summe von Produktion aus Eigenwerten, Eigenvektoren und freien Konstanten gebildet wird. Aus den Randbedingungen der beiden anderen gegenüberliegenden Rändern ergeben sich Bestimmungsgleichuugen für die in der homogenen Lösung enthaltenen freien Konstanten. Für den eingespannten Plattenstreifen werden die Eigenwerte und Eigenvektoren angegeben.

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Summary The biharmonic differential equation with prescribed boundary conditions on two opposite edges is established using difference expression obtained from five-term matrix equations. A complete solution to this special category of matrix equations consists of an inhomogeneous and homogeneous part, which are obtained as a sum of products of eigenvalues, eigenvectors and free constants. Equations to determine the free constants in the homogeneous solution result from the boundary conditions of the two other opposite edges. Eigenvalues and eigenvectors for a clamped strip are given.

     

Biegung elliptischer und kreisförmiger Platten von veränderlicher Dicke bei hydrostatischer Belastung

Zusammenfassung Die Gleichung der elastischen Fläche der eingespannten elliptischen Platte und der eingespannten sowie der gelenkig gelagerten Kreisplatte gleicher Dicke für gleichmäßig verteilte Belastung wird dazu benutzt, die Beanspruchung solcher Platten bei hydrostatischer Belastung und veränderlicher Plattendicke zu ermitteln. Die Differentialgleichung wird für linear veränderliche Plattensteifigkeit in der Richtung des Druckgradienten streng erfüllt. Die Randbedingungen, werden ebenfalls streng befriedigt. Für dreieckförmige Belastung, die gerade bis zur Oberkante der Platte reicht, werden Zahlenbeispiele durchgerechnet. Für die Kreisplatte wird der Vergleich mit der Platte gleichbleibender Dicke gegeben. Dabei ergibt sich für die eingespannte Platte gleichbleibender Dicke ein Mehraufwand an Werkstoff von 8% gegenüber der Platte von veränderlicher Dicke, wenn die größten Spannungen in beiden Fällen dieselben sein sollen.     

Die anfangswertaufgabe für die störungsdifferentialgleichungen des taylorschen stabilitätsproblems

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden vorgegebene Störungen in einer Strömung zwischen zwei rotierenden Zylindern untersucht. Im Gegensatz zu dem von Taylor behandelten Fall darf sich die Grundströmung dabei zeitlich ändern.Mit Hilfe der Galerkinschen Methode werden Näherungslösungen der Störungs-differentialgleichungen konstruiert. Es läßt sich zeigen, daß diese Näherungslösungen gegen schwache Lösungen der Gleichungen konvergieren. Der Beweis wird unter Benutzung der Sobolevschen Einbettungssätze geführt. Die schwachen Lösungen erfüllen nicht die Differentialgleichungen im üblichen Sinne, sondern nur gewisse aus den Differentialgleichungen abgeleitete Integralrelationen. Aus einfachen Abschätzungen ergibt sich die Eindeutigkeit dieser Lösungen.Die schwachen Lösungen besitzen die Eigenschaft, daß die radiale Komponente der Störungen für feste Werte der Zeit eine absolut stetig differenzierbare Funktion der Ortskoordinate ist. Dagegen ist die azimutale Komponente zu jeder festen Zeit nur eine absolut stetige Funktion des Ortes. Beide Komponenten erfüllen die gestellten Randbedingungen. Die erhaltenen Lösungen stellen aufgrund ihrer Eigenschaften und Einzigkeit eine auch vom physikalischen Standpunkt aus sinnvolle Verallgemeinerung dar.Als Beispiel wird das Verhalten spezieller Störungen in zwei gebremsten und in zwei beschleunigten Grundströmungen ermittelt. Mit zunehmender TaylorZahl werden zunächst die radiale und die axiale Komponente der Störungen angefacht. Dagegen bleibt die azimutale Komponente bis zu sehr hohen TaylorZahlen gedämpft. Der Grad der Anfachung hängt praktisch nur von der mittleren Geschwindigkeit der Grundströmung ab.Diese Arbeit stellt eine gekürzte Fassung meiner Dissertation dar, die bei der Naturwissenschaftlich-Mathematischen Fakultät der Universität Freiburg i. Br. im Dezember 1962 eingereicht wurde. Vorgelegt von H. Görtler     

An approximate solution to the problem of a circular cylindrical shell with a circular hole subjected to an arbitrary self-equilibrated edge loading

Summary In this investigation, we shall use Donnell's equation of shallow circular cylindrical shell to obtain an approximate solution for stresses in an infinitely long circular cylindrical shell with a circular hole about which there acts a self-equilibrated load. To satisfy the edge conditions, we first shall expand the appropriate solutions of the differential equation into series containing powers, products of powers and logarithm, of the characteristic parameter ₀ defined in (1). We then shall represent the unknown coefficients of the solutions in similar series including new constants which depend only on the material property and the type of loading. We determine the new unknown constants through simple algebraic equations. In conclusion, we shall present two examples for symmetric and anti-symmetric loadings, including expressions which illustrate their accuracy, and expressions for stress concentration.

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Übersicht Es wird eine Näherungslösung für die Spannungen in einer unendlich ausgedehnten kreiszylindrischen Schale mit einem kreisförmigen Loch mit Hilfe der Donnel-Gleichung für flache Schalen angegeben. Der Lochrand wird durch eine im Gleichgewicht befindliche Last beansprucht. Zur Erfüllung der Randbedingungen werden die Eigenlösungen der Differentialgleichung in Reihen entwickelt, die neben Potenzen auch Produkte von Potenzen und logarithmischen Gliedern des charakteristischen Parameters ₀ enthalten, der in Gl. (1) definiert ist. Die unbekannten Koeffizienten der Lösungen werden in entsprechender Weise durch Reihen dargestellt. Sie enthalten neue Konstante, die nur noch von den Materialeigenschaften und der Belastungsart abhängen. Diese Konstanten werden durch einfache algebraische Gleichungen bestimmt. Zwei Beispiele für symmetrische und antimetrische Belastung werden durchgerechnet, wobei die Spannungskonzentration und die Genauigkeit des Verfahrens erkennbar werden.

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The author is indebted to Dr. E. F. Casebeer for invaluable editorial suggestions.     

Torsion des unendlichen Halbraumes durch einen kreisförmigen Stempel

Übersicht Es wird ein numerisches Berechnungsverfahren für die Einleitung des Torsionsmomentes im unendlichen Halbraum durch einen kreisringförmigen Stempel, der fest mit dem Halbraum verbunden ist, entwickelt. Das gemischte Randwertproblem wird mit Hilfe geeigneter Singularitäten auf eine Fredholmsche Integralgleichung zurückgeführt und numerisch gelöst. Die Lösung der Integralgleichung gibt direkt die gesuchten Schubspannungen in der Kontaktfläche an. An Testreohnungen wird die Brauchbarkeit der Methode aufgezeigt.

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Torsion of an elastic half-space by a flat annular stamp

Summary The problem considered here is that of an elastic isotropic half-space twisted by the rotation of a flat annular stamp to which it is joined. Using singularities the mixed boundary value problem is reduced by means of Betti's reciprocical theorem into a Fredholm integral equation for the unknown shearing stresses in the contact region. Some numerical results are presented and compared with published ones.

     

Die Ausbreitung einer elastischen Kugelwelle in einem unendlichen Körper mit transversaler Isotropie

Übersicht In einem unendlichen elastischen Körper mit sphärisch transversaler Isotropie wird die Oberfläche einer um den Ursprung geschlagenen Hohlkugel mit konstantem Druck belastet. Die die Wellenausbreitung beschreibende Differentialgleichung wird der Laplace-Transformation unterworfen. Die Bildlösung baut sich aus modifizierten Besselfunktionen zweiter Art auf, deren Zeiger von den elastischen Konstanten abhängt. Ist die Formänderungsenergie des Körpers eine positiv definite quadratische Form, so gelten für die elastischen Konstanten einschränkende Ungleichungen. Sind diese erfüllt, so ist die Bildlösung in der positiven Halbebene und auf der imaginären Achse mit Ausnahme des Ursprungs regulär. Mit Hilfe des Umkehrintegrals der Laplace-Transformation kann die Lösung im Oberraum berechnet werden. Diese Lösung wird numerisch ausgewertet für spezielle Werte der elastischen Konstanten.

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Summary In an infinite elastic body possessing spherical transversal isotropy the surface of a sphere around the origin is subjected to constant pressure. Laplace's transformation is applied to the equation for the radial displacements. The solution in the subdomain is constructed with aid of modified Bessel functions of the second kind, the order of which depends on the elastic stiffnesses. If the strain energy is positive definite, the elastic stiffnesses are submitted to certain inequalities. Therefore the solution in the subdomain possesses no singularities in the positive half of the complex domain and on the imaginary axis with exception of the origin. By use of the inversion theorem of Laplace's transformation the solution in the time domain is derived. For a special choice of the elastic stiffnesses numerial results are given.

     

Numerical method for elastic-plastic waves in cracked solids,Part 1: anti-plane shear problem

Summary The paper deals with a numerical method combining a characteristic-based scheme and Zwas' method in order to solve the hyperbolic PDE's of elastic and elastic-plastic anti-plane shear waves in two space dimensions. First, the need of new physically reasonable numerical methods for stress waves in solids is demonstrated by numerical applications to problems with impulsive loading, where defects of some standard methods are shown. Then, the new secon-dorder accurate method is derived. A suitable procedure to model the elastic-plastic behaviour of materials by simple waves is included. The capability of the methods is demonstrated by application to several examples. Additionally, for comparison with numerical results, a similarity solution for the semi-infinite crack undergoing an elastic-plastic shock loading is derived in the appendix.

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Numerisches Verfahren für elastisch-plastische Wellen in gerissenen Festkörpern, Teil 1: Das dynamische Querschubproblem

Übersicht In der Arbeit wird eine numerische Methode vorgestellt, in der das Charakteristiken erfahren mit der Methode von Zwas kombiniert wurde, um die hyperbolischen, partiellen Differentialgleichungen der elastisch-plastischen Wellenausbreitung für das dynamische Querschubproblem zu lösen. Um die Notwendigkeit neuer, physikalisch brauchbarer Methoden für Spannungswellenprobleme zu begründen, werden zunächst an Beispielen typische Schwächen einiger Standardmethoden gezeigt. Danach wird die neue Methode dargestellt. Dabei wird auch ein geeigneter Weg im Spannungsraum angegeben, um elastisch-plastische Wellen durch sog. einfache Wellen zu beschreiben. Die Fähigkeiten der Methode werden an einigen Beispielen überprüft. Ferner wird im Anhang, um mit numerischen Ergebnissen zu vergleichen, eine Ähnlichkeitslösung hergeleitet, die für den halbunendlichen Riß bei stoßartig aufgebrachter Belastung und Beanspruchung bis in den elastisch-plastischen Bereich gilt.

     

Damped response of thin plates to step loads including geometric nonlinearity

Summary This paper presents an approximate solution of the large deflection damped response of thin isotropic circular and rectangular plates subjected to step loads. Simply-supported and clamped plates with movable and immovable inplane conditions are considered. Von Kármán-type equations are employed in terms of the transverse deflection and the stress function. The deflection is approximated by a one-term spatial shape function and Galerkin's method is used to obtain the differential equation for the central deflection. This equation is solved by the Newmark- scheme. Comparison with available results has demonstrated that satisfactory engineering accuracy is achieved by the present method.

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Die Antwort dünner Platten auf sprungförmige Lasten bei geometrischer Nichtlinearität und Dämpfung

Übersicht Eine Näherungslösung für große Durchsenkungen von dünnen, isotropen Kreisund Rechteckplatten wird hier beschrieben, wobei die Randbedingungen einer gelenkigen bzw. festen Lagerung mit Beweglichkeit oder Fesselung in der Plattenebene behandelt werden. Ausgedrückt durch die Durchsenkung und die Spannungsfunktion ergeben sich Grundgleichungen des von Kármán-Typs. Die Durchsenkung wird als Produktansatz einer Biegeform und Zeitfunktion approximiert und Galerkins Methode angewandt, um eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Durchsenkung der Plattenmitte zu erhalten. Diese Gleichung wird mit Hilfe von Newmarks -Methode gelöst. Vergleiche mit zugänglichen Ergebnissen zeigen, daß mit hiesigem Vorgehen eine ingenieurmäßig zufriedenstellende Genauigkeit erzielt wird.

     

Modale Behandlung linearer periodisch zeitvarianter Bewegungsgleichungen

Übersicht Lineare, periodisch zeitvariante Bewegungsgleichungen treten im Hubschrauber- und Windturbinenbau auf. Der Getriebebau und die Rotordynamik liefern weitere Beispiele. In diesem Bericht wird ein systematischer Weg zu ihrer Lösung dargestellt. Mit dem Ansatz von Hill wird die homogene Lösung über die Lösung eines Eigenwertproblems gewonnen. Nach Anpassung an die Anfangsbedingungen liefert sie die Fundamentalmatrix des Systems.Ähnlich wie bei zeitinvarianten Systemen, existieren auch bei zeitvarianten Systemen Orthogonalitätsbedingungen, die die Eigenvektoren erfüllen. Die Eigenvektoren selbst sind allerdings zeitabhängig. Benutzt man die Eigenvektoren als Ansatzvektor zur Berechnung der erzwungenen Schwingungen (Transformation mit der zeitvarianten Modalmatrix des Systems), so gelingt es, die Bewegungsgleichungen des Systems in entkoppelte, zeitinvariante zu überführen. Sie lassen sich in bekannter Weise lösen. Dieses Vorgehen wird auf eine moderne Windkraftanlage angewandt. Sie wurde zunächst mit 372 Freiheitsgraden modelliert, die aber auf 18 vor der numerischen Weiterbehandlung kondensiert wurden. Das Stabilitätsverhalten und die Antwortspektren auf stochastische Anregung durch den Wind wurden auf dem oben beschriebenen Weg ermittelt.

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Der Wärmeaustausch zwischen Ölschicht und Metallflächen in einem Gleitlager unter Berücksichtigung der Veränderlichkeit der Ölviskosität

Zusammenfassung Der Einfluß des Wärmeaustausches zwischen Öl und Lagerflächen auf die Temperatur- und Druckverteilung in der Ölschicht wird untersucht. Ein Minimalsatz der Lagerreibung wird aufgestellt. Mit ihm, der Energiegleichung und dem Temperatur-Druck-Viskositätsgesetz wird ein Gleichungssystem für die Gleitlagerberechnung formuliert, wie es bis jetzt im Schrifttum noch nicht bekannt ist. Dieses Gleichungssystem mit den gegebenen Randbedingungen charakterisiert den mathematischen Ansatz des Problems eindeutig. Ein Lösungsverfahren zur Lösung dieses nichtlinearen und inhomogenen Gleichungssystems zur Bestimmung des Druckes, der Temperatur und der Viskosität an jeder Stelle des Schmierfilms wird angegeben. Es zeigt sich, daß die Tragfähigkeit einerseits durch nahezu konstanten Verlauf der Temperatur in der Schale, andererseits durch Erhöhung der Wärmeübergangszahlen erheblich gesteigert werden kann.Ein Vergleich mit den Temperaturmessungen von Radermacher zeigt den Unterschied zwischen der örtlichen Schalentemperatur und der örtlichen Schmierschichttemperatur.Die Rechnungen für den adiabatischen Fall lassen erkennen, daß die Ähnlichkeitsgesetze im Lager nicht mehr gelten, wenn die Abhängigkeit der Viskosität von Temperatur und Druck berücksichtigt wird.Auszug aus der Dissertation des Verfassers: Das konstant belastete zylindrische Gleitlager unter Berücksichtigung der Abhängigkeit der Viskosität von Temperatur und Druck an der T. H. Karlsruhe 1962: Referent: Prof. Dr.-Ing. K. Kollmann; Korreferenten: Prof. Dr.-Ing. K. Nesselmann und Prof. Dr.-Ing. J. Zierep. Insbesondere Herrn Prof. Kollmann danke ich herzlich für die Anregung und großzügige Förderung der Arbeit.     

Integral equations for any configuration of curved cracks and holes in an elastic strip

Summary A method is presented to deal with the problems of an elastic strip weakened by cracks and holes of any configuration and geometry. The solution in terms of complex potentials is given by integrals over the cracks and holes with integrands expressed in terms of determined functions (Green) and an unknown density function (t). A singular integral equation for the complex density function (t) is derived for the problem. The appropriate Green's functions are derived from the solution for the problem of an uncracked strip subjected to a concentrated force or a dislocation. The integral equation is solved numerically for a strip in tension with an internal circular arc crack.

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Integralgleichungen für beliebige Konfigurationen von gekrümmten Rissen und Löchern in einer elastischen Scheibe

Übersicht Eine Methode wird dargestellt, welche zur Lösung von Problemen einer unendlichen elastischen Scheibe endlicher Breite mit Rissen und Löchern beliebiger Konfiguration und Geometrie geeignet ist. Die Lösung in Form von komplexen Spannungsfunktionen wurde mit Hilfe von Integralen über den Rissen und Löchern gegeben. Die Integranden wurden mit Hilfe von bekannten Funktionen (Green) und einer unbekannten Dichtefunktion (t) ausgedrückt, für welche eine singuläre Integralgleichung abgeleitet wurde. Die geeigneten Greenschen Funktionen wurden von der Lösung des Problems der entsprechenden Scheibe ohne Risse, welche mit einer Einzelkraft belastet wird oder eine Versetzung enthält, hergeleitet. Die singuläre Integralgleichung wurde numerisch für eine Scheibe endlicher Breite mit einem Kreisbogenriß im einachsigen Zugspannungsfeld gelöst.

     

Zum Randwertproblem der schwingenden schubelastischen Platte

Übersicht Über das Prinzip von Hamilton werden mittels verschiedener Ritzansätze für die Verschiebungen bzw. Spannungen Bewegungsgleichungen für die schwingende Platte hergeleitet. Abhängig von der Phasengeschwindigkeit ebener Biegewellen wird ein Schubbeiwert definiert, der im Vergleich mit der exakten Lösung der unendlichen Platte als Gütekriterium dient.

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On the boundary value problem of vibrating plates

Summary Following Hamilton's principle the equations of motion of a vibrating plate are derived by means of an expansion of the displacements respectively stresses using Ritz method. Depending upon the wave velocity of straight-crested flexural waves a shear coefficient is defined to check the above solutions with the known exact solution for the infinite plate.

     

Entropy in the phenomenon of granular media displacement

Summary The displacements of a loose medium in the gravitational field are discussed regarding it as a discrete medium. For the given boundary conditions the elements of this medium may form various configurations in the course of the displacements Boltzmann's concept of entropy has been adopted in the form of a functional depending on the density function of the medium elements in the configurations that are being formed. For the boundary conditions assumed in the form of the so-called Dirac's function the maximum value of entropy has been determined which corresponds to the greatest probability of the occurrence of configurations of the elements forming the discrete medium. It can be found that the density function satisfying this condition has the form of Gauss function. The measurements of displacements of a loose medium confirm this result. These displacements satisfy Boltzmann's universal principle according to which during the displacements of a loose medium there are formed configurations in which the entropy attains its maximum value. This accounts for the wide application of Oauss function as the so-called fundamental solution in the integral formulae describing the displacements of the carth's crust in regions where it underwent destruction as a result of underground mining exploitation.

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Die Entropie der Verschiebungen in einem granularen Medium

Übersicht Unter Annahme eines lockeren Mediums als diskretes Medium wird dessen Verschiebung im Gravitationsfeld betrachtet. Für gegebene Randbedingungen können die Elemente dieses Mediums während der Verschiebungen verschiedene Konfigurationen bilden. Angenommen wird der Boltzmannsche Begriff der Entropie als von der Dichte der Wahrscheinlich-keitsverteilung der Elemente des Mediums abbängiges Funktional. Für Randbedingung in Form der sog. Diracschen Funktion wird der maximale Entropiewert bestimmt; er entspricht der höchsten Wahrscheinlichkeit von auftretenden Konfigurationen der Elemente, die das diskrete Medium bilden. Es erweist sich, daß die Verteilungsfunktion, welche diese Bedingung erfüllt, die Form der Gaußschen Funktion hat, Die Messungen der Verschiebungen eines lockeren Mediums bestätigen dieses Ergebnis. Diese Verschiebungen erfüllen das allgemeine Boltzmannsche Prinzip, nach dem während der Verschiebungen eines lockeren Mediums die Konfigurationen entstehen, in denen die Entropie ihren Maximalwert erreicht Dies erklärt die verbreitete Anwendung der Gaußschen Funktion als sog. Grundlösung in Intergralformeln, welche die Verschiebungen der Erdkruste in Gebieten beschreiben, in denen sie eine Zerstörung infolge des Untertageabbaus erfahren hai