强化模型意识 领悟模型本质——浅谈“将军饮马”模型的用法

<正>1建立模型唐朝诗人李颀的诗?古从军行?开头两句说:"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河",诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图1,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的定点A出发,走到河l旁边的任意一点C饮马后再到兵营B.请问怎样走才能使总的路程最短?     

HPM视角谈一类将军饮马问题的实践与思考

通过HPM视角对一些经典数学问题进行探究成为了一种可以操作的有效做法,本文从HPM视角对“将军饮马”问题进行深入研究,借助历史相似性原理,试图找到解决此类问题的方法和本质,最后给出了对HPM视角下的历史名题的一些思考.     

例讲初中数学一次函数与几何综合问题

一次函数不仅是初中数学的重要知识,而且是中考的热门考点.本文中结合具体实例进行重点知识梳理,深入理解一次函数的相关知识,并灵活解决一次函数中的重要题型,如面积问题、将军饮马问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题以及与几何的动态综合问题等,通过解法探究给予复习备考指引.     

一道最值问题的探究与启示

<正>求解线段和最值的问题屡见不鲜,从“将军饮马”、“费马点”问题到“胡不归”、“阿氏圆”问题,再到“瓜豆原理”等．将军饮马问题简述:唐朝诗人李颀《古从军行》中提到:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”．如图1,若诗中将军从山脚下的点A出发,走到河边(直线l)饮马后再到B点宿营,如何走才能使所走的路程最短?     

轴对称变换解决生活问题例析

"图形与变换"是空间与图形部分的主要内容,亦是中考重要的考点所在,另外从学生的数学素养的培养角度出发,也有着重要的教育价值,是发展学生的空间观念、几何直觉,促进学生创造力的形成的重要手段,与生活联系密切,本文借助几道例题就图形与变化中的"轴对称变换"在生活中的应用问题进行简单的分析.一、饮马问题     

归结为“饮马问题”三例

<正>"饮马问题"是初中数学中的一个经典问题,其实质是利用轴对称求最短路线.近几年的中考命题非常重视其创新题的编制,现举几例分析说明,供同学们学习时参考.例1(2012年四川内江)已知A(1,5)、B(3,-1)两点,在x轴上取一点M,使AMBM取最大值时,则M的坐标为____.解如图1,作点B     

在最短路径问题中体会化归思想

初中数学的最短路径问题,一般基于三种基本模型:两点的最短距离、点到直线的最短距离、线段之和的最小值(也就是最常见的将军饮马问题).而由此产生的变式题虽然借助于不同的载体,且用到的知识点不同,但需要学生运用化归思想将问题进行变式和转化,回到已经熟悉的基本模型,把握本质解决问题.通过解决这一类最短路径问题,可以让学生对化归思想有更加细腻、具体的了解.新课标基本理念中提到,要启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质,最短路径问题满足了上述理念.最短路径问题也是历年数学中考的常见题型,在选择、填空、解答题中均有体现,命题人也常将最短路径问题与其他知识点融合成一道综合性题目,以考查学生综合运用知识的能力和化归能力.     

运用直线与圆位置关系研究一类几何最值问题

<正>最值问题是几何综合题中的常见问题,近年来在中考数学中难度有一定程度的降低,可是很多同学仍不得要领,其实几何最值往往可以归结到两个基本原理上,一是两点之间线段最短,比如求两条线段长度和的最小值时的"将军饮马"模型;二是垂线段最短,本文将借助于直线与圆位置关系使用此原理.     

趣谈将军饮马问题

海伦(Heron,约1世纪)是古希腊数学家、物理学家、天文学家.他曾巧妙地运用轴对称知识解答过一位希腊将军向他请教的“饮马问题”.     

一类“将军饮马问题”变式的求解策略

<正>“将军饮马问题”是平面几何中一类热点问题,这类问题及其变式频繁出现在中考数学试题中,以灵活多变著称,求解难度较大．下面我们一起结合例题,探究一类“将军饮马问题”变式的求解策略．1教材原题呈现在浙教版八年级上册?2.1图形的轴对称?中有一道例题:     

旋转中的“胡不归”问题

<正>"胡不归"问题也称"将军饮马"问题,是初中数学的重要考点,其方法主要是运用轴对称,将分散的线段集中到两点之间,运用两点之间线段最短,来实现最短路径的求解.有句通俗的口诀就是"和最小,对称找".但是很多时候,题目呈现的最值似乎与"胡不归"问题无关,即那个动点的轨迹隐藏得较深!同时,旋转又进一步增加了动点的变化,动点的轨迹是什么?就成为这类问题的突破口!     

巧用模型,多方“探”路——一道中考题的教学与思考

以一道中考压轴题为例,从将军饮马基本模型入手,经历4个活动的探究,变式迁移,揭示最短路径类问题的本质:“两点之间,线段最短”,借此提高学生的建模素养、创新思维.     

“将军饮马”模型的拓展

相传,古希腊一位身经百战的将军在作战时遇到这样一个问题:如图1,从A地出发,到笔直的河岸边(直线l)去饮马,然后再去B地.走什么样的践线最短呢?将军百思不得其解,于是向居住在亚历山大久负盛名的学者海伦求教.海伦的解决方法就是"利用轴对称变换化折为直"的思想,把A,B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,作     

数学思维,数学教学与问题解决

问题是数学的心脏,问题是引导研究的,提出和发现数学问题是数学思维的起步.数学问题解决体现了数学思维的目的、过程和基本方法,是创造性的思维活动.问题解决作为教学方法,能体现知识的涵义和应用价值.     

巧用数学方法 妙解数学问题

数学思想方法就是指从某具体数学内容和对数学的认识过程中抽象概括出的观点,是对数学知识内容的本质认识.教学实践也证明,数学思想方法(转化思想、函数思想、构造思想、分类思想、数形结合思想等方法)是解决实际问题的重要途径,而数学习题浩瀚无边,问题又可变式发散,问题千千万万,但是蕴涵数学思想方法总是不变的.为此,在数学学习中,我们要巧用数学思想方法,妙解数学问题,不断提高学习效果.下面,现举一些案例,以供读者参考.     

深度学习背景下初中数学问题引领教学策略——以“因动点产生面积问题”的教学为例

学生数学学习的过程,是学生经历数学问题,并在探究、解决问题过程中不断发现新的数学问题的过程.“问题”是数学教学的核心,是推动和引领学生深度思考、主动探究的有效载体.数学教学中实施问题引领教学,将数学学习置于有意义的、真实的问题情境中,可以使得学生的数学思维更加广泛又活跃,满足学生数学学习关联性、批判性和深度性的要求,将浅性思考转化为深度设疑,从而把学生思维不断向深处推进,促进学生深度探究学习,提升学生的数学创造力和数学学科核心素养.     

数学建模素养发展:从“咬文嚼字”开始——一道例题的教学感悟

数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表述问题,用数学方法构建模型解决问题的素养.对于初中数学教学而言,让学生从数学问题中抽象出数量关系,建构出方程、不等式、函数等模型来解决问题,是本学段中发展数学建模素养的基本途径.     

结构:数学解题的切入点

数学问题结构是指影响和决定问题本质、条件与结论相互作用方式、解决问题的策略和方法的深层特征.明晰数学问题结构的常用策略与方法有:寻找、发现问题表现形式的共性;透过问题的表现形式,发现其本质;追问条件和目标的数学意义;寻找与问题的条件或目标相关联的数学概念;分析相关数学知识的结构特征.应以问题结构为抓手,改进和优化数学解题教学.     

中考数学建模思想解读

所谓数学模型,就是用数学符号、式子、图形等把问题的本质属性进行简洁的刻画,用数学语言解释一些客观现象,揭示问题的发展与变化规律.数学中考常见数学模型有:三角函数模型、方程(组)模型、不等式(组)模型和函数模型等.数学建模的过程就是把生活实际中的问题转化为数学问题,运用数学模型     

构建模型 提升高度——浅析小学中年段学生解决问题能力的提升策略

数学教育家G.波利亚认为:"问题解决"的目标不是要发现一个"万能的方法",而是通过问题解决的成功实践,总结出某种规律和模式,启发和指导以后的解题活动.数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁,建立和处理数学模型的过程’就是将数学理论知识应用于实际问题的过程.在构建模型,形成新的数学知识的过程中,引导学生体会数学与生活的密切联系.因此,在小学数学教学中,应注重让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学,只有这样,数学教学中强调的