On vibrations due to vortex shedding induced on two cylinders with one in the wake of the other

Summary This paper follows a series of researchs concerning the vibrations induced on cylinders by the vortex shedding.The principal results of the previous researchs are first of all summarised.These researchs concerned the vibrations induced on a cylinder in a free stream, and the vibrations induced on a cylinder in the wake of a fixed one.Main purpose of the present paper is to describe the experimental results obtained on two cylinders, one in the wake of another, both vibrating. Many cases are considered either with equal or different frequencies.An analytical model simulating the phenomenon is here developped, the analytical results obtained are exposed and compared with the experimental ones.

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Sommario Questo lavoro segue una serie di ricerche sul fenomeno di distacco di vortici su un cilindro investito da una vena fluida ortogonale all'asse del cilindro stesso.Vengono in primo luogo riassunti i principali risultati delle precedenti ricerche riguardanti un cilindro vibrante in vena libera ed uno vibrante in scia di uno fisso.Scopo del presente lavoro è quello di riportare i risultati sperimentali relativi al caso di due cilindri, uno in scia di un altro, con frequenze uguali, di poco diverse o molto diverse.È stato inoltre elaborato un modello analitico per lo studio del fenomeno, il modello ed i risultati ottenuti sono pure riportati in questo lavoro.

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This work is the outcome of a collaboration between ENEL, Salvi S.p.A., the Institute of Applied Mechanics, University of Pavia and the Institute of Applied Mechanics, Polytechnic of Milan. Both the Institutes of Applied Mechanics received a CNR subsidy to take part in this research.     

On the forces transmitted to a vibrating cylinder by a blowing fluid

Summary The measuring apparatus used for experimental wind tunnel studies is described together with the test procedure and salient results. After an analysis of the results, a mechanical model is developed to explain the nature of the phenomenon.

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Sommario Si descrive l'apparato di misura utilizzato per le ricerche sperimentali eseguite in camera a vento al fine di determinare le forze esercitate da una vena fluida su un cilindro libero di vibrare. Si espongono le modalità di prova ed i risultati più salienti. Dopo un'analisi dei risultati si elabora un modello meccanico per interpretare la natura del fenomeno.

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This study forms part of a project that has been carried out jointly by A. Salvi & C. SpA and the Institute of Applied Mechanics, Milan Polytechnic. The Institute of Applied Mechanics received a CNR subsidy to take part in this project.     

An exact solution for the flow of a non-newtonian fluid past an infinite porous plate

Summary The flow of an incompressible fluid of second grade past an infinite porous plate subject to either suction or blowing at the plate is studied. It is found that existence of solutions is tied in with the sign of material moduli and in marked contrast to the Classical Newtonian, fluid solutions can be exhibited for the blowing problem.

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Sommario Si studia la corrente di un fluido incomprimibile di secondo grado che lambisce una lastra porosa da cui è succhiato o soffiato. Si trova che l'esistenza delle soluzioni è legata al segno dei moduli del materiale e, in netto contrasto col fluido newtoniano classico, si possono trovare soluzioni per il problema del soffiamento.

     

Vibrations of a viscoelastic rod with small non-linearities

Summary A partial differential equation is considered whose dominant linear term involves third order time derivatives and which contains a nonlinear term multiplied by a small parameter. The solutions of initial-boundary-value problems for the equation are investigated using an extension of the Krylov-Bogoliubov-Mitropolskii asymptotic method. The vibrations of a viscoelastic rod lead to an equation of the type considered when the material constitutive relation is that of a standard linear solid together with additional small nonlinearities of behaviour, and this particular physical problem is investigated in detail. It is shown that under appropriate initial conditions only a single mode of vibration is excited to lowest order, and some numerical results are given which illustrate the effects of the nonlinearity on these single mode solutions.

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Sommario Viene considerata una equazione differenziale alle derivate parziali il cui termine lineare dominante implica derivate del terzo ordine del tempo e che contiene un termine non lineare moltiplicato per un parametro di piccola entità. Vengono studiate le soluzioni dell'equazione con le condizioni iniziali e al contorno usando una estensione del metodo asintotico di Krylov-Bogoliubov-Mitropolskii. Le vibrazioni in una sbarra viscoelastica portano ad una equazione del tipo considerato quando la soluzione costitutiva è quella di un normale solido lineare con l'aggiunta di piccole non-linearità di comportamento. Viene studiato nel dettaglio questo particolare problema fisico. Viene mostrato che, con appropriate condizioni iniziali, viene eccitato solo il primo modo di vibrare. Vengono inoltre forniti alcuni risultati numerici che illustrano gli effetti della non linearità per questo particolare modo.

     

Creep and relaxation in thick-walled shrink-fitted cylinders

Summary We deal with the problem of time dependent stresses and, particularly, of the contact pressure in two thick-walled coaxial shrink-fitted cylinders, when neither of the two elements is rigid.We apply Rabotnov's phenomenological theory of creep in such a way that the integral equation, which gives the time dependent ratio between the contact pressure at a given moment and the starting pressure, is linear. We assume no volume deformation and a plane state of strain.We give the explicit solution in three examples both for an elastic inner cylinder and for a viscoelastic one, solving the integral equations of the problem both by quadratures and by the Laplace transformation inverting the transforms by a numerical method[21].

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Sommario Si affronta il problema della ricerca dell'andamento nel tempo delle tensioni e, in particolar modo, della pressione di contatto in un accoppiamento forzato tra due cilindri cavi coassiali nel caso che nessuno dei due elementi sia rigido.Si applica la teoria fenomenologica per lo scorrimento viscoso del Rabotnov in un modo tale per cui l'equazione integrale, che dà l'andamento nel tempo del rapporto tra la pressione di contatto in un dato istante e la pressione iniziale, è lineare. Si considera nulla la variazione di volume e piano lo stato di deformazione.Si dà la soluzione esplicita in tre esempi per cilindro interno sia elastico sia viscoelastico, risolvendo le equazioni integrali del problema sia per quadrature sia con l'uso della trasformata di Laplace trovando l'antitrasformata con un particolare metodo numerico di inversione[21].

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A generalized semi-inverse method for the elastic cylinder

Summary This paper deals with a side-and-end traction loaded elastic cylinder in the presence of all the stress components. The solution obtained in potential stress function terms includes wall beam and uneven torsion problems.With the definition of the boundary problems concerning the potential stress functions and the determination of the constants involved in the problem, a generalization of the well-known Saint-Venant solution is obtainable. The relevant results of an uneven torsion subjected elliptic cross-section cylinder is being dealt with in the last section of the paper.

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Sommario In questa memoria è presentata una soluzione del problema del cilindro elastico, caricato anche sulla superficie laterale, che ammetta la presenza di tutte le componenti di tensione: tale soluzione, ottenuta in termini di funzioni potenziali delle tensioni, include, quali sue particolarizzazioni, il problema della trave parete e quello della torsione non uniforme.La definizione dei problemi al contorno sulle funzioni potenziali e la determinazione delle costanti coinvolte conduce ad una significativa generalizzazione della trattazione classica di Saint-Venant. In ultimo vengono riportati i risultati relativi allo studio del cilindro a sezione ellittica soggetto a torsione non uniforme.

     

The transient Stokes flow induced by a point source of electric current

Summary The development of the magnetohydrodynamic Stokes flow field due to the discharge of an electric current from a point into a viscous incompressible fluid bounded by a hemispherical bowl is investigated. We also discussed, as a special case, the flow induced for the case when the radius of the hemispherical bowl becomes infinitely large and showed that the time taken to establish the steady state flow in the interior of the hemisphere is reduced by a factor of ten compared with the situation where the flow takes place in a semi-infinite fluid. Our solution is analytic as compared with the existing numerical solution.

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Sommario Si studia lo sviluppo del campo di moto magnetoidrodinamico alla Stokes prodotto dall'immissione di una corrente elettrica in un punto di un fluido viscoso incomprimibile limitato dalla superficie di un emisfero. Si discute anche, come caso particolare, il moto prodotto nel caso in cui il raggio dell'emisfero diviene infinito e si dimostra che il tempo richiesto a stabilire un moto stazionario nell'emisfero si riduce di un fattore dieci rispetto alla situazione in cui il moto ha luogo in un fluido semi-infinito. La soluzione presentata è analitica, non numerica come in lavori precedenti.

     

Free vibrations of a meniscus with edge constraints

Summary The gravity capillary small vibrations of the meniscus of a fluid contained in a trough, when the line of contact on the lateral walls is fixed, are studied for the incompressible inviscid case. The two cases when the bottom end of the trough is closed or open are considered. It is found that the vibration frequencies and modes may be determined as eigenmodes and eigenvalues of a linear operator whose components, in a suitable basis of L ₂ (–1, 1),are given analitically. The influence of the relevant nondimensional parameters and the distinguishing features of the case of an open channel are then determined, and substantiated by numerical results.

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Sommario Si considerano le piccole oscillazioni capillari, in presenza di gravità e per fluido non viscoso e incompressibile, del menisco di un fluido contenuto in un recipiente rettangolare; le linee di contatto tra menisco e pareti laterali sono fisse. Sono simulati i due casi in cui il fondo del recipiente è aperto o chiuso. Si trova che modi e frequenze delle oscillazioni possono essere determinati come autovettori e autovalori di un operatore lineare delle cui componenti, rispetto ad una base di L ₂ (–1, 1),viene fornita l'espressione analitica. L'influenza dei pertinenti parametri adimensionali e le caratteristiche peculiari del caso con fondo aperto sono analizzate e confrontate con risultati numerici.

     

Eddies development downstream a pipe orifice

Summary An extensive numeric and experimental investigation of the motion of a viscous fluid through an orifice yields the salient characteristics of the process for Reynolds numbers equal to or over the critical value at which turbulence originates downstream the obstacle. Through the results of the mathematical model and of the physical model the phenomena of emission of various eddies giving rise to instability of the laminar flow are identified. The rate of emission frequencies in the two models for given Reynolds number are in agreement.

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Sommario A conclusione di una vasta indagine numerica e sperimentale sul moto di un fluido viscoso attraverso un diaframma si individuano le più evidenti caratteristiche del processo per numeri di Reynolds pari o superiori a quello critico oltre il quale si origina la turbolenza a valle dell'ostacolo.Attraverso i risultati del modello matematico e del modello fisico si riconoscono distintamente i fenomeni di emissione di vortici che originano l'instabilità del regime laminare nella zona di espansione della corrente.Si confrontano infine positivamente le frequenze di emissione nei due modelli a parità del numero di Reynolds.

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Stokes flow with injection in a plane duct

Summary In this paper flow at low Reynolds number is studied in a plane duct with injection along its boundaries, by determining the Green function for the Stokes equation in the strip: in this way it is possible to calculate the fluid-dynamic field for any distribution of injection. To obtain the bi-harmonic function that governs this problem we write the stream function in terms of two harmonic functions f and g, represent these functions using the relevant Green function and write the integral equations that determine f and g. The solution is obtained by means of the Fourier transform technique. An asymptotic representation of this solution is also given.

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Sommario In questo lavoro si studia il campo fluidodinamico determinato) dall'apporto di fluido in un condotto in cui scorre un fluido a piccoli numeri di Reynolds, determinando la funzione di Green per l'equazione di Stokes nella striscia: in tal modo si può calcolare il campo fluidodinamico per una qualsiasi distribuzione di iniezione. Per determinare la funzione biarmonica con derivata longitudinale infinita in alcuni punti della frontiera che governa questo problema, si scrive l'incognita in termini di funzioni armoniche, si utilizza la funzione di Green per rappresentare tali funzioni ausiliarie e si scrivono le equazioni integrali che le determinano. La soluzione di queste equazioni integrali viene ottenuta mediante la trasformata di Fourier. I risultati vengono presentati sia in forma numerica che con serie asintotiche.

     

On the effect of wall oscillations on mass (heat) transfer in channel flow

Summary A mechanism is investigated which might lead to enhancement of the rate of mass (or heat) transfer in channel flow at relatively low Reynolds numbers. One of the possible areas of application of this mechanism concerns blood oxigenators. Enhancement of the transfer rate is sought by oscillating the channel walls. The mass transfer analysis given in this paper shows that, for large Peclet numbers and small amplitudes of the wall oscillations, the effect of the steady streaming can be exploited in order to increase mass transfer from the wall only for a range of moderate values of non dimensional frequency α close to 1.

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Sommario Si analizza un meccanismo che può rivelarsi idoneo ad attivare lo scambio di massa (o calore) in dispositivi di scambio operanti in condizioni di deflusso laminare. In particolare una verosimile e significativa area di applicazione di tale meccanismo è quella degli ossigenatori a membrana utilizzati nella circolazione extracorporea. Nel caso qui esaminato il procedimento di possibile attivazione dello scambio di massa consiste nel far vibrare ad opportune frequenze le pareti che delimitano i meati di cui è costituito l'ossigenatore. L'analisi mostra che per grandi valori del numero di Peclet e piccole ampiezze di oscillazione delle pareti, lo scambio di massa è incentivato solo per valori del parametro adimensionale di frequenza α (numero di Womersley) prossimi ad 1.

     

Numerical solution of a pulsatile flow problem

Summary A numerical method, developed and used in previous work, is used to solve the Navier-Stokes equations for a two-dimensional incompressible flow in variable motion. A pulsatile flow through a pipe cross is studied to simulate blood flow in vascular aorto-renal junctions.

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Sommario In questo studio si è utilizzato uno schema numerico, già studiato e utilizzato in precedenti lavori, per risolvere le equazioni bidimensionali di Navier-Stokes per un fluido viscoso incomprimibile in un problema di moto vario. Nelle ipotesi di poter descrivere il moto fasico del sangue con il moto di un fluido viscoso newtoniano di opportuna viscosità, si è studiato il moto pulsante di questo fluido in due condotti raccordati per simulare il moto del sangue nel raccordo aorta-renale durante un ciclo temporale completo.

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Research carried out at Istituto di Idraulica del Politecnico di Milano, Milan, Italy.     

Linear and non-linear pulse propagation in fluid-filled compliant tubes

Summary Here we study impact-initiated disturbances in fluid-filled elastic tubes. The undeformed tube diameter, wall thickness, and elastic modulus of the tube material are assumed to be functions of the distance along the centre line of the tube. The linearized version of the governing equations are solved by the Laplace transform, which is inverted by means of an approximate method. The original non-linear system of governing equations is solved numerically by the method of characteristics. Relationships between the axial fluid velocity and axial coordinate as well as between velocity and time are displayed for fixed values of time and axial coordinate respectively for the linear and nonlinear theory for ease of comparison.

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Sommario Si studiano le perturbazioni prodotte da impatto in tubi elastici riempiti di fluidi. Si assume che il diametro del tubo indeformato, lo spessore della parete e il modulo elastico del materiale del tubo siano funzioni della distanza misurata lungo la linea centrale del tubo. La versione linearizzata delle equazioni che governano il fenomeno è risolta con la trasformata di Laplace, invertita con un metodo approssimato. Il sistema originale non lineare delle equazioni è risolto numericamente con il metodo delle caratteristiche. Vengono rappresentate, per valori fissati del tempo e della coordinata assiale, le relazioni tra la velocità assiale del fluido e la coordinata assiale oltre alle relazioni fra velocità e tempo, sia per la teoria lineare sia per quella non lineare.

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On the dynamic behaviour of axially excited helical springs

Summary In this paper we have used Wittrick's theory on the propagation of deformation waves in a coiled wire — taking only into account the coupling between the displacements of the wire cross-section along the tangent and along the binormal of the average helix — in oder to show how the natural frequencies of the axial and rotational modes of a cylindrical helical spring vary according to a non-linear function of the wave number. Moreover it is here demonstrated that the natural frequencies resulting from the proposed theory for the natural modes to which correspond wave lengths greater than two coils do not differ much from those which can be calculated by considering the spring as a periodic discrete system. Theoretical results are finally tested by an appropriate experimental investigation.

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Sommario Viene utilizzata la teoria proposta dal Wittrick sulla propagazione delle onde di deformazione in un filo avvolto ad elica, tenendo conto del solo accoppiamento tra gli spostamenti delle sezioni del filo lungo la tangente e lungo la binormale all'elica media, per mettere in evidenza come le pulsazioni naturali dei modi assiali e rotazionali di una molla ad elica cilindrica varino secondo una funzione non lineare del numero d'onda. Si dimostra che le pulsazioni naturali che si ottengono dalla teoria proposta, per modi di vibrare cui corrispondono lunghezze d'onda maggiori di due spire, sono poco discoste da quelle prevedibili considerando la molla come sistema discreto periodico. I risultati della teoria surriportata vengono infine controllati a mezzo di una opportuna indagine sperimentale.

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Research supported by the Ministero della Pubblica Istruzione, Italy.     

A Phragmèn-Lindelöf principle for the thermoelastic cylinder of variable cross-section

We consider a non-prismatic cylinder consisting of an anisotropic, compressible, inhomogeneous thermoelastic material, subject to either null tractions or null displacements on the lateral boundary and loaded by a self-equilibrated force system at one end. We show that the mean square cross-sectional measures of the temperature and the coupled displacement—temperature either grow faster than an exponentially increasing function of axial distance or decrease faster than a decaying exponential function of axial distance. We thus establish a Phragmèn-Lindelöf principle for the thermoelastic cylinder of variable cross-section.

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Sommario Viene considerato un cilindro non-prismatico costituito da un materiale termoelastico, anisotropo, comprimibile ed omogeneo. Il cilindro é soggetto a zero trazioni o zero dislocamenti sul limite laterale ed é caricato su uno dei termini con un sistema autoequilibrilata delle forze. Mostriamo che il valore medio quadratico della temperatura e dell'accoppiata della temperatura ed il dislocamento cresce più veloce che una funzione esponenziale crescente della distanza assiale o diminuisce più veloce che una funzione esponenziale declinante della distanza assiale. Viene stabilito un principio di Phragmèn-Lindelöf per il cilindro termoelastico di sezione trasversale variabile.

     

Decay of vortices in a visco-elastic liquid

Summary Decay of vortices in the flow of a certain class of visco-elastic liquids (incompressible second-order fluids) is investigated. It is found that in the flow of double array of vortices, the vortices decay much faster in such a liquid than in ordinary viscous liquids. For the flow in the wake of such a liquid past a two-dimensional grid, a pair of bound eddies occur behind the single elements of the grid as in the viscous case but their scale diminishes with increase in the elastic parameter.

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Sommario Si studia l'attenuazione dei vortici nel flusso di una certa classe di liquidi viscosi (fluidi incompressibili di secondo ordine).Si trova che nel flusso di una schiera di vortici, i vortici si attenuano molto più rapidamente in tali liquidi che nei liquidi viscosi ordinari. Per il flusso nella scia di un reticolo bidimensionale si formano una coppia di vortici limitati dietro i singoli elementi del reticolo come nel caso viscoso, ma la loro scala diminuisce con l'aumentare del parametro elastico.

     

Lubricated Plane Slider Bearing: Analytic and Numerical Approach

For lubricated slider bearing the elementary theory of lubrication does not allow to describe the pressure build up at the entrance section.In this work the whole flow field is subdivided into three regions: a first one, upstream of the entrance, where the fluid behaves like a perfect fluid; a second region, immediately downstream, where the two boundary layers gradually grow, extending up to a distance determined by means of a model based on analytic functions. The third region is described by Navier–Stokes and solved by adopting a shooting method.Numerical computations were carried out to determine the pressure distribution and the position of the center of pressure for different values of Reynolds number and pad angle. Sommario. La teoria elementare della lubrificazione nel caso del pattino piano lubrificato non è in grado di evidenziare il fenomeno della sovrappressione nella sezione di ingresso.Nel presente lavoro viene proposto un modello che suddivide il campo di moto in tre regioni: una prima a monte della sezione di ingresso, in cui il fluido si comporta come un fluido perfetto; una seconda regione immediatamente a valle, in cui si tiene conto del graduale sviluppo dello strato limite e la cui estensione è determinata tramite un modello basato sulle funzioni analitiche. La terza regione è studiata risolvendo l'equazione di Navier–Stokes con tecnica numerica basata su un metodo di shooting.In questo lavoro viene riportato l'andamento della pressione all'interno del cuscinetto e la posizione del centro di pressione per differenti valori del numero di Reynolds e per varie inclinazioni del pattino.     

Universal solutions and energy minimization in the saint-venant cylinder

In this paper we study the role played, from an energy view-point, by the explicit solution of Saint-Venant for a right circular cylinder. By taking into account a harmonic solution with constant divergence, we consider Maisonneuve's solution and investigate the assumptions under which the explicit solutions form a particular case.

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Sommario In questo lavoro si esamina, da un punto di vista energetico, il ruolo che le soluzioni esplicite di Saint-Venant hanno all'interno dell'intera classe di soluzioni equipollenti per un cilindro circolare retto. A tale scopo facendo riferimento alla soluzione ottenuta da Maisonneuve, che minimizza l'energia di deformazione nell'intera classe delle soluzioni equipollenti, si vuole studiare se esiste una intersezione non nulla tra la classe delle soluzioni di Maisonneuve e la classe delle soluzioni armoniche a divergenza costante.

     

The thermohydrodynamic flow equations for hydrostatic thrust bearings

Summary This paper studies the flow in rotating hydrostatic thrust bearings lubricated with incompressible fluids under pressure. It considers, besides the effects of inertia on the lubricant, its increase in temperature in the film due to fluid friction (thermohydrodynamic flow).From the system of differential equations of Navier-Stokes, continuity and energy, we obtain differential or integro-differential equations that can furnish the values of the temperature and of the components of velocity and pressure of the fluid in the bearing. From these we obtain the values of the load-carrying capacity, of the volume flow rate of the fluid and those of the friction torque.

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Sommario Si studia il regime fluido nei cuscinetti idrostatici di spinta rotanti lubrificati con fluidi incompressibili in pressione, tenendo conto, oltre che degli effetti di inerzia sul lubrificante, anche del suo aumento di temperatura nel meato dovuto alle azioni di attrito fluido (regime termofluidodinamico).Si ricavano dal sistema di equazioni differenziali di Navier-Stokes, di continuità e dell'energia, le equazioni differenziali od integro-differenziali atte a fornire i valori della temperatura, delle componenti della velocità e della pressione del fluido nel cuscinetto e, mediante essi, i valori della capacità di carico, della portata volumetrica di fluido e del momento d'attrito.

     

Asymptotic behaviour of solutions to the equation of constant mean curvature on a three-dimensional region

A first order differential inequality is derived for the cross-sectional energy flux of the solution to the equation of constant mean curvature defined on a three-dimensional prismatic cylinder of convex cross-section. Integration of the inequality yields estimates which are employed to prove for large values of the axial variable that the solution in measure either grows at least algebraically or decays at most exponentially to the lower dimensional cross-sectional solution. This result generalises that previously obtained by the authors for the corresponding two-dimensional problem.

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Sommario Si dimostra una disequazione differenziale del primo ordine per il flusso di energia attraverso la sezione trasversale della soluzione dell' equazione della curvatura media costante definita in un cilindro prismatico tridimensionale a sezione trasversale convessa. L'integrazione della disuguaglianza fornisce stime che sono impiegate a provare che, per grandi valori della variabile assiale la soluzione in misura o cresce almeno algebricamente o decade al più esponenzialmente alla soluzione per la sezione trasversale più piccola. Questo risultato generalizza quello ottenuto in precedenza dagli autori per il corrispondente problema bidimensionale.