Classification of polarized manifolds admitting homogeneous varieties as ample divisors

We give a complete classification of smooth polarized varieties (X, L) such that the linear system |L| has a homogeneous member A.     

Holomorphic vector bundles on compact complex non-algebraic surfaces

LetX be a smooth complex compact surface without non-constant meromorphic functions. Here we prove the existence of rank holomorphic vector bundles onX containing exactly one rank one saturated subsheaf.

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Sunto SiaX una superficie complessa compatta non singolare senza funzioni meromorfe non costanti. In questo lavoro si domstra cheX possiede molti fibrati olomorfi di rango 2 contenenti un unico fibrato in rette.

     

Discriminant loci of ample and spanned line bundles

Let (X,L,V) be a triplet where X is an irreducible smooth complex projective variety, L is an ample and spanned line bundle on X and V⊆H⁰(X,L) spans L. The discriminant locus D(X,V)⊂|V| is the algebraic subset of singular elements of |V|. We study the components of D(X,V) in connection with the jumping sets of (X,V), generalizing the classical biduality theorem. We also deal with the degree of the discriminant (codegree of (X,L,V)) giving some bounds on it and classifying curves and surfaces of codegree 2 and 3. We exclude the possibility for the codegree to be 1. Significant examples are provided.     

Versality of linearly normal non-special embeddings

LetX⊂P ⁿ be a smooth non-degenerate non special linearly normal projective curve. Here we classify all such embeddings ofX such that for every hyperplaneM ofP ⁿ the family of all hyperplane sections ofX is a versal deformation of the zerodimensional schemeX∩M.

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Sunto SiaX una curva liscia e proiettiva. Qui si classificano le immersioni non-speciali linearmente normali diX inP ⁿ tali che per ogni iperpianoM diP ⁿ la famiglia delle sezioni iperpiane diX induce una deformazione versale diX∩M.

     

Relationship between the Jung constant and acertain projection constant in Banach spaces

Summary For a Banach spaceX the parameter λ₁(X) is the infimum of the numbers a with the following property: for everyZ )X with dimZ/X=1 there exists a projectionP:Z→X with |P|≤a. We give an upper bound for λ₁(X) in terms of the Jung constantJ(X). Some known and some new results are then deduced. A characteristic property ofJ ₁-spaces is also proved.

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Riassunto Scopo di questa nota è mostrare la stretta relazione che intercorre tra la costante di JungJ(X) di uno spazio di BanachX e la costante λ₁(X). Si stabilisce una limitazione superiore di λ₁, come funzione diJ, dalla quale si possono dedurre alcuni nuovi risultati e altri conosciuti. è inoltre dimostrata una caratterizzazione deiJ ₁-spazi.

     

On moduli of vector bundles on surfaces with negative Kodaira dimension

Summary Here we prove the following result. Fix integersq, τ,a’, b’, a’ _i, 1≤i≤τ,a’, b’, a’ _i, 1≤i≤τ; then there is an integerew such that for every integert≥w, for every algebraically closed fieldK for every smooth complete surfaceX with negative Kodaira dimension, irregularityq andK _X ² =8(1−q)−τ, the following condition holds; ifX→S is a sequence fo τ blowing-downs which gives a relatively minimal model with ruling ρ:S→C, take as basis of the Neron Severi groupNS(X) a smooth rational curve which is the total transform of a fiber ofC, the total transform of a minimal section of ρ and the total transformD _i, 1≤i≤τ, of the exceptional curver; then for everyH andL∈Pic (X) withH ample,H (resp.L) represented by the integersa’, b’, a’ _i, (resp.a’, b’, a’ _i), 1≤i≤τ, in the chosen basis ofNS(X) the moduli spaceM(ZX, 2,H, L, t) of rank 2H-stable vector bundles onX with determinantL andc ₂=t is generically smooth and the number, dimension and ?birational structure? of the irreducible components ofM(X, 2,H, L, t)_red do not depend on the choice ofK andX. Furthermore the birational structure of these irreducible components can be loosely described in terms of the birational structure of the components of suitableM(S, 2,H’, L’, t’)_red withS a relatively minimal model ofX.

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Sunto SiaX una superficie algebrica liscia completa con dimensione di Kodaira negativa e definita su un campo algebricamente chiusoK; fissiamoH eL∈Pic (X),t∈Z; siaq l’irregolarità diX e τ≔8(1−q)−K _X ^Emphasis>2 ; siaM(X, 2,H, L, t) to schema dei moduli dei fibrati vettorialiH-stabili di rango 2 suX con determinateL ec ₂=t. Si dimostra che esiste una costantew che dipende solo daq, da τ e dalla classe numerica diH e diL (ma non da char (K) o dalla classe di isomorphismo diX) tale che per ognit≥w il numero, la dimensione e ?la struttura birazionale? delle componenti irriducibili diM(X, 2,H, L, t)_red non dipende dalla scelta di char (K),K eX ma solo daq, τ e dalle classi diH eL inNS(X). Inoltre la ?struttura birazionale? di queste componenti irriducibili può essere grossolanamente descritta in termini delle componenti di opportuni spazi di moduliM(S, 2,H’, L’, t’) (doveS è un modello minimale diX).

     

A covering lemma for L(ℝ)

Jensen's celebrated Covering Lemma states that if 0^# does not exist, then for any uncountable set of ordinals X, there is a Y∈L such that X⊆Y and |X| = |Y|. Working in ZF + AD alone, we establish the following analog: If ℝ^# does not exist, then L(ℝ) and V have exactly the same sets of reals and for any set of ordinals X with |X| ≥Θ ^{L (ℝ)}, there is a Y∈L(ℝ) such that X⊆Y and |X| = |Y|. Here ℝ is the set of reals and Θ is the supremum of the ordinals which are the surjective image of ℝ. Received: 29 October 1999 / Published online: 12 December 2001     

On Ample Line Bundles Which Are not Spanned on Abelian 3–Folds

Let (X, L) be a polarized abelian 3 – fold over the complex number field. In this paper, we classify (X, L) such that |L| has a base point with L³ ≥ 30.     

Donagi–Morrison’s examples on 2-elementary K3 surfaces

Let X be an algebraic K3 surface, and let L be a base point free and big line bundle on X. If X admits a map of degree 2 to the projective plane branched over a smooth sextic and L is the pullback of the line bundle O_\mathbbP²(3),{\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{2}}(3),} then the gonality of the smooth curves of the complete linear system |L| is not constant. The polarized K3 surface (X, L) consisting of the K3 surface X and the line bundle L is called Donagi–Morrison’s example. In this paper, we give a necessary and sufficient condition for the polarized K3 surface (X, L) consisting of a 2-elementary K3 surface X and an ample line bundle L to be Donagi–Morrison’s example.     

On minimum problems for families of functionals

Sommario Per una famiglia { | λ ∈ ⁁} di funzionali reali definiti in uno spazio metricoX e dipendenti da un parametro λ ∈ ⁁, dove ⁁ è uno spazio topologico, si pone il problema di come si comporta, al variare di λ, l'insieme dei punti di minimo di I_λ. Lo studio di tale problema è l'oggetto del presente lavoro e il risultato principale è dato dal Teorema1.

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Entrata in Redazione il 3 marzo 1970.     

Some remarks on the de Franchis theorem

Summary LetX be a smooth projective curve defined onC. The number of holomorphic maps from a fixedX to another curve, (both of genus bigger than or equal to two), is finite by the classical de Franchis theorem. In this paper we get an explicit bound for this number, depending on the genus ofX only. Our bound is better than all the previously given ones (by Howard-Sommese and Kani).

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Sommario SiaX una curva liscia proiettiva definita suC. Il numero delle applicazioni olomorfe esistenti tra unaX fissata ed un'altra curva, (entrambe di genere maggiore od uguale a due), è finito in base al classico teorema di de Franchis. In questo lavoro noi otteniamo, per tale numero, un limite superiore esplicito, dipendente solo dal genere diX. La nostra stima è migliore di tutte quelle date precedentemente (da Howard-Sommese e da Kani).

     

Intersection theories on a non singular variety

Summary In this paper we show a relationship between the Chow ringA(X) of a non singular varietyX and its graded Grothendieck ringGK(X) by constructing explicitly a surjective ring homomorphism fromA(X) toGK(X). It is a new proof of a well-known theorem of Grothendieck.

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Riassunto In questa nota si dimostra una relazione tra l’anello di ChowA(X) di una varietà non singolareX ed il suo anello graduato di GrothendieckGK(X), costruendo esplicitamente un omomorfismo suriettivo di anelliA(X)→GK(X). è questa una nuova dimostrazione di un noto teorema di Grothendieck.

     

Semisummands and semiideals in banach spaces

Let |·| be a fixed absolute norm onR ². We introduce semi-|·|-summands (resp. |·|-summands) as a natural extension of semi-L-summands (resp.L-summands). We prove that the following statements are equivalent. (i) Every semi-|·|-summand is a |·|-summand, (ii) (1, 0) is not a vertex of the closed unit ball ofR ² with the norm |·|. In particular semi-L ^p-summands areL ^p-summands whenever 1<p≦∞. The concept of semi-|·|-ideal (resp. |·|-ideal) is introduced in order to extend the one of semi-M-ideal (resp.M-ideal). The following statements are shown to be equivalent. (i) Every semi-|·|-ideal is a |·|-ideal, (ii) every |·|-ideal is a |·|-summand, (iii) (0, 1) is an extreme point of the closed unit ball ofR ² with the norm |·|. From semi-|·|-ideals we define semi-|·|-idealoids in the same way as semi-|·|-ideals arise from semi-|·|-summands. Proper semi-|·|-idealoids are those which are neither semi-|·|-summands nor semi-|·|-ideals. We prove that there is a proper semi-|·|-idealoid if and only if (1, 0) is a vertex and (0, 1) is not an extreme point of the closed unit ball ofR ² with the norm |·|. So there are no proper semi-L ^p-idealoids. The paper concludes by showing thatw*-closed semi-|·|-idealoids in a dual Banach space are semi-|·|-summands, so no new concept appears by predualization of semi-|·|-idealoids.     

Characterization of simple K 4-groups

In this paper, we prove that a group G is isomorphic to M, where M is a simple K ₄-group, if and only if the following hold: (1) |G| = |M|, (2) nse(G) = nse(M).      

Algebraic non ruled surfaces with sectional genus equal to seven

Summary Let (X, L) be a pair consisting of a smooth, algebraic, non-ruled surfaceX and a very ample line bundleL on it. In this paper we classifyX in the casesď=2g−i, wherei=2, … 5,g is the sectional genus ofX andď is the degree of the minimal reduction ofX. We also give good estimates of the irregularityq and the geometric genusp _g. In particular we apply our results to the caseg=7.

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Riassunto Sia (X, L) la coppia formata da una superficie algebrica, liscia, non-rigataX e un fibrato di retteL molto ampio suX. In questo lavoro diamo una classificazione diX nel caso in cuiď=2g−i, dovei=2, … 5,q è il genere sezionale diX eď è il grado della riduzione minimale diX. Diamo anche delle stime dell'irregolaritàq e del genere geometricop _g diX. In particolare applichiamo i nostri risultati al casoq=7.

     

Regular modules and quasi-lengths over a 3-Kronecker quiver: using Fibonacci numbers

Let Q be a 3-Kronecker quiver (i.e., two vertices and three arrows having the same starting and ending vertices). The dimension vectors of the indecomposable regular representations X such that |X| = |τ ⁱ X| will be studied using the Fibonacci numbers, where |X| denotes the length of X and τ denotes the Auslander–Reiten translation. The quasi-lengths of the indecomposable regular representations with dimension vectors (m, m) and (2m, m) will also be discussed.     

Subbundles of maximal degree of the normal bundle of algebraic space curves almost complete intersection of special type

Summary LetX⊂P ³ be an irreducible smooth curve which is not a complete intersection. The main result of this paper shows that whenX is an a.c.i. of special type, i.e. its homogeneous ideal is generated by three polynomial of the same degreem, and additionallym>2, the subbundles of maximal degree of the normal bundle ofX inP ³ correspond to the singular points of maximal multiplicity of a plane curve which is the image ofX by a map (the linear system of the surfaces of minimal degree throughX). In particular this normal bundle is stable. The initial case of this family of curves, i.e. form=3, has been studied by E. Ballico-Ph. Ellia with different methods.

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Riassunto SiaX⊂P ³ una curva irriducibile e liscia che non è una completa intersezione. Il risultato principale di questa Nota mostra che quandoX è una almost completa intersezione di tipo speciale, cioè il suo ideale omogeneo è generato minimamente da 3 polinomi dello stesso gradom, e, inoltre,m>2, i sottofibrati di grado massimo del fibrato normale diX inP ³ corrispondono ai punti singolari di molteplicità massima di una curva piana che è l’immagine diX tramite una mappa (il sistema lineare delle superficie di grado minimo passanti perX). In particolare questo fibrato normale è stabile. Il caso iniziale di questa famiglia di curve, i.e. perm=3, è stato studiato da E. Ballico-Ph. Ellia con differenti metodi.

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This research is supported by GNSAGA (Italy).

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The main results of this paper have been the object of a talk at the meeting on ?Curves in Projective Space? held at Rocca di Papa in june 1985.     

A modular absolute bound condition for primitive association schemes

The well-known absolute bound condition for a primitive symmetric association scheme (X,S) gives an upper bound for |X| in terms of |S| and the minimal non-principal multiplicity of the scheme. In this paper we prove another upper bounds for |X| for an arbitrary primitive scheme (X,S). They do not depend on |S| but depend on some invariants of its adjacency algebra KS where K is an algebraic number field or a finite field. Partially supported by RFBR grants 07-01-00485, 08-01-00379 and 08-01-00640. The paper was done during the stay of the author at the Faculty of Science of Shinshu University.     

Teoremi merceriani relativi a trasformazioni regolari non negative e anche più generali

Sunto Ad una successione (complessa) |s_n| associamo la successione trasformata |t_n| mediante una matrice di sommazione regolare C; sono noti teoremi merceriani (per es.G. H. Hardy, E. R. Love) che dalla relazione s_n — qt_n → (1 — q)l deducono s_n → l, sotto la condizione che il moltiplicatore q sia interno a determinati campi In questa NOta si considera C regolare non negativa e, mediante l'introduzione di un' opportuna ? funzione di aderenza di un insieme in un altro ? e l'applicazione del classico teorema del ? nocciolo ? diK. Knopp, si determinano campi più ampi di quello circolare stabilito daE. R. Love; si estende il risultato anche a matrici C regolari più generali mediante teoremi più recenti diR. P. Agnew eA. Robinson; inoltre si perfeziona il classico teorema diJ. Mercer-G. H. Hardy.

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Summary Let |t_n| be trasformed, by a regular summation matrix C, of a (complex) sequence |s_n|. Mercerian theorems (e. g. G. H. Hardy, E. R. Love theorems) deduce s_n → l from s_n — qt_n → (1 — q)l if q lies in a suitable domain. This paper is concerned with regular non-negative C. A suitable ? adherence-function of a set into another ? is introduced and theKnopp's ? Core theorem ? leads to wider domains thanE. R. Love circle. The result is extended to more general regular matrices C by means ofR. P. Agnew andA. Robinson theorems. The classicalJ. Mercer-G. H. Hardy theorem is also improved.

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A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.

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Il presente lavoro è stato oggetto di una comunicazione al VI Congresso Nazionale della Unione Matematica Italiana (Napoli, 11–16 settembre 1959).     

Sui diffeomorfismi di varietà isotopi all'identità

Riassunto Si considera il gruppoI(M) dei diffeomorfismi di una varietà differenziabileM che sono diffeotopi all'identità per una diffeotopia a supporto compatto. Viene dato (in maniera costruttiva) un insieme di generatori perI(M), costituito dai diffeomorfismi a supporto in uno degli aperti di un fissato ricoprimento. Conseguentemente si introduce una metrica suI(M) la quale induce una topologia che, pur essendo strettamente più fine dell'usuale topologiaC ^∞, rende ancoraI(M) gruppo topologico connesso.

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Summary LetM be a differentiable manifold. We prove that, iff is a diffeomorphism ofM ontoM which is isotopic to the identity by an isotopy having compact support thenf is a product of diffeomorphisms having a support of given size. As a consequence a distance δ on Diff₀ (M) is given such that it induces a topology stronger than the usualC ^∞-topology, even if it does not disconnect Diff₀ (M).