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<正>2009年安徽和2013年江苏高考试题中出现了一种求α+β的值(或最值)的试题,此类问题解决的常规方法有哪些?技巧方法是什么?1.α+β值的求解方法例1如图1,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E、F分别是BC、CD的中点,若→AB=α→AE+β→AF(α、β∈R),则α+β=. 相似文献
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向量法解立体几何问题,当然首选坐标形式.然而,受前提“建立空间直角坐标系”的制约,事实上它却很难得到普遍的应用.作为补充,下面介绍利用向量的非坐标形式解决立体几何问题的若干思路和方法,力求说明向量不用坐标形式也行!1选好“基底”,视基底为“基本量”列式例1如图1,四面体ABCD中,AB⊥CD,AD⊥BC.求证:AC⊥BD.证明设BA=a,BD=b,BC=c.则AB⊥CD BA⊥CD a·(b-c)=0 a·b=a·c.同理AD⊥BC c·b=c·a.∴AC·BD=(c-a)·b=c·b-a·b=c·a-c·a=0,∴AC⊥BD,即AC⊥BD.评注选定a,b,c为基底,以它们为基本量,就能列出有关向量的… 相似文献
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性质等腰梯形的一条对角线与一腰的平方差等于上下底的积.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,则BD2-AB2=AD·BC.证明∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∵等腰梯形有一个外接圆,由托勒密定理得BD·AC=AB·CD+AD·BC,并注意到AB=CD,故BD2-AB2=AD·BC.推广1如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P是BC上任意一点,则PD2-PA2=AD(PC-PB). 相似文献
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高中数学中,空间向量作为解决立体几何的一种工具,主要应用于通过建立空间直角坐标系,利用向量的夹角来求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的大小.对某些特殊的几何体如平行六面体,在不建立空间直角坐标系的情况下也可以用向量进行求解证明.引列:平行六面体AC1中AB=2,AD=3,AA1=4,且∠A1AB=∠A1AD=60°.求对角线AC1的长.解:如图,平行六面体AC1中,∵AC1=AB+AD+AA1∴AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=22+32+42+2×2×3×cos60°+2×2×2×4×cos60°+2×3×4×cos60°=55∴对角线… 相似文献
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题目(2008年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛)已知:如图1,在△ABC中,∠A=75°,∠B=35°,D是BC上一点,BD=2CD,求证:AD2=(AC+BD)(AC-CD).图1此题是培养学生观察、实验、分析、比较、论证的思维能力,培养学生的分析图形,抓住图形的本质,灵活运用定理公式等基础知识综合解决问题的能力的一道几何题,本文对这道题进行具体的分析,以期对数学教学有所启示.分析1观察图1和问题的结论,一看就知道它符合斯特瓦特(Stewart)定理的构图,由斯特瓦特定理(数学竞赛大纲中指定的定理,还有梅涅劳斯定理,塞瓦定理等)可得AD2.BC=AB2.CD+AC2.BD-BC.BD.DC.由BD=2CD,可化简为AD2=12AB2+23AC2-2CD2.①在公式①中,除AB2外,其余各线段都是与该题结论相关的线段,那么AB2与什么线段相关呢,这就是本题的隐含公式,如何找出这隐含公式,我们看结论AD2=(AC+BD)(AC-CD)=(AC+2CD)(AC-CD)=AC2+AC.CD-2CD2.②由①和②公式,可得AB2=AC2+AC.BC这就是本题中的隐含公式下面的所有证法都是围绕解决公式AB2=AC2+... 相似文献
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让我們通过一些具体例子来进行分析: 例1.已知矩形ABCD中,CB=3AB,E和F是CB边的三等分点(图1),求証 ∠ACB+∠AEB+∠AFB=90°。证.显然∠AFB==45°,記∠ACB=α,∠AEB=β。由題設得到 AB=BF=FE=EC,故 tg α=AB/CB=1/3,tg β=AB/EB=1/2,从而 tg(α+β)=(tg α+tg β)/1-tg α tg β)=1/3=1/2/1-1/3·1/2==(2+3)/6-1)=1又0<α<β<45°,故α+β为銳角,α+β=45°。从而 相似文献
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平面向量的基本定理里谈到:两个不共线的向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底.而平时的数学问题中,也常建立平面直角坐标系来解决问题,但平面向量的这一组基底里的两个向量并不一定都是垂直关系.这种不统一性给我们解决某些问题带来了许多不便之处.例如下面的一个问题例题如图1,正六边形ABCDEF,P是△CDE内(包括边界)的动点,设AP=αAB+βAF(α,β∈R),则α+β的取值范围是___ 相似文献
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大家知道,在复杂的几何图形中,往往可分解为几个基本图形.善于识别和分解基本图形,是提高解题速度,培养解题能力的有效途径.一、基本图形如图1,已知AB∥CB,AC、BD交于点E,EF∥AD交AB于点F.设AD=a,CB=b,EF=c求证:1a+1b=1c.然而求轨迹方此基本图形在各种教科书上都有出现,程善于从课本习题中总结提炼基本图形,抓住基本图形的特征并应用于解题,是学生善于学习的体现.二、基本图形的应用例1(2002年黄冈市中考题)已知:如图2,AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC和BD相交点E,EF⊥BC,垂点为F,我们可以证明1AB+1CD=1EF成立(不要求… 相似文献
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教学片断这是“实数与向量的乘法”新授课 .当我讲授了实数与向量乘法的定义及运算律之后 ,在黑板上给出了以下问题 :如图 ,在△ABD中 ,F是AB的中点 ,C是BD延长线上的点 ,且BC =2BD ,设AD =a→,BC =b→ .教师 :请用a→,b→表示CA .这道例题是笔者在教材例题的基础上稍作修改而来的 ,由于问题比较简单 ,大多数学生思考片刻后便找到了答案 .教师 :请一位同学讲述一下该如何解决这个问题 .学生 1 :CA =CD +DA=12 CB +DA =- 12 BC -AD =- 12 b→-a→.教师 :很好 .学生 1发现所求向量CA与已知向量AD组成了△ACD ,因此根据向量加… 相似文献
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在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1 用向量证明三角形角分线定理 .证明 如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1 命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明 设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得 AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得 … 相似文献
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一、错题的探究题目如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,若AD,BD的长是方程2x2-12x+3m-1=0的两根,且△ABC的面积为12.(1)求CD的长;(2)求m的值.先让学习练习,学生A的解法是:解:(1)∵AD、BD的长是方程2x2-12x+3m-1=0的两根,∴AD+BD=6,即AB=6.又∵CD⊥AB且△ABC的面积为12,∴12AB·CD=12,12×6CD=12,∴CD=4.(2)∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AB·BD.又∵AD·DB=3m-12,CD=4,∴3m-12=16,∴m=11.结果有二十个左右的学生的意见同上述解答一样,不同意见的也有二十个左右,没举手的有5个.学生B代表不同意见说:“上述(2… 相似文献
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有这样一个结论:椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)短轴为AB,M为椭圆上非A,B的点,MA,MB与x轴交于E,F,则OE·OF=a2.笔者对上述结论作了几次推广,得到了椭圆一些有趣的性质.1把短轴AB,长轴CD换成一般的共轭直径,得到如下性质.定理1如图1,AB,CD是椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的共轭直径,M为椭圆上非A,B的点,直线MA,MB分别交CD所在直线于E,F,则E,F在O的同侧,且OE·OF=OD2.图1定理1图证设A(acosα,bsinα),则B(-acosα,-bsinα),M(acosβ,bsinβ).由AB,CD共轭有kAB·kCD=-b2a2,又kAB=bsinαacosα,故kCD=-bcosαasinα,CD的方程为y=-bco… 相似文献
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平面向量基本定理:如果e1,e2 是同一平面内两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2 ,使a =λ1e1+λ2 e2 .这是一个重要的定理,它反映了在基底向量e1,e2 确定的前提下,平面向量分解的唯一性.利用此唯一性可解决一类有趣的问题,课本的例、习题对这个定理在此方面的应用反映并不充分,本文提供一些范例供大家学习时参考.例1 求证:平行四边形ABCD的对角线互相平分.图1 例1图证明 如图1 ,设AB =a ,AD =b ,AC与BD相交于O ,AO =λAC =λ(a +b) ,BO=μBD =μ(a -b) .则b =AB =AO -BO =λ(a+b) - μ(a-… 相似文献