一道课本习题的多解赏析

题目如果直线AB与平面a相交于点B,且与a内过点B的三条直线BC、BD、BE所成的角相等,求证:AB⊥a.(人教版第二册(下B)复习参考题九第6题) 在立体几何新课结束后的复习课上,我选了这道题,引导学生多方联系,深入探究,获得如下四种证法. 分析一要证AB⊥a,据“线面垂直的判定定理”,就是证AB与a内两条相交直线垂直.于是有     

完全四边形的一条性质及应用

我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.如图1,设直线ABE、BCF、ECD、ADF两两相交于B、C、D、A、E、F六点,即为一个完全四边形.BD、AC、EF为其三条对角线.完全四边形有一系列有趣性质,这里仅介绍其中的一条:性质完全四边形的一条对角线所在直线与其他两条对角线相交,则被其他两条对角线调和分割.如图1,设直线AC与BD交于M,与EF交于N,则AMAN=M CN C或AM·N C=AN·M C.若BD∥EF,则AMAN=BDEF=M CN C即证.若BD\∥EF,可设两直线相交于点G.此时还有BMDM=BGDG,ENFN=…     

关于空间四边形两条对角线所成的角

【问题的提出】我们知道,如果任意一个平面四边形ABCD的两条对角线AC、BD的夹角为θ(θ°<θ≤90°),那么cosθ=|(AB~2+CD~2)-(BC~2+DA)~2/2AC·BD|*(运用余弦定理即可证得,证明从略) 如果将“平面四边形”改为“空间四边形”这个公式是否仍然成立?回答是肯定的。即:已知空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD(异面直线)所成的角是θ(θ°≤90°)那么cosθ=|(AB~2+CD~2)-(BC~2+DA~2)/2AC·BD|(*)     

一道平几习题的演变

现行初中《几何》第二册 P_(16)第8题:内接于圆的四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 垂直相交于点 K,过点 K 的直线与边 AD、BC 分别相交于点H 和 M,求证:(1)如果 KH⊥AD,那么 CM=MB;(2)如果 CM-MB,那么 KH⊥AD,(证略)这是一道有关圆内接四边形的对角线互相垂直的     

对现行高中数学教学参考书的几点意见

笔者在教学中发现 ,与人教版现行高中课本《立体几何》、《平面解析几何》相配套的教学参考书有不妥之处 ,现对其提出几点意见 ,供商榷 .1　高中《立体几何教学参考书》1 高中《立体几何》(必修 )课本第 33页上的第 9题 :“求证 :两条平行线和同一个平面所成的角相等 .”本题应分两种情况论证 :(1 )两条平行线与同一平面平行 ;(2 )两条平行线与同一平面相交 ,这又分为垂直相交和斜交两种情形 .教学参考书中的答案只证明了第 (2 )种情况中的斜交情形 .2 同一课本第 48页上前 2题的第 (1 )小题 :“求证 :每两条都相交且不共点的四条直线共面…     

“平几”中真,“立几”中也真吗?

立体几何中,常常会遇到与平面几何中“形式”相同的命题,这些平面几何中的真命题,在立体几何中还真?下面给出一组平面几何中的无误的真命题,考虑在立体几何中,哪些真?哪些不真? 1.不相交的两条直线一定平行。 2.两条互相垂直的直线一定交于一点。 3.如果一条直线与两条互相平行的直线中的一条相交,那么必与另一条直线相交。 4.四条边都相等的四边形一定是菱形。 5.四边形的四个内角和必为360°。 6.各边都相等的四边形的两条对角线一定互相垂直。 7.平行于同一直线的两条直线一定平行。 8.垂直于同一条直线的两条直线一定平行。     

一个几何定理的妙证

<正>定理^[1]过完全四边形ABCDEF的顶点A的直线交BF于M,交CE于N,交BD于G,交CD于H,则1/AM+1/AN=1/AG+1/AH.(编者注文中的"完全四边形"ABCDEF是由平面上无三线共点的四条直线AB,BD,DF,FA(称为边)以及每每两条直线的交点A,B,C,D,E,F(称为顶点)组     

注意教材中的“约定”

教材中的“约定”大致分四种情况 ,往往不引起同学们的注意 ,导致解题的繁琐或错误 .本文举例说明 .1　用附注给出的《立体几何》必修本Ｐ9页末有一段文字 :本书中没有特别说明的“两条直线 (平面 )” ,均指不重合的两条直线 (平面 ) .不妨看一看复习参考题一 (Ｐ48)第 1题 :下面的说法正确吗 ?为什么 ?1)两条直线确定一平面 ;2 )如果两个平面有三个公共点 ,那么这两个平面重合 .也许是受命题 2 )中“平面重合”的暗示 ,不少同学对题 1)的解答是 :两直线重合时就不确定一平面 ,故命题 1)不正确 .如何评析这种解答 ,我们把它留给读者 .2　用…     

数列(选择题五道)

1.既为等差又为等比的数列有() (A)无限个(B)有限个 (C)仅一个(D)一个没有 2.一个等比数列的项数至少有() (A)4项(B)3项 (C)2项(D)1项 3.凸四边形的四个内角的度数成等差数列,则其公差只可能是() (A)500(B)600(C)750(D)900 4.a,b,e成等差数列,则a,(吞 e),bZ(e a),eZ(a b)三数为() (A)等差数列,但不一定成等比 (B)等比数列,但不一定成等差 (C)即为等差且为等比数列 (D)不一定为等差,也不一定为等比 5.一条直线分平面为。;二2部分,两条相交直线分平面为a:~4部分,三条两两相交但不共点的直线分平面为a3=7部分.设。条两两相交,但无三线…     

谈画多面体的截面

画多面体的截面,关键是确定截面与多面体面的交线,这是显然的。问题在于如何确定这些交线。画截面主要依据当然是定理:三个平面两两相交得到三条交线,(1)如果其中有两条相交于一点,那么第三条也经过这点。(2)如果其中有两条平行,那么第三条也和它们平行(见中学立体几何课本P51第10题) 在画截面时,关于定理中的情况(2),交线还是容易确定的;面对情况(1),则较难掌握。笔者想就此谈一点粗浅看法。先看一例。例1 如图1,在四棱锥V—ABCD中,过P、     

对教材中一道习题的思考

通用初中《几何》第二册第129页第5题: (1)已知00与00/外切于点A,经过A的直线BC和D乒,B尽交00于B、交00产于点C,·D百交OO于点D、交00产于点E.求证:BD// CE(见图1).129页题6 两圆相切是相交的特殊班,:.那么相切意义下的题(l)能否在相交意义下得以排广之?【口答兄肯定的只要把(l)中“过切点的两直线”视为“分别过两交点的直线”命题即(图1) 这是一道联系公切线、弦切角、圆周角等概念的几何证明题,图形结构简单,难度不大,学生习作不会感到困难.因此,教学中容易低估它的作用.如果对‘1)认真进行研究,从图形的结构、命题的逆及等圆意义…     

应加强立几中公理二的教学

这是八四年高考理科数学第四题:已知三个平面两两相交,育三条交线。求证这三条交线交予一点或互相平行。考试结果表明,对这道教材上的原题,多数学生没有掌握,值,值得深究。先看解答(相交部分):设三平面为     

一道全国联赛试题的别解

2005年全国初中数学联赛试卷(A卷)第三题(解答题)的第2题是:锐角△ABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q.证明:BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点.联赛组委会所提供的“参考答案”中,给出了一种漂亮的证法.这里笔者再给出该试     

立体几何中“有关公理问题”的商榷

1　问题的提出无论是老教材还是新教材 ,普通高级中学的立体几何课程里总有以下四条公理 :直线在平面内公理 (公理 1) ;两个平面相交时的交线公理 (公理 2 ) ;不共线三点共面公理 (公理 3) ;三线平行公理 (公理4 ) .其中公理 3的推论 3是 :经过两条平行直线 ,有且只有一个平面 ,对于该推论的证明 ,我们已经知道的有三种 .图 1　平行直线如图 1所示 ,已知 :空间两条直线a和b .且a∥b .求证 :经过直线a和b有且只有一个平面 .证法 1　存在性　根据平面几何的知识 ,平面内不重合的两条直线 ,不相交就平行 ,所以经过互相平行的两条直线a和b ,必定…     

借助第三平面作无棱二面角的棱

同学们对二面角历来都感到困难 ,尤其是无棱的二面角 ,更感到无章可循 .本文将从同时与二平面相交的第三平面入手考虑 .因为二平面与第三平面分别有一条相交直线 ,又这两条直线同时在第三平面内 ,其位置关系只有两种情况 :相交与平行 .若两条直线相交 ,由公理2知 ,交点必在二平面的交线上 ,由此可作出棱 ;若两条交线平行 ,由线面平行的判定和性质知 ,两条直线必与二平面的交线平行 ,由此图 1可作出棱 .例 1　底面是直角梯形的四棱锥Ｓ ＡＢＣＤ ,∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥底面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 ,求面ＳＣＤ与面ＳＡＢ所…     

直线和平面

一、选择题 (1)四条直线两两相交,交点各异,则四条直线的位置关系是( ) (A)必在同一平面内; (B)有某两条共面,其余两条异面; (C)任意两条都异面; (D)不能确定。     

中点四边形的探究

顺次连接四边形四边中点所得的四边形,我们称为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形对角线之间的数量和位置关系决定,下面分类进行说明: 一、对角线的数量关系和位置关系为任意 如图1,已知:四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什么特殊四边形?为什么? 探究:连接AC、BD.因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,所以EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线,则EF// AC,GH//AC,所以EF∥GH,用同样的方法可得EH∥FG.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得,四边形EFGH是平行四边形.     

平行线学习的注意事项

一、注意平行线定义的事项在平面内的两条直线的位置关系有平行(包括重合)、相交(包括垂直).故平行线是平面上两条直线的特殊位置关系,由平行线的定义必须注意到两点:(1)同一平面内的两条直线;(2)不相交.这两个条件必须同时具备.平面内的两条直线AB、CD平行,记作AB∥CD,其中符号“∥”是专指两条直线平行的,是     

空间上“点在线上”的证明

空间中证明“点在线上”主要根据立几的公理二。其证法步骤如下: (1)分析出要证的直线是哪两个平面的交线; (2)再证明要证的点是这两个平面的公共点; (3)由立几公理二,点必在线上。例1 三个平面两两相交,有三条交线,若这三条交线两两相交,则三条交线交于一点。分析:证三线共点可转化为证其中两线的     

巧证三余弦定理

<正>新课标苏教选修2—1教材第98页习题第9题要我们求证三余弦定理:已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为θ₁,平面内的一条直线和这条斜线在平面内的射影的夹角为θ₂.设斜线和平面内这条直线的夹角为θ,则cosθ=cosθ₁·cosθ₂.