On the analysis of thick rectangular plates

Summary Thick rectangular plates are investigated using the method of initial functions proposed by Vlasov. The governing equations are derived from the three-dimensional elasticity equations using a MacLaurin series approach. As the governing equations can be obtained in the form of series, approximate theories of any desired order can be constructed easily by proper truncation. An exact solution is obtained for an allround simply supported thick plate using a Navier type solution. A Levy type solution for higher order theories is illustrated for the case of a thick plate with two opposite edges simply supported and other two edges clamped. Numerical results obtained are compared with those of classical, Reissner and Srinivas et al. solutions.

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Übersicht Mit Hilfe der Methode der Initial-Funktionen von Vlasov werden rechteckige Platten untersucht. Die zugehörigen Gleichungen werden aus den Gleichungen für das dreidimensionale Problem durch eine Entwicklung in MacLaurin-Reihen gewonnen. Durch Abbrechen dieser Reihen können Näherungen beliebiger Ordnung erhalten werden. Für den Fall einer allseitig einfach gelagerten dicken Platte wird eine exakte Lösung erhalten, bei der eine Lösung vom Navier-Typ verwendet wird. Eine Lösung vom Levy-Typ höherer Ordnung wird am Beispiel einer dicken Platte abgeleitet, von der zwei gegenüberliegende Ecken einfach gelagert, die anderen fest eingespannt sind. Die numerischen Ergebnisse werden mit den klassischen, von Reissner, Srinivas u. a. erhaltenen Resultaten verglichen.

     

Magnetoelastic buckling of thin plates in a uniform transverse magnetic field

The buckling of thin soft ferromagnetic elastic plates in a uniform transverse magnetic field is discussed. Based on a linearized version of the general magnetoelastic equations, a plate equation is derived together with the pertinent boundary conditions. By searching a nontrivial solution of this homogeneous system, a buckling value can be found. As an example, the circular plate is considered. In this paper, Maxwell stresses are used, but it is shown that identical results can be obtained by using other models (especially Amperian current) for the magnetoelastic stresses.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das Knicken dünner ferromagnetischer, elastischer Platten in uniformen magnetischen Feldern behandelt. Die Ableitung einer Plattengleichung zusammen mit den bezüglichen Randesbedingungen wird auf die linearisierten Gleichungen für weiche ferromagnetische Medien begründet. Durch Lösung dieses Systems wird eine Knicklast ermittelt. Die Methode wird anhand des Beispieles der kreisförmigen Platte illustriert. In dieser Abhandlung werden Maxwell Spannungen verwendet, aber es wird gezeigt dasz andere Modelle (insonderheit Amperesche Stromstärke) für die magnetoelastischen Spannungen das gleiche Resultat bilden.

     

On a new boundary element solution scheme for elastoplasticity

Summary A new boundary element discretization scheme is proposed for three-dimensional elastoplasticity. The governing equation of the problem is transformed into a set of integral equations in the domain and on the boundary. The resulting integral equations are discretized by means of boundary elements as well as volume elements. The system of linear equations thus obtained is solved simultaneously. The formulation is made in terms of increments and also Green's functions available in the literature for elastostatics. Since the domain is also discretized into volume elements in the proposed solution scheme, the incremental solutions at every loading step can be obtained without any iterative procedure.

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Übersicht In diesem Aufsatz wird ein neues Diskretisierungsverfahren für dreidimensionale Probleme der Elastoplastizität vorgeschlagen. Die beherrschende Differentialgleichung des Problems wird dabei in eine Reihe von Integralgleichungen im Gebiet und auf dem Rande umgeformt. Die resultierenden Integralgleichungen werden mittels Rand- und Volumen-Elementen diskretisiert. Das so erhaltene System linearer Gleichungen wird simultan gelöst. — Die Formulierung benutzt eine Darstellung durch Inkremente und der aus der Elastostatik bekannten Greenschen Funktionen. Da in der vorgeschlagenen Formulierung sowohl das Gebiet als auch der Rand in eine endliche Anzahl von Volumen- bzw. Rand-Elementen diskretisiert werden, kann man ohne iterative Berechnung inkrementielle Lösungen für jeden Belastungsschritt erhalten.

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Dedicated to Prof. Dr.-Ing. Th. Lehmann in honour of his 60th birthday     

The plane frictionless contact of two elastic bodies — the inclusion problem

Summary The mixed boundary value problem of the contact of two plane elastic bodies of arbitrary shape is solved for zero friction in their contact zone. It is reduced to a system of four singular integral equations referred to the contact zone and the remaining parts of the boundaries of the two bodies. The system is complemented by two more equations derived from the single-valuedness of the displacements along the contact boundaries. The solution of these equations yields the distribution of the contact stresses and the contact length. The method is applied to the symmetric case of an infinite elastic plate containing an oversized elastic inclusion, with and without axial forces applied to the plate at infinity. The evolution of contact relaxation and the progress of the gap between the inclusion and the plate is also given.

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Der ebene reibungslose Kontakt von zwei elastischen Körpern — Das Problem der Einlagerung

Übersicht Das gemischte Randwertproblem der Berührung zweier ebener elastischer Körper von beliebiger Form wird im Falle verschwindender Reibung in der Kontaktzone gelöst. Das Problem wird reduziert auf ein System von vier singulären Integralgleichungen, welche sich auf die Kontaktzone und die übrigen Ränder der zwei Körper beziehen. Das System wird mit zwei weiteren Gleichungen vervollständigt, welche von der Eindeutigkeit der Verschiebungen längs der berührenden Ränder hergeleitet werden. Die Lösung dieser Gleichungen gibt die Verteilung der Kontaktspannungen und die Kontaktlänge. Die Methode wird auf den symmetrischen Fall einer unendlichen elastischen Platte (mit und ohne axiale Kräfte auf den unendlich fernen Rändern), welche eine elastische Einlagerung mit Übermaß enthält, angewandt. Die Entwicklung der Kontaktauflösung und der Vorschrift der Lücke zwischen Einlagerung und Platte werden mit Hilfe der Lösung obiger Gleichungen angegeben.

     

Zur Stabilität von Schraubenfedern

Übersicht Es wird eine spezielle Lösung der nichtlinearen Kirchhoff-Clebschschen Gleichungen für die Schraubenlinie unter Längskraft- und Torsionsbelastung angegeben. Dann wird die Stabilität dieser Lösung untersucht, indem nach der Existenz einer Nachbarlage gefragt wird. Dabei muß sichergestellt sein, daß die Belastung konservativ ist. Die numerischen Ergebnisse werden mit der Knickformel von Haringx-Ziegler verglichen.

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Summary In this paper a special solution of the nonlinear Kirchhof-Clebsch-equations is treated for helical springs under compression and twist. The stability of this solution is found considering the state in an infinitesimal neighbourhood. On such boundary conditions, that the problem is conservative, numerical results are compared with the formula of Haringx-Ziegler.

     

The flow field of Newtonian fluids in cone and plate viscometers with small gap angles

Summary The flow of a Newtonian fluid in cone-plate viscometers is determined by solving the Navier-Stokes equations. It is shown in an order-of-magnitude analysis that the governing equations can be simplified and that the flow field can be split into two parts, if the angle between cone and plate is small. A closedform solution for the inner flow field is established through an iteration procedure. The zeroth-order solution in which the convective terms are neglected is inserted into the governing equations which then can be integrated again. The outer flow field is also described analytically. The solution satisfies the boundary condition of the vanishing radial velocity component at the free surface. The flow is described throughout the whole gap. Velocity components, pressure distributions, torque and normal force due to inertia are calculated. Pressure distributions and the maximum radial velocity are measured. The free surface boundary condition is experimentally examined.

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Zusammenfassung Es wird die Strömung einer newtonschen Flüssigkeit in Kegel-Platte-Rheometern beschrieben. In einer Größenordnungsabschätzung wird gezeigt, daß die beschreibenden Gleichungen vereinfacht werden können und daß das Strömungsfeld in zwei Teile aufgeteilt werden kann, wenn der Winkel zwischen Kegel und Platte klein ist. Eine geschlossene Lösung für den inneren Bereich wird durch eine Iteration erhalten. Die Lösung nullter Ordnung, in der die Konvektion vernachlässigt ist, wird in die beschreibenden Gleichungen eingesetzt, die dann nochmals integriert werden. Das äußere Strömungsfeld wird ebenfalls analytisch bestimmt. Die Lösung erfüllt die Randbedingung der verschwindenden Radialkomponente an der freien Flüssigkeitsoberfläche. Die Strömung wird im gesamten Scherspalt beschrieben. Geschwindigkeitskomponenten, Druckverteilung, Drehmoment und Normalkraft aufgrund von Trägheitskräften werden berechnet. Druckverteilungen und maximale Radialgeschwindigkeiten werden gemessen. Die Randbedingung an der freien Flüssigkeitsoberfläche wird experimentell untersucht.

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With 14 figures and 4 tables     

Periodic rigid line problem in an infinite plate

Summary Periodic rigid line problem in an infinite plate under the action of remote stresses is studied in this paper. Using the complex variable function method, the problem is reduced into a solution of singular integral equation. The singular integral equation is converted into a Fredholm integral equation by the use of some substitution of the unknown function. A numerical approach is suggested for the solution of the obtained Fredholm integral equation. Finally, several numerical examples are carried out with the calculated stress singularity coefficients at the rigid line tips.

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Das Problem periodisch verteilter, starrer, zeilenförmiger Einschlüsse in einer unendlichen Platte

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird das Problem periodisch verteilter, starrer, zeilenförminger Einschlüsse unter der Einwirkung weit entfernter Spannungen untersucht. Unter Anwendung der Funktionsmethode einer komplexen Veränderlichen wird das Problem auf das Lösen einer singulären Integralgleichung zurückgeführt.Die singuläre Integralgleichung wird mittels der Verwendung eines speziellen Ersatzes für die unbekannte Funktion in eine Fredholm-Integralgleichung umgewandelt. Zur Lösung der erhaltenen Fredholm-Integralgleichung wird eine numerische Lösung vorgeschlagen. Schließlich werden verschiedene numerische Beispiele zur Berechnung der Koeffizienten der Spannungssingularität an den starren Einschlußspitzen durchgeführt.

     

Eine Scheibentheorie unter Berücksichtigung der Dickenänderung und der Querschnittsverwölbung

Übersicht Die Erweiterung der klassischen Scheibentheorie durch die Berücksichtigung der Dickenänderung und der Querschnittsverwölbung sowie der dazugehörigen Kraftgrößen führt auf ein Randwertproblem 10. Ordnung. Der Aufbau der zusätzlichen Gleichungen zeigt eine formale Übereinstimmung mit den Gleichungen der Reissnerschen Plattentheorie: Die Dickenänderung entspricht der Plattendurchbiegung, die Querschnittsverwölbung der Verdrehung des Plattenquerschnitts. Für die gelochte unendliche Scheibe unter einachsigem Zug existiert eine analytische Lösung der erweiterten Scheibengleichungen in Form abbrechender Fourierreihen. Die Abhängigkeit dieser Lösung von Lochradius, Scheibendicke und Querkontraktionszahl wird diskutiert.

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Summary Taking into account the transverse deformation, the warping of the cross-section and the corresponding stress quantities a two dimensional theory of the plate in extension is established which leads to a tenth order boundary value problem. The equations in the additional quantities are formally the same as those known from Reissner's theory of the plate in bending: The transverse deformation corresponds to the transverse displacement of the plate in bending, the warping corresponds to the rotation of the cross section. For an infinite plate with a circular cut-out under uniaxial tension an analytical solution exists in form of Fourier-sums. The dependance of this solution on the cut-out radius, the plate thickness and Poisson's ratio is discussed.

     

Growth of a dent on an isothermal fluid filament in uniaxial extension a spinnability model in Lagrangian coordinate

Summary Growth of an arbitrarily shaped dent made on a filament of power law and Maxwell type fluids being uniaxially extended was analysed in the Lagrangian coordinate assuming inertia, surface tension, gravity and air drag forces to be negligible in comparison to the rheological force.The use of the Lagrangian coordinate reduced the problem essentially into that of the extension of a uniform fluid cylinder thereby leading to a simple and straightforward solution of the nonlinear governing equations. An analytical solution was obtained with power law fluids. Within the context of the present dent growth problem the above nonlinear solution was so simple and clearcut that recource to the linearized perturbation method was totally unnecessary.

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Zusammenfassung Das Wachstum einer beliebig geformten Kerbe in einem Spinnfaden bei der einachsigen Verstreckung wird für eine Potenz-Gesetz-Flüssigkeit und eine Maxwell-Flüssigkeit berechnet. Dabei wird ein Lagrangesches Koordinatensystem gewählt, und es werden Trägheits-, Oberflächenspannungs-, Gravitations-und Luftreibungseffekte vernachlässigt.Die Verwendung Lagrangescher Koordinaten reduziert das Problem wesentlich auf dasjenige der Dehnung eines gleichmäßigen Flüssigkeitszylinders und führt daher auf eine einfache und direkte Lösung der das Problem bestimmenden nicht-linearen Gleichungen. Für Potenz-Gesetz-Flüssigkeiten werden auf diese Weise analytische Lösungen gefunden. Wegen der Einfachheit des Problems braucht in dieser Darstellung nirgends auf linearisierte Störungsmethoden zurückgegriffen zu werden.

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With 19 figures     

Non-similar solutions of free convection flow over a vertical frustum of a cone for constant wall temperature

Summary The laminar free convection flow and heat transfer over a vertical frustum of a cone is studied. The governing boundary layer equations are solved using local non-similarity method for constant wall temperature case. Local similarity and the local non-similarity two- and three-equation models are constructed and the resulting equations are solved numerically. Results obtained from two- and three-equation models are in good agreement. The numerical values of the flow and temperature functions required to calculate the surface skin friction and heat transfer rate have been reported for various values of Prandtl numbers.

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Nichtähnlichkeits-Lösnngen für die freie Konvektionsströmung an einem vertikalen Kegelstumpf bei konstanter Wandtemperatur

Übersicht Untersucht wird die laminare freie Konvektionsströmung und der Wärmeübergang an einem vertikalen Kegelstumpf. Zur Lösung der zugehörigen Grenzschichtgleichungen im Fall konstanter Wandtemperatur werden die Modelle der lokalen Ähnlichkeit und der lokalen Nichtähnlichkeit mit zwei bzw. drei Gleichungen eingeführt und die sich ergebenden Gleichungen numerisch gelöst. Die Lösungen nach den Modellen mit zwei und drei Gleichungen passen gut zusammen. Die Zahlenwerte von Strom- und Temperaturfunktionen, die für die Berechnung der Wandschubspannung und der Wärmeübergangsrate benötigt werden, sind für verschiedene Werte der Prandtl-Zahl angegeben.

     

Integral equations for any configuration of curved cracks and holes in an elastic strip

Summary A method is presented to deal with the problems of an elastic strip weakened by cracks and holes of any configuration and geometry. The solution in terms of complex potentials is given by integrals over the cracks and holes with integrands expressed in terms of determined functions (Green) and an unknown density function (t). A singular integral equation for the complex density function (t) is derived for the problem. The appropriate Green's functions are derived from the solution for the problem of an uncracked strip subjected to a concentrated force or a dislocation. The integral equation is solved numerically for a strip in tension with an internal circular arc crack.

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Integralgleichungen für beliebige Konfigurationen von gekrümmten Rissen und Löchern in einer elastischen Scheibe

Übersicht Eine Methode wird dargestellt, welche zur Lösung von Problemen einer unendlichen elastischen Scheibe endlicher Breite mit Rissen und Löchern beliebiger Konfiguration und Geometrie geeignet ist. Die Lösung in Form von komplexen Spannungsfunktionen wurde mit Hilfe von Integralen über den Rissen und Löchern gegeben. Die Integranden wurden mit Hilfe von bekannten Funktionen (Green) und einer unbekannten Dichtefunktion (t) ausgedrückt, für welche eine singuläre Integralgleichung abgeleitet wurde. Die geeigneten Greenschen Funktionen wurden von der Lösung des Problems der entsprechenden Scheibe ohne Risse, welche mit einer Einzelkraft belastet wird oder eine Versetzung enthält, hergeleitet. Die singuläre Integralgleichung wurde numerisch für eine Scheibe endlicher Breite mit einem Kreisbogenriß im einachsigen Zugspannungsfeld gelöst.

     

Ein Beitrag zur Lösung der partiellen Differentialgleichungen ebener Flächentragwerke nach der Differenzenmethode

Übersicht Im vorliegenden Beitrag wird die biharmonische Differentialgleichung mit vorgegebenen Randbedingungen au zwei gegenüberliegenden Rändern unter Anwendung von Differenzenausdrücken durch fünfgliedrige Matrizengleichungen dargestellt. Die vollständige Lösung dieser speziellen Klasse von Matrizengleichungen setzt sich aus einem inhomogenen Lösungsanteil und einem homogenen Lösungsanteil zusammen, der aus einer Summe von Produktion aus Eigenwerten, Eigenvektoren und freien Konstanten gebildet wird. Aus den Randbedingungen der beiden anderen gegenüberliegenden Rändern ergeben sich Bestimmungsgleichuugen für die in der homogenen Lösung enthaltenen freien Konstanten. Für den eingespannten Plattenstreifen werden die Eigenwerte und Eigenvektoren angegeben.

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Summary The biharmonic differential equation with prescribed boundary conditions on two opposite edges is established using difference expression obtained from five-term matrix equations. A complete solution to this special category of matrix equations consists of an inhomogeneous and homogeneous part, which are obtained as a sum of products of eigenvalues, eigenvectors and free constants. Equations to determine the free constants in the homogeneous solution result from the boundary conditions of the two other opposite edges. Eigenvalues and eigenvectors for a clamped strip are given.

     

Application of large elastic deformation theory to the calculation of liquid drop shapes of some polymers

Summary Considering the analogy of a liquid surface to a stretched membrane, the theory of large elastic deformations is used to calculate the deformed shapes of sessile and pendent liquid drops of some polymers. In particular, the liquid drops are treated as highly deformable liquid-filled membranes that follow a neo-Hookean constitutive equation. Since, with the advent of sophisticated pressure transducers, it is easier to measure pressure accurately than to determine the curvature of the liquid drop geometry, the problem is formulated in terms of the pressure prescribed at the tip of the liquid drop with a varying hydrostatic pressure. The governing equations consisting of a non-linear ordinary differential equation and aVolterra type integral equation are solved numerically on a digital computer.Based on the solution of the governing equations, a procedure to estimate the surface tension of a polymer from the shape factor versus pressure curves is illustrated. Also, by increasing the pressure and by balancing the vertical component of the surface tension against the weight of a pendent liquid drop the size of a drop separated from a liquid column is predicted.

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Zusammenfassung Mit Rücksicht auf die Analogie zwischen einer flüssigen Oberfläche und einer gespannten Membrane wird die Theorie der großen elastischen Deformationen angewendet, um die deformierte Gestalt von sitzenden und hängenden flüssigen Tropfen einiger Polymere zu kalkulieren. Im besonderen werden die flüssigen Tropfen als sehr deformierbare liquid gefüllte Membranen behandelt, die einer neo-Hookeschen konstitutiven Gleichung folgen. Das Problem ist so formuliert, daß der Druck an der Spitze eines flüssigen Tropfens als ein veränderlicher hydrostatischer Druck ausgedrückt wird, weil mit den neuen hochentwickelten Druckvermittlern es leichter ist, den Druck direkt zu messen, als die Krümmung eines flüssigen Tropfens von seiner Geometrie zu bestimmen. Die Gleichungen, von denen die Geometrie eines Tropfens bestimmt werden, bestehen aus einer nichtlinearen Differentialgleichung und einerVolterra-Integralgleichung. Diese Gleichungen werden mit Hilfe eines Computers gelöst.Aufgrund der Lösung dieser Gleichungen wird ein Verfahren entwickelt, das die Bestimmung der Oberflächenspannung eines Polymers von dem Formfaktor Gegendruckkurven ermöglicht. Die Größe eines von der flüssigen Säule getrennten Tropfens kann mit Hilfe von erhöhtem Druck durch Kräfteausgleich vorherbestimmt werden.

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This work is an extension of the work performed under the National Science Foundation Grant No. GK-4842.

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With 8 figures     

Zur Lösung des torsionsproblems bei verbundstäben. nach der integralgleichungsmethode von Muschelischwili

Übersicht Die meisten bekannt gewordenen nicht-trivialen Beispiele exakter Lösungen des Torsionsproblems zylindrischer Verbundstäbe wurden durch Anwendung der konformen Abbildung erhalten, die oft mit der schwerfälligen Rücktransformation der Ergebnisse in die Originalebene verbunden ist. In einigen Fällen kann jedoch durch direkte Anwendung der Integralgleichungsmethode von Muschelischwili eine bessere, streng analytische Lösung des Problems gelingen. Eine neue Lösung eines solchen Beispieles, nämlich die Torsion eines Kreiszylinders, der mit einem exzentrischen kreiszylindrischen Kern aus anderem Material verbunden ist, wird hier vorgestellt.

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On the solution of the torsion problem of composite bars by the integral equation method of Muskhelishvili

Summary The majority of known non-trivial examples of exact solutions to the torsion problem of composite cylindrical bars were obtained by application of the conformal mapping which is often connected with cumbersome retransformation of the results to the physical domain. In several cases, however, a better exact analytic solution of the problem can be found by direct application of the integral equation method of Muskhelishvili. A new solution of such an example, i.e. the torsion of a circular cylinder reinforced by a eccentric circular core made of different material, is presented here.

     

On a new integration rule with the Gegenbauer polynomials for singular integral equations used in the theory of elasticity

Summary A new technique is proposed for the numerical solution of the Cauchy-type singular integral equations, by using the well known Gegenbauer polynomials. A large class of problems of mathematical physics, and especially several plane and antiplane elasticity problems, not possessing closed-form solutions, can be reduced to the solution of certain systems of such a type of singular integral equations. Also by using a certain method the new formula which is used for the numerical solution of the Cauchy-type integral equations can be extended for the general type of the finite-part singular integrals, too.

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über eine neue, in der Elastizitätstheorie anwendbare Integrationsregel mit Benutzung der Gegenbauer-Polynome zur Lösung singulärer Integralgleichungen

übersicht Es wird eine neue Technik zur numerischen Lösung von Cauchyschen singulÄren Integralgleichungen unter Benutzung der bekannten Gegenbauer-Polynome vorgeschlagen. Eine gro\e Klasse von Problemen der mathematischen Physik und besonders verschiedene ebene und antiplanare Probleme der ElastizitÄtstheorie, welche keine geschlossenen Lösungen besitzen, können zur Lösung auf solche singulÄren Integralgleichungen zurückgeführt werden. Die für die numerische Lösung von Cauchyschen Integralgleichungen hergeleitete Methode kann für den allgemeinen Fall singulÄrer Integrale mit endlichem Anteil erweitert werden.

     

A simplified perturbation solution to the large deflection Karman equations of orthotropic composite plates in axial compression and lateral pressure

Summary The buckling and postbuckling behavior of simply supported orthotropic composite rectangular plates in uniaxial compression and lateral pressure is studied by a deflection-type perturbation technique applied to the generalized Karman equations. Comparisons of the predictions by the approach with experiments and other analytical results are made and show that agreement between the present theory and experiments is reasonably better.

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Eine Lösung der v.-Karman-Gleichungen für große Durchbiegungen von orthotropen Verbundplatten unter Axialdruck und Flächenlast durch Störungsrechnung

Übersicht Das Beul-und Nachbeulverhalten orthotroper Verbund-Rechteckplatten unter Querbelastung und Axialdruck wird mit der Methode der Störungsrechnung die auf die generalisierten von Karmanschen Gleichungen angewandt wird, untersucht. Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit werden mit Versuchsergebnissen und anderen analytischen Lösungen verglichen, wodurch gezeigt wird, daß unter Verwendung der genannten Methode eine bessere Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen erzielt wird.

     

Stresses in a transversely isotropic,short hollow cylinder subjected to an outer band load

Summary An axi-symmetric stress analysis of a transversely isotropic, short hollow cylinder subjected to an outer band load is presented in a series form. The generalized Elliott's solution is used for the analysis. The solution consists of five independent potential functions which yield two kinds of elasticity solution. The boundary conditions for the shearing stress on the four surfaces are exactly satisfied. Other boundary conditions are numerically satisfied with the aid of a Fourier series expansion or a Fourier-Bessel series expansion. Numerical results for stresses in magnesium and cadmium crystals, as examples of transversely isotropic materials, and in an isotropic material are illustrated. The effect of anisotropy on the stresses is investigated by comparison with the stresses in the isotropic material.

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Spannungen in einem transversal-isotropen, kurzen Hohlzylinder unter einer äußeren Bandlast

Übersicht Vorgestellt wird eine axialsymmetrische Spannungsanalyse mittels Reihen für einen transversalisotropen, kurzen Hohlzylinder unter einer äußeren Bandlast. Für die Analyse wird die verallgemeinerte Elliottsche Lösung benutzt. Die Lösung besteht aus fünf unabhängigen Potentialen, welche zwei Arten der Elastizitätslösung abgeben. Die Randbedingungen der Schubspannung auf den vier Flächen werden genau erfüllt. Die anderen Randbedingungen werden durch eine Fouriersche Reihenentwicklung oder eine Fourier-Besselsche Reihenentwicklung numerisch erfüllt. Die numerischen Resultate der Spannungen in einem Magnesiumkristall und einem Kadmiumkristall als Beispiele transversal-isotroper Materialien und in einem isotropen Material werden illustriert. Der Einfluß der Anisotropie auf die Spannungen wird durch Vergleich mit den Spannungen im isotropen Material untersucht.

     

Inelastic deformation of thin cylindrical shells under axisymmetric loading

Summary The response of a thin cylindrical shell of elastic-viscoplastic material to internal pressure is considered. Small displacements and the validity of the kinematical Love-Kirchhoff-hypothesis are presupposed. Further it is assumed that the inelastic behavior of the shell material is governed by a unified constitutive model with internal state variables, where the total strain tensor can be decomposed additively into an elastic and an inelastic part. Under these assumptions the governing differential equation for the radial displacement is derived. A general solution is obtained by the method of variation of parameters and adjusted to different boundary conditions.Solution of inelastic problems requires tracing of the entire loading path which leads to an initial value problem. This initial value problem is formulated for Hart's constitutive model and solved numerically by an implicit time integration procedure. Finally numerical results are presented.

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Inelastische Deformation dünner Kreiszylinderschalen bei axialsymmetrischer Belastung

Übersicht Es wird die Reaktion einer dünnen Kreiszylinderschale aus elastisch-viskoplastischem Werkstoff auf eine Belastung durch Innendruck untersucht. Es werden kleine Verschiebungen und die Gültigkeit der kinematischen Hypothese von Love-Kirchhoff vorausgesetzt. Ferner wird angenommen, daß das inelastische Verhalten des Werkstoffs durch ein einheitliches konstitutives Gesetz mit inneren Zustandsvariablen beschrieben wird, wobei der Tensor der Gesamtverzerrungen additiv in einen elastischen und einen inelastischen Anteil aufgespalten werden kann. Unter diesen Voraussetzungen wird die Differentialgleichung für die Radialverschiebung abgeleitet. Für sie wird eine allgemeine Lösung mittels Variation der Konstanten ermittelt und an verschiedene Randbedingungen angepaßt.Bei der Lösung inelastischer Probleme muß der gesamte Belastungspfad verfolgt werden. Dies führt auf ein Anfangswertproblem. Dieses Anfangswertproblem wird für das Werkstoffgesetz von Hart formuliert und numerisch mittels eines impliziten Zeitintegrationsverfahrens gelöst. Abschließend werden numerische Ergebnisse vorgestellt.

     

An asymptotic finite-deformation analysis of the elastostatic field near the tip of a crack

Summary This paper contains an asymptotic treatment, consistent with the fully nonlinear equilibrium theory of compressible elastic solids, of the stresses and deformations near the tip of a traction-free crack in a slab of all-around infinite extent under conditions of plane strain. The loading applied at infinity is taken to be one of uniform uniaxial tension at right angles to the faces of the crack. For the particular class of elastic materials considered the tensile stress in large homogeneous uni-axial extension is asymptotic to a continuously adjustable power of the corresponding principal stretch. The asymptotic analysis of the foregoing crack problem is reduced to a nonlinear eigenvalue problem, the solution of which is established in closed form, in terms of elementary functions and a transcendental integral of such functions. This solution involves two arbitrary constants, one of which governs the amplitude of the ensuing elastostatic field near the tip of the crack. A precise estimate of the amplitude parameter, valid at sufficiently small load intensities, is deduced with the aid of a known conservation law. The remaining arbitrary constant, which is left indeterminate by the present lowest-order asymptotic analysis, does not affect the dominant behavior of the field quantities of primary physical interest. II-lustrative numerical results, appropriate to both hardening and softening materials, are presented.

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Zusammenfassung Diese Arbeit betrifft die asymptotische Ermittelung, im Rahmen der nichtlinearen Elastizitätstheorie ebener Verformungen, von den Spannungen und Verschiebungen am Ende eines Schlitzes in einer allseitig unendlich ausgedehnten Scheibe. Die Scheibe ist im Unendlichen durch einen gleichförmigen Zug senkrecht zur Schlitzachse belastet. Die asymptotische Behandlung dieses Problems wird auf ein Eigenwertproblem zurückgeführt, dessen Lösung in geschlossener Form durch elementare Funktionen dargestellt wird. Die gefundene Lösung enthält zwei unbestimmte Konstanten von welchen eine die Amplitude der lokalen Feldsingularitäten bestimmt. Diese Konstante wird für kleine Belastungen streng abgeschätzt auf Grund eines Erhaltungssatzes und mit Hilfe der bekannten Lösung des linearisierten Schlitzproblems.

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The results communicated in this paper were obtained in the course of an investigation supported under Contract N00014-67-A-0094-0020 of the California Institute of Technology with the Office of Naval Research in Washington, D.C.     

Direct determination of periodic solutions of mechanical dynamical systems

Summary Methods for the direct determination of stationary and periodic solutions of systems whose behaviour is described by a set of ordinary differential equations, and the continuation of these solutions if a parameter is varied, are presented. The realization of these methods in a program for flexible multibody systems is discussed, which requires, besides the determination of the equations of motion, the determination of the linearized equations and the sensitivity of the equations with respect to parameter variations. The methods are applied to an elastic rotor with mass eccentricity and a slider-crank mechanism with a flexible connecting rod.

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Direkte Bestimmung periodischer Lösungen mechanischer dynamischer Systeme

Übersicht Verfahren zur direkten Bestimmung stationärer und periodischer Lösungen in Systemen, deren Verhalten durch ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen beschrieben wird, und zur Fortsetzung dieser Lösungen wenn ein Parameter geändert wird, werden vorgelegt. Die Gestaltung dieser Verfahren in einem Programm für flexible Mehrkörpersysteme wird besprochen, was, nebst der Bestimmung der Bewegungsgleichungen, die Bestimmung der linearisierten Gleichungen und die Empfindlichkeit der Gleichungen gegen Parameteränderungen erfordert. Die Verfahren werden auf einen elastischen Rotor mit Massenunwucht und ein Kurbelgetriebe mit verformbarer Pleuelstange angewandt.

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Presented at theSecond U.S. National Congress on Computational Mechanics, August 16–18, 1993, in Washington, D.C.