Regularization of the two body problem

Zusammenfassung Die klassischen Bewegungsgleichungen des Zweikörperproblems weisen eine Singularität fürr=0 auf, die einen unerwünschten Einfluss auf die Stabilität numerisch integrierter Bahnen hat. Neue reguläre Bewegungsgleichungen werden hier hergeleitet, gelöst und diskutiert, die es erlauben, eine relativ harmlose Fehlerfortpflanzung bei der numerischen Integration zu bekommen.     

Permanent replicas of the crystalline structure of hailstones

Zusammenfassung Es wird eine Technik für die rasche Zubereitung dauerhafter Abgüsse (Replicas) der Struktur von Hagelsteinquerschnitten geschildert. Das Verfahren dürfte sich als besonders förderlich in Studien über die innere Struktur solcher Partikeln erweisen. Alle Vorkehrungen können in einem Raum normaler Temperatur vorgenommen werden, sofern eine Kühltruhe mit einer Betriebstemperatur bis –20°C zur Verfügung steht.Die Hagelschlossen werden auf einem Block aus plastischem Schaum verankert, mit einer Säge in zwei Teile geschnitten und die Schnittflächen mit grobem und feinem Sandpapier geschliffen und schliesslich über Samt geglättet, für welche Vorkehrungen nicht mehr als einige wenige Minuten benötigt werden. Hierauf werden die Eiskörper für etwa 15 min bei einer Temperatur von –20°C gehalten, oder so lange, bis sich auf den polierten Schnittflächen infolge Sublimation (Verdampfung) Ätzfiguren ausgebildet haben.Die geätzten Eisoberflächen werden mit einer 5%igen plastischen Lösung von einer Temperatur von –5°C überzogen und nach Abtropfen der überschüssigen Lösung alsdann auf –20°C gehalten, bis das Lösungsmittel verdunstet ist. Die entstandenen plastischen Filme werden hierauf von der Eisoberfläche abgestreift und zwischen zwei Glasplatten gebracht. Sie können in dieser Form entweder photographiert werden oder schliesslich als Diapositive Verwendung finden. Lichtbilder von natürlichen Hagelschnittflächen und solche von Abgüssen illustrieren die Leistungsfähigkeit des Verfahrens.     

Zur Theorie der Schwingungen

Ohne ZusammenfassungUnter diesem Titel soll eine Reihe von aufeinanderfolgenden Aufsätzen erscheinen, die hauptsächlich die Theorie der periodischen nichtlinearen erzwungenen Schwingungen mit Hilfe der Theorie der nichtlinearen Integralgleichungen aufbauen sollen. Die dabei zu verwendenden Methoden werden natürlich auch außerhalb dieses speziellen Anwendungsgebietes, insbesondere in der Variationsrechnung, von Nutzen sein. Auch für die Theorie der Randwertaufgaben allgemeiner nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung wird sich mancher Beitrag ergeben.     

Remarks on the Paper by M. Finston: ‘Free convection past a vertical plate’

Zusammenfassung Die vonM. Finston abgeleitete exakte Lösung für die natürliche Konvektion an einer vertikalen Platte, deren Oberflächentemperatur nach einem Potenzgesetz veränderlich ist, wird für gegebene Prandtl-Zahl auf eine einparametrische Schar zurückgeführt. Einige Lösungskurven für Luft (Pr=0,733) werden mitgeteilt.     

A series method for the solution of laminar boundary layers on moving surfaces

Summary A general series method is reviewed for the solution of laminar, two-dimensional boundary layers on moving surfaces. Various methods for the determination of the radius of convergence of such series are discussed. Three illustrative examples are given, namely the vapour boundary layer induced by film condensation on a vertical plate and the outer layer boundary layers produced by natural convection at high Prandtl number on horizontal and vertical plates.

---

Zusammenfassung Eine allgemeine Reihenmethode wird für die Lösung der laminaren zweidimensionalen Grenzschichten entlang einer bewegten Fläche geprüft. Verschiedene Methoden werden für die Bestimmung des Konvergenzradius solcher Reihen diskutiert. Drei Beispiele werden angegeben, nämlich die Dampfgrenzschicht, die durch Filmkondensation auf einer senkrechten Platte erzeugt wird, und die äussere Grenzschicht, die durch natürliche Konvektion bei höheren Prandtl-Zahlen auf vertikalen und horizontalen Platten erzeugt wird.

     

Approximate solutions of impulsively loaded structures of a rate sensitive material

Zusammenfassung Die Definition eines stationären Vorganges für impulsiv belastete Bauteile, deren Materialeigenschaften von der Lastbeaufschlagungsgeschwindigkeit abhängen, wird von einem physikalischen Kriterium abgeleitet. Bei einigen Materialien stimmen die stationären Verhaltensformen mit den natürlichen überein. Für steife, visko-plastische Materialien, bei denen dies nicht der Fall ist, wird ein Annäherungsverfahren vorgeschlagen, das man als fortschreitende Annäherung an den stationären Zustand bezeichnen kann. Bei dieser Annäherungsmethode ist die Geschwindigkeitsverteilung in jedem Augenblick die stationäre Verhaltensform, und die Veränderung in der Zeit ist bestimmt durch eine notwendige Gleichgewichtsbedingung. Für Materialien, bei denen die natürlichen und stationären Verhaltensformen übereinstimmen, gilt diese notwendige Bedingung als ausreichend, und die schrittweise Lösung für die stationäre Verhaltensform ist sowohl kinematisch als auch dynamisch zulässig. Die Anwendung des Annäherungsverfahrens auf Probleme steifer, visko-plastischer Materialien erlaubt einige physikalische Einblicke und ergibt gewisse mathematische Vorteile, obwohl die Lösung nicht unbedingt dynamisch zulässig ist. Angenäherte Lösungen von Trägerproblemen werden aufgezeigt und verglichen mit anderen bekannten, exakten und angenäherten Lösungen. Die physikalischen Charakteristiken der Annäherungsmethoden, die andere Verfasser vorschlagen, werden durch das Annäherungsverfahren der stationären Verhaltensform bestätigt.

---

---

Presented at the Second Canadian Congress of Applied Mechanics, University of Waterloo, May, 1969. The research reported in this paper was supported by the National Science Foundation under Grant GK1013.     

Electron optics in multi-stage lens system I

Zusammenfassung Die Fokussierungseigenschaften eines aus schwachen Linsen bestehenden Systems unterhalb eines Beschleunigungsrohres sind studiert worden. Das System wird als dicke Linse in der Näherung der paraxialen Bahn behandelt. Die Kardinalelemente des Linsensystems können als Ganzes für den Fall, dass das Feld periodisch ist, in einfacher Form dargestellt werden.Im besondern sind die Ausdrücke für die Kardinalelemente eines Systems, das aus den Zweirohr-Immersionslinsen mit bestimmter Länge der Lücke zwischen den Rohren besteht, wiedergegeben. Die beigefügten Figuren erlauben, diese Elemente bequem zu berechnen.     

On the natural frequencies of standing water waves in a canal of arbitrary shape

The small amplitude natural oscillation of liquid in a partially filled canal of arbitrary shape is investigated. The method is based on potential theory. The field equation subject to the appropriate boundary conditions is transformed into an integral equation, which is then solved numerically. Two specific geometries were chosen for the numerical examples; namely, a circular canal with arbitrary depth of liquid, and half full elliptical canals with various eccentricities. The results are presented and discussed.

---

Zusammenfassung Die natürlichen Flüssigkeitsschwingungen kleiner Amplituden in einem teilweise gefüllten Kanal von beliebiger Gestalt werden untersucht. Die Methode basiert auf der Potentialtheorie. Die Feldgleichung mit den entsprechenden Randbedingungen wird in einer Integralgleichung transformiert, die dann numerisch gelöst wird. Als Beispiele wurden ein kreisförmiger Kanal mit beliebiger Flüssigkeitshöhe und ein halbgefüllter elliptischer Kanal mit verschiedenen Exzentrizitäten ausgewählt. Diese Beispiele werden numerisch ausgewertet und die Ergebnisse diskutiert.

     

Free convection from a horizontal line source of heat

Summary In this paper a study is made of finite Grashof number effects upon the flow, in an unbounded domain, in the buoyant plume which forms over a horizontal line source of heat. The consequences of introducing a plane boundary into the domain are also assessed for two particular configurations.

---

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird der Effekt der endlichen Grashof-Zahl auf die Strömung untersucht, in einem unbegrenzten Medium mit natürlicher Konvektion, die durch eine horizontale linienförmige Quelle erzeugt wird. Die Folgen einer ebenen Begrenzungsfläche werden für zwei besondere Konfigurationen untersucht.

     

Finite difference methods of solution of the von mises boundary layer equation with special reference to conditions near a singularity

Zusammenfassung Frühere Forscher haben die Misessche Gleichung als Mittel zur Lösung des Problems der Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte mit Druckanstieg nicht verwendet wegen ihrer unangenehmen Singularität an der Platte. In der vorliegenden Untersuchung wird eine Geschwindigkeitsverteilung berechnet, welche die Plattenbindungen berücksichtigt und folglich den Hautreibungswert durch die Geschwindigkeitswerte in der Grenzschicht berechnen lässt. Diese Werte werden ermittelt durch ein Fortsetzungsdifferenzenverfahren auf der Grundlage der Misesschen Gleichung sowie durch ein modifiziertes Differenzenverfahren in der Nähe der Platte. Dieses letzte Verfahren ist nötig wegen der Instabilität der ursprünglichen Fortsetzungsberechnung in der Nähe der Platte. Angesichts der verhältnismässig geringen Rechnungsarbeit stimmen die Ergebnisse gut überein mit den Lösungen anderer Forscher, die andere Formen der Grenzschichtgleichung benutzten. Die Genauigkeit der in dieser Untersuchung erreichten Ergebnisse lässt sich natürlich noch vermehren durch Anwendung einer kleineren Schrittweite bei der ersten Fortsetzungsberechnung.     

Free convection past a vertical plate

Zusammenfassung Diese kurze Mitteilung zeigt, dass für den Fall natürlicher Konvektion eine Familie von exakten Lösungen gefunden werden kann, welche die regierenden Gleichungen zur Darstellung bringen.

---

---

This work was supported by the Naval Supersonic Laboratory, Department of Aeronautical Engineering, Massachusetts Institute of Technology, ProfessorJohn R. Markham, Director.     

Grenzleistungsgesetze für Verzweigungs- und Zusammenführungselemente

Zusammenfassung Verzweigungen und Zusammenführungen sind leistungsbestimmende Elemente von Transportsystemen. Für diese speziellen Transportknoten werden Grenzleistungsgesetze hergeleitet, die es erlauben, den Einfluß der Transportströme, der maßgebenden technischen Kenngrößen sowie der möglichen Betriebsstrategien auf die Leistungsfähigkeit zu quantifizieren. Für mehrere Beispiele durchgeführte Simulationsrechnungen bestätigen die analytischen Grenzleistungsgesetze. Die Ergebnisse enthalten unter anderem auch für die Verkehrstheorie neue Aussagen und sind sehr vielseitig anwendbar.

---

Summary Branching and merging elements critically determine the performance of transport systems. For the performance of these special junction elements, analytical formulas are derived which allow the influence of the current structure, the technical parameters and the possible operation strategies to be quantified. For several examples simulated experiments confirm the analytical predictions. Some of the results are interesting, in particular for the traffic theory.

---

---

Der Verfasser dankt HerrnH. Utter für die programmtechnische Durchführung der Simulationen auf der Rechenanlage der DEMAG Fördertechnik sowie HerrnB. Forwick für verschiedene nützliche Diskussionen.     

Two dimensional flow with constant shear past cylinders with various cross sections

Zusammenfassung Tsiens Methode, die Stromfunktion für Strömung mit konstanter Drehung an einem Zylinder vorbei festzustellen, wird erweitert, um Gebrauch von den natürlichen Koordinaten des Systems zu machen. Das modifizierte Verfahren wird gebraucht, um die Stromfunktionen für Strömung mit Drehung an elliptischen und parabolischen Zylindern und an einer ebenen Platte vorbei festzustellen. Die Hauptzüge der Strömungsfelder werden untersucht; man richtet besondere Aufmerksamkeit auf die Positionen der Staupunkte. Als ein äusserst wichtiger Parameter in dieser Studie erweist sich die dimensionslose ZahlN=U/l, woU undl respektiv eine typische Geschwindigkeit und Länge im Felde sind und die Drehung ist.     

Forced oscillations in a rotating liquid (I)

Zusammenfassung Der vorliegenden Analyse liegen die linearisierten Gleichungen für die achsensymmetrischen Störungen einer gleichförmig rotierenden Flüssigkeit zugrunde. Dabei wird aber keine Annahme hinsichtlich einer Zeitabhängigkeit der erzwungenen Bewegungen gemacht und die Entwicklung der Störungen vom Beginn der erzwungenen Bewegung an studiert. Ungeachtet der sich zeigenden analytischen Schwierigkeiten können über die allgemeinen Störbewegungen Aussagen gemacht werden.Für die relativ schnellen harmonischen Schwingungen (mit einer Störfrequenz grösser als die doppelte Rotationsfrequenz) findet man, nachdem die Einwirkung zeitlich genügend dauerte, dass die Bewegung der Flüssigkeit und jene des erzwungenen Mechanismus — wie in den früheren Arbeiten angenommen — überall phasengleich ist. Demgegenüber wird für Schwingungen mit kleinerer Relativfrequenz ein System fortschreitender Wellen vorausgesagt. Spezielle Aufmerksamkeit wird hier dem früheren Falle geschenkt; mit Hilfe einer Ähnlichkeitsbetrachtung kann die Analyse einer breiten Klasse der durch kleine harmonische Schwingungen erregten Bewegungen auf ein Problem der Potentialtheorie reduziert werden. Als Beispiele werden die axial schwingende und die radial pulsierende Kugel kurz erörtert.     

A note on disturbances in a semi-infinite piezoelectric medium excited by an impulsive,polarized, tangential electric field

Zusammenfassung Die Gleichungen für die quasi-eindimensionale Strömung einer idealen, reibungslosen, kompressiblen und elektrisch vollkommen leitenden Flüssigkeit unter Wärmezufuhr und unter dem Einfluss eines willkürlichen Magnetfeldes werden in charakteristischer Form dargestellt.Wird die Untersuchung beschränkt auf kleine Störungen in einer ursprünglich parallelen, isentropen Strömung konstanten Querschnittes, so können die Grundgleichungen linearisiert werden. Hierzu wurden allgemeine Lösungen entwickelt.Die Lösungen für die entsprechenden Probleme aus der konventionellen Gasdynamik und für die Strömung unter dem Einfluss eines quergerichteten Magnetfeldes sind als Spezialfälle mitenthalten.     

Magnetic diffusion and the scaling laws for solar wind simulation

Zusammenfassung Es werden Theorien über die Position und die Dicke der Grenze zwischen dem Magnetfeld der Erde und dem Sonnenwindplasma diskutiert. Die Eigenschaften eines im Laboratorium erzeugten Plasmas werden angegeben, welche diese Zusammenwirkung simulieren kann. Es wird ein Experiment beschrieben, welches die korrekten Modellgesetze erfüllt, und die Störung des Magnetfeldes im Modell wird gezeigt. Es wurde gefunden, dass die Eigenschaften des Grenzgebietes mit den theoretischen Voraussagen nicht übereinstimmen. Der Unterschied kann aber durch die Diffusion des Magnetfeldes in den Plasmastrom erklärt werden, wenn ein genauerer Ausdruck für die elektrische Leitfähigkeit benützt wird. Die Bedingungen für die exakte Modellähnlichkeit sind dann nicht mehr erfüllt. Es wird vorgeschlagen, dass eine höhere Elektrontemperatur benötigt wird, um die elektrische Leitfähigkeit genügend zu crhöhen.     

On the scattering of waves by a disk

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass das Problem, die Beugung einer ebenen Welle an einer kreisförmigen Öffnung oder Scheibe zu bestimmen, auf die Lösung von regulären Fredholmschen Integralgleichungen zweiter Art zurückgeführt werden kann. Die Lösungen dieser Integralgleichungen liefern uns für die Scheibe im Falle der Neumannschen Bedingung die radiale Variation der Unstetigkeiten der Wellenfunktion und im Dirichletschen Falle die Unstetigkeiten ihrer normalen Ableitung. Ist das Produkt von Öffnungsradius und Wellenzahl klein, so können die Integralgleichungen gelöst werden. Für die Ableitung der Integralgleichungen verwenden wir einerseits die Poissonsche Darstellung für die Wellenfunktion und andererseits die Fortsetzung der Helmholtzschen Darstellung in die komplexe Ebene.     

Die numerische Behandlung natürlicher Eigenwertprobleme 4. Ordnung nach der Kollokationsmethode mit einem Lagrangeschen Polynomansatz

Zusammenfassung Für die näherungsweise Behandlung natürlicher Eigenwertprobleme 4. Ordnung werden Differenzengleichungen mit Hilfe der Kollokationsmethode aufgestellt; insbesondere wird gezeigt, wie die Randbeziehungen einzubeziehen sind. Die Lösungsfunktion wird durch einen Lagrangeschen Polynomansatz approximiert, der einen Taylor-Abgleich bis einschließlichh ⁸ ermöglicht.Am Beispiel von Transversalschwingungen eines elastischen Stabes, dessen Querschnittsbreite nach einere-Funktion abnimmt, werden die Ergebnisse der Kollokationsmethode mit den exakten Lösungen und den Näherungen aus dem Ritzschen Verfahren mit Hermiteschem Polynomansatz verglichen.

---

Summary Difference equations can be found by means of the collocation method in order to solve natural 4th order eigenvalue problems by approximation. In particular it is shown how to include boundary conditions. The solution is approximated by Lagrange polynomials corresponding with Taylor series includingh ⁸.This collocation method is applied to transverse vibrations of an elastic bar, the cross-sectional area of which reduces by the exponential function. The computed results are compared with the exact solutions and with approximations found with Ritz' method using Hermite polynomials.

     

The influence of turbulence on the transfer of heat to cylinders near the stagnation point

Zusammenfassung Es wird das problem des Einflusses der Turbulenz auf den Wärmeübergang an einem quer angeströmten Zylinder untersucht. Die Untersuchung beschränkt sich auf den Teil des Umfangs, über den sich die laminare Grenzschicht erstreckt. Einige ältere Messungen an der Vorderseite eines Zylinders werden miteinander verglichen, und es zeigt sich, dass ein wichtiger Parameter, nämlich die Intensität der Vorturbulenz bei den Untersuchungen nicht berücksichtigt worden ist. Die bekannten Messungen von Schmidt und Wenner werden kritisch untersucht und der genannte Effekt wird an ihnen aufgezeigt.Weiter werden eigene Messungen der lokalen Nusseltschen Zahl beschrieben. Die Messungen waren durchgeführt worden an der Vorderseite eines einzelnen Zylinders im Querstrom, und zwar in drei sich nicht überdeckenden Gebieten der Intensität der Vorturbulenz. Die Versuchsanordnung wird beschrieben und mögliche Einflüsse der Veränderung der Druckverteilung am Zylinder werden diskutiert. Obwohl dieser letztere Effekt nicht völlig eliminiert worden war, zeigen die Versuche doch klar, dass steigende Turbulenz ein starkes Anwachsen der lokalen Nusselt-Zahl bedingt. Dieses Anwachsen ist bei kleiner Turbulenz besonders stark. Ein Vergleich mit der theoretischen Lösung Froesslings, die für Turbulenz 0 gilt, zeigt, dass die Turbulenz den Wärmeübergang in der Staulinie bis zu 80% erhöhen kann, bei einer Turbulenzvariation von 0–3%.Diese Ergebnisse, die qualitativ interpretiert werden, stützen die Hypothese einer früheren Veröffentlichung, die annimmt, dass der Effekt durch Änderungen der laminaren Grenzschicht, die hervorgerufen werden durch Schwankungen von zunehmender Amplitude, wie sie bei zunehmenden Vorturbulenzen auftreten, bedingt ist.     

Partial solutions of finite elasticity-axially symmetric deformations

For axially symmetric deformations of isotropic incompressible hyperelastic materials new reduced forms of the equilibrium equations are given. For the neo-Hookean and extreme-Mooney materials these equations are shown to admit exact solutions expressible in terms of Bessel functions of order zero. These solutions can be rendered as approximate solutions of problems involving the large axially symmetric deformations of circular discs containing a concentric circular hole.

---

Zusammenfassung Neue reduzierte Formen von Gleichgewichtsgleichungen für axial symmetrischen Deformationen von isotropisch unzusammendrückbaren, hyperelastischen Materialien werden gegeben. Für die neo-Hookean und extrem-Mooney Materialien können aus diesen Gleichungen exakte Schlüsse gezogen werden, die in Form von Bessel-Funktionen der Null-Ordnung ausgedrückt werden. Diese Lösungen können als ungefähre Lösungen von Problemen angesehen werden, die in Zusammenhang stehen mit grossen axial symmetrischen Deformationen von runden Scheiben, die ein konzentrisches, rundes Loch haben.